例1：求指定截面上的正应力和剪应力、单元体的主应力、主平面，将主...

例1：求指定截面上的正应力和剪应力、单元体的主应力、主平面，将主应力标在主平面上。

解：σx =－20 σy =30 τxy =20 α=300
MPa
8.24 60sin 2060cos 2
30202302030-=-
－－＋＋－＝σ MPa
7.11 60cos 2060sin 2
302030-=+
－－＝τ 请学生将σα、τα标在单元体上。

主应力、主平面 MPa
MPa
2737 20
23020230202
2
min max -+⎪⎭⎫ ⎝⎛-±+=＝
－－σ
σ1=37 σ2=0 σ3=－27
30
2020
22tan 0-⨯-=－α α0 ＝19.30 α0 +90 ＝109.30
将主平面标在单元体上，如图所示。

确定σ1作用平面：（1）σ1与σx 、σy 中代数值最大的应力的夹角一定小于450； （2）根据单元体的变形趋势确定。

例2：已知梁上的M 、Q ，试用单元体表示截面上1、2、3、4点的应力状态。

解：1点 z
x W M -
=σ 所以 x σσσσ===321
0 2点 A
Q 23＝
τ τσστσ－===321 0
3点 z x I My -=σ b I QS z *=τ 22
3122τσσσ+⎪⎭⎫
⎝⎛±=x x σ2=0
4点 z
x W M
=
σ 所以 x σσσσ===123
τ
例3： 图示结构，已知E 、μ，现测得K 点与轴线成450方向上的应变为ε，试
确定梁上的荷重P 。

（设工字钢型号已知）
解：K 点处于纯剪切状态，b I QS z *＝τ 则K 点的主应力为σ1＝τ、σ2＝0、
σ3＝－τ
例4 工字形截面梁如图所示，已知[σ]=160MPa [τ]=100MPa 试按第三强
度理论选择工字钢型号。

解：1作Q 、M 图，B 、C 为危险截面，Q max =20kN 、M max ＝84kNm 2选择型号
b 点由正应力强度条件：
[]3max
max 525 cm W W M z z
≥≤=σσ 取28b 工字钢 a 点校核剪应力强度：[]ττ<==*MPa b
I S Q z 6.78max max
σ
τ
c 点腹板与翼缘交界处： M P a
I My
z
142＝
σ M P a
b I QS z 6.57==*
τ 用第三强度理论校核：
MPa MPa r 1601734223>=+=τσσ 应加大截面尺寸
结合上述例题总结强度计算中常常遇到的三类危险点： 第一类：正应力最大点，通常为单向应力状态； 第二类：剪应力最大点，通常为纯剪切状态；
第三类：正应力、剪应力都较大的点，用强度理论计算。