考研数学(数学三)模拟试卷350(题后含答案及解析)

考研数学（数学三）模拟试卷350(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题
选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1．设f(x)=若f(x)在x=0处可导且导数不为零，则k为( )．
A．3
B．4
C．5
D．6
正确答案：C
解析：因为f(x)在x=0处可导．所以k一2=3，即k=5，选(C)．
2．曲线的渐近线条数为( )．
A．3条
B．2条
C．1条
D．0条
正确答案：A
解析：
3．设幂级数(3x+1)n在x=一1处收敛，则级数( )
A．绝对收敛
B．条件收敛
C．发散
D．敛散性不能确定
正确答案：A
解析：令3x+1=t，则级数当t=一2时收敛，故级数的收敛半径R≥2，因为1＜R，所以当t=1时，级数绝对收敛，即级数绝对收敛，应选(A)．
4．设f(x，y)在(0，0)处连续，，则( )．
A．f(x，y)在(0，0)处不可偏导
B．f(x，y)在(0，0)处可偏导但不可微
C．fx’(0，0)=fy’(0，0)=4且f(x，y)在(0，0)处可微分
D．fx’(0，0)=fy’(0，0)=0且f(x，y)在(0，0)处可微分
正确答案：D
解析：由得f(0，0)=1，因为所以其中a为当(x，y)→(0，0)时的无穷小，于是△f=f(x，y)-f(0，0)=0×x+0×y+，故f(x，y)在(0，0)处可微，且fx’(0，0)=fy’(0，
0)=0，选(D)．
5．设A为m×n矩阵，且r(A)=m＜n，则下列结论正确的是( )．
A．A的任意m阶子式都不等于零
B．A的任意m个列向量线性无关
C．方程组AS=b一定有无数个解
D．矩阵A经过初等行变换化为
正确答案：C
解析：因为A与都是m行，所以r(A)==m＜n所以方程组AX=b一定有无数个解，选(C)．
6．设α，β为四维非零的正交向量，且A=αβT，则A的线性无关的特征向量个数为( )．
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
正确答案：C
解析：令AX=λX，则A2X=λ2X，因为α，β正交，所以αTβ=βTα=0，A2=αβT.αβT=0，于是λ2X=0，故λ1=λ2=λ3=λ4=0．因为α，β为非零向量．所以A为非零矩阵，故r(A)≥1；又r(A)=r(αβ)T≤r(α)=1．所以r(A)=1．因为4一r(OE—A)=4-r(A)=3．所以A的线性无关的特征向量是3个，选
C．
7．设随机变量X的分布函数为F(x)=0．2F1(x)+0．8F1(2x)，其中F1(y)是服从参数为1的指数分布的随机变量的分布函数，则D(X)为( )．A．0．36
B．0．44
C．0．64
D．1
正确答案：B
解析：设X1～E(1)，其密度函数为f1(x)=其分布函数为F1(x)=且E(X1)=D(X1)=1，则E(X12)=D(X1)+[E(X1)]2=2．由E(x)=∫-∞+∞xf(x)dx=0．2∫-∞+∞xf1(x)dx+1．6∫-∞+∞xf1(2x)dx =0．2E(X1)+0．4∫-∞+∞2xf1(2x)d(2x)=0．2E(X1)+0．4 E(X1)=0．6．E(X2)=∫-∞+∞x2f(x)dx=0．2∫-∞+∞x2f1(x)dx+1．6∫-∞+∞x2f1(2x)dx =0．2E(X12)+0．2∫-∞+∞(2x)2f1(2x)d(2x)=0．2E(X12)+0．2E(X12)=0．8，得D(X)=E(X2)一[E(X)]2=0．8-0．36=0．44，选(B)．
8．设随机变量X～F(m，m)，令a=P{X＞1}，β=P{X≤1}，则( )．
A．α＞β
B．α＜β
C．α=β
D．α，β的大小与自由度n有关
正确答案：C
解析：，因为X～F(m，m)，所以Y～F(m．m)．因为a=P{X＞1}=P=P{Y≤1}=P{Y≤1}=β．所以α=β，选
C．
填空题
9．若当x→0时，(1+2x)x—cosx～ax2，则a=_______．
正确答案：
解析：因为当x→0时，(1+2x)x一1=exln(1+2x)一1～xln(1+2x)～2x2，所以(1+2x)x—cosx=(1+2x)x一1+1一cosx～2x2+
10．设F(u，v)一阶连续可偏导，且由F=0确定z为x，y的隐函数，则=_________
正确答案：z
解析：
11．
正确答案：
解析：
12．设函数y=y(x)在(0，+∞)上满足△y=则y(x)=______．
正确答案：x(1一cosx)
解析：由可微的定义，函数y=y(x)在(0，+∞)内可微，且xsinx，由一阶非齐次线性微分方程的通解公式得
13．设若A～B，则y=__________
正确答案：6
解析：由A～B得tr(A)=tr(B)，即x一3=0，于是x=3．显然A，B的特征值为λ1=λ2=1，λ3=一2，因为A～B且B为对角矩阵，所以A可对角化，从而r(E—A)=1，由E—A=得y=6．
14．设随机变量则(X，Y)的联合分布律为_________
正确答案：
解析：由Cov(X，Y)=E(XY)一E(X)E(Y)=E(XY)-得E(XY)=．因为XY的可能取值为0，1，所以XY～由P{x=1}=P{x=1，Y=0}+P{X=1，Y=1}，得P{X=1，Y=0}=，再P{Y=0}=P(X=0，Y=0}+P{x=1，Y=0}=．得P{X=0，Y=0}=，则(X，Y)的联合分布律为
解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

