桥西区外国语学校2018-2019学年高三上学期11月月考数学试卷含答案(1)

桥西区外国语学校2018-2019学年高三上学期11月月考数学试卷含答案
一、选择题
1． 已知f （x ）=x 3﹣6x 2+9x ﹣abc ，a ＜b ＜c ，且f （a ）=f （b ）=f （c ）=0．现给出如下结论：①f （0）f （1）＞0；②f （0）f （1）＜0；
③f （0）f （3）＞0；④f （0）f （3）＜0．其中正确结论的序号是（ ）
A ．①③
B ．①④
C ．②③
D ．②④
2． 若双曲线﹣
=1（a ＞0，b ＞0）的渐近线与圆（x ﹣2）2+y 2=2相切，则此双曲线的离心率等于（
）A ．
B ．
C ．
D ．2
3． 过点，的直线的斜率为，则（ ）),2(a M -)4,(a N 21
-=||MN A ． B ．
C ．
D ．10180365
64． 点P 是棱长为1的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的底面A 1B 1C 1
D 1上一点，则
的取值范围是（
）
A ．[﹣1，﹣]
B ．[﹣，﹣]
C ．[﹣1，0]
D ．[﹣，0]
5． 如图，某几何体的正视图（主视图），侧视图（左视图）和俯视图分别是等边三角形，等腰三角形和菱形，则该几何体体积为（
）
A ．
B ．4
C ．
D ．2
6． 已知双曲线
的右焦点为F ，若过点F 且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支
有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是（ ）
A ．（1，2]
B ．（1，2）
C ．[2，+∞）
D ．（2，+∞）
7． 已知的终边过点，则等于（ ）()2,37tan 4πθ⎛⎫
+
⎪⎝⎭
班级_______________ 座号______ 姓名_______________ 分数_______________
___________________________________________________________________________________________________
A ．
B ．
C ．-5
D ．5
1
5
-
1
5
8． 已知A ，B 是以O 为圆心的单位圆上的动点，且||=
，则
•
=（
）
A ．﹣1
B ．1
C ．﹣
D ．
9． 某高二（1）班一次阶段考试数学成绩的茎叶图和频率分布直方图可见部分如图，根据图中的信息，可确定被抽测的人数及分数在内的人数分别为（
）
[]90,100
A ．20，2
B ．24，4
C ．25，2
D ．25，410．5名运动员争夺3项比赛冠军（每项比赛无并列冠军），获得冠军的可能种数为（
）
A ．35
B ．
C ．
D ．53
11．已知某运动物体的位移随时间变化的函数关系为，设物体第n 秒内的位移为a n ，则
数列{a n }是（
）
A ．公差为a 的等差数列
B ．公差为﹣a 的等差数列
C ．公比为a 的等比数列
D ．公比为的等比数列
12．执行如图的程序框图，如果输入的，100N =则输出的（ ）
x =A ． B ． 0.950.98C ．
D ．0.99 1.00
二、填空题
13．如果定义在R 上的函数f （x ），对任意x 1≠x 2都有x 1f （x 1）+x 2f （x 2）＞x 1f （x 2）+x 2（fx 1），则称函数为“H 函数”，给出下列函数①f （x ）=3x+1 ②f （x ）=（）x+1
③f （x ）=x 2+1
④f （x ）=
其中是“H 函数”的有 （填序号）　
14．下列四个命题申是真命题的是 （填所有真命题的序号）①“p ∧q 为真”是“p ∨q 为真”的充分不必要条件；
②空间中一个角的两边和另一个角的两边分别平行，则这两个角相等；③在侧棱长为2，底面边长为3的正三棱锥中，侧棱与底面成30°的角；
④动圆P 过定点A （﹣2，0），且在定圆B ：（x ﹣2）2+y 2=36的内部与其相内切，则动圆圆心P 的轨迹为一个椭圆．　
15．如图是甲、乙两位射击运动员的5次训练成绩（单位：环）的茎叶图，则成绩较为稳定（方差较小）的运动员是 ．
16．已知sin α+cos α=，且＜α＜，则sin α﹣cos α的值为 ．
17．【常熟中学2018届高三10月阶段性抽测（一）】函数的单调递减区间为__________.()2
1ln 2
f x x x =
-18．设，记不超过的最大整数为，令.现有下列四个命题: x R ∈x []x {}[]x x x =-①对任意的，都有恒成立；x 1[]x x x -<≤②若，则方程的实数解为；
(1,3)x ∈{}2
2sin
cos []1x x +=6π-③若（），则数列的前项之和为；
3n n a ⎡⎤
=⎢⎥⎣⎦n N *∈{}n a 3n 23
1
22n n -④当时，函数的零点个数为，函数的0100x ≤≤{}2
2
()sin []sin
1f x x x =+-m {}()[]13
x
g x x x =⋅-
-零点个数为，则.
