太阳影子定位技术 江西师范大学科学技术学院商江山_袁星_蒋梦婷
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32影子长度的求解运用立体几何知识以直杆底端为中心点作为原点建立平面直角坐标系将附件1附件2和附件3中影子顶点的坐标数据描于坐标系中运用三角形的勾股定理得到不同坐标下影子的长度值33纬度模型的建立因为不同的节气太阳的高度变化规律不同且一天中由于黄赤交角的存在太阳直射点的南北移动引起太阳高度的变化
A 题 太阳影子定位
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ห้องสมุดไป่ตู้
Ⅰ 问题重述与分析
1.1 问题重述 1、由于地球围绕太阳的自转，每时每刻物体在太阳下的影子长度也是时刻在变 化着，分析影子长度关于各个参数的变化规律，建立影子变化模型。那么 2015 年 10 月 22 日北京时间 9:00—15:00 之间天安门广场（北纬 39 度 54 分 26 秒, 东经 116 度 23 分 29 秒）3 米高的直杆的太阳影子长度变化曲线是什么样的呢？ 2、已知固定 2 米的直杆在水平地面上太阳影子顶点坐标数据与拍摄时间为 2015 年 4 月 18 日，建立数学模型确定直杆所处位置。 3、根据某 2 米的固定直杆在水平地面上太阳影子顶点坐标数据，建立数学模型， 进而确定附件 2 和附件 3 中直杆所处的地点和日期。 4、附件 4 为一根直杆在太阳下的影子变化的视频，并且已通过某种方式估计出 直杆的高度为 2 米。请建立确定视频拍摄地点的数学模型，并应用你们的模型给 出若干个可能的拍摄地点。 如果拍摄日期未知，你能否根据视频确定出拍摄地点与日期？ 1.2、问题的分析： 针对问题一： 如图 1 ，是直杆在太阳照 射下不同时间段影子的长短变 化图形，我们可以采用立体几 何的特点得直杆影子长度和太 阳高度角的数学关系式，也就 是通过立体几何的特点建立相 应的数学模型。首先已知题 1 中的日期参数， 可得赤纬角表达式， 再依据时间段的 要求， 结合地球自转速度， 则可以知道太阳高度角的 变化曲线， 最后通过分析地点的经纬度得到方位角变 化曲线，进而画出直杆的太阳影子长度的变化曲线。 针对问题二： 从附件 1 中可以知道某直杆的在水平地面上的太阳影子顶点坐标数据和拍 摄的日期为 2015 年 4 月 18 日， 利用三角形勾股定理知识求得对应的影子长度 a， 如表（一）所述。通过对地球北半球经纬度的扫描，结合 Matlab 中的方差公式， 可求得不同地点的方差值，那么方差越小，位置越准确。又因为杆子是固定的， 杆长为 2 米， 所以在不考虑杆子与地面倾斜造成的误差的前提下，得出杆子所处 的位置为在东经 108.6000，北纬 19.3000，所以直杆的拍摄地点为海南。
4.1 误差的分析 在测量中存在许多影响影子的长度因素，针对这些因素，主要从以下几个方 面进行考虑。 1 一是根据经纬度确定杆子与太阳的相对位置和确定太阳的高度角时，由 于测量数据的近似值，会造成经纬度值计算的偏差； 2 二是空气中二氧化碳，水蒸气等各种因素会使太阳光进入大气层时发生 折射，那么太阳光线与地平面的交角会与实际的交角有误差； 4.2 模型评价与改进 对于本论文中的四个问题分别建立了近似数学模型，在初步计算的数值中， 选取经度较准确的几组数据，根据经度与纬度不同取值范围，进行统计分析。通 过所得的数据可以明显的看出，在纬度相同的情况下，太阳的高度角则相同。第 三问所建立的数学模型是最准确的， 从而验证了我们问题求解的合理性结果都比 较准确，但是始终存在一些不能排除误差，在此我们认为是系统误差，于此我们
太阳时角t：t (12 w) 180 (120 ) 其中：w为北京时间， 为当地经度
通过公式的计算，建立了影子长度变化的数 学模型一。 若要求得天安门前杆子影子变化曲线， 只需要将北京的日期时间，经纬度带入即可得到 方位变化曲线， 高度变化曲线以及影子变化曲线。 如图 2 所示。
太阳高度角h： sinh = sin sin + cos cos cos t （：太阳赤纬，：实际地理纬度，t为当地太阳时角，都是弧度制）
