课时作业2：5.4.3 正切函数的性质与图象

5.4.3 正切函数的性质与图象
1．函数f (x )＝2tan(－x )是( )
A ．奇函数
B ．偶函数
C ．既是奇函数，也是偶函数
D ．非奇非偶函数
答案 A
解析 f (－x )＝2tan x ＝－f (x )，为奇函数．
2．f (x )＝－tan ⎝⎛⎭
⎫x ＋π4的单调减区间是( ) A.⎝
⎛⎭⎫k π－π2，k π＋π2，k ∈Z B ．(k π，(k ＋1)π)，k ∈Z
C.⎝
⎛⎭⎫k π－3π4，k π＋π4，k ∈Z D.⎝
⎛⎭⎫k π－π4，k π＋3π4，k ∈Z 答案 C
解析 令－π2＋k π<x ＋π4<π2
＋k π，k ∈Z ， 解得－3π4＋k π<x <π4
＋k π，k ∈Z . 所以函数f (x )的单调递减区间为⎝
⎛⎭⎫k π－3π4，k π＋π4，k ∈Z . 3．函数f (x )＝tan ωx (ω>0)的图象上的相邻两支曲线截直线y ＝1所得的线段长为π4
.则ω的值是( )
A ．1
B ．2
C ．4
D ．8
答案 C
解析 由题意可得f (x )的最小正周期为π4，则πω＝π4
，∴ω＝4. 4．若f (x )＝tan ⎝⎛⎭
⎫x ＋π4，则( ) A ．f (0)>f (－1)>f (1) B ．f (0)>f (1)>f (－1)
C ．f (1)>f (0)>f (－1)
D ．f (－1)>f (0)>f (1)
答案 A 解析 f (x )在k π－π2<x ＋π4<k π＋π2
，k ∈Z ， 即k π－3π4<x <k π＋π4
，k ∈Z 上是增函数，且周期为π， ∵f (1)＝f (1－π)，－34π<1－π<－1<0<π4
， ∴f (1－π)<f (－1)<f (0)，
∴f (0)>f (－1)>f (1)．
5．下列关于函数y ＝tan ⎝⎛⎭
⎫x ＋π3的说法正确的是( ) A ．在区间⎝⎛⎭
⎫－π6，5π6上单调递增 B ．最小正周期是π
C ．图象关于点⎝⎛⎭⎫π4，0成中心对称
D ．图象关于直线x ＝π6
成轴对称 考点 正切函数周期性与对称性
题点 正切函数周期性与对称性
答案 B
解析 令k π－π2<x ＋π3<k π＋π2，k ∈Z ，解得k π－5π6<x <k π＋π6
，k ∈Z ，显然⎝⎛⎭⎫－π6，5π6不满足上述关系式，故A 错误；易知该函数的最小正周期为π，故B 正确；令x ＋π3＝k π2
，k ∈Z ，解得x ＝k π2－π3，k ∈Z ，任取k 值不能得到x ＝π4
，故C 错误；正切函数曲线没有对称轴，因此函数y ＝tan ⎝⎛⎭
⎫x ＋π3的图象也没有对称轴，故D 错误．故选B. 6．函数y ＝3tan ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6的最小正周期是π2
，则ω＝________. 答案 ±2
解析 T ＝π|ω|＝π2
，∴ω＝±2. 7．函数y ＝1－tan x 的定义域为________．
答案 ⎝
⎛⎦⎤k π－π2，k π＋π4(k ∈Z ) 8．函数y ＝2tan ⎝
⎛⎭⎫3x ＋π4－5的单调递增区间是________．
答案 ⎝⎛⎭⎫k π3－π4，k π3＋π12，k ∈Z 解析 令k π－π2<3x ＋π4<k π＋π2(k ∈Z )，得 k π3－π4<x <k π3＋π12
(k ∈Z )． 9．设函数f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎫x 3－π3.
