高考数学一轮复习考点知识专题讲解34---平面向量的概念及线性运算

高考数学一轮复习考点知识专题讲解
平面向量的概念及线性运算
考点要求
1.理解平面向量的意义、几何表示及向量相等的含义.
2.掌握向量的加法、减法运算，并理解其几何意义及向量共线的含义.
3.了解向量线性运算的性质及其几何意义．
知识梳理
1．向量的有关概念
(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的长度(或模)．
(2)零向量：长度为0的向量，记作0.
(3)单位向量：长度等于1个单位长度的向量．
(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量，也叫做共线向量，规定：零向量与任意向量平行．
(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量．
(6)相反向量：长度相等且方向相反的向量．
2．向量的线性运算
向量
法则(或几何意义)运算律
运算
加法
交换律：a ＋b ＝b ＋a ；
结合律：(a ＋b )＋c ＝a ＋(b ＋c )
减法
a －
b ＝a ＋(－b )
数乘
|λa |＝|λ||a |，当λ>0时，λa 的方
向与a 的方向相同；
当λ<0时，λa 的方向与a 的方向相反；
当λ＝0时，λa ＝0
λ(μa )＝(λμ)a ；
(λ＋μ)a ＝λa ＋μa ；
λ(a ＋b )＝λa ＋λb
3.向量共线定理
向量a (a ≠0)与b 共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使得b ＝λa . 常用结论
1．一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向最后一个向量终点的向量，即A 1A 2—→＋A 2A 3—→＋A 3A 4—→＋…＋A n －1A n ＝A 1A n —→，特别地，一个封闭图形，首尾连接而成的向量和为零向量．
2．若F 为线段AB 的中点，O 为平面内任意一点，则OF →＝1
2
(OA →＋OB →)．
3．若A ，B ，C 是平面内不共线的三点，则PA →＋PB →＋PC →＝0⇔P 为△ABC 的重心，AP →＝1
3(AB
→＋AC →)．
4．若OA →＝λOB →＋μOC →(λ，μ为常数)，则A ，B ，C 三点共线的充要条件是λ＋μ＝1.
5．对于任意两个向量a，b，都有||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|.
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)|a|与|b|是否相等，与a，b的方向无关．(√)
(2)若向量a与b同向，且|a|>|b|，则a>b.(×)
(3)若向量AB→与向量CD→是共线向量，则A，B，C，D四点在一条直线上．(×)
(4)起点不同，但方向相同且模相等的向量是相等向量．(√)
教材改编题
1．给出下列命题：
①若a与b都是单位向量，则a＝b；
②直角坐标平面上的x轴、y轴都是向量；
③若用有向线段表示的向量AM→与AN→不相等，则点M与N不重合；
④海拔、温度、角度都不是向量．
则所有正确命题的序号是()
A．①② B．①③ C．②③ D．③④
答案D
解析①错误，由于单位向量长度相等，但是方向不确定；②错误，由于只有方向，没有大小，故x轴、y轴不是向量；③正确，由于向量起点相同，但长度不相等，所以终点不同；④正确，海拔、温度、角度只有大小，没有方向，故不是向量．
2．下列各式化简结果正确的是()
A.AB→＋AC→＝BC→
B.AM→＋MB→＋BO→＋OM→＝AM→
C.AB →＋BC →－AC →＝0
D.AB →－AD →－DC →＝BC → 答案B
3．已知a 与b 是两个不共线的向量，且向量a ＋λb 与－(b －3a )共线，则λ＝________. 答案－13
解析由题意知存在k ∈R ， 使得a ＋λb ＝k [－(b －3a )]，
所以⎩⎨
⎧
λ＝－k ，
1＝3k ，
解得⎩
⎪⎨
⎪⎧
k ＝13，λ＝－13.
