甘肃省张掖市临泽县第一中学2019_2020学年高一数学上学期期末考试模拟试题(含解析)

临泽一中2019-2020学年上学期期末模拟试卷
高一数学
一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1.设全集{}1,2,3,4,5U =，集合{}1,2,4A =，集合{}2,5B =，则()U
C A B ⋂等于( )
A. {}3
B. {}3,5，
C. {}3,4,5，
D. {}5
【答案】D 【解析】 【分析】
根据补集与交集的定义计算即可． 【详解】全集{}1,2,3,4,5U =
，集合{}1,2,4A =，
则{}2,5U C A =，又集合{}2,5B =， 所以(){}5⋂=U C A B . 故选：D ．
【点睛】本题考查集合的交、补运算，考查基本运算求解能力． 2.若指数函数(13)x
y a =-在R 上递减，则实数a 的取值范围是( )
A. 1
(0,)3
B. (1,)+∞
C. R
D.
(,0)-∞
【答案】A 【解析】 【分析】
根据指数函数的性质得到关于a 的不等式，解出即可． 【详解】解：由题意得：0131a <-< ， 解得：103
a <<， 故选A ．
【点睛】本题考查指数函数单调性，是一道基础题．
3.若函数1()3x f x a -=+恒过定点P ，点P 的坐标为（ ） A. ()1,0 B. ()1,4
C. ()0,4
D. ()2,3
【答案】B 【解析】 【分析】
令指数等于零,求得x 、y 的值,可得定点的坐标．
【详解】对于函数1()3x f x a -=+,令10x -=,求得1,(1)4x f ==, 可得函数的函数的图象经过定点()1,4, 故选B ．
【点睛】本题主要考查指数函数的单调性和特殊点,属于基础题．
4.不论m 为何实数，直线()():1230l m x m y m -+-+=恒过定点（ ） A. ()3,1--
B. ()2,1--
C. ()–31，
D. ()–21，
【答案】C 【解析】 【分析】
将直线方程变形为()2130x y m x y ++--=,即可求得过定点坐标. 【详解】根据题意,将直线方程变形为()2130x y m x y ++--=
因为m 位任意实数,则21030x y x y ++=⎧⎨--=⎩,解得31x y =-⎧⎨=⎩
所以直线过的定点坐标为()3,1- 故选:C
【点睛】本题考查了直线过定点的求法,属于基础题.
5.已知平面四边形ABCD ，按照斜二测画法（∠x 'O 'y '=45°）画出它的直观图A 'B 'C 'D '是边长为1的正方形（如图所示），则原平面四边形ABCD 的面积是（ ）
53C. 22 D. 25【答案】C 【解析】 【分析】
根据直观图与原图面积之比可直接求得结果. 【详解】由题意得：直观图A B C D ''''的面积1S '= 设原图面积为S ，则2
4
S S '=
22S ∴=故选：C
【点睛】本题考查根据直观图面积求解原图面积的问题，关键是能够熟练掌握直观图与原图的面积之比. 6.设23a log =，3b =2
3
c e =，则a b c ，，的大小关系是（ ） A. a b c << B. b a c << C. b c a <<
D.
a c
b <<
【答案】A 【解析】 【分析】
根据指数幂与对数式的化简运算,结合函数图像即可比较大小. 【详解】因为23a log =,3b =23c e
= 令()2f x log x =,()g x x =函数图像如下图所示:
则()2442f log ==,()442g == 所以当3x =时23log 3>,即a b <
3b =
23
c e = 则6
63
27b =
=,6
26443 2.753.1c e e ⎛⎫
⎪==>≈ ⎪⎝⎭
所以66b c <,即b c < 综上可知, a b c << 故选:A
【点睛】本题考查了指数函数、对数函数与幂函数大小的比较,因为函数值都大于1,需借助函数图像及不等式性质比较大小,属于中档题.
7.对于连续曲线()f x ，若()()130f f -⋅>，则下列判断正确的是（ ） A. 方程()0f x =在()1,3-内有且有一个根 B. 方程()0f x =在()1,3-内有且只有两个根 C. 方程()0f x =在()1,3-内一定无根 D. 方程()0f x =在()1,3-内可能有无数个根 【答案】D 【解析】 【分析】
根据零点存在定理,即可判断选项.