太阳赤纬： =0.3723+23.2567sin +0.1149sin 2 -0.1712sin3 0.758cos +0.3656cos2 +0.0201cos3 （N-N 0） 其中： = 365.2422 ( N 为天数，自 1月日起，） 1 （ N 0 =796764+0.2422 （年份-1985）-int( （年份-1985）4 ))
21）的距离平方和为
从集合意义上讲，就是寻求与给定点 xi , yi （i=1,2,
最小的曲线 y p x ，函数 p x 称为拟合函数或最小二乘解，求拟合函数 p x 的 方法称为曲线拟合的最小二乘法。
根据附件 1 影子的坐标，根据勾股定理易得影子的长度在一个小时的变化 1.149625826 1.353364049 1.579853316 1.835014272 1.182198976 1.215296955 1.249051052 1.28319534 1.317993149 1.389387091 1.426152856 1.463399853 1.501481622 1.540231817 1.620144515 1.661270613 1.703290633 1.74620591 1.790050915 1.880875001 1.927918447
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3.3 纬度模型的建立 因为不同的节气，太阳的高 度变化规律不同，且一天中由于 黄赤交角的存在，太阳直射点的 南北移动， 引起太阳高度的变化。 从题目二中得知拍摄的时间为 2015 年 4 月 18 日，故可确定太 阳是直射北半球的。再根据太阳 高度角概念经纬度的变化规律估 算出拍摄地点的经度与纬度值如 表（四），从而确定所处的位置。
3
d；日 H；高度角 delta；弧度 k：天数
Ⅲ 模型的建立与求解
3.1、模型一的建立：基于给定参数的几何模型 本题需要求解的是影子长度关于各个参数的变化规律。 分析题目可知影响影 子长度的因素有：杆子所处的位置和太阳的相对位置、杆子的长度等。太阳高度 角 h、 太阳赤纬 和太阳时角 t 是表示太阳和杆子相对位置的参数， 计算公式为：
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表（四） 附件 东经 （度） 北纬 （度） 地点 时间 附件 1 108.6000 19.3000 海南 2015 年 4 月 18 日 附件 2 76 33 新疆喀什 2015 年 3 月 19 日 附件 3 109 46 内蒙古 2015 年 3 月 18 日
变化规律： 1 纬度变化规律：由于太阳直射点所在经纬度向南北两侧递减。可推知与 太阳直射点的纬度相差一度，正午太阳高度角就减小一度。 2 季节变化规律：太阳直射点移来时渐增，移去时渐减（太阳直射点相对 某地所在纬线而言）。 图四为附件 4 视频中不同时间点物体的太阳影子变化图。 根据对问题四的分 析思路，从而得到物体的东经与北纬的数值。
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3.2、影子长度的求解 运用立体几何知识，以直杆底端为中心点作为原点建立平面直角坐标系，将 附件 1、附件 2 和附件 3 中影子顶点的坐标数据描于坐标系中，运用三角形的勾 股定理得到不同坐标下影子的长度值 ai xi yi ， 分别制成表 （一） 、 表 （二） 、 表（三）。
2 2
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针对问题三： 因为只知道直杆在水平地面上的太阳影子顶点坐标数据，却不知拍摄的日 期，所以需要先计算出对应的影子长度如表（二）和表（三），然后根据影子长 度的变化规律，随着一天中时间的推移，影子的长度越来越短，推算出是平年， 再采用 matlab 中的循环语句得出拍摄的日期。最后重复题二的解题步骤得出拍 摄的地点。 得出的结果为： 1 附件 2 中直杆的地理位置为 76，北纬 33，地处新疆喀什，时间为 2015 年 3 月 19 日。 2 附件 3 中直杆的地理位置为 109，北纬 46，地处内蒙古，时间为 2015 年 3 月 18 日。 针对问题四：视频帧拟合技术 从视频中， 我们可以大概观察到影子的长度变化越来越慢，这与我们的生活 常识相一致，我们的观察能力是有限度的，这需要我们借助计算机分析，从而的 到更多的数据。