题型一 平面向量的概念
例1(1)给出下列命题，正确的有()
A ．若两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同
B ．若A ，B ，
C ，
D 是不共线的四点，且AB →＝DC →，则四边形ABCD 为平行四边形 C ．a ＝b 的充要条件是|a |＝|b |且a ∥b
D ．已知λ，μ为实数，若λa ＝μb ，则a 与b 共线 答案B
解析A 错误，两个向量起点相同，终点相同，则两个向量相等，但两个向量相等，不一定有相同的起点和终点；
B 正确，因为AB →＝D
C →，所以|AB →|＝|DC →|且AB →∥DC →，又A ，B ，C ，
D 是不共线的四点，所以
四边形ABCD为平行四边形；
C错误，当a∥b且方向相反时，即使|a|＝|b|，也不能得到a＝b，所以|a|＝|b|且a∥b 不是a＝b的充要条件，而是必要不充分条件；
D错误，当λ＝μ＝0时，a与b可以为任意向量，满足λa＝μb，但a与b不一定共线．
(2)如图，在等腰梯形ABCD中，对角线AC与BD交于点P，点E，F分别在腰AD，BC上，EF过点P，且EF∥AB，则下列等式中成立的是()
A.AD→＝BC→
B.AC→＝BD→
C.PE→＝PF→
D.EP→＝PF→
答案D
教师备选
下列命题为假命题的是()
A．若a与b为非零向量，且a∥b，则a＋b必与a或b平行
B．若e为单位向量，且a∥e，则a＝|a|e
C．两个非零向量a，b，若|a－b|＝|a|＋|b|，则a与b共线且反向
D．“两个向量平行”是“这两个向量相等”的必要不充分条件
答案B
思维升华平行向量有关概念的四个关注点
(1)非零向量的平行具有传递性．
(2)共线向量即为平行向量，它们均与起点无关． (3)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量．
(4)a
|a |是与a 同方向的单位向量． 跟踪训练1(1)下列命题不正确的是() A ．零向量是唯一没有方向的向量 B ．零向量的长度等于0
C ．若a ，b 都为非零向量，则使a |a |＋b
|b |＝0成立的条件是a 与b 反向共线
D ．若a ＝b ，b ＝c ，则a ＝c 答案A
解析A 项，零向量是有方向的，其方向是任意的，故A 错误； B 项，由零向量的定义知，零向量的长度为0，故B 正确；
C 项，因为a |a |与b |b |都是单位向量，所以只有当a |a |与b
|b |是相反向量，即a 与b 是反向
共线时才成立，故C 正确； D 项，由向量相等的定义知D 正确．
(2)对于非零向量a ，b ，“a ＋b ＝0”是“a∥b ”的() A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件 答案A
解析若a ＋b ＝0，
则a ＝－b ，则a ∥b ，即充分性成立；若a ∥b ，则a ＝－b 不一定成立，即必要性不成立， 即“a ＋b ＝0”是“a ∥b ”的充分不必要条件． 题型二 平面向量的线性运算 命题点1向量加、减法的几何意义
例2(2022·济南模拟)已知单位向量e 1，e 2，…，e 2023，则|e 1＋e 2＋…＋e 2023|的最大值是______，最小值是________． 答案20230
解析当单位向量e 1，e 2，…，e 2023方向相同时， |e 1＋e 2＋…＋e 2023|取得最大值，
|e 1＋e 2＋…＋e 2023|＝|e 1|＋|e 2|＋…＋|e 2023| ＝2023；
当单位向量e 1，e 2，…，e 2023首尾相连时，
e 1＋e 2＋…＋e 2023＝0，
所以|e 1＋e 2＋…＋e 2023|的最小值为0. 命题点2向量的线性运算
例3如图，在四边形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ⊥AD ，AB ＝2AD ＝2CD ，E 是BC 边上一点，且BC →＝3EC →，F 是AE 的中点，则下列关系式不正确的是()
A.BC →＝－12AB →＋AD →
B.AF →
＝13AB →＋13AD →
C.BF →＝－13AB →＋23AD →
D.CF →
＝－16AB →－23
AD →
答案C
解析因为BC →＝BA →＋AD →＋DC →＝－AB →＋AD →＋12AB →＝－1
2AB →＋AD →，
所以选项A 正确； 因为AF →
＝12AE →＝12(AB →＋BE →)
＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫
AB →＋23BC →，
而BC →＝－1
2AB →＋AD →，
代入可得AF →＝13AB →＋1
3AD →，
所以选项B 正确； 因为BF →＝AF →－AB →， 而AF →＝13AB →＋1
3AD →，
代入得BF →
＝－23AB →＋13AD →，
所以选项C 不正确； 因为CF →＝CD →＋DA →＋AF → ＝－12AB →－AD →＋AF →
，
而AF →＝13AB →＋13AD →，
代入得CF →＝－16AB →－23AD →，
所以选项D 正确．
命题点3根据向量线性运算求参数
例4(2022·青岛模拟)已知平面四边形ABCD满足AD→＝1
4
BC→，平面内点E满足BE→＝3CE→，CD
与AE交于点M，若BM→＝xAB→＋yAD→，则x＋y等于()
A.5
2
B．－
5
2
C.
