2018届高三数学理二轮复习课余自主加餐训练：“12+4”

“12＋4”限时提速练(五)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．已知如图，全集I ＝R ，集合A ＝{x |0＜x ＜2}，B ＝{x |1＜x ＜3}，则图中阴影部分所表示的集合为( )
A ．{x |1＜x ＜2}
B ．{x |0＜x ＜3}
C ．{x |x ＜3}
D ．{x |x ＞0}
2．若复数z ＝i －2i 2＋3i 3，则|z |＝( ) A ．6 B ．2 2 C ．4 D ．2
3．已知向量a ＝(1，2)，b ＝(－2，3)，若m a －n b 与2a ＋b 共线(其中m ，n ∈R 且n ≠0)，则m
n ＝( )
A ．－2
B ．2
C ．－12 D.1
2
4．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若公比q ＝4，S 3＝21，则( ) A ．4a n ＝1－3S n B ．4S n ＝3a n －1 C ．4S n ＝3a n ＋1 D ．4a n ＝3S n ＋1
5．函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛
⎭⎪⎫ω＞0，－π2＜φ＜π2的部分图象如图所示，则f (0)
＝( )
A ．－ 3
B ．－32
C ．－1
D ．－1
2 6．下列说法正确的是( )
A ．命题“0，f (x )2＝1，则x ＝1”的否命题为“0，f (x )2＝1，则x ≠1”
B ．若命题p ：∃x ∈R ，x 2－2x －1＞0，则命题綈p ：∀x ∈R ，x 2－2x －1＜0
C ．命题“若α＞β，则2α＞2β”的逆否命题为真命题
D ．“x ＝－1”是“x 2－5x －6＝0”的必要不充分条件 7．函数y ＝lg x －sin x 在(0，＋∞)上的零点个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4
8．执行如图所示的程序框图，如果输入的变量t ∈[0，3]，则输出的S ∈( )
A ．[0，7]
B ．[0，4]
C ．[1，7]
D ．[1，4]
9.已知棱长为2的正四面体(各面均为正三角形)的俯视图如图所示，则该四面体的正视图的面积为( )
A ．2 3 B. 3 C.263 D.63
10．某日，甲、乙二人随机选择早上6：00～7：00的某一时刻到达黔灵山公园晨练，则甲比乙提前到达超过20分钟的概率为( )
A.23
B.13
C.79
D.29
11．设F 1，F 2分别是椭圆C ：x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，P 为直线x ＝5a
4上一点，△F 2PF 1是底角为30°的等腰三角形，则椭圆C 的离心率为( )
A.58
B.104
C.34
D.32
12．已知函数f (x )＝mx －m 2－4(m ＞0，x ∈R )，若a 2＋b 2＝8，则f （b ）
f （a ）的取值
范围是( )
A ．[3－2，3＋2]
B ．[2－3，2＋ 3 ]
C ．[0，2＋ 3 ]
D ．[0，2－ 3 ]
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分)
13．对于下列表格所示的五个散点，已知求得的线性回归直线方程为y ^＝0.8x －155.
则实数m 的值为14．设x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧5x ＋3y ≤15，y ≤x ＋1，x －5y ≤3，
则z ＝3x －5y 的最小值为________．
15．等差数列{a n }中，a 1＝20，若仅当n ＝8时，数列{a n }的前n 项和S n 取得最大值，则该等差数列的公差d 的取值范围为________．
16．定义平面向量的一种运算：a ⊗b ＝|a |·|b |sin 〈a ，b 〉，则下列命题：①a ⊗b ＝b ⊗a ；②λ(a ⊗b )＝(λa )⊗b ；③(a ＋b )⊗c ＝(a ⊗c )＋(b ⊗c )；④若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ⊗b ＝|x 1y 2－x 2y 1|.其中真命题的序号是________．
答 案
一、选择题
1．解析：选B 由Venn 图可知，阴影部分表示的是集合A ∪B ＝{x |0＜x ＜3}，故选B.
2．解析：选B 因为z ＝i ＋2－3i ＝2－2i ，所以|z |＝|2－2i|＝22，故选B. 3．解析：选A 因为m a －n b ＝(m ＋2n ，2m －3n )，2a ＋b ＝(0，7)，m a －n b 与2a ＋b 共线，所以m ＋2n ＝0，即m
n ＝－2，故选A.
4．解析：选D 因为S 3＝21＝a 1（1－43）1－4，所以a 1＝1，所以S n ＝a 1－qa n
1－q ＝
1－4a n
1－4
，即4a n ＝3S n ＋1，故选D.
5．解析：选A 因为T 2＝11π12－5π12＝π2，所以T ＝π，所以ω＝2.因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫
5π12＝
2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫
5π6＋φ＝2，所以5π6＋φ＝π2＋ 2k π，k ∈Z ，所以φ＝－π3＋2k π，k ∈Z .因
为φ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，所以φ＝－π3，所以f (0)＝2sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
－π3＝－3，故选A.
