福建省福州市第八中学高二数学下学期期中试题 文

福州八中2015—2016学年第二学期期中考试
高二数学（文）
考试时间：120分钟 试卷满分：150分
2016.4.28
第一卷
参考公式 （1） （2）：
,)
)()()(()(2
2
d b c a d c b a bc ad n K ++++-=其中d c b a n +++=为样本容量。

（3）：1
2
1
()()
ˆˆˆ()
n
i
i
i n
i
i x x y y b
a
y bx x x ==--==--∑∑， （4）2R ∑∑==---=n
i i
n
i i
y y
y y 12
1
2
^
)()(1
一、选择题（本大题共10个小题，每小题5分，满分50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．）
1．若集合P ＝{x |2≤x <4}，Q ＝{x |3x ≥}，则P ∩Q 等于
A ．{x |3≤x <4}
B ．{x |－3<x <4}
C ．{x |2≤x <3}
D ．{x |2≤x ≤3}
2．复数i(1i)z =+（i 是虚数单位）在复平面内所对应点的坐标为
A ．(1,1)
B ．(1,1)--
C ．(1,1)-
D ． (1,1)- 3.设[),0,a b ∈+∞，,A a b B a b =+=+，则A,B 的大小关系是
A.A B ≤
B.A B ≥
C.A B <
D.A B >
4.小明想沏壶茶喝，当时的情况是，开水没有，烧开水需要15分钟，烧开水的壶要洗，需要1分钟，沏茶的壶和茶杯要洗，需2分钟，茶叶已有，取茶叶需1分钟，沏茶也需1分钟，小明要喝到自己所沏的茶至少需要花的时间为． A.16分钟
B. 19分钟
C.20分钟
D.17分钟
5. 《论语》云：“名不正，则言不顺；言不顺，则事不成；事不成，则礼乐不兴；礼乐不兴，则刑罚不中；刑罚不中，则民无所措手足；所以名不正，则民无所措手足．”上述推理用的是 A ．合情推理
B ．归纳推理
C ．类比推理
D ．演绎推理
6．用反证法证明命题“设a ，b 为实数，则方程x 2
＋ax ＋b ＝0至少有一个实根”时，要做的假设是
A ．方程x 2＋ax ＋b ＝0没有实根
B ．方程x 2＋ax ＋b ＝0至多有一个实根
C ．方程x 2
＋ax ＋b ＝0至多有两个实根
D ．方程x 2
＋ax ＋b ＝0恰好有两个实根 P k ≥2（K ）
0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
k
1.323
2.072 2.706
3.841 5.024 6.635 7.879
10.82
8
7．已知x ，y 之间的一组数据如下表：
x 2 3 4 5 6 y 3 4 6 8 9
对于表中数据则根据最小二乘法的思想得拟合程度最好的直线是 A ．y ＝x ＋1 B ．y ＝2x －1
C ．y ＝85x －25
D ．y ＝3
2
x
8. 执行如图所示的程序框图,则输出的k 的值是
A.3
B.4
C.5
D.6 9．函数f (x )＝
2
121
1log x ⎛⎫
- ⎪⎝⎭
的定义域为
A ．1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭
B ．()10,2,2⎛⎫
+∞ ⎪⎝⎭
U
C ．(2，＋∞)
D ．10,2⎛
⎫ ⎪⎝⎭
10. 观察下列事实|x|+|y|=1的不同整数解(x,y)的个数为4 , |x|+|y|=2的不同整数解(x,y)的个数为8, |x|+|y|=3的不同整数解(x,y)的个数为12 .则|x|+|y|=20的不同整数解(x,y)的个数为 A ．76 B ．80 C ．86 D ．92 二、填空题：（本大题共4个小题，每小题4分，满分16分） 11.已知复数z 满足(1)1z i i -=+，那么z =___.
12.函数2
23y x ax =--在区间[]0,1上具有单调性，则a 的取值范围是
13.已知ABC ∆，若存在111A B C ∆，满足
111
cos cos cos 1sin sin sin A B C
A B C ===,则称111A B C ∆是ABC ∆的一个“友好”三角形,若等腰ABC ∆存在“友好”三角形，则其顶角的度数为___.
14.对于等差数列{}n a 有如下命题：“若{}n a 是等差数列，01=a ，t s 、是互不相等的正整数，则
有
011=---s t a t a s ）（）（”。

