高中数学1.3导数在研究函数中的应用专项测试同步训练

高中数学1.3导数在研究函数中的应用专项测试同步训
练 2020.03
1,已知中心在原点，对称轴为坐标轴的双曲线的一条渐近线为x y 34=
，
则该双曲线的离心率为
2,将一颗骰子先后抛掷两次，观察向上的点数，则两次观察到的点数之
和为数字 的概率是61
3,下面给出的伪代码运行结果是 ．
4,抛物线x y 42
=的焦点坐标是
5,要从容量为1003的总体中抽取一个容量是50的样本，先从1003个个体中随机抽出3个并将其剔除，然后在剩余的1000个个体中采用系统抽样的方法抽出50个个体组成一个样本，那么每个个体被抽到的概率为 ．
6,椭圆C ：
122
22=+b y a x )0(>>b a 的一个焦点)0,2(1-F ，右准线方程8=x ． （１）求椭圆C 的方程；（２）若M 为右准线上一点，A 为椭圆C 的左顶
点，连结AM 交椭圆于点P ，求AP PM
的取值范围；（３）圆
1)(22=-+t y x 上
任一点为D ，曲线C 上任一点为E ，如果线段DE 长的最大值为152+，求t 的值．
7,给出下列命题：
①若0)(0='x f ，则函数)(x f 在0x x =处有极值；
②0>m 是方程1
42
2=+y m x 表示椭圆的充要条件；
③若x
e x x
f )8()(2-=，则)(x f 的单调递减区间为)2,4(-；
④)1,1(A 是椭圆1
342
2=+y x 内一定点，F 是椭圆的右焦点，则椭圆上存在
点P ，使得PF PA 2+的最小值为3．
其中为真命题的序号是
8,航天飞机发射后的一段时间内，第t 秒时的高度
50452010)(23+++=t t t t h ，其中h 的单位为米，则第1秒末航天飞机的瞬时
速度是 米／秒．
9,若直线kx y =是x y ln =的切线，则=k
10,设命题p ：曲线
ax ax x y 222
3+-=上任一点处的切线的倾斜角都是锐角；命题q ：直线a x y +=与曲线
22
+-=x x y 有两个公共点；若命题p 和命题q 中有且只有一个是真命题，求实数a 的取值范围．
11,已知样本方差是由公式()2
12
1
2
5121∑=-=k k x s 求得，则=+++1221x x x Λ
12,为了了解某中学高二女生的身高情况，该校对高二女生的身高进行了一次随机抽样测量，所得数据整理后列出了频率分布表如下：（单位：
cm ）
（１）表中m 、n 、M 、N 所表示的数分别是多少？ （２）绘制频率分布直方图；
（３）估计该校女生身高小于162.5cm 的百分比．
13,如图，已知正方形ABCD 和矩形ACEF 所在平面互相垂直， 2=AB ，
1=AF ，M 是线段EF 的中点．
（1）求证：AM ⊥平面BDF; （2）求二面角B DF A --的大小；
（3）试在线段AC 上确定一点P ，使得PF 与CD 所成的角是ο
60．
14,函数tx x x x f --=cos sin )(在⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0π上单调递增，则实数t 的取值范围
是 ．
15,已知函数)(x f 的导函数
13)(2-='x x f ，且2)1(=f ，则)(x f 的解析式为
答案
1, 35或45
2, 7 3, 26 4, )0,1(
5, 100350
6, 解：（１）由题意得，2=c ，82
=c a 得，
12,162
2==b a ， ∴所求椭圆方程为112162
2=+y x ．
（２）设P 点横坐标为0x ，则14
12
48000-+=+-=x x x AP PM ，
∵440≤<-x ，∴
2
1
141248000≥-+=+-=x x x AP PM ．
∴AP PM 的取值范围是⎪⎭⎫⎢⎣
⎡+∞,21 （３）设圆的圆心为O ，因圆的半径为１，因此，OE 的最大值为52，
设),(00y x E ，则1
12162020=+y x ，即
)121(162
02
0y x -= 202
020202
023
416)(t ty y y t y x OE +-+-
=-+=2202020416)3(31
16231t t y t ty y +++-=++--
=
∵32320≤≤-y
∴当32332≤-≤-t 时，则t y 30-=时，有524162
max =+=t OE ，得1±=t ，
满足条件；
当323>-t 时，则320=y 时，有5
2416)332(31
22max =+++-=t t OE ，
得，5232±=t ，但均不满足条件，所以无解； 当323-<-t 时，同理可得无解． 所以，1±=t ．
7, ③④ 8, 115
9, e 1
10, 解：若命题p 为真命题，则
02432'>+-=a ax x y 对R x ∈恒成立， ∴0)32(8234)4(2
1<-=⨯⨯-=∆a a a a ，得
23
0<
<a ；
若命题q 为真命题，则方程组
⎩⎨⎧+-=+=22x x y a x y 有两组不同的解，即
0222=-+-a x x 有两个不等根，
∴0)1(4)2(442>-=--=∆a a ，得1>a ； 那么，命题p 为真命题而命题q 为假命题时，即23
0<
<a 且1≤a ，
得，10≤<a ；
命题p 为假命题而命题q 为真命题时，即⎪⎩⎪⎨⎧>≥
≤1230a a a 或，得，
23≥
a ； ∴当命题p 和命题q 中有且只有一个是真命题时，
(]⎪
⎭⎫
⎢⎣⎡+∞∈,231,0Y a ． 11, 60 12, 解：（１）m ＝２，n ＝0.04，M ＝50，N ＝１； （２）
（3）%50
13, 解：（１）如图建立直角坐标系，则D )0,0,2(，B )0,2,0(，F )1,2,2(，
)0,2,2(A ，
)1,22
,22(
M
∴)0,2,2(-=，)1,2,0(=，=
)1,22
,22(--
∴0=⋅，0=⋅AM ∴DB AM ⊥，DF AM ⊥ ∴BDF AM 面⊥
（２）∵AF ⊥AB ，AD ⊥AB ， ∴AB ⊥平面ADF ，
∴)0,0,2(-=AB 为平面ADF 的法向量． 由（1）知为面BDF 的法向量 ∵指向二面角B DF A --的内部 AM 指向二面角B DF A --的外部
∴向量AB 与AM 所成的角的大小即二面角B DF A --的大小
又∵
AM AM AB cos ⋅=
AB 21
2
2)22()2(=⨯-
⨯-=
∴AB 与AM 的夹角为ο
60，即所求二面角B DF A --的大小为ο
60． （３）设)0,,(t t P )20(≤≤t ，则)1,2,2(t t --=，)0,0,2(= 又∵PF 与CD 所成的角为ο
60，
∴
(
)(
)
2
12
1222
)2(2
2
=
⋅+-+-⋅-t t t ，
解之得
22=
t 或22
3=t （舍去），即点P 为AC 的中点．
14, (]1,∞-
15,
2)(3
+-=x x x f。