4
3
D．－
4
3
答案C
解析如图所示，
易知BC＝4AD，CE＝2AD，
BM→＝AM→－AB→
＝1
3
AE→－AB→
＝1
3
(AB→＋BE→)－AB→
＝1
3
(AB→＋6AD→)－AB→
＝－2
3
AB→＋2AD→，
∴x＋y＝4 3 .
教师备选
1．(2022·资阳模拟)在△ABC中，AD为BC边上的中线，若点O满足AO→＝2OD→，则OC→等于
()
A ．－13A
B →＋23A
C → B.23AB →－13AC →
C.13AB →－23AC → D ．－23AB →＋13AC → 答案A
解析如图所示，
∵D 为BC 的中点， ∴AD →
＝12(AB →＋AC →)，
∵AO →＝2OD →，
∴AO →＝23AD →＝13AB →＋13AC →，
∴OC →＝AC →－AO →＝AC →－⎝ ⎛⎭⎪⎫13AB →＋13AC →
＝－13AB →＋2
3
AC →.
2．(2022·长春调研)在△ABC 中，延长BC 至点M 使得BC ＝2CM ，连接AM ，点N 为AM 上一点且AN →
＝13
AM →，若AN →＝λAB →＋μAC →，则λ＋μ等于()
A.13
B.12 C ．－12 D ．－13 答案A
解析由题意，知AN →＝13AM →＝13(AB →＋BM →
)
＝13AB →＋13×3
2BC → ＝13AB →＋12(AC →－AB →) ＝－16AB →＋12AC →，
又AN →＝λAB →＋μAC →，
所以λ＝－16，μ＝12，则λ＋μ＝13
.
思维升华平面向量线性运算的常见类型及解题策略
(1)向量求和用平行四边形法则或三角形法则；求差用向量减法的几何意义． (2)求参数问题可以通过向量的运算将向量表示出来，进行比较，求参数的值． 跟踪训练2(1)点G 为△ABC 的重心，设BG →＝a ，GC →＝b ，则AB →等于() A ．b －2a B.32a －12b C.32a ＋1
2b D ．2a ＋b
答案A
解析如图所示，由题意可知 12AB →＋BG →＝12GC →
， 故AB →＝GC →－2BG →＝b －2a .
(2)(2022·大连模拟)在△ABC 中，AD →＝2DB →，AE →＝2EC →，P 为线段DE 上的动点，若AP →＝λAB
→
＋μAC→，λ，μ∈R，则λ＋μ等于()
A．1 B.2
3
C.
3
2
D．2
答案B
解析如图所示，由题意知，
AE→＝2
3
AC→，AD→＝
2
3
AB→，
设DP→＝xDE→，
所以AP→＝AD→＋DP→＝AD→＋xDE→＝AD→＋x(AE→－AD→)
＝xAE→＋(1－x)AD→
＝2
3
xAC→＋
2
3
(1－x)AB→，
所以μ＝2
3
x，λ＝
2
3
(1－x)，
所以λ＋μ＝2
3
x＋
2
3
(1－x)＝
2
3
.
题型三共线定理及其应用
例5设两向量a与b不共线．
(1)若AB→＝a＋b，BC→＝2a＋8b，CD→＝3(a－b)．求证：A，B，D三点共线；
(2)试确定实数k，使k a＋b和a＋k b共线．
(1)证明∵AB →＝a ＋b ，BC →
＝2a ＋8b ， CD →
＝3(a －b )．
∴BD →＝BC →＋CD →＝2a ＋8b ＋3(a －b )＝2a ＋8b ＋3a －3b ＝5(a ＋b )＝5AB →.∴AB →，BD →共线， 又它们有公共点B ， ∴A ，B ，D 三点共线．
(2)解∵k a ＋b 与a ＋k b 共线，∴存在实数λ， 使k a ＋b ＝λ(a ＋k b )，即k a ＋b ＝λa ＋λk b ， ∴(k －λ)a ＝(λk －1)b . ∵a ，b 是不共线的两个向量，
∴k －λ＝λk －1＝0，∴k 2－1＝0，∴k ＝±1. 教师备选
1．已知P 是△ABC 所在平面内一点，且满足PA →＋PB →＋PC →＝2AB →
，若S △ABC ＝6，则△PAB 的面积为()
A ．2
B ．3
C ．4
D ．8 答案A
解析∵PA →＋PB →＋PC →＝2AB →＝2(PB →－PA →)， ∴3PA →＝PB →－PC →＝CB →，
∴PA →∥CB →，且两向量方向相同，
∴S △ABC S △PAB ＝BC AP ＝|CB →||PA →
|＝3， 又S △ABC ＝6，∴S △PAB ＝6
3
＝2.