(1)求函数f (x )的最小正周期、对称中心；
(2)作出函数f (x )在一个周期内的简图．
解 (1)∵ω＝13
， ∴最小正周期T ＝πω＝π1
3
＝3π. 令x 3－π3＝k π2(k ∈Z )，得x ＝π＋3k π2(k ∈Z )， ∴f (x )的对称中心是⎝⎛⎭
⎫π＋3k π2，0(k ∈Z )． (2)令x 3－π3
＝0，则x ＝π； 令x 3－π3＝π2，则x ＝5π2
； 令x 3－π3＝－π2，则x ＝－π2
.
∴函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫x 3－π3的图象与x 轴的一个交点坐标是(π，0)，在这个交点左、右两侧相邻的两条
渐近线方程分别是x ＝－π2，x ＝5π2
，从而得到函数y ＝f (x )在一个周期⎝⎛⎭⎫－π2，5π2内的简图(如图). 10．已知函数f (x )＝3tan ⎝⎛⎭⎫π6－x 4.
(1)求f (x )的最小正周期和单调递减区间；
(2)试比较f (π)与f ⎝⎛⎭⎫3π2的大小．
解 (1)因为f (x )＝3tan ⎝⎛⎭⎫π6－x 4＝－3tan ⎝⎛⎭
⎫x 4－π6，
所以T ＝πω＝π14＝4π. 由k π－π2<x 4－π6<k π＋π2(k ∈Z )， 得4k π－4π3<x <4k π＋8π3
(k ∈Z )． 因为y ＝3tan ⎝⎛⎭⎫x 4－π6在⎝
⎛⎭⎫4k π－4π3，4k π＋8π3(k ∈Z )内单调递增， 所以f (x )＝－3tan ⎝⎛⎭⎫x 4－π6在⎝
⎛⎭⎫4k π－4π3，4k π＋8π3(k ∈Z )内单调递减． 故原函数的最小正周期为4π.
单调递减区间为⎝
⎛⎭⎫4k π－4π3，4k π＋8π3(k ∈Z )． (2)f (π)＝3tan ⎝⎛⎭⎫π6－π4＝3tan ⎝⎛⎭⎫－π12＝－3tan π12
， f ⎝⎛⎭⎫3π2＝3tan ⎝⎛⎭⎫π6－3π8＝3tan ⎝⎛⎭⎫－5π24＝－3tan 5π24
， 因为0<π12<5π24<π2
， 且y ＝tan x 在⎝⎛⎭
⎫0，π2上单调递增， 所以tan π12<tan 5π24
，所以f (π)>f ⎝⎛⎭⎫3π2.
11．若f (n )＝tan n π3
(n ∈N *)，则f (1)＋f (2)＋…＋f (2 019)等于( ) A ．－ 3 B. 3 C ．0 D ．－2 3
答案 C
解析 由题意可知，T ＝ππ
3
＝3， f (1)＝3，f (2)＝－3，
f (3)＝0⇒f (1)＋f (2)＋f (3)＝0，
故f (1)＋f (2)＋…＋f (2 019)＝673×0＝0.
12．已知函数y ＝tan ωx 在区间⎝⎛⎭
⎫－π2，π2内是减函数，则( ) A ．0<ω≤1
B ．－1≤ω<0
C ．ω≥1
D ．ω≤－1
答案 B
解析 ∵y ＝tan ωx 在⎝⎛⎭
⎫－π2，π2内是减函数， ∴ω<0且T ＝⎪⎪⎪⎪πω≥π，
∴－1≤ω<0.故选B.
13．函数y ＝－tan 2x ＋4tan x ＋1，x ∈⎣⎡⎦
⎤－π4，π4的值域为________． 答案 [－4,4]
解析 ∵－π4≤x ≤π4
，∴－1≤tan x ≤1. 令tan x ＝t ，则t ∈[－1,1]，
∴y ＝－t 2＋4t ＋1＝－(t －2)2＋5.