n 100m n +=其中的真命题有_____________.（写出所有真命题的编号）
【命题意图】本题涉及函数、函数的零点、数列的推导与归纳，同时又是新定义题，应熟悉理解新定义，将问题转化为已知去解决，属于中档题。

三、解答题
19．已知定义域为R 的函数f （x ）=是奇函数．
（Ⅰ）求b 的值；
（Ⅱ）判断函数f （x ）的单调性；
（Ⅲ）若对任意的t ∈R ，不等式f （t 2﹣2t ）+f （2t 2﹣k ）＜0恒成立，求k 的取值范围．　
20．如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，底面ABCD 是正方形，PA ⊥底面ABCD ，且PA=AD ，点F 是棱PD 的中点，点E 为CD 的中点．（1）证明：EF ∥平面PAC ；（2）证明：AF ⊥EF ．
21．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系中，过点的直线的倾斜角为．以坐标原点为极点，轴正半轴为极坐标建立
xOy (1,2)P -l 45o
x 极坐标系，曲线的极坐标方程为,直线和曲线的交点为．
C 2
sin 2cos ρθθ=l C ,A B （1
（222．如图，在底面是矩形的四棱锥P ﹣ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，PA=AB=2，BC=2，E 是PD 的中点．（1）求证：平面PDC ⊥平面PAD ；
（2）求二面角E ﹣AC ﹣D 所成平面角的余弦值．
23．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，AB=2，∠BAD=60°．（Ⅰ）求证：BD⊥平面PAC；
（Ⅱ）若PA=AB，求PB与AC所成角的余弦值；
（Ⅲ）当平面PBC与平面PDC垂直时，求PA的长．
24．已知圆C：（x﹣1）2+y2=9内有一点P（2，2），过点P作直线l交圆C于A，B两点．（1）当l经过圆心C时，求直线l的方程；
（2）当弦AB被点P平分时，求直线l的方程．
桥西区外国语学校2018-2019学年高三上学期11月月考数学试卷含答案（参考答案）一、选择题
1．【答案】C
【解析】解：求导函数可得f′（x）=3x2﹣12x+9=3（x﹣1）（x﹣3），
∵a＜b＜c，且f（a）=f（b）=f（c）=0．
∴a＜1＜b＜3＜c，
设f（x）=（x﹣a）（x﹣b）（x﹣c）=x3﹣（a+b+c）x2+（ab+ac+bc）x﹣abc，
∵f（x）=x3﹣6x2+9x﹣abc，
∴a+b+c=6，ab+ac+bc=9，
∴b+c=6﹣a，
∴bc=9﹣a（6﹣a）＜，
∴a2﹣4a＜0，
∴0＜a＜4，
∴0＜a＜1＜b＜3＜c，
∴f（0）＜0，f（1）＞0，f（3）＜0，
∴f（0）f（1）＜0，f（0）f（3）＞0．
故选：C．
2．【答案】B
【解析】解：由题意可知双曲线的渐近线方程之一为：bx+ay=0，
圆（x﹣2）2+y2=2的圆心（2，0），半径为，
双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的渐近线与圆（x﹣2）2+y2=2相切，
可得：，
可得a2=b2，c=a，
e==．
故选：B．
【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，双曲线的渐近线与圆的位置关系的应用，考查计算能力．　
3．【答案】D
【解析】
考点：1.斜率；2.两点间距离.