类比此命题，给出等比数列{}n b 相应的一个正确命题是：“若{}n b 是等比数列，11=b ，t s 、是互不相等的正整数，则有 ”。

三、解答题（共34分．解答题应写出推理、演算步骤）
15．（本小题10分）设复数z 满足1z =，且(34)i z +⋅是纯虚数，求z 。

16.已知命题46p x :|-|≤，2
2
:210(0)q x x a a -+-≥,>，若p ⌝是q 的充分不必要条件，求a 的
取值范围。

17.2011年3月，日本发生了9.0级地震，地震引发了海啸及核泄漏．某国际组织用分层抽样的方法从心理专家、核专家、地质专家三类专家中抽取若干人组成研究团队赴日本工作，有关数据见表1(单位：人)．核专家为了检测当地动物受核辐射后对身体健康的影响，随机选取了110只羊进行了检测，并将有关数据整理为不完整的2×2列联表(表2)． 表1
相关人员数 抽取人数 心理专家 24 x 核专家 48 y 地质专家
72 6
表2
高度辐射 轻微辐射
合计 身体健康 30
A 50 身体不健康
B 10 60 合计
C
D
E
(1)求研究小组的总人数；
(2)写出表2中A 、B 、C 、D 、E 的值，根据列联表的独立性检验，能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为羊受到高度辐射与身体不健康有关
第二卷（50分）
四、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题纸上。

18．已知命题p ：函数(
)
22
log 1y x x =+-是奇函数；
命题2
1
2
),,0(:0
0=
+∞∈∃x x q ，则下列判断正确的是 A ．p 是假命题 B ．q 是真命题
C ．)(q p ⌝∧是真命题
D ．q p ∧⌝)(是真命题
19. 对任意,x y R ∈,111x x y y -++-++的最小值为
A.1
B.2
C.3
D.4
20．已知抛物线y 2=4x,过点P (4,0)的直线与抛物线相交于A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)两点，则y 12+y 22
的最小值是 A.8 B.32 C.16 D.4 21.设()f x 的定义域为D ，若()f x 满足条件:存在[],a b D ⊆,使()f x 在[],a b D ⊆上的值域是
,22a b ⎡⎤⎢⎥⎣⎦
，则称()f x 为“倍缩函数”。

