2024届山西省长治市第二中学 数学高一下期末监测试题含解析

2024届山西省长治市第二中学 数学高一下期末监测试题
请考生注意：
1．请用2B 铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。

写在试题卷、草稿纸上均无效。

2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．已知P ,A ,B ,C 是球O 球面上的四个点，PA ⊥平面
ABC ,26PA BC ==,090BAC ∠=，则该球的表面积为（ ）
A ．48π
B ．45π
C ．35π
D ．25π
2．同时掷两枚骰子，所得点数之和为5的概率为( ) A ．
14
B ．
16
C ．
19
D ．
112
3．设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和,若1353a a a ++=,则5S = A ．5
B ．7
C ．9
D ．11
4．若tan <0α, cos <0α,则α的终边所在的象限为( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限
5． 数列{a n }的通项公式是
a n ＝(n ＋2)910n
⎛⎫
⎪
⎝⎭
，那么在此数
列中( )
A ．a 7＝a 8最大
B ．a 8＝a 9最大
C ．有唯一项
a 8最大 D ．有唯一项
a 7最大
6．角α的终边经过点221⎛⎫
- ⎪ ⎪⎝⎭
，那么tan α的值为（ ）
A ．
1
2
B ．
C ．3
-
D ．7．已知a b >，则下列不等式成立的是( ) A ．22a b >
B ．
11a b
> C ．22ac bc >
D ．
22a b c c
> 8．设向量a 12=-（，）
，b m 1,,m =+-（）且a b ⊥，则实数的值为（） A ．2-
B ．2
C ．
1
3
D ．13
-
9．若过点()2,M m -，(),4N m 的直线与直线50x y -+=平行，则m 的值为（ ） A ．1
B ．4
C ．1或3
D ．1或4
10．设等差数列的前项和为，若，，则中最大的是( ).
A ．
B ．
C ．
D ．
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

11．函数()sin()0,0,2f x A x A πωϕωϕ⎛
⎫
=+>>< ⎪⎝
⎭
的部分图象如图所示，则函数()f x 的解析式为______.
12．把数列{}n a 的各项排成如图所示三角形状，记(,)A m n 表示第m 行、第n 个数的位置，则120a 在图中的位置可记为____________．
13．如图，将一个长方体用过相邻三条棱的中点的平面截出一个棱锥，则该棱锥的体积与剩下的几何体体积的比为________.
14．设变量x y ，满足条件110x y x y x +≤⎧⎪
-≤⎨⎪≥⎩
，则2z x y =-的最小值为___________
15．已知向量()4,2a =，(),1b λ=，若2a b +与a b -的夹角是锐角，则实数λ的取值范围为______．
16．已知数列{}n a 满足:*
434121,0,,N n n n n a a a a n --===∈,则2014a =___________.
三、解答题：本大题共5小题，共70分。

