2013《金版新学案》高三数学一轮复习 4-5 三角函数的图象练习 (文) 全国.重庆专版

第4章 第5节
(本栏目内容，学生用书中以活页形式单独装订成册！)
一、选择题(每小题6分，共36分)
1．已知简谐运动f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫π3x ＋φ⎝⎛⎭⎫|φ|<π
2的图象经过点(0,1)，则该简谐运动的最小正周期T 和初相φ分别为
( )
A ．T ＝6，φ＝π
6
B ．T ＝6，φ＝π
3
C ．T ＝6π，φ＝π
6
D ．T ＝6π，φ＝π
3
【解析】 将(0,1)点代入f (x )得2sin φ＝1即sin φ＝1
2，
又∵|φ|<π2.∴φ＝π6，而T ＝2π
π
3＝6.
【答案】 A
2．(2009年山东卷)将函数y ＝sin 2x 的图象向左平移π
4个单位，再向上平移1个单位，
所得图象的函数解析式是
( )
A ．y ＝cos 2x
B ．y ＝2cos 2x
C ．y ＝1＋sin ⎝
⎛⎭⎫2x ＋π4 D ．y ＝2sin 2x
【解析】 将函数y ＝sin 2x 的图象向左平移π
4个单位，得到函数y ＝sin2⎝⎛⎭⎫x ＋π4，即y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π
2＝cos 2x 的图象，再向上平移1个单位，所得图象的函数解析式为y ＝1＋cos 2x ＝2cos 2x ，故选B.
【答案】 B
3．函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3在区间⎣⎡⎦
⎤－π
2，π上的简图是 ( )
2
【解析】 令x ＝0得y ＝sin ⎝⎛⎭⎫－π3＝－32， 淘汰B ，D.由f ⎝⎛⎭⎫－π3＝0，f ⎝⎛⎭⎫π
6＝0， 淘汰C ，故选A. 【答案】 A
4．如图，单摆从某点开始来回摆动，离开平衡位置O 的距离s cm 和时间t s 的函数关系式为s ＝6sin ⎝
⎛⎭⎫2πt ＋π
6，那么单摆来回摆动一次所需的时间为
( )
A ．2π s
B ．π s
C ．0.5 s
D ．1 s
【解析】 T ＝2π
2π＝1，∴选D.
【答案】 D
5．函数f (x )＝3sin ⎝
⎛⎭⎫2x －π
3的图象为C ，下列结论中正确的是 ( )
A ．图象C 关于直线x ＝π
6对称
B ．图象
C 关于点⎝⎛⎭⎫－π
6，0对称 C ．函数f (x )在区间⎝⎛⎭
⎫－π12，5π
12内是增函数 D ．由y ＝3sin 2x 的图象向右平移π
3
个单位长度可以得到图象C
用心 爱心 专心
【解析】 选项A 错误，由于f ⎝⎛⎭⎫
π6＝0≠±3，故A 错． 由于正弦函数图象的对称点是图象的平衡点， 因为f ⎝⎛⎭⎫－π6＝3sin ⎝⎛⎭⎫－2·π6－π3＝－33
2， 所以⎝⎛⎭⎫－π
6，0不在函数图象上． 此函数图象不关于这点对称，故B 错误． 选项C 正确，令u ＝2x －π3，
当－π12＜x ＜5π12时，－π2＜u ＜π2
，
由于y ＝3sin u 在⎝⎛⎭⎫－π2，π
2上是增函数，所以选项C 正确． 选项D 错误，由于y ＝3sin 2x 的图象向右平移π
3
得y ＝3sin2⎝⎛⎭⎫x －π3，即y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －2π
3的图象而不是图象C .综上，选C. 【答案】 C
6．若函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋m (A >0)的最大值为4，最小值为0，最小正周期为π
2，直线
x ＝π
3
是其图象的一条对称轴，则它的解析式是 ( )
A ．y ＝4sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋π
6 B ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π
3＋2 C ．y ＝2sin ⎝
⎛⎭⎫4x ＋π
3＋2 D ．y ＝2sin ⎝
⎛⎭⎫4x ＋π
6＋2 【解析】 由条件得：⎩
⎪⎨⎪⎧
A ＋m ＝4
－A ＋m ＝0⇒A ＝m ＝2，
又2πω＝π
2⇒ω＝4， 故f (x )＝2sin(4x ＋φ)＋2，
而x ＝π
3是函数图象的一条对称轴，
故有f ⎝⎛⎭⎫π3＝2sin ⎝⎛⎭⎫4π3＋φ＋2＝4或0， 即sin ⎝⎛⎭⎫4π3＋φ＝±1⇒φ＝k π－5π6
(k ∈Z )，
4
故f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋π6＋2或f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫4x －5π
6＋2， 故只有D 符合条件． 【答案】 D
二、填空题(每小题6分，共18分)
7．函数f (x )＝tan ωx (ω＞0)的图象中相邻的两支截直线y ＝π4所得线段长为π
4，则f ⎝⎛⎭⎫π4＝________.
