专题01 二次函数的定义五种模型全攻略(解析版)

专题01 二次函数的定义五种模型全攻略
【考点导航】
目录
【典型例题】 (1)
【考点一二次函数的识别】 (1)
【考点二二次函数中各项的系数】 (2)
【考点三利用二次函数的定义求参数】 (3)
【考点四已知二次函数上一点，求字母或式子的值】 (5)
【考点五列二次函数的关系式】 (6)
【过关检测】 (8)
【典型例题】
【考点一二次函数的识别】
【变式训练】
1．（2023·浙江·九年级假期作业）以下函数式二次函数的是（）
【考点二 二次函数中各项的系数】
例题：（2023·全国·九年级假期作业）二次函数2
21y x x =--+的二次项系数是（ ）
A ．1
B ．1-
C ．2
D ．2-【答案】B
【分析】根据二次函数的定义“一般地，形如2y ax bx c =++（a 、b 、c 是常数，0a ¹）的函数，叫做二次函数．其中x 、y 是变量，a 、b 、c 是常量，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项”作答即可．
【详解】解：二次函数221y x x =--+的二次项系数是1-．
故选：B ．
【点睛】此题主要考查了二次函数的定义，关键是注意在找二次项系数，一次项系数和常数项时，不要漏掉符号．
【变式训练】1．（2023·浙江·九年级假期作业）二次函数()32-=x x y 的二次项系数与一次项系数的和为（ ）A ．2
B ．2-
C ．1-
D ．4
-【答案】D 【分析】将函数解析式化简，得到各系数，计算即可．
【详解】解：()23622x y x x x --==，∴二次项系数是2，一次项系数是6-，
∴264-=-，
故选：D ．
【点睛】此题考查了二次函数定义，正确理解二次函数的各项的系数是解题的关键．
2．（2022·全国·九年级假期作业）二次函数2(1)y x x =-的二次项系数是________．
【答案】2
【分析】首先把二次函数化为一般形式，再进一步求得二次项系数．
【详解】解：y =2x （x -1）
=2x 2-2x ．
所以二次项系数2．
故答案为：2．
【点睛】本题主要考查了二次函数的定义，一般地，形如y =ax 2+bx +c （a 、b 、c 是常数，a ≠0）的函数，叫做二次函数．其中x 、y 是变量，a 、b 、c 是常量，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项．
【考点三 利用二次函数的定义求参数】
例题：（2023·全国·九年级假期作业）若函数()2231y m x mx =+++是二次函数，则（ ）
A ．2m ³-
B ．2m ¹
C ．2m ¹-
D ．2m =-
【答案】C 【分析】根据二次函数的定义，即可求解．
【详解】解：根据题意得20m +¹，
解得2m ¹-，
故选：C ．
【点睛】本题主要考查了二次函数的定义，熟练掌握形如2y ax bx c =++（a ，b ，c 是常数，0a ¹）的函数，叫做二次函数是解题的关键．
【变式训练】
【点睛】本题考查了二次函数的定义，解题关键是掌握二次函数的定义条件：二次函数2y ax bx c =++的定义条件是：a 、b 、c 为常数，0a ¹，自变量最高次数为2．
【考点四 已知二次函数上一点，求字母或式子的值】例题：（2022秋·浙江温州·九年级校考阶段练习）若抛物线223y ax x =-+经过点(1,2)P ，则a 的值为（ ）A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
【答案】B
【分析】将点P 代入函数表达式中，解方程可得a 值．
【详解】解：将(1,2)P 代入223y ax x =-+中，得：
22=121+3a -´´，解得：=1a ，
故选B ．
【点睛】本题考查了二次函数图象上的点，熟知二次函数图像上的点的坐标满足函数表达式是解题的关键．
【变式训练】1．（2022秋·天津西青·九年级校考阶段练习）抛物线23y ax bx =+-过点（2，4），则代数式84a b +的值为（ ）
A ．14
B ．2
C ．－2
D ．－14
【答案】A
【分析】将点（2，4）的坐标代入抛物线y=ax 2+bx -3关系式，再整体扩大2倍，即可求出代数式的值．
【详解】解：将点（2，4）代入抛物线y=ax 2+bx -3得
4a +2b -3=4，
整理得8a +4b =14.
