2016届高考文科数学二轮复习考点练习专题3数列第一讲等差数列与等比数列

第一讲 等差数列与等比数列
1.对等差、等比数列基本量的考查是重点内容，常以选择题或填空题的形式出现.考查运用通项公式、前n 项和公式建立方程组求解，为简单题.
2.对等差、等比数列性质的考查是热点，主要以选择题或填空题的形式出现，具有“新、巧、活”的特点，考查利用性质解决有关的计算问题，为中档题.
3.等差、等比数列的综合问题，多以解答题的形式考查，主要考查考生综合数学知识解决问题的能力，为中档题.
等差数列的概念及通项公式
1.等差数列的定义.
数列{a n }满足a n ＋1－a n ＝d （其中n ∈N *，d 为与n 值无关的常数）⇔{a n }是等差数列.
2.等差数列的通项公式.
若等差数列的首项为a 1，公差为d ，则a n ＝a 1＋（n －1）d ＝a m ＋（n －m ）d （n ，m ∈N *）.
3.等差中项.
若x ，A ，y 成等差数列，则A ＝
x ＋y 2，其中A 为x ，y 的等差中项. 4.等差数列的前n 项和公式.
若等差数列首项为a 1，公差为d ，则其前n 项和S n ＝
n （a 1＋a n ）2＝na 1＋n （n －1）d 2Ｗ. 等比数列的概念及通项公式
1.等比数列的定义.
数列{a n }满足a n ＋1a n
＝q （其中a n ≠0，q 是与n 值无关且不为零的常数，n ∈N *）⇔{a n }为等比数列.
2.等比数列的通项公式.
若等比数列的首项为a 1，公比为q ，则a n ＝a 1·q n －1＝a m ·q n －m （n ，m ∈N *）.
3.等比中项. 若x ，G ，y 成等比数列，则G 2＝xy ，其中G 为x ，y 的等比中项，G 值有两个.
4.等比数列的前n 项和公式.
设等比数列的首项为a 1，公比为q ，则 S n ＝⎩⎪⎨⎪
⎧na 1，q ＝1，a 1（1－q n ）1－q ＝a 1－a n q 1－q ，q ≠1.
判断下面结论是否正确（请在括号中打“√”或“×”）.
（1）若一个数列从第二项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列.（×）
（2）数列{a n}为等差数列的充要条件是对任意n∈N*，都有2a n＋1＝a n＋a n＋2.（√）
（3）数列{a n}为等差数列的充要条件是其通项公式为n的一次函数.（×）
（4）满足a n＋1＝qa n（n∈N*，q为常数）的数列{a n}为等比数列.（×）
（4）G为a，b的等比中项⇔G2＝ab.（×）
（6）1＋b＋b2＋b3＋b4＋b5＝1－b5
1－b
.（×）
1.在等差数列{a n}中，a2＝1，a4＝5，则数列{a n}的前5项和S5＝（B）
A.7
B.15
C.20
D.25
解析：2d＝a4－a2＝5－1＝4⇒d＝2，a1＝a2－d＝1－2＝－1，a5＝a2＋3d＝1＋6＝7，故S5
＝（a1＋a5）×5
2
＝
6×5
2
＝15.
2. （2015·北京卷）设{a n}是等差数列，下列结论中正确的是（C）
A.若a1＋a2＞0，则a2＋a3＞0
B.若a1＋a3＜0，则a1＋a2＜0
C.若0＜a1＜a2，则a2＞a1a3
D.若a1＜0，则（a2－a1）（a2－a3）＞0
解析：设等差数列{a n}的公差为d，若a1＋a2＞0，a2＋a3＝a1＋d＋a2＋d＝（a1＋a2）＋2d，
由于d正负不确定，因而a2＋a3符号不确定，故选项A错；若a1＋a3＜0，a1＋a2＝a1＋a3－d＝（a1＋a3）－d，由于d正负不确定，因而a1＋a2符号不确定，故选项B错；若0＜a1＜a2，可知a1＞0，d＞0，a2＞0，a3＞0，∴a22－a1a3＝（a1＋d）2－a1（a1＋2d）＝d2＞0，∴a2＞a1a3，故选项C正确；若a1＜0，则（a2－a1）（a2－a3）＝d·（－d）＝－d2≤0，故选项D错.
3.（2015·新课标Ⅱ卷）已知等比数列{a n}满足a1＝3，a1＋a3＋a5＝21，则a3＋a5＋a7＝（B）
A.21
B.42
C.63
D.84
解析：∵ a1＝3，a1＋a3＋a5＝21，
∴ 3＋3q2＋3q4＝21.
∴ 1＋q2＋q4＝7.解得q2＝2或q2＝－3（舍去）.
∴a3＋a5＋a7＝q2（a1＋a3＋a5）＝2×21＝42.故选B.
4.等差数列{a n}的公差不为零，首项a1＝1，a2是a1和a5的等比中项，则数列的前10项之和是（B）
A.90
B.100
C.145
D.190
解析：设公差为d，则（1＋d）2＝1·（1＋4d）.
∵d≠0，解得d＝2，∴S10＝100.。