2．设两个非零向量a 与b 不共线，若a 与b 的起点相同，且a ，t b ，1
3(a ＋b )的终点在
同一条直线上，则实数t 的值为________． 答案12
解析∵a ，t b ，1
3(a ＋b )的终点在同一条直线上，且a 与b 的起点相同，
∴a －t b 与a －1
3(a ＋b )共线，
即a －t b 与23a －1
3
b 共线，
∴存在实数λ，使a －t b ＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎫2
3a －13b ， 又a ，b 为两个不共线的非零向量， ∴⎩⎪⎨
⎪⎧
1＝2
3λ，t ＝13λ，
解得⎩⎪⎨
⎪⎧
λ＝3
2，t ＝12.
思维升华利用共线向量定理解题的策略
(1)a ∥b ⇔a ＝λb (b ≠0)是判断两个向量共线的主要依据． (2)若a 与b 不共线且λa ＝μb ，则λ＝μ＝0.
(3)OA →＝λOB →＋μOC →
(λ，μ为实数)，若A ，B ，C 三点共线，则λ＋μ＝1.
跟踪训练3(1)若a ，b 是两个不共线的向量，已知MN →＝a －2b ，PN →＝2a ＋k b ，PQ →＝3a －b ，若M ，N ，Q 三点共线，则k 等于()
A ．－1
B ．1 C.3
2
D ．2
答案B
解析由题意知，
NQ→＝PQ→－PN→＝a－(k＋1)b，
因为M，N，Q三点共线，故存在实数λ，
使得MN→＝λNQ→，
即a－2b＝λ[a－(k＋1)b]，解得λ＝1，k＝1.
(2)如图，已知A，B，C是圆O上不同的三点，线段CO与线段AB交于点D(点O与点D 不重合)，若OC→＝λOA→＋μOB→(λ，μ∈R)，则λ＋μ的取值范围是()
A．(0,1) B．(1，＋∞)
C．(1，2] D．(－1,0)
答案B
解析因为线段CO与线段AB交于点D，
所以O，C，D三点共线，
所以OC→与OD→共线，
设OC→＝mOD→，则m>1，
因为OC→＝λOA→＋μOB→，
所以mOD→＝λOA→＋μOB→，
可得OD→＝λ
m
OA→＋
μ
m
OB→，
因为A，B，D三点共线，
所以λ
m
＋
μ
m
＝1，可得λ＋μ＝m>1，
所以λ＋μ的取值范围是(1，＋∞)．
课时精练
1.如图所示，在正六边形ABCDEF中，BA→＋CD→＋EF→等于()
A．0 B.BE→ C.AD→ D.CF→答案D
解析根据正六边形的性质，
易得，BA→＋CD→＋EF→＝BA→＋AF→＋EF→
＝BF→＋CB→＝CF→.
2．若a，b为非零向量，则“
a
|a|
＝
b
|b|
”是“a，b共线”的()
A．充要条件
B．充分不必要条件
C．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件答案B
解析
a |a |，
b |b |分别表示与a ，b 同方向的单位向量，a |a |＝b |b |
，则有a ，b 共线，而a ，b 共线，则a
|a |，b
|b |是相等向量或相反向量，所以“a
|a |＝b
|b |”是“a ，b 共线”的充分不
必要条件．
3．设a ＝(AB →＋CD →)＋(BC →＋DA →)，b 是一个非零向量，则下列结论不正确的是() A ．a ∥b B ．a ＋b ＝a
C ．a ＋b ＝b
D ．|a ＋b |＝|a |＋|b | 答案B
解析由题意得，a ＝(AB →＋CD →)＋(BC →＋DA →)＝AC →＋CA →＝0，且b 是一个非零向量，所以a ∥b 成立，所以A 正确；由a ＋b ＝b ，所以B 不正确，C 正确；由|a ＋b |＝|b |，|a |＋|b |＝|b |，
所以|a ＋b |＝|a |＋|b |，所以D 正确． 4．(2022·汕头模拟)下列命题中正确的是() A ．若a ∥b ，则存在唯一的实数λ使得a ＝λb B ．若a∥b ，b∥c ，则a∥c C ．若a·b ＝0，则a ＝0或b ＝0 D ．|a |－|b |≤|a ＋b |≤|a |＋|b | 答案D
解析若a ∥b ，且b ＝0，则可有无数个实数λ使得a ＝λb ，故A 错误； 若a ∥b ，b ∥c (b ≠0)，则a∥c ，若b ＝0， 则a ，c 不一定平行，故B 错误； 若a·b ＝0，也可以为a⊥b ，故C 错误；
根据向量加法的三角形法则和向量减法的几何意义知，|a|－|b|≤|a＋b|≤|a|＋|b|成立，故D正确．
5．在平行四边形ABCD中，AC→与BD→交于点O，E是线段OD的中点．若AC→＝a，BD→＝b，则AE→等于()
A.1
4
a＋
1
2
b B.