故选：A ．
【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，熟悉整体思想是解题的关键．
2．（2022秋·山东泰安·九年级统考阶段练习）若抛物线2y x bx c =-++经过点()2,3-，则247c b --的值是（ ）
A ．6
B ．7
C ．8
D ．20【答案】B
【分析】先把点()2,3-代入解析式，得到2=7c b -，然后化简247=2c b --（c-4b ）-7，整体代入即可得到答案.
【详解】解：把点()2,3-代入2y x bx c =-++，
得：2=7c b -，
∵247=2
c b --（c-2b ）-7277=7=´-；
故选择：B .
【点睛】本题考查了一元二次方程，解题的关键是灵活运用整体代入法解题.
【考点五 列二次函数的关系式】
【变式训练】
1．（2022秋·九年级单元测试）一台机器原价为50万元，如果每年的折旧率是()0x x >，两年后这台机器的价格为y 万元，则y 与x 之间的函数关系式为_____．
【答案】()2
501y x =-【分析】根据题意列出函数解析式即可．
【详解】解：∵一台机器原价为50万元，每年的折旧率是()0x x >，两年后这台机器的价格为y 万元，∴y 与x 之间的函数关系式为()2
501y x =-．故答案为：()2
501y x =-．
【点睛】本题主要考查了列二次函数关系式，解题的关键是理解题意，掌握两年后价格=原价()21x ´-．2．（2023·浙江·九年级假期作业）某市化工材料经销公司购进一种化工原料若干千克，价格为每千克30
元．物价部门规定其销售单价不高于每千克70元，不低于每千克30元．经市场调查发现：日销售量y （千克）是销售单价x （元）的一次函数，且当60x =时，8050y x ==；时，100y =．在销售过程中，每天还要支付其它费用450元．
(1)求y 与x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围．
(2)求该公司销售该原料日获利润w （元）与销售单价x （元）之间的函数关系式．
【答案】(1)2200y x =-+(3070x ££)；
(2)222606450w x x =-+-(3070x ££)
【分析】（1）根据y 与x 写成一次函数解析式，设为y kx b =+，把x 与y 的两对值代入求出k 与b 的值，即可确定出y 与x 的解析式，并求出x 的范围即可；
（2）根据利润=单价´销售量列出w 关于x 的二次函数解析式即可．
【详解】（1）设y 与x 的函数关系式为
y kx b =+．60x =Q 时，80y =，
50x =时，100y =，
608050100
k b k b +=ì\í+=î，解得2200k b =-ìí=î
，2200y x \=-+，
根据部门规定，得3070x ££．
（2）22(30)450(30)(2200)450
307022606000450
22606450w x y x x x x x x x =--=--+-=-+--=-£-£+（）
【点睛】本题考查了二次函数的应用，待定系数法求一次函数解析式，以及二次函数的性质，熟练掌握二次函数性质是解本题的关键．
【过关检测】
一、选择题
二、填空题
6．（2023秋·江西宜春·九年级统考期末）二次函数2=23y x x --中，当=1x -时，y 的值是________．
【答案】0
【分析】把=1x -代入2=23y x x --计算即可．
【详解】解：当=1x -时，2=23=123=0y x x ---+，
故答案为：0．
【点睛】本题考查了求二次函数的值，解题的关键是把=1x -代入2=23y x x --计算．
7．（2022春·全国·九年级专题练习）把y ＝（2－3x ）（6＋x ）变成y ＝ax ²＋bx ＋c 的形式，二次项为____，一次项系数为______，常数项为______．
【答案】
23x - －16 12【解析】略
8．（2023秋·河南洛阳·九年级统考期末）已知函数||1(1)45m y m x x +=++-是关于x 的二次函数，则一次函
；
【答案】二次函数关系
【分析】根据矩形面积公式求出y 与x 之间的函数关系式即可得到答案．
【详解】解：由题意得()()2302050600y x x x x =++=++，
∴y 与x 之间的函数关系是二次函数关系，
故答案为；二次函数关系．
【点睛】本题主要考查了列函数关系式和二次函数的定义，正确列出y 与x 之间的函数关系式是解题的关键．
三、解答题。