4．【答案】D
【解析】解：如图所示：以点D为原点，以DA所在的直线为x轴，以DC所在的直线为y轴，以DD1所在的直线为z轴，
建立空间直角坐标系．
则点A（1，0，0），C1（0，1，1），设点P的坐标为（x，y，z），则由题意可得0≤x≤1，0≤y≤1，z=1．∴=（1﹣x，﹣y，﹣1），=（﹣x，1﹣y，0），
∴=﹣x（1﹣x）﹣y（1﹣y）+0=x2﹣x+y2﹣y=+﹣，
由二次函数的性质可得，当x=y=时，取得最小值为﹣；
故当x=0或1，且y=0或1时，取得最大值为0，
则的取值范围是[﹣，0]，
故选D．
【点评】本题主要考查向量在几何中的应用，两个向量的数量积公式，两个向量坐标形式的运算，属于中档题．
5．【答案】C
【解析】解：由已知中该几何中的三视图中有两个三角形一个菱形可得
这个几何体是一个四棱锥
由图可知，底面两条对角线的长分别为2，2，底面边长为2
故底面棱形的面积为=2
侧棱为2，则棱锥的高h==3
故V==2
故选C
6．【答案】C
【解析】解：已知双曲线的右焦点为F，
若过点F且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，
则该直线的斜率的绝对值小于等于渐近线的斜率，
∴≥，离心率e2=，
∴e≥2，故选C
【点评】本题考查双曲线的性质及其应用，解题时要注意挖掘隐含条件．
7．【答案】B
【解析】
考点：三角恒等变换．
8．【答案】B
【解析】解：由A，B是以O为圆心的单位圆上的动点，且||=，
即有||2+||2=||2，
可得△OAB为等腰直角三角形，
则，的夹角为45°，
即有•=||•||•cos45°=1××=1．
故选：B．
【点评】本题考查向量的数量积的定义，运用勾股定理的逆定理得到向量的夹角是解题的关键．
9．【答案】C
【解析】
考点：茎叶图，频率分布直方图．
10．【答案】D
【解析】解：每一项冠军的情况都有5种，故5名学生争夺三项冠军，获得冠军的可能的种数是53，
故选：D．
【点评】本题主要考查分步计数原理的应用，属于基础题．
11．【答案】A
【解析】解：∵，
∴a n=S（n）﹣s（n﹣1）=
=
∴a n﹣a n﹣1==a
∴数列{a n}是以a为公差的等差数列
故选A
【点评】本题主要考察了数列的递推公式求解数列的通项公式，等差数列的定义的应用，属于数列知识的简单应用
12．【答案】C
【解析】
1111
12233499100
x=+++⋅⋅⋅+
⨯⨯⨯⨯
．
111111199
(1)()((
2233499100100
=-+-+-+⋅⋅⋅+-=
二、填空题
13．【答案】　①④　
【解析】解：∵对于任意给定的不等实数x1，x2，不等式x1f（x1）+x2f（x2）≥x1f（x2）+x2f（x1）恒成立，∴不等式等价为（x1﹣x2）[f（x1）﹣f（x2）]≥0恒成立，
即函数f（x）是定义在R上的不减函数（即无递减区间）；
①f（x）在R递增，符合题意；
②f（x）在R递减，不合题意；
③f（x）在（﹣∞，0）递减，在（0，+∞）递增，不合题意；
④f（x）在R递增，符合题意；
故答案为：①④．
14．【答案】　①③④　
【解析】解：①“p∧q为真”，则p，q同时为真命题，则“p∨q为真”，
当p真q假时，满足p∨q为真，但p∧q为假，则“p∧q为真”是“p∨q为真”的充分不必要条件正确，故①正确；
②空间中一个角的两边和另一个角的两边分别平行，则这两个角相等或互补；故②错误，
③设正三棱锥为P﹣ABC，顶点P在底面的射影为O，则O为△ABC的中心，∠PCO为侧棱与底面所成角
∵正三棱锥的底面边长为3，∴CO=
∵侧棱长为2，∴
在直角△POC中，tan∠PCO=
∴侧棱与底面所成角的正切值为，即侧棱与底面所成角为30°，故③正确，
④如图，设动圆P和定圆B内切于M，则动圆的圆心P到两点，即定点A（﹣2，0）和定圆的圆心B（2，0）的距离之和恰好等于定圆半径，
即|PA|+|PB|=|PM|+|PB|=|BM|=6＞4=|AB|．