若函数2()log (2)x
f x t =+为“倍缩函数”，则t 的取值范围是 A.1,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭ B.()0,1 C.10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦ D.10,4⎛⎫
⎪⎝⎭
五、填空题（8分，每题4分）
22．已知21x y +=，则2
2
x y +的最小值为________．
23．若函数f (x )(x ∈R )是周期为4的奇函数，且在[0，2]上的解析式为f (x )＝⎩⎪⎨
⎪
⎧x （1－x ），0≤x ≤1，sin πx ，1<x ≤2，
则291746f f ⎛⎫
⎛⎫
+
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
＝______． 六、解答题（共22分）
24.（10分）已知函数()R a a x x x f ∈++-=,22.
(Ⅰ)当2a =时，解不等式()5≥x f ；
(Ⅱ)若存在0x 满足()3200<-+x x f ，求a 的取值范围.
25．（12分）设函数()f x ，()g x 的定义域均为R ，且()f x 是奇函数，()g x 是偶函数，
()()e x f x g x +=，其中e 为自然对数的底数.
（Ⅰ）求()f x ，()g x 的解析式，并证明：当0x >时，()0f x >，()1g x >；
(Ⅱ)若关于x 的不等式2mf (x )≤2()1x
g x e m ---在(0，＋∞)上恒成立，求实数m 的取值范围．
11
1
=--t s
s t
b b
福州八中2015—2016学年第二学期期中考试
高二数学（文） 试卷参考答案及评分标准
第一卷（100分）
一、选择题 1-10 ADBDD ACCAB 二、填空题11.i, 12. (][),01,-∞+∞U , 13. 45︒
, 14. 三、解答题
15．（本小题10分）
解：设i,(,)z a b a b R =+∈,-------------------1分 由1z =得221a b +=；………………………………2分
(34)()34(43)i a bi a b a b i +-=++-g 是纯虚数，-------4分 则3404
30a b a b +=⎧⎨-≠⎩
-------------------6分
12221244155
,33340
55a a a b a b b b ⎧⎧==-⎪⎪⎧⎪⎪⎪+=∴⎨⎨⎨+=⎪⎪⎪⎩=-=⎪⎪⎩
⎩Q --------9分
4355z i ∴=
-或43
55
z i =-+ ……………10分 16.解析:46102p x x x ⌝:|-|>,><-,解得或记A={x|x>10或x<-2},---------2分
q:2
2
210x x a -+-≥,解得1x a ≥+或x ≤1-a,记B={x|x ≥1+a 或1x a ≤-}. --------4分 而⌝p q q ⇒,/⇒ p ⌝,----------------------------------------------------------6分 ∴A ⊂≠B ,-----------------------8分
即 121100a a a -≥-,⎧⎪
+≤,⎨⎪>.⎩
--------------11分
∴03a <≤.------------------12分
17．解：(1)依题意知726＝48y ＝24
x
，-----1分
解得y ＝4，x ＝2.-----3分
所以研究小组的总人数为2＋4＋6＝12.----4分 (2)根据列联表特点得A ＝20，B ＝50， C ＝80，D ＝30，E ＝110.-----------6分
可求得χ2
＝110×30×10－50×202
50×60×80×30
≈7.486>6.635.-----------10分
所以在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为羊受到高度辐射与身体不健康有关---------12分
第二卷（50分） 24、解：（Ⅰ）当2a =时，()|2||22|f x x x =-++. 由5)(≥x f 得. |2||22|5x x -++≥
当2≥x 时，不等式等价于5
2225,3
x x x -++≥≥
解得，所以2≥x ；…1分
当12x -<<时，不等式等价于2225,1,2x x x x -++≥≥≤<即所以1，…2分 当1x ≤-时，不等式等价于52225,3x x x ---≥≤-解得，所以5
3
x ≤-
.……3分 所以原不等式的解集为5{|1}3
x x x ≤-≥或 …………5分
（Ⅱ）4)42(22422222)(+=--+≥++-=++-=-+a x a x a x x a x x x x f …7分
因为原命题等价于min (()|2|)3f x x +-<， …………9分 所以
43
a +<，所以71a -<<-为所求实数a 的取值范围. (10)
25．解：（Ⅰ）1()(e e )2x x f x -=-，1
()(e e )2
x x g x -=+.----------2分
证明：当0x >时，e 1x >，0e 1x -<<，故()0.f x >
又由基本不等式，有1
()(e e )e e 12x x x x g x --=+>=，即() 1.g x >-------4分
(Ⅱ)由条件知 m (e x －e －x ＋1)≤e －x
－1在(0，＋∞)上恒成立．
令 t ＝e x
(x >0)，则 t >1，----5分
因为()1x x
p x e e
-=-+在R 上为增函数，所以()(0)10p x p >=>，-----6分
所以 m ≤－21
1t t t -++＝－11(1)31
t t -++-对任意 t >1成立．-------8分
因为t －1＋1
t －1＋ 3≥2 （t －1）·
1
t － 1
＋3＝5, -----10分 所以－
1
t －1＋1t －1
＋ 1
≥－1
5，2min 11t m t t -⎛⎫
≤- ⎪-+⎝⎭=－1
5---------11分 当且仅当 t ＝2, 即x ＝ ln 2时等号成立． 因此实数 m 的取值范围是1,5
⎛⎤-∞- ⎥⎝
⎦
-------12分。