解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．已知0,
2πα⎛⎫
∈ ⎪⎝
⎭,4
cos 5
α=. (1)求sin 2α的值; (2)求sin 4πα⎛
⎫
+
⎪⎝
⎭
的值. 18．甲、乙两台机床同时加工直径为10cm 的零件，为了检验零件的质量，从零件中各随机抽取6件测量，测得数据如下（单位：mm ）： 甲：99，100，98，100，100，103； 乙：99，100，102，99，100，100.
（1）分别计算上述两组数据的平均数和方差
（2）根据（1）的计算结果，说明哪一台机床加工的零件更符合要求.
19．已知()cos ,sin a αα=，()cos ,sin b ββ=-，α，β均为锐角，且10
5
a b -=. （1）求()cos αβ+的值； （2）若3
cos 5
α=
，求cos β的值. 20．在ABC 中，内角A 、B 、C 所对的边分别为a ，b ，
c ，已知sin cos()6
b A a B π
=-． （Ⅰ）求角B 的大小； （Ⅱ）设2a =，3c =，求b ． 21．已知函数
当时，求函数
的定义域；
若存在
使关于的方程
有四个不同的实根，求实数的取值范围.
参考答案
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的 1、B 【解题分析】
根据截面法，作出球心O 与Rt ABC ∆外接圆圆心所在截面，利用平行四边形和勾股定理可求得球半径，从而得到结果. 【题目详解】
如图，Rt ABC ∆的外接圆圆心E 为BC 的中点，设球心为O ，连接OE ，OP ，OA ，D 为PA 的中点，连接OD .
根据直角三角形的性质可得3
2
AE =
，且OE ⊥平面ABC ，则OE //PA ，由OAP ∆为等腰三角形可得OD PA ⊥，又PA AE ⊥，所以OD //AE ，则四边形ODAE 是矩形，所以OD =32
AE =
，而1
=32PD PA =，Rt PDO ∆中，根据勾股定理可得
22245
4
R OD PD =+=，所以该球的表面积为2445S R ππ==.
所以本题答案为B. 【题目点拨】
本题考查求三棱锥外接球的表面积问题，几何体的外接球、内切球问题，关键是球心位置的确定，必要时需把球的半径放置在可解的几何图形中，如果球心的位置不易确定，则可以把该几何体补成规则的几何体，便于球心位置和球的半径的确定. 2、C 【解题分析】
求出基本事件空间，找到符合条件的基本事件，可求概率. 【题目详解】
同时掷两枚骰子,所有可能出现的结果有：
(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6) (3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6)(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6),(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)
共有36种，点数之和为5的基本事件有：(1,4),(2,3),(3,2),(4,1)共4种；
所以所求概率为41
369
P ==.故选C. 【题目点拨】
本题主要考查古典概率的求解，侧重考查数学建模的核心素养. 3、A 【解题分析】
1353333,1a a a a a ++===，5153355
()25522
S a a a a =
+=⨯==，选A. 4、B
【解题分析】由一全正二正弦三正切四余弦可得α的终边所在的象限为第二象限，故选B.
考点：三角函数 5、A 【解题分析】
n a =(n+2)⎛⎫
⎪⎝⎭
n 910，()119310n n a n ++⎛⎫=+ ⎪⎝⎭
所以1310
29
n n a n a n ++=⨯+， 令
1
1n n
a a +≥，解得n ≤7， 即n ≤7时递增，n ＞7递减，所以a 1＜a 2＜a 3＜…＜a 7＝a 8＞a 9＞…. 所以a 7＝a 8最大． 本题选择A 选项.
6、C 【解题分析】
tan
3y x α=
==-
，故选C 。

7、D
【解题分析】
依次判断每个选项得出答案. 【题目详解】
A. 22a b >，取0,1a b ==-，不满足，排除
B.
11
a b
>，取2,1a b == ，不满足，排除 C. 22ac bc >，当0c 时，不满足，排除
D.
22a b c c
>，不等式两边同时除以不为0的正数，成立 故答案选D 【题目点拨】
本题考查了不等式的性质，意在考查学生的基础知识. 8、D 【解题分析】
根据向量垂直时数量积为0，列方程求出m 的值． 【题目详解】
向量()12a =-，，b =（m +1，﹣m ），
当a ⊥b 时，a •b =0， 即﹣（m +1）﹣2m ＝0， 解得m 1
3
=-． 故选D ． 【题目点拨】
本题考查了平面向量的数量积的坐标运算，考查了向量垂直的条件转化，是基础题． 9、A 【解题分析】
首先设一条与已知直线平行的直线1l ，点()2,M m -，(),4N m 代入直线1l 方程即可求出m 的值. 【题目详解】
设与直线50x y -+=平行的直线1l ：0x y c -+=， 点()2,M m -，(),4N m 代入直线1l 方程，
有20
140m c m m c --+=⎧⇒=⎨
-+=⎩
. 故选：A. 【题目点拨】
本题考查了利用直线的平行关系求参数，属于基础题.
注意直线10Ax By C ++=与直线20Ax By C ++=在12C C ≠时相互平行. 10、C 【解题分析】
分析：利用等差数列的通项公式，化简求得，进而得到
，即
可作出判定． 详解：在等差数列中，，
则，整理得
，即
，
所以， 又由
，所以
，所以前项和中最大是
，故选C ．
点睛：本题考查了等差数列的通项公式，及等差数列的前项和的性质，其中解答中根据等差数列的通项公式，化简求得
，进而得到
是解答的关
键，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力．
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