15．设L:+y2=1(x≥0，y≥0)，过L上一点作切线，求切线与抛物线所围成面积的最小值。

正确答案：首先求切线与坐标轴围成的面积设M(x，y)∈L，过点M的L的切线方程为专+yY=1·令Y=0，得X=，切线与x轴的交点为；令X=0，得Y=，切线与y轴交点为．切线与椭圆围成的图形面积为S(x.y)=．其次求最优解设F(x，y，z)=xy+，
16．证明：当x＞0时，ex一1＞(1+x)in(1+x)．
正确答案：令φ(x)=ex一1一(1+x)ln(1+x)，φ(0)=0．φ’(x)=ex一ln(1+x)一1，φ’(0)=0，φ”(x)=＞0(x＞0)．当x＞>0时，ex一1＞(1+x)ln(1+x)．
17．设f(x)∈C[a，b]，在(a，b)内二阶可导．(Ⅰ)若f(x)=0,f(x)＜0，f’+(a)＞0．证明：存在ξ∈(a，b)，使得f(ξ)f”(ξ)+f’2(ξ)=0．(Ⅱ)若f(a)=f(b)=∫0bf(x)dx=0，证明：存在η∈(a，b)，使得f”(η)=f(η)．
正确答案：(Ⅰ)因为f’(a)＞0，所以存在c∈(a，b)，使得f(c)＞f(a)=0，因为f(c)f(b)＜0．所以存在x0∈(c，b)，使得f(x0)=0．因为f(a)=f(x0)=0，由罗尔定理，存在x1∈(a，x0)，使得f’(x1)=0．令φ(x)=f(x)f’(x)，由φ(a)=φ(x1)=0，根据罗尔定理，存在ξ∈(a，x1)(a，b)，使得φ’(ξ)=0．而φ’(x)=f(x)f”(x)+f’2(x)，所以f(ξ)f”(ξ)+f’2(ξ)=0．(Ⅱ)令F(x)=∫axf(t)dt，因为F(a)=F(b)=0，所以由罗尔定理，存在c∈(a，b)．使得F’(c)=0，即f(c)=0．令h(x)=exf(x)，由h(a)=h(c)=h(b)=0，根据罗尔定理，存在ξ1∈(a，b)，ξ2∈(c，b)，使得h’(ξ
1)=h’(ξ2)=0，则h’(x)=ex[f(x)+f’(x)]，所以f(ξ1)+f’(ξ1)=0，f(ξ2)+f’(ξ
2)=0．再令G(x)=e-x[f(x)+f’(x)]，由G(ξ1)=G(ξ2)=0，根据罗尔定理，存在η∈(ξ1，ξ2)(a，b)，使得G’(η)=0，而G’(x)=e-x[f”(x)一f(x)]且e-x≠0，所以f”(η)=f(η)．
18．设抛物线y=x2与它的两条相互垂直的切线所围成的平面图形的面积为S，其中一条切线与抛物线相切于点A(a，a2)(a＞0)．(Ⅰ)求S=S(a)的表达式；(Ⅱ)当a取何值时，面积S(a)最小?
正确答案：(Ⅰ)设另一个切点为(x0，x02)，则抛物线y=x2的两条切线分别为L1：y=2ax一a2，L2：y=2x0x-x0因为L1⊥L2，所以x0=．两条切线L1，L2的交点为x1=yi=ax0,L1，L2及抛物线y=x2所围成的面积为
19．求级数的收敛域及和函数．
正确答案：
20．设A为m×n阶矩阵，证明：r(ATA)=r(A)；
正确答案：显然当AX=0时，ATAX=0；反之，若ATAX=0，则有XTATAX=0，即(AX)TAX=0，故AX=0．即方程组ATAX=0与AX=0为同解方程组，于是r(ATA)=r(A)．
21．设A为m×n阶矩阵，B为n×s矩阵且r(A)=n，证明：r(AB)=r(B)．
正确答案：若BX=0，则ABX=0；反之，若ABX=0，令BX=Y，即AY=0，因为r(A)=n，所以Y=0，即BX=0，从而方程组BX=0与ABX=0为同解方程组．于是r(AB)=r(B)．
22．设A为三阶实对称矩阵，若存在正交矩阵Q，使得QTAQ=且A*α=α．(Ⅰ)求正交矩阵Q；(Ⅱ)求矩阵A．
正确答案：(Ⅰ)显然A的特征值为λ1=λ2=一1，λ3=2，A*的特征值为μ1=μ2=-2，μ3=1．因为α为A*的属于特征值μ3=1的特征向量。

所以α是A的属于特征值λ3=2的特征向量，令α=α3．令A的属于特征值λ1=λ2=一1的特征向量为ξ=因为实对称矩阵不同特征值对应的特征向量正交，所以一x1一x2+x3=0，则A的属于特征值λ1=λ2=-1的线性无关的特征向量为
23．某流水线上产品不合格的概率为各产品合格与否相互独立，当检测到不合格产品时即停机检查，设从开始生产到停机检查生产的产品数为X，求E(X)及D(X)．
正确答案：X的分布律为P{X=k}=(1—p)k-1p(k=1，2，…)．则D(X)=E(X2)一[E(X)]2=190—100=90．
设总体X的分布函数为(X1，X2，…，X10)为来自总体X的简单随机样本，其观察值为1．1，3，1，0，0，3，1，0，1．
24．求总体X的分布律；
正确答案：总体X的分布律为
25．求参数θ的矩估计值；
正确答案：E(X)=1×2θ+3×(1—3θ)=3—7θ．
26．求参数θ的极大似然估计值．
正确答案：似然函数为L(θ)=θ3(2θ)5(1—3θ)2，lnL(θ)=3lnθ+5ln2θ+2ln(1—3θ)．。