【解析】 ∵T ＝πω＝π
4，∴ω＝4.∴f (x )＝tan 4x ，
f ⎝⎛⎭⎫π4＝0. 【答案】 0
8．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A 、ω、φ为常数，A ＞0，ω＞0)在闭区间[－π，0]上的图象如图所示，则ω＝
________.
【解析】 由函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象可知：T 2＝⎝⎛⎭⎫－π3－⎝⎛⎭⎫－23π＝π3，∴T ＝2
3π. ∵T ＝2πω＝2
3π，∴ω＝3.
【答案】 3
9．在函数f (x )＝cos(12x －π
6)的图象中，相邻的对称轴与对称中心之间的距离是________．
【解析】 由函数式知T ＝4π，则图象上相邻的对称轴与对称中心的距离为T
4＝π.
【答案】 π 三、解答题(46分)
10．(15分)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0，|φ|＜π
2，x ∈R )的图象的一部分如
图所示．
(1)求函数f (x )的解析式；
(2)求函数y ＝f (x )＋f (x ＋2)的最大值与最小值．
用心 爱心 专心
【解析】 (1)由图象知A ＝2，周期T ＝8.∵T ＝2πω＝8，∴ω＝π
4.又图象经过点(－1,0)，
∴2sin(－π
4＋φ)＝0.
∵|φ|＜π2，∴φ＝π4，
∴f (x )＝2sin(π4x ＋π4
)．
(2)y ＝f (x )＋f (x ＋2)＝2sin(π4x ＋π4)＋2sin(π4x ＋π2＋π
4)
＝2sin(π4x ＋π4)＋2cos(π4x ＋π4)＝22sin(π4x ＋π
2)
＝22cos π4
x ，
∴y ＝f (x )＋f (x ＋2)的最大值为22，最小值为－2 2.
11．(15分)(2009年重庆卷)设函数f (x )＝(sin ωx ＋cos ωx )2＋2cos 2ωx (ω＞0)的最小正周期为2π3
. (1)求ω的值；
(2)若函数y ＝g (x )的图象是由y ＝f (x )的图象向右平移π
2个单位长度得到，求y ＝g (x )的单
调增区间．
【解析】 (1)f (x )＝sin 2ωx ＋cos 2ωx ＋2sin ωx cos ωx ＋1＋cos 2ωx ＝sin 2ωx ＋cos 2ωx ＋2 ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2ωx ＋π
4＋2 依题意得2π2ω＝2π3，故ω＝3
2.
(2)依题意得
g (x )＝2sin ⎣⎡⎦⎤3⎝⎛⎭⎫x －π2＋π
4＋2 ＝2sin ⎝
⎛⎭⎫3x －5π
4＋2. 由2kx －π2≤3x －5π4≤2k π＋π
2(k ∈Z )解得
23k π＋π4≤x ≤23k π＋7π
12
(k ∈Z )． 故g (x )的单调增区间为⎣⎡⎦⎤23
k π＋π4，23k π＋7π
12(k ∈Z )
6
12．(16分)据市场调查，某种商品一年内每件出厂价在6千元的基础上，按月呈f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋B (A >0)的模型波动(x 为月份)，已知3月份达到最高价8千元，7月份价格最低为4千元；该商品每件的售价为g (x )(x 为月份)，且满足g (x )＝f (x －2)＋2.
(1)分别写出该商品每件的出厂价函数f (x )、售价函数g (x )的解析式； (2)问哪几个月能盈利？
【解析】 (1)f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋B ，由题意可得A ＝2，B ＝6，ω＝π4，φ＝－π
4，
所以f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫
π4x －π4＋6(1≤x ≤12，x 为正整数)， g (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫π4x －34π＋8(1≤x ≤12，x 为正整数)． (2)由g (x )>f (x )，得sin π4x <22.
2k π＋34π<π4x <2k π＋9
4π，k ∈Z ，
∴8k ＋3<x <8k ＋9，k ∈Z ，
∵1≤x ≤12，k ∈Z ，∴k ＝0时，3<x <9， ∴x ＝4,5,6,7,8；
k ＝1时，11<x <17，∴x ＝12. ∴x ＝4,5,6,7,8,12.
答：其中4,5,6,7,8,12月份能盈利．。