6．解析：选C A 中的否命题应为“0，f (x )2≠1，则x ≠1”；B 中命题綈p ：∀x ∈R ，x 2－2x －1≤0；D 中“x ＝－1”是“x 2－5x －6＝0”的充分不必要条件，故选C.
7．解析：选C 画出函数y ＝lg x 与y ＝sin x 的图象，如图，易知两函数图象在(0，＋∞)上有3个交点，即函数y ＝lg x －sin x 在(0，＋∞)上有3个零点，故选
C.
8．解析：选B 由程序框图及t ≥0可知，此程序执行的是输出二次函数S ＝(t －1)2，t ∈[0，3]的值域，因此S ∈[0，4]，故选B.
9.解析：选C 由俯视图可知，正四面体的正视图是一个等腰三角形，其中底边长为2，高为正四面体的高h ＝4－⎝
⎛⎭⎪⎫2×32×232＝26
3，所以正视图的面积S
＝12×2×263＝26
3，故选C.
10．解析：选D 设甲、乙二人到达的时刻分别是6点x 分和6点y 分，则⎩⎨⎧0≤x ≤60，
0≤y ≤60，y －x ＞20，如图所示，则所求概率P ＝S △ABC
S 四边形
DECO ＝1
2×40×4060×60＝29，故选D.
11．解析：选A 设直线x ＝5a 4交x 轴于点M ，则M ⎝ ⎛⎭⎪⎫
5a 4，0，因为△F 2PF 1是
底角为30°的等腰三角形，所以∠PF 2F 1＝120°，|PF 2|＝|F 1F 2|且|PF 2|＝2|F 2M |，所以2⎝ ⎛⎭
⎪⎫
5a 4－c ＝2c ，解得a ＝8c 5，所以e ＝58，故选A.
12．解析：选B 因为f （b ）f （a ）＝mb －m 2－4ma －m 2－4＝
b －⎝ ⎛
⎭
⎪
⎫m ＋4m a －⎝ ⎛
⎭⎪⎫m ＋4m ，所以其表示的是点A (a ，b )和B ⎝ ⎛
⎭
⎪⎫m ＋4m ，m ＋4m 连线的斜率．因为m ＋4m ≥2
m ×4
m ＝4(当且仅当m ＝2
时取等号)，a 2＋b 2＝8，所以B 是射线y ＝x (x ≥4)上的动点，A 是圆x 2＋y
2＝8上的动点．
显然，斜率的最值是过射线端点P (4，4)的圆的两条切线的斜率．设过点P 的切线的方程为y ＝k (x －4)＋4，所以
|4k －4|
k 2
＋1
＝8，即k 2－4k ＋1＝0，解得k ＝2±3，所以f （b ）f （a ）
∈[]2－3，2＋3，故选B.
二、填空题
13．解析：依题意得，x ＝15×(197＋198＋201＋204＋205)＝201，y ＝1
5(1＋3＋6＋7＋m )＝
17＋m 5.因为回归直线必经过样本点的中心，所以17＋m
5＝0.8×201－155，
解得m ＝12.
答案：12
14．解析：画出可行域，如图中阴影部分所示，在可行域内平移直线3x －5y ＝0，当其经过y ＝x ＋1与5x ＋3y ＝15的交点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫
32，52时，z ＝3x －5y 在y 轴上的截
距最大，此时z 取得最小值，故
z min ＝92－25
2＝－8.
答案：－8
15．解析：由题意知⎩⎨⎧S 8＞S 7，S 8＞S 9，所以⎩⎨⎧a 8＞0，a 9＜0，所以⎩⎨⎧a 1＋7d ＞0，a 1＋8d ＜0，即⎩⎨⎧20＋7d ＞0，
20＋8d ＜0，所
以－207＜d ＜－5
2.
答案：⎝ ⎛⎭
⎪⎫－20
7，－52
16．解析：由定义可知b ⊗a ＝|b |·|a |sin 〈a ，b 〉＝a ⊗b ，所以①是真命题．②当λ<0时，〈λa ，b 〉＝π－〈a ，b 〉，所以(λa )⊗b ＝|λa |·|b |sin 〈λa ，b 〉＝－λ|a |·|b |sin 〈a ，b 〉，而λ(a ⊗b )＝λ|a |·|b |sin 〈a ，b 〉，所以②是假命题．③因为|a ＋b |不一定等于|a |＋|b |，sin 〈a ，c 〉＋sin 〈b ，c 〉与sin 〈(a ＋b )，c 〉也不一定相等，所以③是假命题．④sin 〈a ，b 〉＝1－cos 2
〈a ，b 〉＝
1－⎝ ⎛⎭
⎪⎫a ·
b |a ||b |2＝|x 1y 2－x 2y 1||a ||b |，所以a ⊗b ＝|x 1y 2－x 2y 1|，所以④是真命题，所以真命题的序号是①④.
答案：①④。