建立数学模型 - 哈尔滨工业大学
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问题陈述非常清楚，无需再做任何假设
HIT CS&E
建立模型
关键：决定渡河方案，使得任何时候，河两岸的商人都是安全的。
寻找一个决策序列 安全状态： 河的任何一岸处于下列状态S={(3,3), (3,2), (3,1), (u1,v1),(u D 2,v(2,2) 2),…,(u n,v n) (3,0), ,(1,1), (0,0) ， (0,1),(0,2),(0,3)}之一都是安 使得 全的。注意，只有此岸和彼岸都是安全的，整个状 态才是安全的。因此，我们只需要考虑一岸的安全 sk＋1＝ sk＋（－1)k（uk,vk） 状态转移。 满足 s0＝（3,3)而Sn＝(0,0)并且SkS
HIT CS&E
第一章 建立数学模型
骆吉洲 luojizhou@ 计算机科学与工程系
HIT CS&E
主要内容
1.数学模型的概念 2.建立数学模型的方法和步骤 3.数学模型的特点、分类 4.学习数学建模的方法
HIT CS&E
什么是数学模型
• 现实对象与模型 原型 在现实世界里人们关心、研究或从事生产、管理的实际对象。 模型 为特定目的，将原型的一些信息减缩、提炼得到的替代物。
对于现实世界的一个特定对象，为了特定的目的， 根据特有的内在规律，做出适当的简化假设，运 用适当的数学工具，建立的一个数学结构称为该 对象的一个数学模型。建立数学模型的过程称为 数学建模。
HIT CS&E
数学建模的方法和基本步骤
数学建模实例1－椅子的摆放问题
数学建模实例2－商人渡河问题
HIT CS&E
椅子摆放问题
• 问题描述： 现实生活中，椅子在不平的地上往往只 有3条腿着地，放不太稳；但是，只要对 椅子稍微挪动几下，就可以使得椅子的 四腿着地，将它放稳了。
试建立数学模型解释这个现象。
HIT CS&E
合理假设
椅子 椅子是规则的－四条腿一样长，四条腿的连线呈正方形 地面 地面是正常的－地面的高度是连续变化的，不会出现阶 梯形状 椅子与地面的关系
渡河方案： 每一次船从一岸划到另一岸时，船上的人员构成 (u,v),u表示商人的人数，v表示仆人的人数使得 试验题 1: (u,v)D＝｛(u,v)|u0，v0，且2 u+v 1｝。 （ 编程实现上述模型，使得它能求解 n名商人n名仆人 这样的一次决策使得岸上的状态发生转移 的情况，并输出 n=3,n=4 的结果。 (,x’,y’)=(x,y) (u,v) 。这样的一个序列 (u1,v1),…(uk,vk)使得状态由（3,3）安全地变换 成（0,0)，则称它是一个渡河方案。
HIT CS&E
数学建模的目的和意义
传统工业领域 高科技领域 新领域 分析与设计 预报与决策 控制和优化 规划与管理
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模型的特点
逼真性 可行性 渐仅性 强壮性 可转移性 非预制性 条理性 技艺性 局限性
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模型的分类
应用领域:人口、环境、交通… 建模时使用的数学方法：初等、离散、微分、 差分、稳定性… 表现特征：确定与随机、静态与动态、线性与 非线性、离散与连续… 目的：描述、预报、优化、决策、控制… 对模型的了解程度：白箱、恢箱、黑箱模型
必存在使得f()、g()同时为0 综上所述，我们要证明如下结论： f()、g()都是的连续函数，且对于任意， f()*g()=0, g(0)=0,f(0)>0。证明：存在0使得f(0)＝g(0)＝0。
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商人渡河问题
三名商人各带一名仆人过河，河边只有 一条能容纳两名乘客的小船；仆人门密 约，只要河的任何一边的仆人数比商人 数多，他们就杀人越货。如何渡河才能 使得商人门安全渡河。