我们利用 MATLAB 软件，在一定的时间隔内在视频里面抽取视频 画面， 获取自然图像序列或者视频帧,并且对每一帧图像检测出影子的 轨迹点； 然后确定多个灭点,并拟合出地平线； 拟合互相垂直的灭点,计算出仿射纠正和投 影纠正矩阵； 进而还原出经过度量纠正的世界坐标；再拟合出经过度量纠正世界 坐标中的影子点的轨迹,并且参考日晷设计,利用相似关系估计出纬度； 利用二次 曲线的极值点计算时差,从而有效地恢复出所拍摄图像的经纬度信息。本发明复 杂度较低,精度较高,是一种利用自然图像序列或视频帧实现经纬度估计的方法, 能够根据未经过校准的影子的位置,得出所拍摄图像的经纬度信息。
分析这 21 组数据， 我们断定拍摄地点在北半球，我们采用 MATLAB 经纬度自动搜 索经度从 0 开始步长为 1 到 180 为止纬度，纬度从 0 到 90 搜索，将每一组得到 的影长数据与给定的数据进行拟合，数据相关程度越高，就与拍摄地点越接近。 然后缩小范围，得出准确的经纬度坐标。
Ⅳ 误差分析及模型评价与改进
Ⅱ 模型的假设与符号的说明
2.1 模型的假设 假设 1：假设地球的公转对直杆影子的变化不产生影响。 假设 2：假设空气中二氧化碳，水蒸气等各种因素对太阳光进入大气层时发生折 射的影响忽略不计。 假设 3：不考虑地壳板块运动对拍摄影子顶点坐标的影响。 假设 4：忽略不计人工测量时，数据采集近似认为是无穷小。 假设 5：假设测量期间天气状况平稳，对测量的结构影响甚小。 2.2 符号说明 i；经度 j；纬度 A；太阳方位角 a；杆子的影子长度 std；方差 N；从一月一号算起的天数 y；年 m；月
3.4 最小二乘法的曲线拟合 数据拟合的具体做法是：对给定数据 xi , yi （i=1,2, 类 中，求 ri p xi yi ，使误差（i=1,2,
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21）,在取定的函数
21）的平方和最小，即
ri
i 1
n
2
pxi yi
i 1
n
2
min
摘要：正由于太阳光线的照射,物体会形成一个影子,影子的朝向、长短等会随 着地球的自转运动位置的不同,而时刻发生变化。面对以此作为载体，通过太阳 影子的定位技术，分析视频中物体的太阳影子变化规律，从而确定视频的拍摄 地点和日期。 问题一：影子长度模型的建立。本论文运用了太阳高度角、太阳赤纬和太阳时角 公式，再结合麦克劳林公式，分析影子长度关于各个参数的变化规律，建立影子 长度变化的数学模型。 当时间为 2015 年 10 月 22 日北京时间 9:00—15:00 时，天安门广场 3 米高 的直杆的影子变化曲线则可以根据地点的经纬度值 （北纬 39 度 54 分 26 秒,东经 116 度 23 分 29 秒）和地球的自转速度为 465.18m/s 绘出。 问题二：直杆位置的确定。首先根据影子顶点的坐标数据，参考解析几何三角 形的勾股定理建立数学表达式，通过计算得到对应的影子长度值。得出物体处 于北半球，利用 matlab 求方差公式计算出最小方差值，因此得出参考拍摄位置 的东经与北纬的数值，即东经 108.6000，北纬 19.3000，所以直杆的拍摄地点 为海南。 问题三：思路和问题二基本相似，先利用勾股定理求得影长，但由于不知太阳 照射的日期，从而无法直接对所求数据进行处理，所以结合交比不变性定理算 法原理，采用直线网络模板，使用最小二乘法对数据进行处理，从而估算出附 件 2 与附件 3 所处的地理位置，它们分别为东经 76，北纬 33 和东经 109，北纬 46，所以附件 2 的拍摄地点为新疆喀什，时间为 2015 年 3 月 19 日；附件 3 的 拍摄地点为内蒙古，时间为 2015 年 3 月 18 日。 问题四：根据已知影子顶点的坐标采用 Matlab 软件对图像进行拟合分析和拟合 公式得出影子长度最短所对应的当地时间得出经度。 再次把本题的模型建立转化 成问题二和问题三的模型。 由问题三的纬度模型，把问题四得到影子长度和时间 对应关系转化成附件二中的影子顶点坐标， 最后把得出的坐标应用于纬度模型从 而得到对应的纬度，由以上所求得的经纬度数值，得出视频的拍摄地点与日期。 关键字：太阳运动 定位技术 影子变化规律 太阳时角 麦克劳林公式 勾股定理 最小二乘法 太阳高度角 太阳赤纬 比不变性定理算法原理