∴当t ＝－1，即x ＝－π4
时，y min ＝－4， 当t ＝1，即x ＝π4
时，y max ＝4. 故所求函数的值域为[－4,4]．
14．已知函数f (x )＝A tan(ωx ＋φ)⎝
⎛⎭⎫A >0，ω>0，|φ|<π2的图象与x 轴相交的两相邻点的坐标为⎝⎛⎭⎫π6，0和⎝⎛⎭
⎫5π6，0，且过点(0，－3)，则f (x )＝______，f (x )≥3的x 的取值范围为______． 答案 3tan ⎝⎛⎭⎫32x －π4 ⎣⎡⎭⎫2k π3＋5π18，2k π3＋π2(k ∈Z )
解析 由题意可得f (x )的周期为
T ＝5π6－π6＝2π3＝πω，所以ω＝32
， 得f (x )＝A tan ⎝⎛⎭⎫32x ＋φ，它的图象过点⎝⎛⎭
⎫π6，0， 所以tan ⎝⎛⎭⎫32·π6＋φ＝0，即tan ⎝⎛⎭
⎫π4＋φ＝0， 所以π4＋φ＝k π(k ∈Z )，得φ＝k π－π4
，k ∈Z ， 又|φ|<π2，所以φ＝－π4
， 于是f (x )＝A tan ⎝⎛⎭⎫32x －π4，
它的图象过点(0，－3)，
所以A tan ⎝⎛⎭
⎫－π4＝－3，得A ＝3. 所以f (x )＝3tan ⎝⎛⎭⎫32x －π4.
由3tan ⎝⎛⎭⎫32x －π4≥3， 所以tan ⎝⎛⎭⎫32x －π4≥33
， 得k π＋π6≤32x －π4<k π＋π2
，k ∈Z ， 解得2k π3＋5π18≤x <2k π3＋π2
，k ∈Z ， 所以满足f (x )≥3的x 的取值范围是⎣⎡⎭⎫2k π3＋5π18，2k π3＋π2(k ∈Z )．
15．函数y ＝tan x ＋sin x －|tan x －sin x |在区间⎝⎛⎭⎫π2，3π2内的图象是( )
答案 D
解析 当π2
<x <π，tan x <sin x ，y ＝2tan x <0； 当x ＝π时，y ＝0；
当π<x <3π2
时，tan x >sin x ，y ＝2sin x ．故选D. 16．设函数f (x )＝tan(ωx ＋φ)⎝
⎛⎭⎫ω>0，0<φ<π2，已知函数y ＝f (x )的图象与x 轴相邻两个交点的距离为π2
，且图象关于点M ⎝⎛⎭⎫－π8，0对称． (1)求f (x )的解析式；
(2)求f (x )的单调区间；
(3)求不等式－1≤f (x )≤3的解集．
解 (1)由题意知，函数f (x )的最小正周期为T ＝π2，即π|ω|＝π2
. 因为ω>0，所以ω＝2，
从而f (x )＝tan(2x ＋φ)．
因为函数y ＝f (x )的图象关于点M ⎝⎛⎭
⎫－π8，0对称， 所以2×⎝⎛⎭⎫－π8＋φ＝k π2，k ∈Z ，即φ＝k π2＋π4
，k ∈Z . 因为0<φ<π2，所以φ＝π4
，故f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4. (2)令－π2＋k π<2x ＋π4<π2
＋k π，k ∈Z ， 得－3π4＋k π<2x <k π＋π4
，k ∈Z ， 即－3π8＋k π2<x <π8＋k π2
，k ∈Z . 所以函数f (x )的单调递增区间为⎝⎛⎭
⎫－3π8＋k π2，π8＋k π2，k ∈Z ，无单调递减区间． (3)由(1)知，f (x )＝tan ⎝
⎛⎭⎫2x ＋π4. 由－1≤tan ⎝
⎛⎭⎫2x ＋π4≤3， 得－π4＋k π≤2x ＋π4≤π3
＋k π，k ∈Z ， 即－π4＋k π2≤x ≤π24＋k π2
，k ∈Z . 所以不等式－1≤f (x )≤3的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ －π4＋k π2≤x ≤π24＋k π2，k ∈Z .。