直观模型 物理模型 思维模型 符号模型
数学模型：由数字、字母以及其他数学符号构成的描述现实对象数量 规律的数学公式、图形或者算法 甲乙两地相距750公里，船从甲到乙顺水需要30小时，从乙到甲逆水 需要50小时，问船和水的速度分别是多少？
( x y) 30 750 ( x y) 50 750
地面是较椅子是相对平坦的－椅子的每一条腿与地面的 接触点是一个几何点，椅子放在地上，任何时候至少有 三条腿同时着地
HIT CS&E
描述各种数量关系－构建模型
B' B A'
椅子位置的描述
椅子绕对称中心旋转的角度表示了 C 椅子的位置
O
A
四腿着地的条件 C' 证明： 将椅子旋转90。时，AC和BD的角色互换。即g(/2)>0, f(/2)=0。 D' 四条腿到地面的距离都为0 D 于是令h()=f()-g() 则 h( ))、 是连续函数，且 、h(/2)>0。 f()=A()＋ A( B()、 C()、h(0)<0 D()有三个为零，则 由连续函数的中值定理，存在 0 (0, /2)使得h(0)＝0。 C()和g()=B()＋D()必有一个为零，而另一个表示 即 f(0)4 ＝ g(0)＝0 了第 条腿离地面的距离，因此， f()、g()同时为0表 示椅子放稳了。 结论的表述
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建立数学模型的一般过程
１、数学建模就是把实际问题数学化。数学模型 就是通过抽象和简化，使用数学语言、数学符号对实 际现象给予推理、论证，从而得出实际问题结论或求 解方法。 ２、建模的基本程序是：
实际问题 问 题 解 决 调查 模型准备 简化 模型假设 量化 数学符号
类 比
Байду номын сангаас
检 索
推理
模型分析 模型求解 运算
模型应用 实际问题的结论
数学模型
HIT CS&E
数学建模的基本方法
机理分析：通过对实际问题或者实际对 象的特性或者机理的认识，找出反映内 在机理的数量关系，建立的数学模型有 实际的意义。
测试分析：将实际对象或者实际问题看 成是“黑箱系统”，对其输入和输出数 据作统计，按照一定的准则找出与这些 数据拟合最好的模型。
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建立模型
关键：决定渡河方案，使得任何时候，河两岸的商人都是安全的。
寻找一个决策序列 安全状态： 河的任何一岸处于下列状态S={(3,3), (3,2), (3,1), (u1,v1),(u D 2,v(2,2) 2),…,(u n,v n) (3,0), ,(1,1), (0,0) ， (0,1),(0,2),(0,3)}之一都是安 使得 全的。注意，只有此岸和彼岸都是安全的，整个状 态才是安全的。因此，我们只需要考虑一岸的安全 sk＋1＝ sk＋（－1)k（uk,vk） 状态转移。 满足 s0＝（3,3)而Sn＝(0,0)并且SkS
HIT CS&E
第一章 建立数学模型
骆吉洲 luojizhou@ 计算机科学与工程系
HIT CS&E
主要内容
1.数学模型的概念 2.建立数学模型的方法和步骤 3.数学模型的特点、分类 4.学习数学建模的方法
HIT CS&E
什么是数学模型
• 现实对象与模型 原型 在现实世界里人们关心、研究或从事生产、管理的实际对象。 模型 为特定目的，将原型的一些信息减缩、提炼得到的替代物。
对于现实世界的一个特定对象，为了特定的目的， 根据特有的内在规律，做出适当的简化假设，运 用适当的数学工具，建立的一个数学结构称为该 对象的一个数学模型。建立数学模型的过程称为 数学建模。
HIT CS&E
数学建模的方法和基本步骤
数学建模实例1－椅子的摆放问题
数学建模实例2－商人渡河问题
HIT CS&E
椅子摆放问题
• 问题描述： 现实生活中，椅子在不平的地上往往只 有3条腿着地，放不太稳；但是，只要对 椅子稍微挪动几下，就可以使得椅子的 四腿着地，将它放稳了。