A 题 太阳影子定位
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ห้องสมุดไป่ตู้
Ⅰ 问题重述与分析
1.1 问题重述 1、由于地球围绕太阳的自转，每时每刻物体在太阳下的影子长度也是时刻在变 化着，分析影子长度关于各个参数的变化规律，建立影子变化模型。那么 2015 年 10 月 22 日北京时间 9:00—15:00 之间天安门广场（北纬 39 度 54 分 26 秒, 东经 116 度 23 分 29 秒）3 米高的直杆的太阳影子长度变化曲线是什么样的呢？ 2、已知固定 2 米的直杆在水平地面上太阳影子顶点坐标数据与拍摄时间为 2015 年 4 月 18 日，建立数学模型确定直杆所处位置。 3、根据某 2 米的固定直杆在水平地面上太阳影子顶点坐标数据，建立数学模型， 进而确定附件 2 和附件 3 中直杆所处的地点和日期。 4、附件 4 为一根直杆在太阳下的影子变化的视频，并且已通过某种方式估计出 直杆的高度为 2 米。请建立确定视频拍摄地点的数学模型，并应用你们的模型给 出若干个可能的拍摄地点。 如果拍摄日期未知，你能否根据视频确定出拍摄地点与日期？ 1.2、问题的分析： 针对问题一： 如图 1 ，是直杆在太阳照 射下不同时间段影子的长短变 化图形，我们可以采用立体几 何的特点得直杆影子长度和太 阳高度角的数学关系式，也就 是通过立体几何的特点建立相 应的数学模型。首先已知题 1 中的日期参数， 可得赤纬角表达式， 再依据时间段的 要求， 结合地球自转速度， 则可以知道太阳高度角的 变化曲线， 最后通过分析地点的经纬度得到方位角变 化曲线，进而画出直杆的太阳影子长度的变化曲线。 针对问题二： 从附件 1 中可以知道某直杆的在水平地面上的太阳影子顶点坐标数据和拍 摄的日期为 2015 年 4 月 18 日， 利用三角形勾股定理知识求得对应的影子长度 a， 如表（一）所述。通过对地球北半球经纬度的扫描，结合 Matlab 中的方差公式， 可求得不同地点的方差值，那么方差越小，位置越准确。又因为杆子是固定的， 杆长为 2 米， 所以在不考虑杆子与地面倾斜造成的误差的前提下，得出杆子所处 的位置为在东经 108.6000，北纬 19.3000，所以直杆的拍摄地点为海南。
4.1 误差的分析 在测量中存在许多影响影子的长度因素，针对这些因素，主要从以下几个方 面进行考虑。 1 一是根据经纬度确定杆子与太阳的相对位置和确定太阳的高度角时，由 于测量数据的近似值，会造成经纬度值计算的偏差； 2 二是空气中二氧化碳，水蒸气等各种因素会使太阳光进入大气层时发生 折射，那么太阳光线与地平面的交角会与实际的交角有误差； 4.2 模型评价与改进 对于本论文中的四个问题分别建立了近似数学模型，在初步计算的数值中， 选取经度较准确的几组数据，根据经度与纬度不同取值范围，进行统计分析。通 过所得的数据可以明显的看出，在纬度相同的情况下，太阳的高度角则相同。第 三问所建立的数学模型是最准确的， 从而验证了我们问题求解的合理性结果都比 较准确，但是始终存在一些不能排除误差，在此我们认为是系统误差，于此我们
太阳时角t：t (12 w) 180 (120 ) 其中：w为北京时间， 为当地经度
通过公式的计算，建立了影子长度变化的数 学模型一。 若要求得天安门前杆子影子变化曲线， 只需要将北京的日期时间，经纬度带入即可得到 方位变化曲线， 高度变化曲线以及影子变化曲线。 如图 2 所示。
太阳高度角h： sinh = sin sin + cos cos cos t （：太阳赤纬，：实际地理纬度，t为当地太阳时角，都是弧度制）
太阳赤纬： =0.3723+23.2567sin +0.1149sin 2 -0.1712sin3 0.758cos +0.3656cos2 +0.0201cos3 （N-N 0） 其中： = 365.2422 ( N 为天数，自 1月日起，） 1 （ N 0 =796764+0.2422 （年份-1985）-int( （年份-1985）4 ))
21）的距离平方和为
从集合意义上讲，就是寻求与给定点 xi , yi （i=1,2,