∴点P的轨迹是以A、B为焦点的椭圆，
故动圆圆心P的轨迹为一个椭圆，故④正确，
故答案为：①③④
15．【答案】　甲　．
【解析】解：【解法一】甲的平均数是=（87+89+90+91+93）=90，
方差是=[（87﹣90）2+（89﹣90）2+（90﹣90）2+（91﹣90）2+（93﹣90）2]=4；
乙的平均数是=（78+88+89+96+99）=90，
方差是=[（78﹣90）2+（88﹣90）2+（89﹣90）2+（96﹣90）2+（99﹣90）2]=53.2；∵＜，∴成绩较为稳定的是甲．
【解法二】根据茎叶图中的数据知，
甲的5个数据分布在87～93之间，分布相对集中些，方差小些；
乙的5个数据分布在78～99之间，分布相对分散些，方差大些；
所以甲的成绩相对稳定些．
故答案为：甲．
【点评】本题考查了平均数与方差的计算与应用问题，是基础题目．
16．【答案】 ．
【解析】解：∵sinα+cosα=，＜α＜，
∴sin2α+2sinαcosα+cos2α=，
∴2sinαcosα=﹣1=，
且sinα＞cosα，
∴sinα﹣cosα=
==．
故答案为：．
0,1
17．【答案】()
【解析】
18．【答案】①③
【解析】对于①，由高斯函数的定义，显然，①是真命题；对于②，由得，1[]x x x -<≤{}2
2sin cos []1x x +=，即.当 时，，，此时{}22sin 1cos []x x =-{}22sin sin []x x =12x <<011x <-<0sin(1)sin1x <-<化为，方程无解；当 时，，，{}22sin sin []x x =22sin (1)sin 1x -=23x ≤<021x ≤-<0sin(2)sin1x ≤-<此时化为，所以或，即或，所以原方
{}22sin sin []x x =sin(2)sin 2x -=22x -=22x π-+=4x =x π=程无解.故②是假命题；对于③，∵（），∴，，，3n n a ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦n N *∈1103a ⎡⎤==⎢⎥⎣⎦2203a ⎡⎤==⎢⎥⎣⎦3313a ⎡⎤==⎢⎥⎣⎦
，…，，，所以数列的前项之和4413a ⎡⎤==⎢⎥⎣⎦31311[]133n n a n n --⎡⎤==-=-⎢⎥⎣⎦33[]3n n a n n ⎡⎤===⎢⎥⎣⎦
{}n a 3n 为，故③是真命题；对于④，由3[12(1)]n n +++-+=L 23122
n n -
三、解答题
19．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）因为f（x）是奇函数，所以f（0）=0，
即⇒b=1，
∴．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，
设x1＜x2则f（x1）﹣f（x2）=﹣=
因为函数y=2x在R上是增函数且x1＜x2∴f（x1）﹣f（x2）=＞0
即f（x1）＞f（x2）
∴f（x）在（﹣∞，+∞）上为减函数
（III）f（x）在（﹣∞，+∞）上为减函数，又因为f（x）是奇函数，
所以f（t2﹣2t）+f（2t2﹣k）＜0
等价于f（t2﹣2t）＜﹣f（2t2﹣k）=f（k﹣2t2），
因为f（x）为减函数，由上式可得：t2﹣2t＞k﹣2t2．
即对一切t∈R有：3t2﹣2t﹣k＞0，
从而判别式．
所以k的取值范围是k＜﹣．
【点评】本题主要考查函数奇偶性与单调性的综合应用；同时考查一元二次不等式恒成立问题的解决策略，是一道综合题．
20．【答案】
【解析】（1）证明：如图，
∵点E，F分别为CD，PD的中点，
∴EF∥PC．
∵PC⊂平面PAC，EF⊄平面PAC，
∴EF∥平面PAC．
（2）证明：∵PA⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，
又ABCD是矩形，∴CD⊥AD，