【详解】因为()f x 是连续曲线,满足()()130f f -⋅>,则()0f x =在()1,3-有实数根,所以C 错误；
不能确定方程()0f x =在()1,3-零点个数,所以A 、B 错误. 定方程()0f x =在()1,3-零点可能有无数个,所以D 正确。

故选：D
【点睛】本题考查了零点存在定理的简单应用,零点个数的判定,属于基础题. 8.已知x <3，则()4
3
f x x x =+-的最大值是（ ） A. –1 B. 1
C. 4
D. 7
【答案】A 【解析】 【分析】
构造基本不等式, ()4333f x x x =+-+-,转化后可得()4333f x x x ⎛⎫
=-+-+
⎪-⎝⎭
即可求得最大值. 【详解】因为()4
3
f x x x =+-,3x < 所以()4
333
f x x x =
+-+- 4333x x ⎛⎫=-+-+ ⎪-⎝⎭
3≤- 223≤-⨯+
1≤-
当且仅当4
33x x
=--时取得最大值,此时1x = 所以()4
3
f x x x =
+-的最大值是1- 故选:A
【点睛】本题考查了基本不等式的应用,构造基本不等式的方法,注意”一正二定三相等”的使用条件,属于中档题.
9.已知直线()()():21110l k x k y k R ++++=∈与圆()()2
2
1225x y -+-=交于A ，B
两点，则弦长AB 的取值范围是（ ） A. []4,10 B. []3,5
C. []8,10
D. []6,10
【答案】D 【解析】 【分析】
由直线()()21110k x k y ++++=，得出直线恒过定点()1,2P -，再结合直线与圆的位置关系，即可求解.
【详解】由直线()()():21110l k x k y k R ++++=∈，可得()210k x y x y ++++=，
又由2010x y x y +=⎧⎨
++=⎩，解得1
2
x y =⎧⎨=-⎩，即直线恒过定点()1,2P -，圆心()1,2C ，
当CP l ⊥时弦长最短，此时2
2
2
2AB CP r ⎛⎫+= ⎪⎝⎭
，解得min 6AB =，
再由l 经过圆心时弦长最长为直径210r =， 所以弦长AB 的取值范围是[]6,10. 故选D.
【点睛】本题主要考查了直线系方程的应用，以及直线与圆的位置关系的应用，其中解答中熟练利用直线的方程，得出直线恒过定点，再结合直线与圆的位置关系求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题. 10.给出下列命题：
①圆柱的母线与它的轴可以不平行；
②圆锥的顶点、圆锥底面圆周上任意一点及底面圆的圆心三点的连线都可以构成直角三角形；
③在圆台的上、下两底面圆周上各取一点，则这两点的连线是圆台的母线； ④圆柱的任意两条母线所在的直线是互相平行的． 其中正确的是（ ） A. ①③ B. ②④ C. ①④ D. ②③
【答案】B
【解析】 【分析】
根据圆柱、圆锥及圆台的结构特征,可判断四个选项.
【详解】对于①,根据圆柱母线定义,可知母线与轴一定平行,所以①错误.
对于②,圆锥的顶点与底面圆心的连线垂直于底面,所以圆锥的顶点、圆锥底面圆周上任意一点及底面圆的圆心三点的连线都可以构成直角三角形,即②正确.
对于③利用直角梯形旋转得到圆台,不垂直于底面的腰即为圆台的母线,所以③错误. 对于④圆柱的母线都与轴线平行,所以任意两条母线所在的直线都是相互平行的,所以④正确.
综上可知, 正确的是②④ 故选:B
【点睛】本题考查了圆柱、圆锥及圆台的结构特征,属于基础题.
11.已知圆C 的方程为22
6290x y x y +-++=，点M 在直线10x y +-=上，则圆心C 到
点M 的最小距离为（ ）
D. 12
【答案】C 【解析】 【分析】
先由圆的方程，得到圆心坐标，根据点到直线距离公式，求出圆心到直线的距离，即可得出结果.
【详解】因为圆C 的方程为2
2
6290x y x y +-++=，所以其圆心坐标为(3,1)C -， 又M 在直线10x y +-=上，
所以求圆心C 到点M 的最小距离，即是求圆心C 到直线10x y +-=的距离d ，
由点到直线距离公式可得：2
d ==
故选C
【点睛】本题主要考查圆心到直线上一点距离的最值问题，熟记点到直线距离公式即可，属
于常考题型.