11、()sin 23f x x π⎛⎫
=+ ⎪⎝
⎭
【解题分析】
根据三角函数图象依次求得,,A ωϕ的值. 【题目详解】
由图象可知1A =，2,23622
T T πππππ⎛⎫=--=== ⎪⎝⎭，所以2ω=，故()()sin 2f x x ϕ=+，将点,06π⎛⎫
-
⎪⎝⎭
代入上式得sin 03πϕ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，因为||2ϕπ<，所
以3π
ϕ=.故()sin 23f x x π⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭.
故答案为：()sin 23f x x π⎛⎫
=+ ⎪⎝
⎭
【题目点拨】
本小题主要考查根据三角函数的图象求三角函数的解析式，属于基础题.
12、(11)20，
【解题分析】
利用第m 行共有21m -个数，前m 行共有2m 个数，得120a 的位置即可求解 【题目详解】
因为第m 行共有21m -个数，前m 行共有
()
21212
m m m +-=个数，所以120a 应该在第
11行倒数第二个数，所以120a 的位置为(11)20，. 故答案为：(11)20，
【题目点拨】
本题考查等差数列的通项和求和公式，发现每行个数成等差是关键，是基础题 13、1:47 【解题分析】
求出长方体体积与三棱锥的体积后即可得到棱锥的体积与剩下的几何体体积之比. 【题目详解】
设长方体长宽高分别为2a ，2b ，2c ， 所以长方体体积12228V a b c abc =⨯⨯=， 三棱锥体积2111
326
V a b c abc =
⨯⨯⨯⨯=， 所以棱锥的体积与剩下的几何体体积的之比为：
21211614786abc
V V V abc
==-⎛⎫- ⎪⎝
⎭.
故答案为：1:47. 【题目点拨】
本题主要考查了长方体体积公式，三棱锥体积公式，属于基础题.
14、-1 【解题分析】
根据线性规划的基本方法求解即可. 【题目详解】 画出可行域有：
因为22z x y y x z =-⇒=-.根据当直线2y x z =-纵截距最大时, 2z x y =-取得最小值.由图易得在()0,1A 处取得最小值1-. 故答案为：1- 【题目点拨】
本题主要考查了线性规划的基本运用,属于基础题. 15、()(111,22,111+
【解题分析】
先求出2a b +与a b -的坐标，再根据2a b +与a b -夹角是锐角，则它们的数量积为正值，且它们不共线，求出实数λ的取值范围，． 【题目详解】
向量(4,2)a =，(,1)b λ=，∴2(42,4)a b λ+=+，(4,1)a b λ-=-， 若2a b +与a b -的夹角是锐角，则2a b +与a b -不共线，且它们乘积为正值， 即
424
41
λλ+≠-，且()()
2(42,4)(4,1)a b a b λλ+⋅-=+⋅-220420λλ=+->， 求得111111λ<<2λ≠． 【题目点拨】
本题主要考查利用向量的数量积解决向量夹角有关的问题，以及数量积的坐标表示，向量平行的条件等．条件的等价转化是解题的关键． 16、0 【解题分析】
先由条件2n n a a =得20141007a a =，然后1007425210a a ⨯-== 【题目详解】
因为*2,N n n a a n =∈
所以20141007a a =
因为100742521=⨯-，且410n a -= 所以10070a =，即20140a = 故答案为：0 【题目点拨】
本题考查的是数列的基础知识，较简单.
三、解答题：本大题共5小题，共70分。