∵PA∩AD=A，∴CD⊥平面PAD．
∵AF⊂平面PAD，∴AF⊥CD．
∵PA=AD ，点F 是PD 的中点，∴AF ⊥PD ．
又CD ∩PD=D ，∴AF ⊥平面PDC ．
∵EF ⊂平面PDC ，
∴AF ⊥EF
．
【点评】本题考查了线面平行的判定，考查了由线面垂直得线线垂直，综合考查了学生的空间想象能力和思维能力，是中档题．
21．【答案】
【解析】（1）∵直线过点，且倾斜角为．
l (1,2)P -45o ∴直线的参数方程为（为参数），l 1cos 452sin 45
x t y t ⎧=+⎪⎨=-+⎪⎩o o t 即直线的参数方程为（为参数）．
l 12x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩t （2）∵，∴，
2sin 2cos ρθθ=2(sin )2cos ρθρθ= ∵，，
cos x ρθ=sin y ρθ=∴曲线的直角坐标方程为，
C 22y x =
∵，∴，
12x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪
⎩2(2)2(1)-+= ∴，∴，
240t -+=124t t =22．【答案】
【解析】解：（1）∵PA ⊥平面ABCD ，CD ⊆平面ABCD ，∴PA ⊥CD
∵AD ⊥CD ，PA 、AD 是平面PAD 内的相交直线，∴CD ⊥平面PAD
∵CD ⊆平面PDC ，
∴平面PDC ⊥平面PAD ；
（2）取AD 中点O ，连接EO ，
∵△PAD 中，EO 是中位线，∴EO ∥PA
∵PA ⊥平面ABCD ，∴EO ⊥平面ABCD ，
∵AC⊆平面ABCD，∴EO⊥AC
过O作OF⊥AC于F，连接EF，则
∵EO、OF是平面OEF内的相交直线，
∴AC⊥平面OEF，所以EF⊥AC
∴∠EFO就是二面角E﹣AC﹣D的平面角
由PA=2，得EO=1，
在Rt△ADC中，设AC边上的高为h，则AD×DC=AC×h，得h=
∵O是AD的中点，∴OF=×=
∵EO=1，∴Rt△EOF中，EF==
∴cos∠EFO==
【点评】本题给出特殊的四棱锥，叫我们证明面面垂直并求二面角的余弦值，着重考查了平面与平面所成角的求法和线面垂直的判定与性质等知识，属于中档题．
23．【答案】
【解析】解：（I）证明：因为四边形ABCD是菱形，所以AC⊥BD，
又因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥BD，PA∩AC=A
所以BD⊥平面PAC
（II）设AC∩BD=O，因为∠BAD=60°，PA=AB=2，
所以BO=1，AO=OC=，
以O为坐标原点，分别以OB，OC为x轴、y轴，以过O且垂直于平面ABCD的直线为z轴，建立空间直角坐标系O﹣xyz，则
P（0，﹣，2），A（0，﹣，0），B（1，0，0），C（0，，0）
所以=（1，，﹣2），
设PB与AC所成的角为θ，则cosθ=|
（III）由（II）知，设，
则
设平面PBC的法向量=（x，y，z）
则=0，
所以令，
平面PBC的法向量所以，
同理平面PDC的法向量，因为平面PBC⊥平面PDC，
所以=0，即﹣6+=0，解得t=，
所以PA=．
【点评】本小题主要考查空间线面关系的垂直关系的判断、异面直线所成的角、用空间向量的方法求解直线的夹角、距离等问题，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力
24．【答案】
【解析】
【分析】（1）求出圆的圆心，代入直线方程，求出直线的斜率，即可求直线l的方程；
（2）当弦AB被点P平分时，求出直线的斜率，即可写出直线l的方程；
【解答】解：（1）已知圆C：（x﹣1）2+y2=9的圆心为C（1，0），因为直线l过点P，C，所以直线l的斜率为2，所以直线l的方程为y=2（x﹣1），即2x﹣y﹣2=0．
（2）当弦AB被点P平分时，l⊥PC，直线l的方程为，即x+2y﹣6=0．。