2
3
a＋
1
3
b
C.1
2
a＋
1
4
b D.
1
3
a＋
2
3
b
答案C
解析如图所示，
∵AC→＝a，BD→＝b，∴AD→＝AO→＋OD→
＝1
2
a＋
1
2
b，
∴AE→＝AD→－ED→＝1
2
a＋
1
2
b－
1
4
b
＝1
2
a＋
1
4
b.
6．下列说法正确的是()
A．向量AB→与向量BA→的长度相等
B．两个有共同起点，且长度相等的向量，它们的终点相同C．向量a与b平行，则a与b的方向相同或相反
D ．向量的模是一个正实数 答案A
解析A 项，AB →与BA →的长度相等，方向相反，正确；
B 项，两个有共同起点且长度相等的向量，若方向也相同，则它们的终点相同，故错误；
C 项，向量a 与b 平行时，若a 或b 为零向量，不满足条件，故错误；
D 项，向量的模是一个非负实数，故错误.
7.如图，在平行四边形ABCD 中，E 为BC 的中点，F 为DE 的中点，若AF →＝xAB →
＋34AD →，则x
等于()
A.34
B.23
C.12
D.14 答案C
解析连接AE (图略)，因为F 为DE 的中点， 所以AF →＝12
(AD →＋AE →)，
而AE →＝AB →＋BE →＝AB →＋12BC →＝AB →＋1
2AD →，
所以AF →
＝12(AD →＋AE →)
＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫AD →＋AB →＋12AD →
＝12AB →＋34
AD →
，
又AF→＝xAB→＋3
4
AD→，
所以x＝1 2 .
8.庄严美丽的国旗和国徽上的五角星是革命和光明的象征．正五角星是一个非常优美的几何图形，且与黄金分割有着密切的联系，在如图所示的正五角星中，以A，B，C，D，E
为顶点的多边形为正五边形，且PT
AT
＝
5－1
2
.下列关系中正确的是()
A.BP→－TS→＝5＋1 2
RS→
B.CQ→＋TP→＝5＋1 2
TS→
C.ES→－AP→＝5－1 2
BQ→
D.AT→＋BQ→＝5－1 2
CR→
答案A
解析由题意得，BP→－TS→＝TE→－TS→＝SE→＝RS→
5－1
2
＝
5＋1
2
RS→，所以A正确；CQ→＋TP→＝PA→＋TP→
＝TA→＝5＋1
2
ST→，所以B错误；ES→－AP→＝RC→－QC→＝RQ→＝
5－1
2
QB→，所以C错误；AT→＋BQ→＝
SD→＋RD→，5－1
2
CR→＝RS→＝RD→－SD→，若AT→＋BQ→＝
5－1
2
CR→，则SD→＝0，不符合题意，所以D
错误．
9．(2022·太原模拟)已知不共线向量a ，b ，AB →＝t a －b (t ∈R )，AC →＝2a ＋3b ，若A ，B ，C 三点共线，则实数t ＝__________. 答案－23 解析因为A ，B ，C 三点共线，所以存在实数k ，使得AB →＝kAC
→， 所以t a －b ＝k (2a ＋3b )＝2k a ＋3k b ，
即(t －2k )a ＝(3k ＋1)b .
因为a ，b 不共线，所以⎩⎨⎧ t －2k ＝0，3k ＋1＝0，
解得⎩⎪⎨⎪⎧ k ＝－13，
t ＝－23.