解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、 (1)
2425;(2)10
. 【解题分析】 （1）由4
0,
,cos 25
παα⎛⎫
∈= ⎪⎝
⎭，算得sin α，接着利用二倍角公式，即可得到本题答案；（2）利用和角公式展开，再代入sin ,cos αα的值，即可得到本题答案. 【题目详解】
(1)因为0,
2πα⎛⎫
∈ ⎪⎝
⎭
,4cos 5α=
,所以3sin 5α==. 所以24
sin 22sin cos 25
ααα==；
(2)sin 4πααα⎛⎫
+
== ⎪
⎝
⎭. 【题目点拨】
本题主要考查利用同角三角函数的基本关系，和差公式以及二倍角公式求值，属基础题. 18、（1）见解析；（2）乙机床加工的零件更符合要求.
【解题分析】
(1)直接由平均数和方差的计算公式代入数据进行计算即可. (2)由平均数和方差各自说明数据的特征，做出判断. 【题目详解】 （1）9910098100100103
1006
x +++++=
=甲，
9910010299100100
1006
x +++++=
=乙，
2222222
17(99100)(100100)(98100)(100100)(100100)(103100)63s ⎡⎤=-+-+-+-+-+-=⎣
⎦甲，
22222221(99100)(100100)(102100)(99100)(100100)(100100)16
s ⎡⎤=-+-+-+-+-+-=⎣⎦乙.
（2）因为x x =甲乙，22
s s >甲乙，
说明甲、乙机床加工的零件的直径长度的平均值相同. 且甲机床加工的零件的直径长度波动比较大， 因此乙机床加工的零件更符合要求. 【题目点拨】
本题考查计算数据的平均数和方差以及根据数据的平均数和方差做出相应的判断，属于基础题. 19、（1）
4
5；（2）
2425
【解题分析】
(1)计算表达出a b -,再根据10
5
a b -=
,两边平方求化简即可求得()cos αβ+. (2)根据()cos cos βαβα=+-⎡⎤⎣⎦,再利用余弦的差角公式展开后分别计算
()sin ,sin αβα+求解即可.
【题目详解】
（1）由题意,得()cos cos ,sin sin a b a βαβ-=-+,
105
a b -=,
==()222cos 5αβ∴-+=
,()4cos 5
αβ∴+=. （2）()4
cos 05
αβ+=
>,α,β均为锐角,αβ∴+仍为锐
角,()3sin 5αβ+==
3
cos 5
α=,4sin 5α∴==,
()()433424
cos cos cos()cos sin sin 555525
βαβααβααβα∴=+-=+++=⨯+⨯=⎡⎤⎣⎦.
【题目点拨】
本题主要考查了根据向量的数量积列出关于三角函数的等式,再利用三角函数中的和差角以及凑角求解的方法.属于中档题.
20、（Ⅰ）
3
π
；（Ⅱ）b =. 【解题分析】
（Ⅰ） 在△ABC 中，利用正弦定理及其6bsinA acos B π⎛⎫
=-
⎪⎝
⎭
．可得6sinB cos B π⎛
⎫=- ⎪⎝
⎭，利用和差公式化简整理可得B ．
（Ⅱ）在△ABC 中，利用余弦定理即可得出b ． 【题目详解】
（Ⅰ） 在△ABC 中，由正弦定理a b
sinA sinB
=， 又6bsinA acos B π⎛⎫
=-
⎪⎝
⎭
． 可得6sinB cos B π⎛
⎫=- ⎪⎝
⎭，
∴sin B =B 12+sin B ，
则tanB =
又∵B ∈（0，π），可得3
B π
=
．
（Ⅱ） 在△ABC 中，由余弦定理及a ＝2，c ＝3，3
B π
=，
∴b 2＝a 2+c 2﹣2ac cos B ＝4+9﹣2×2×3×cos 3
π
=7，
解得7b =
．
【题目点拨】
本题考查了正弦定理、余弦定理、和差公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 21、（1）见解析；（2）.
【解题分析】
（1）将问题转化为解不等式
，即
，然后就与的大小进行分类讨论，求出该不等式的解，即可得出函数的定义域；
（2），将问题转化为：关于的方程
有两个不同的
正根，得出，两根之和为正、两根之积为正，列出不等式组可解出实数的取值范
围.
【题目详解】 （1）由题意，，即，
解方程，得
，
.
①当
时，即当
时，解不等式
，得
或，
此时，函数的定义域为； ②当
时，即当
时，解不等式，得
，
此时，函数的定义域为； ③当
时，即当
时，解不等式，解得或，
此时，函数的定义域为；
（2）令，
则关于的方程有四个不同的实根可化为， 即
有两个不同的正根，则
，
解得.
【题目点拨】
本题考查含参不等式的求解，考查函数的零点个数问题，在求解含参不等式时，找出分类讨论的基本依据，在求解二次函数的零点问题时，应结合图形找出等价条件，通过列不等式组来求解，考查分类讨论数学思想以及转化与化归数学思想，属于中等题。