最小的曲线 y p x ，函数 p x 称为拟合函数或最小二乘解，求拟合函数 p x 的 方法称为曲线拟合的最小二乘法。
根据附件 1 影子的坐标，根据勾股定理易得影子的长度在一个小时的变化 1.149625826 1.353364049 1.579853316 1.835014272 1.182198976 1.215296955 1.249051052 1.28319534 1.317993149 1.389387091 1.426152856 1.463399853 1.501481622 1.540231817 1.620144515 1.661270613 1.703290633 1.74620591 1.790050915 1.880875001 1.927918447
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3.3 纬度模型的建立 因为不同的节气，太阳的高 度变化规律不同，且一天中由于 黄赤交角的存在，太阳直射点的 南北移动， 引起太阳高度的变化。 从题目二中得知拍摄的时间为 2015 年 4 月 18 日，故可确定太 阳是直射北半球的。再根据太阳 高度角概念经纬度的变化规律估 算出拍摄地点的经度与纬度值如 表（四），从而确定所处的位置。
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d；日 H；高度角 delta；弧度 k：天数
Ⅲ 模型的建立与求解
3.1、模型一的建立：基于给定参数的几何模型 本题需要求解的是影子长度关于各个参数的变化规律。 分析题目可知影响影 子长度的因素有：杆子所处的位置和太阳的相对位置、杆子的长度等。太阳高度 角 h、 太阳赤纬 和太阳时角 t 是表示太阳和杆子相对位置的参数， 计算公式为：
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表（四） 附件 东经 （度） 北纬 （度） 地点 时间 附件 1 108.6000 19.3000 海南 2015 年 4 月 18 日 附件 2 76 33 新疆喀什 2015 年 3 月 19 日 附件 3 109 46 内蒙古 2015 年 3 月 18 日
变化规律： 1 纬度变化规律：由于太阳直射点所在经纬度向南北两侧递减。可推知与 太阳直射点的纬度相差一度，正午太阳高度角就减小一度。 2 季节变化规律：太阳直射点移来时渐增，移去时渐减（太阳直射点相对 某地所在纬线而言）。 图四为附件 4 视频中不同时间点物体的太阳影子变化图。 根据对问题四的分 析思路，从而得到物体的东经与北纬的数值。
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3.2、影子长度的求解 运用立体几何知识，以直杆底端为中心点作为原点建立平面直角坐标系，将 附件 1、附件 2 和附件 3 中影子顶点的坐标数据描于坐标系中，运用三角形的勾 股定理得到不同坐标下影子的长度值 ai xi yi ， 分别制成表 （一） 、 表 （二） 、 表（三）。
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针对问题三： 因为只知道直杆在水平地面上的太阳影子顶点坐标数据，却不知拍摄的日 期，所以需要先计算出对应的影子长度如表（二）和表（三），然后根据影子长 度的变化规律，随着一天中时间的推移，影子的长度越来越短，推算出是平年， 再采用 matlab 中的循环语句得出拍摄的日期。最后重复题二的解题步骤得出拍 摄的地点。 得出的结果为： 1 附件 2 中直杆的地理位置为 76，北纬 33，地处新疆喀什，时间为 2015 年 3 月 19 日。 2 附件 3 中直杆的地理位置为 109，北纬 46，地处内蒙古，时间为 2015 年 3 月 18 日。 针对问题四：视频帧拟合技术 从视频中， 我们可以大概观察到影子的长度变化越来越慢，这与我们的生活 常识相一致，我们的观察能力是有限度的，这需要我们借助计算机分析，从而的 到更多的数据。我们利用 MATLAB 软件，在一定的时间隔内在视频里面抽取视频 画面， 获取自然图像序列或者视频帧,并且对每一帧图像检测出影子的 轨迹点； 然后确定多个灭点,并拟合出地平线； 拟合互相垂直的灭点,计算出仿射纠正和投 影纠正矩阵； 进而还原出经过度量纠正的世界坐标；再拟合出经过度量纠正世界 坐标中的影子点的轨迹,并且参考日晷设计,利用相似关系估计出纬度； 利用二次 曲线的极值点计算时差,从而有效地恢复出所拍摄图像的经纬度信息。本发明复 杂度较低,精度较高,是一种利用自然图像序列或视频帧实现经纬度估计的方法, 能够根据未经过校准的影子的位置,得出所拍摄图像的经纬度信息。