10．已知△ABC 的重心为G ，经过点G 的直线交AB 于D ，交AC 于E ，若AD →＝λAB →，AE →＝μAC →，则1λ＋1
μ
＝________. 答案3
解析如图，设F 为BC 的中点，
则AG →＝23AF →＝13
(AB →＋AC →)，
又AB →＝1λAD →，AC →＝1μ
AE →， ∴AG →＝13λAD →＋13μ
AE →， 又G ，D ，E 三点共线，
∴13λ＋13μ＝1，即1λ＋1μ＝3. 11．若正六边形ABCDEF 的边长为2，中心为O ，则|EB →＋OD →＋CA →|＝________. 答案2 3
解析正六边形ABCDEF 中，EB →＋OD →＋CA →＝EO →＋DC →＋OD →＋CA →＝ED →＋DA →＝EA →，
在△AEF 中，∠AFE ＝120°，AF ＝EF ＝2，
∴|EA →|＝22＋22－2×2×2×cos120°＝23，
即|EB →＋OD →＋CA →|＝2 3.
12．在平行四边形ABCD 中，点M 为BC 边的中点，AC →＝λAM →＋μBD →，则λ＋μ＝________.
答案53
解析AC →＝λ⎝
⎛⎭⎪⎫AB →＋12AD →＋μ(AD →－AB →) ＝(λ－μ)AB →＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫λ2＋μAD →， 又因为AC →＝AB →＋AD →，
所以⎩⎨⎧ λ－μ＝1，λ2＋μ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧ λ＝43，μ＝13，
所以λ＋μ＝5 3 .
13．点P是△ABC所在平面内一点，且满足|PB→－PC→|－|PB→＋PC→－2PA→|＝0，则△ABC是________三角形．
答案直角
解析因为点P是△ABC所在平面内一点，
且|PB→－PC→|－|PB→＋PC→－2PA→|＝0，
所以|CB→|－|(PB→－PA→)＋(PC→－PA→)|＝0，
即|CB→|＝|AB→＋AC→|，
所以|AB→－AC→|＝|AC→＋AB→|，
等式两边平方并化简得AC→·AB→＝0，
所以AC→⊥AB→，∠BAC＝90°，则△ABC为直角三角形．
14．在△ABC中，∠A＝60°，∠A的平分线交BC于点D，若AB＝4，且AD→＝1
4
AC→＋λAB→(λ∈R)，
则λ＝________，AD的长为________．
答案3
4
3 3
解析∵B，D，C三点共线，
∴1
4
＋λ＝1，解得λ＝
3
4
.
如图，过D分别作AC，AB的平行线交AB，AC于点M，N，
则AN →＝14AC →，AM →＝34AB →
，
∵在△ABC 中，∠A ＝60°，∠A 的平分线交BC 于D ，
∴四边形AMDN 是菱形，
∵AB ＝4，∴AN ＝AM ＝3，
∴AD ＝3 3.
15．(2022·滁州模拟)已知P 为△ABC 所在平面内一点，AB →＋PB →＋PC →＝0，|
AB →|＝|PB →|＝|PC →|＝2，则△ABC 的面积为()
A.3B ．23C ．33D ．4 3
答案B
解析设BC 的中点为D ，AC 的中点为M ，连接PD ，MD ，BM ，如图所示，
则有PB →＋PC →＝2PD →.
由AB →＋PB →＋PC →＝0，
得AB →＝－2PD →，
又D 为BC 的中点，M 为AC 的中点，
所以AB →＝－2DM →，则PD →＝DM →，
则P ，D ，M 三点共线且D 为PM 的中点，
又D 为BC 的中点，
所以四边形CPBM 为平行四边形．
又|AB →|＝|PB →|＝|PC →|＝2，
所以|MC →|＝|BP →|＝2，则|AC →|＝4，
且|BM →|＝|PC →|＝2，
所以△AMB 为等边三角形，∠BAC ＝60°，
则S △ABC ＝12×2×4×32
＝2 3. 16．若2OA →＋OB →＋3OC →＝0，S △AOC ，S △ABC 分别表示△AOC ，△ABC 的面积，则S △AOC ∶S △ABC ＝________.
答案1∶6
解析若2OA →＋OB →＋3OC →＝0，
设OA ′→＝2OA →，OC ′→＝3OC →，
可得O 为△A ′BC ′的重心，如图，
设S △AOB ＝x ，S △BOC ＝y ，S △AOC ＝z ，
则S △A ′OB ＝2x ，S △BOC ′＝3y ，S △A ′OC ′＝6z ，
由2x＝3y＝6z，
可得S△AOC∶S△ABC＝z∶(x＋y＋z)＝1∶6.。