等比数列前n项和
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a10 a11 a12 192
运用知识 强化练习
练习4 （机动）
1．已知等比数列 an的公比为2，S4 ＝１，求 S8．
2．求等比数列
1，2，4，8， 9999
的前10项的和．
小结：
1、求和公式:
(1) q 1
Sn
a1 anq 1q
*
Sn
a1(1 qn ) 1q
(2) q 1 Sn na1
2、在使用等比数列前n项和公式时,
要注意q是否为1;
3、当已知 a1, an , 及 q 时,运用公式* 可避免 qn 的计算.
一则古老的印度故事
在印度舍罕王时代，他发出命令，全国上下谁能发 明一件让人娱乐，又能增长知识的东西，他就让他挑 选皇宫中的贵重物品。他的宰相达依尔由此发明了国 际象棋，整个棋盘是由64个小方格组成的正方形（如 图）。
(1)q 1 两边都除以 ( 1-q )得
Sn
a1 anq 1q
Sn
a1(1 qn ) 1q
(2)q 1
Sn a1 a2 a3 an2 an1 an Sn a1 a1 a1 a1 a1 a1
Sn na1
巩固知识 典型例题
,
公比是
1
3,
求它的首项.
解: ∵
S4
20 3
,
q 1 , 3
∴
S4
a1[1 q4 ] 1 q
20
a1[1
(
1)4 3
]
3 1 ( 1)
3
a1 9 ∴这个数列的首项是 9 .
运用知识 强化练习
9
4
练习2、一个等比数列首项 4 ，末项为 9 ，
各项的和为 211，
36
舍罕王问达依尔需要什么奖赏时，达依尔说：“陛 下，为臣别无他求，只请您在这张棋盘的第一个小格 内，赏给我一粒麦子，在第二个小格内给二粒，第三 格内给四粒，第四格内给八粒。总之，每一格内都比 前一格加一倍。陛下啊，把这样摆满棋盘上所有64格
的麦粒，都赏给我，我就心满意足了。”
一则古老的印度故事
于是国王便同意了宰相的要求，他心里为自己对这 样一件奇妙的发明，所许下的慷慨赏诺不致破费太多而 暗喜。便令人把一袋麦子拿到宝座前。
qSn a1q a2q a3q an2q an1q anq
qSn a2 a3 a4 an1 an anq (2)
由(1)-(2)得 Sn qSn a1 anq
等比数列求和公式推导：
Sn qSn a1 anq
(1 q)Sn a1 anq
计数麦粒的工作开始。第一格放一粒，第二格两粒 ……，还不到第20格，袋子已经空了。一袋又一袋的麦 子被扛到国王面前。
但是，麦粒数一格接一格地增长得那样迅速，开始是 人扛，后来是马车拉，再后来，干脆一个粮库也填不满 一个小格。很快就可以看出，即便拿来全印度的粮食， 国王也兑现不了他对宰相许下的诺言了。
第六章
数列 §6.3.3 等比数列的前n项和
等比数列求和公式推导：
已知:等比数列 { an } 的比为 q ,
求: Sn a1 a2 a3 an2 an1 an
解: Sn a1 a2 a3 an2 an1 an (1)
等式两边都乘以公比 q ,得
例1. 写出等比数列1，−3，9，−27，… 的前n项和公式, 并求出数列的前8项的和．
解： ∵
a1
1, q
3 1
3，
∴等比数列的前n项和公式为
Sn
1[1 (3)n ] 1 (3)
1
(3)n 4
，
刚才学习
了等比数列 求和公式哦
∴
S8
1 (3)8 4
1640．
巩固知识 典型例题
求数列的公比并判断数列是由几项组成．
解得 q 2
n=5
3
故数列的公比
q
2 3
，该数列共有5项．
运用知识 强化练习
练习3、在等比数列{an}中，a1=3,an=96, Sn=189, 求q, n.
巩固知识 典型例题
例3.在等比数列{an}中, 若a1 a2 a3 3,a4 a5 a6 12, 求a10 a11 a12
例2 . 求等比数列 1，1 , 1 ,1 , 1 , 2 4 8 16
的前10项和 。
解: ∵
a1
1,
q
1 2
,
∴
S10
a1[1 q10] 1 q
1[1 (1 )10]
2
1 1
2
1 023
2 29
512
运用知识 强化练习
练习1、已知一个等比数列的前4项的和为
20 3
18446744073709551615(粒) ≈73560(亿吨)
人们估计，全世界两千年也难以生产这么多麦子!