分析这 21 组数据， 我们断定拍摄地点在北半球，我们采用 MATLAB 经纬度自动搜 索经度从 0 开始步长为 1 到 180 为止纬度，纬度从 0 到 90 搜索，将每一组得到 的影长数据与给定的数据进行拟合，数据相关程度越高，就与拍摄地点越接近。 然后缩小范围，得出准确的经纬度坐标。
Ⅳ 误差分析及模型评价与改进
Ⅱ 模型的假设与符号的说明
2.1 模型的假设 假设 1：假设地球的公转对直杆影子的变化不产生影响。 假设 2：假设空气中二氧化碳，水蒸气等各种因素对太阳光进入大气层时发生折 射的影响忽略不计。 假设 3：不考虑地壳板块运动对拍摄影子顶点坐标的影响。 假设 4：忽略不计人工测量时，数据采集近似认为是无穷小。 假设 5：假设测量期间天气状况平稳，对测量的结构影响甚小。 2.2 符号说明 i；经度 j；纬度 A；太阳方位角 a；杆子的影子长度 std；方差 N；从一月一号算起的天数 y；年 m；月
3.4 最小二乘法的曲线拟合 数据拟合的具体做法是：对给定数据 xi , yi （i=1,2, 类 中，求 ri p xi yi ，使误差（i=1,2,
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21）,在取定的函数
21）的平方和最小，即
ri
i 1
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pxi yi
i 1
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摘要：正由于太阳光线的照射,物体会形成一个影子,影子的朝向、长短等会随 着地球的自转运动位置的不同,而时刻发生变化。面对以此作为载体，通过太阳 影子的定位技术，分析视频中物体的太阳影子变化规律，从而确定视频的拍摄 地点和日期。 问题一：影子长度模型的建立。本论文运用了太阳高度角、太阳赤纬和太阳时角 公式，再结合麦克劳林公式，分析影子长度关于各个参数的变化规律，建立影子 长度变化的数学模型。 当时间为 2015 年 10 月 22 日北京时间 9:00—15:00 时，天安门广场 3 米高 的直杆的影子变化曲线则可以根据地点的经纬度值 （北纬 39 度 54 分 26 秒,东经 116 度 23 分 29 秒）和地球的自转速度为 465.18m/s 绘出。 问题二：直杆位置的确定。首先根据影子顶点的坐标数据，参考解析几何三角 形的勾股定理建立数学表达式，通过计算得到对应的影子长度值。得出物体处 于北半球，利用 matlab 求方差公式计算出最小方差值，因此得出参考拍摄位置 的东经与北纬的数值，即东经 108.6000，北纬 19.3000，所以直杆的拍摄地点 为海南。 问题三：思路和问题二基本相似，先利用勾股定理求得影长，但由于不知太阳 照射的日期，从而无法直接对所求数据进行处理，所以结合交比不变性定理算 法原理，采用直线网络模板，使用最小二乘法对数据进行处理，从而估算出附 件 2 与附件 3 所处的地理位置，它们分别为东经 76，北纬 33 和东经 109，北纬 46，所以附件 2 的拍摄地点为新疆喀什，时间为 2015 年 3 月 19 日；附件 3 的 拍摄地点为内蒙古，时间为 2015 年 3 月 18 日。 问题四：根据已知影子顶点的坐标采用 Matlab 软件对图像进行拟合分析和拟合 公式得出影子长度最短所对应的当地时间得出经度。 再次把本题的模型建立转化 成问题二和问题三的模型。 由问题三的纬度模型，把问题四得到影子长度和时间 对应关系转化成附件二中的影子顶点坐标， 最后把得出的坐标应用于纬度模型从 而得到对应的纬度，由以上所求得的经纬度数值，得出视频的拍摄地点与日期。 关键字：太阳运动 定位技术 影子变化规律 太阳时角 麦克劳林公式 勾股定理 最小二乘法 太阳高度角 太阳赤纬 比不变性定理算法原理