12.已知()53
8f x x ax bx =++-，且()lg210f =，那么1lg
2f ⎛⎫
⎪⎝⎭
等于（ ） A. -26 B. -18 C. -10
D. 10
【答案】A 【解析】 【分析】
由解析式得到()f x -，可知()()16f x f x +-=-，得到()1lg 16lg 22f f ⎛⎫
=-- ⎪⎝⎭
，进而求得结果.
【详解】()5
3
8f x x ax bx =++-Q ()5
3
8f x x ax bx ∴-=----
()()16f x f x ∴+-=- 1
lg
lg 22
=-Q ()()()1lg 2lg lg 2lg 2162f f f f ⎛⎫
∴+=+-=- ⎪⎝⎭
()1lg 16lg 21610262f f ⎛⎫
∴=--=--=- ⎪⎝⎭
故选A
【点睛】本题考查根据函数的性质求解函数值的问题，关键是能够根据函数解析式得到
()f x 与()f x -的关系.
二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13.已知两点(3,1,)P a ，(3,,2)Q b 关于坐标平面xoy 对称，则a b +=________. 【答案】-1 【解析】 分析】
与点（a ，b ，c ）关于平面xoy 对称的点的坐标为（a ，b ，﹣c ）． 【详解】∵两点P （3，1，a ），Q （3，b ，2）关于坐标平面xOy 对称， ∴a ＝﹣2，b ＝1， 则a +b ＝﹣2+1＝﹣1．
故答案为﹣1．
【点睛】本题考查代数式值的求法，考查空间直角坐标系中对称点的坐标等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
14.已知四棱锥P -ABCD 的底面为平行四边形，E ，F ，G 分别为PA ，PD ，CD 的中点，则BC 与平面EFG 的位置关系为_____. 【答案】平行 【解析】 【分析】
由E ，F 是PA ，PD 的中点，根据三角形中位线定理可得EF AD ∥,根据ABCD 为平行四边形，可得AD BC ∥，由平行公理可得EF BC ∥，利用线面平行的判定定理可知BC 与平面EFG 的位置关系为平行.
【详解】因为E ，F 是PA ，PD 的中点，所以EF AD ∥，又因为ABCD 为平行四边形，所以
AD BC ∥，因此EF BC ∥，又因为EF ⊂平面EFG ，BC ⊄平面EFG ，所以BC ∥平面EFG.
【点睛】本题考查了线面平行的判定定理，考查了三角形中位线定理、平行四边形的性质、平行公理.
15.
已知2)f x =+, 则()f x 的解析式为_________. 【答案】2
()4(2)f x x x =-≥ 【解析】 【分析】 利用换元法设
t =2（t ≥2）
=t ﹣2，代入求出即可． 【详解】设
t =
2（t ≥2）
=t ﹣2，即x ＝（t ﹣2）2
， ∴f （t ）＝（t ﹣2）2+4（t ﹣2）＝t 2﹣4， ∴f （x ）＝x 2
﹣4（x ≥2）．
【点睛】本题考查了求函数的解析式问题，换元法是常用方法之一，是基础题．
16.设函数()200
x x f x x x -≤⎧=⎨>⎩，，，若()9f a =，则a =__________．
【答案】–9或3 【解析】
【分析】
分段讨论解方程,即可求得a 的值. 【详解】因为函数()2
x x f x x x -≤⎧=⎨
>⎩，， 当0x ≤时,()f x x =-,若()9f a =,即()9f a a =-=,解得9a =-
当0x >时,()2
f x x =,若()9f a =,即()29f a a ==,解得3a =或3a =-(舍)
综上可知, 9a =-或3a = 故答案为: 9-或3
【点睛】本题考查了分段函数的应用,根据函数值求自变量,注意分类讨论及自变量的限制要求,属于基础题.
三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17.求值：（1
）4
1
3
20.753440.0081(4)16---++-；
（2
）
3log 2
291
2log 51lg 31log 27log 102
--+--）.