作业：
书本 P17 练习6.3.3 ：1, 2，3 书本 P20 B组 1, 2，3
自觉完成学习与训练P16-P19
运用知识 强化练习
练习4 （机动）
1．已知等比数列 an的公比为2，S4 ＝１，求 S8．
2．求等比数列
1，2，4，8， 9999
的前10项的和．
小结：
1、求和公式:
(1) q 1
Sn
a1 anq 1q
*
Sn
a1(1 qn ) 1q
(2) q 1 Sn na1
2、在使用等比数列前n项和公式时,
要注意q是否为1;
3、当已知 a1, an , 及 q 时,运用公式* 可避免 qn 的计算.
一则古老的印度故事
在印度舍罕王时代，他发出命令，全国上下谁能发 明一件让人娱乐，又能增长知识的东西，他就让他挑 选皇宫中的贵重物品。他的宰相达依尔由此发明了国 际象棋，整个棋盘是由64个小方格组成的正方形（如 图）。
(1)q 1 两边都除以 ( 1-q )得
Sn
a1 anq 1q
Sn
a1(1 qn ) 1q
(2)q 1
Sn a1 a2 a3 an2 an1 an Sn a1 a1 a1 a1 a1 a1
Sn na1
巩固知识 典型例题
,
公比是
1
3,
求它的首项.
解: ∵
S4
20 3
,
q 1 , 3
∴
S4
a1[1 q4 ] 1 q
20
a1[1
(
1)4 3
]
3 1 ( 1)
3
a1 9 ∴这个数列的首项是 9 .
运用知识 强化练习
9
4
练习2、一个等比数列首项 4 ，末项为 9 ，
各项的和为 211，
36
舍罕王问达依尔需要什么奖赏时，达依尔说：“陛 下，为臣别无他求，只请您在这张棋盘的第一个小格 内，赏给我一粒麦子，在第二个小格内给二粒，第三 格内给四粒，第四格内给八粒。总之，每一格内都比 前一格加一倍。陛下啊，把这样摆满棋盘上所有64格
的麦粒，都赏给我，我就心满意足了。”
一则古老的印度故事
于是国王便同意了宰相的要求，他心里为自己对这 样一件奇妙的发明，所许下的慷慨赏诺不致破费太多而 暗喜。便令人把一袋麦子拿到宝座前。
qSn a1q a2q a3q an2q an1q anq
qSn a2 a3 a4 an1 an anq (2)
由(1)-(2)得 Sn qSn a1 anq
等比数列求和公式推导：
Sn qSn a1 anq
(1 q)Sn a1 anq
计数麦粒的工作开始。第一格放一粒，第二格两粒 ……，还不到第20格，袋子已经空了。一袋又一袋的麦 子被扛到国王面前。
但是，麦粒数一格接一格地增长得那样迅速，开始是 人扛，后来是马车拉，再后来，干脆一个粮库也填不满 一个小格。很快就可以看出，即便拿来全印度的粮食， 国王也兑现不了他对宰相许下的诺言了。
第六章
数列 §6.3.3 等比数列的前n项和
等比数列求和公式推导：
已知:等比数列 { an } 的比为 q ,
求: Sn a1 a2 a3 an2 an1 an
解: Sn a1 a2 a3 an2 an1 an (1)
等式两边都乘以公比 q ,得
例1. 写出等比数列1，−3，9，−27，… 的前n项和公式, 并求出数列的前8项的和．
解： ∵
a1
1, q
3 1
3，
∴等比数列的前n项和公式为
Sn
1[1 (3)n ] 1 (3)
1
(3)n 4
，
刚才学习
了等比数列 求和公式哦
∴
S8
1 (3)8 4
1640．
巩固知识 典型例题
求数列的公比并判断数列是由几项组成．
解得 q 2
n=5
3
故数列的公比
q
2 3
，该数列共有5项．
运用知识 强化练习
练习3、在等比数列{an}中，a1=3,an=96, Sn=189, 求q, n.
巩固知识 典型例题
例3.在等比数列{an}中, 若a1 a2 a3 3,a4 a5 a6 12, 求a10 a11 a12
例2 . 求等比数列 1，1 , 1 ,1 , 1 , 2 4 8 16
的前10项和 。
解: ∵
a1
1,
q
1 2
,
∴
S10
a1[1 q10] 1 q
1[1 (1 )10]
2
1 1
2
1 023
2 29
512
运用知识 强化练习
练习1、已知一个等比数列的前4项的和为
20 3
18446744073709551615(粒) ≈73560(亿吨)
人们估计，全世界两千年也难以生产这么多麦子!
作业：
书本 P17 练习6.3.3 ：1, 2，3 书本 P20 B组 1, 2，3
自觉完成学习与训练P16-P19