试建立数学模型解释这个现象。
HIT CS&E
合理假设
椅子 椅子是规则的－四条腿一样长，四条腿的连线呈正方形 地面 地面是正常的－地面的高度是连续变化的，不会出现阶 梯形状 椅子与地面的关系
渡河方案： 每一次船从一岸划到另一岸时，船上的人员构成 (u,v),u表示商人的人数，v表示仆人的人数使得 试验题 1: (u,v)D＝｛(u,v)|u0，v0，且2 u+v 1｝。 （ 编程实现上述模型，使得它能求解 n名商人n名仆人 这样的一次决策使得岸上的状态发生转移 的情况，并输出 n=3,n=4 的结果。 (,x’,y’)=(x,y) (u,v) 。这样的一个序列 (u1,v1),…(uk,vk)使得状态由（3,3）安全地变换 成（0,0)，则称它是一个渡河方案。
HIT CS&E
数学建模的目的和意义
传统工业领域 高科技领域 新领域 分析与设计 预报与决策 控制和优化 规划与管理
HIT CS&E
模型的特点
逼真性 可行性 渐仅性 强壮性 可转移性 非预制性 条理性 技艺性 局限性
HIT CS&E
模型的分类
应用领域:人口、环境、交通… 建模时使用的数学方法：初等、离散、微分、 差分、稳定性… 表现特征：确定与随机、静态与动态、线性与 非线性、离散与连续… 目的：描述、预报、优化、决策、控制… 对模型的了解程度：白箱、恢箱、黑箱模型
必存在使得f()、g()同时为0 综上所述，我们要证明如下结论： f()、g()都是的连续函数，且对于任意， f()*g()=0, g(0)=0,f(0)>0。证明：存在0使得f(0)＝g(0)＝0。
HIT CS&E
商人渡河问题
三名商人各带一名仆人过河，河边只有 一条能容纳两名乘客的小船；仆人门密 约，只要河的任何一边的仆人数比商人 数多，他们就杀人越货。如何渡河才能 使得商人门安全渡河。
直观模型 物理模型 思维模型 符号模型
数学模型：由数字、字母以及其他数学符号构成的描述现实对象数量 规律的数学公式、图形或者算法 甲乙两地相距750公里，船从甲到乙顺水需要30小时，从乙到甲逆水 需要50小时，问船和水的速度分别是多少？
( x y) 30 750 ( x y) 50 750
地面是较椅子是相对平坦的－椅子的每一条腿与地面的 接触点是一个几何点，椅子放在地上，任何时候至少有 三条腿同时着地
HIT CS&E
描述各种数量关系－构建模型
B' B A'
椅子位置的描述
椅子绕对称中心旋转的角度表示了 C 椅子的位置
O
A
四腿着地的条件 C' 证明： 将椅子旋转90。时，AC和BD的角色互换。即g(/2)>0, f(/2)=0。 D' 四条腿到地面的距离都为0 D 于是令h()=f()-g() 则 h( ))、 是连续函数，且 、h(/2)>0。 f()=A()＋ A( B()、 C()、h(0)<0 D()有三个为零，则 由连续函数的中值定理，存在 0 (0, /2)使得h(0)＝0。 C()和g()=B()＋D()必有一个为零，而另一个表示 即 f(0)4 ＝ g(0)＝0 了第 条腿离地面的距离，因此， f()、g()同时为0表 示椅子放稳了。 结论的表述
HIT CS&E
建立数学模型的一般过程
１、数学建模就是把实际问题数学化。数学模型 就是通过抽象和简化，使用数学语言、数学符号对实 际现象给予推理、论证，从而得出实际问题结论或求 解方法。 ２、建模的基本程序是：
实际问题 问 题 解 决 调查 模型准备 简化 模型假设 量化 数学符号
类 比
Байду номын сангаас
检 索
推理
模型分析 模型求解 运算
模型应用 实际问题的结论
数学模型
HIT CS&E
数学建模的基本方法
机理分析：通过对实际问题或者实际对 象的特性或者机理的认识，找出反映内 在机理的数量关系，建立的数学模型有 实际的意义。
测试分析：将实际对象或者实际问题看 成是“黑箱系统”，对其输入和输出数 据作统计，按照一定的准则找出与这些 数据拟合最好的模型。