【答案】（1）0.55（2）1 【解析】 【分析】
（1）利用根式与分数指数幂的性质直接求解． （2）直接利用对数运算法则及换底公式．
【详解】（1
）4
1
3
20.753440.0081(4)16---++-()4
1
3
3
40.75243422(0.3)(2)(2)2-⨯-⨯-=++- ＝0.3+2﹣3+2﹣2﹣2﹣3 ＝0.3+0.25 ＝0.55． （2
）
3log 2291
2log 51
lg 31log 27log 102
--+--） =13lg 21lg522
+++-=1 【点睛】本题考查根式与分数指数幂的性质，考查了对数的运算性质，是基础题． 18.已知函数2()2x
x f x a
a a =-+（0a >且1a ≠）的图象经过点()1,6A .
（1）求()f x 的解析式；
（2）求()f x 的值域.
【答案】（1）()424x x f x =-+或2()2
24x x f x =-+（2）15,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭
【解析】
【分析】
（1）将点()1,6A 代入函数计算得到答案. （2）2115()224x f x ⎛⎫=-+ ⎪⎝
⎭，当122x =，即1x =-时，()f x 取得最小值154，得到答案. 【详解】解：（1）因为2()2x x f x a
a a =-+（0a >且1a ≠）的图象经过点()1,6A ，
所以2(1)6f a a =+=. 因为0a >且1a ≠，所以2a =，
所以()f x 的解析式为()424x x f x =-+或2()224x x f x =-+
（2）2115()224x f x ⎛⎫=-+ ⎪⎝
⎭ 当122
x =，即1x =-时，()f x 取得最小值154 因为20x >
所以()f x 的值域为15,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭
【点睛】本题考查了函数表达式和值域，属于常考题型.
19.已知直线124l y x =+：，直线2l 经过点11（，）
，且12l l ⊥． （1）求直线2l 的方程；
（2）记1l 与x 轴相交于点A ，2l 与x 轴相交于点B ，1l 与2l 相交于点C ，求ABC ∆的面积．
【答案】（1）1322
y x =-
+；（2）5ABC S ∆= 【解析】
【分析】
（1）根据两条直线垂直的斜率关系可得直线2l 的斜率,代入11（，）
求得截距b ,即可求得直线2l 的方程.
（2）根据题意分别求得、、A B C 的坐标,可得AB 的长,由C 的纵坐标即可求得ABC ∆的面积．
【详解】（1）由题意12l l ⊥,则两条直线的斜率之积为1-
即直线2l 的斜率为12
k =- 因为124l y x =+：,所以可设212l y x b =-
+： 将11（，）
代入上式解得32b = 即21322l y x =-
+： （2）在直线124l y x =+：中,令0y =,得–2x =,即–2,0A （）
在直线2l ：1322
y x =-
+中,令0y =,得3x =,即3,0B （） 解方程组241322y x y x =+⎧⎪⎨=-+⎪⎩
,得–1x = ,2y =,即–1,2C （） 则ABC ∆底边AB 的长为()325AB =--=,
AB 边上的高为2C y =
故1152522ABC C S AB y =⋅=⨯⨯=△ 【点睛】本题考查了直线与直线垂直的斜率关系,直线与x 轴交点坐标,直线的交点坐标求法,属于基础题.
20.已知圆C 经过两点()()1,3,3,1P Q ---，且圆心在直线240x y +-=上，直线l 的方程为()12530k x y k -++-=．
（1）求圆C 的方程；
（2）证明：直线l 与圆C 恒相交；
（3）求直线l 被圆C 截得的弦长的取值范围．
【答案】（1）2242200x y y y +---=；（2）证明见解析；（3
）⎡⎤⎣⎦
【解析】
【分析】
（1）设圆的一般方程220x y Dx Ey F ++++=，将PQ 点代入方程，将圆心(,)22
D E -
-代入直线240x y +-=，解方程组，即可．
（2）求出直线l ：()12530k x y k -++-=过定点()3,1M -，说明点M 在圆内，即可．
（3）当直线l 过圆心时弦长有最大值10,
当直线l
与过圆心与定点的直线垂直时有最小值
【详解】（1）设圆C 的方程为220x y Dx Ey F ++++=， 由条件得1930913024022D E F D E F D E ⎧⎪+--+=⎪⎪+-++=⎨⎪⎛⎫⎛⎫⎪-+⨯--= ⎪ ⎪⎪⎝⎭
⎝⎭⎩，解得4220D E F =-⎧⎪=-⎨⎪=-⎩
∴圆C 的方程为22
42200x y y y +---=；
（2）由()12530k x y k -=+-=，得()()3250k x x y ----=， 令30250x x y -=⎧⎨--=⎩
， 得31x y =⎧⎨=-⎩
，即直线l 过定点()3,1M -， 由()()22314321200+--⨯-⨯--<，知点()3,1M -在圆内，
∴直线l 与圆C 恒相交．
（3）圆心()2,1C ，半径为5，由题意知，当点M 满足CM 垂直于直线l 时，弦长最短，
直线l 被圆心C 截得的最短弦长为
=
， 直径最长10，弦长的取值范围为⎡⎤⎣⎦．
【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，属于基础题．
21.已知圆C ：x 2+y 2﹣4x +3＝0，过原点的直线l 与圆C 有公共点．
（1）求直线l 斜率k 的取值范围；
（2）已知O 为坐标原点，点P 为圆C 上的任意一点，求线段OP 的中点M 的轨迹方程．
【答案】
(1) 33k -
≤≤；(2) 4x 2+4y 2﹣8x +3＝0． 【解析】
【分析】
（1）根据直线与圆有交点时圆心到直线的距离小于等于半径，列出不等式求解出k 的取值范围；
（2）设出,P M 的坐标，根据中点关系用未知表示已知，即可得到,x y 满足的关系式即为M 的轨迹方程.
【详解】（1）由x 2+y 2﹣4x +3＝0，得(x ﹣2)2+y 2＝1，
直线l 过原点，可设其方程为y ＝kx ，
∵直线l 与圆C 有公共点，
≤1
，解得 33k -≤≤； （2）设M (x ，y )，P (x 1，y 1)，
∵M 为OP 的中点，∴x 1＝2x ，y 1＝2y ，
代入圆C ：x 2+y 2﹣4x +3＝0，得(2x )2+(2y )2﹣4×2x +3＝0，
即4x 2+4y 2﹣8x +3＝0．
【点睛】本题考查根据直线与圆的位置关系求解参数范围以及与圆有关的轨迹方程问题，难度一般.根据直线与圆的位置关系求解参数范围时，有两种方法：（1）几何法，利用圆心到直线的距离来表示直线与圆的位置关系，从而求解出参数范围；（2）代数法：联立直线与圆的方程，利用∆来判断直线与圆的位置关系，从而求解出参数范围.
22.已知ABC ∆的三个顶点()()()2123A m n B C ，、，、-，
． （1）求BC 边所在直线的一般式方程；
（2）BC 边上中线AD 的方程为230x y c -+=，且7ABC S ∆=，求点A 的坐标．
【答案】（1）240x y +-=；（2）A 的坐标为()–30，
或()34， 【解析】
【分析】
（1）根据B C 、两点的坐标可得BC k ,再由点斜式即可求得直线方程,进而化简可得一般式方程.
（2）根据中点坐标公式求得D 的坐标,由D 在中线上即可求得中线的方程.由A 点在中线上
可得m
n 、的等量关系.根据两点间距离公式可得BC ,结合点A 到直线BC 的距离及ABC ∆的面积可得m n 、的等量关系,解方程组即可求得m n 、的值,即可得A 的坐标.
【详解】（1）因为()()2123B C ，、-，
,所以BC 边所在直线的斜率为311222BC k -==---, 又因为直线过点()21B ，,所以BC 边所在直线的方程为11(2)2
y x -=-
-, 化为一般式即240x y +-=．
（2）,B C 的中点D 的坐标为()0,2,则D 在中线230x y c -+=上,
则–60c +=,得6c =
即中线方程为2360x y -+=,A 在中线上
所以2360-+=m n , BC 的方程为240x y +-=
BC ====
点A 到直线240x y +-=的距离d =
∵7ABC S ∆=
∴172ABC S ∆=⨯=,得247m n +-= 即247m n +-= 或247m n +-=-
即2110m n +-= 或230m n ++=
由21102360m n m n +-=⎧⎨-+=⎩得34m n =⎧⎨=⎩
,此时()3,4A 由2302360m n m n ++=⎧⎨
-+=⎩得30m n =-⎧⎨=⎩,
此时()30A -,
即A 的坐标为()3,4或()3,0-
【点睛】本题考查了直线方程的求法,两点间距离公式及点到直线距离公式的应用,三角形面积的应用,计算量较大,属于中档题.。