2021高考一轮复习 第十八讲 正弦定理、余弦定理及其应用

2021高考一轮复习第十八讲正弦定理、余弦定理及其应用
一、单选题（共16题；共32分）
1.在△ABC中，cosC= 2
3
，AC=4，BC=3，则cosB=（）
A. 1
9B. 1
3
C. 1
2
D. 2
3
【答案】A
【考点】余弦定理
2.在△ABC中，cosC= 2
3
，AC=4，BC=3，则tanB=（）
A. √5
B. 2 √5
C. 4 √5
D. 8 √5【答案】C
【考点】同角三角函数间的基本关系，余弦定理
3.在ΔABC中，sin2A≤sin2B+sin2C−sinBsinC．则A的取值范围是（）
A. （0，π
6] B. [ π
6
，π） C. （0，π
3
] D. [ π
3
，π）
【答案】C
【考点】正弦定理，余弦定理
4.在△ABC中，若sinA
a =cosB
b
=cosC
c
，则△ABC是（）
A. 正三角形
B. 等腰三角形
C. 等腰直角三角形
D. 有一内角为60°的直角三角形
【答案】C
【考点】正弦定理，三角形的形状判断
5.在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c．若a=1,c=2√2,B=45°，则sinC=（）
A. 4
41B. 4
5
C. 2√5
5
D. 4√41
41
【答案】C
【考点】正弦定理，余弦定理
6.△ABC的三边长分别为AB=7,BC=5,CA=6,则AB⇀⋅BC⇀的值为（）
A. 19
B. 14
C. -18
D. -19
【答案】 D
【考点】平面向量数量积的运算，余弦定理
7.在ΔABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a2+b2=2019c2，则2tanA⋅tanB
tanC(tanA+tanB)
的值为( )
A. 2017
B. 2018
C. 2019
D. 2020
【答案】B
【考点】同角三角函数间的基本关系，正弦定理，余弦定理
8.在△ABC中，b=3,c=6,B=45°，则三角形解的情况是（）
A. 一解
B. 两解
C. 一解或两解
D. 无解
【答案】 D
【考点】正弦定理
9.一船沿北偏西45∘方向航行，正东有两个灯塔A,B, AB=10海里，航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏东60∘，另一灯塔在船的南偏东75∘，则这艘船的速度是每小时（）
A. 5海里
B. 5√2海里
C. 10海里
D. 10√2海里
【答案】 D
【考点】正弦定理的应用
10.在ΔABC中，a=3√2，b=2√3，cosC=1
，则ΔABC的面积为( )．
3
A. √3
B. 2√3
C. 3√3
D. 4√3
【答案】 D
【考点】同角三角函数间的基本关系，三角形中的几何计算
11.在△ABC中，D为BC边上一点，若△ABD是等边三角形，且AC=4√3，则△ADC的面积的最大值为（）
A. 4√3
B. 6√3
C. 8√3
D. 10√3
【答案】A
【考点】三角形中的几何计算
12.如图，某侦察飞机在恒定高度沿直线AC匀速飞行．在A处观测地面目标A，测得俯角∠BAP= 30°．经2分钟飞行后在B处观测地面目标P，测得俯角∠ABP=60°．又经过一段时间飞行后在C 处观察地面目标P，测得俯角∠BCP=θ且cosθ=4√19
，则该侦察飞机由B至C的飞行时间为（）
19
A. 1.25分钟
B. 1.5分钟
C. 1.75分钟
D. 2分钟
【答案】B
【考点】三角函数中的恒等变换应用，解三角形
13.如图所示,为测一棵树的高度,在地面上选取A,B两点,从A,B两点分别测得树尖P的仰角为30°,45°,且A,B 两点之间的距离为60m,则树的高度h为( )
A. (30+30√3)m
B. (30+15√3)m
C. (15+30√3)m
D. (15+15√3)m
【答案】A
【考点】正弦定理的应用
14.在ΔABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c满足b2+c2−a2=bc,a=√3，则b+c的取值范围是（）
A. (1,√3)
B. (√3,2√3]
C. (√3,3√3)
D. (√3,3√3
2
]
【答案】B
【考点】两角和与差的正弦公式，三角函数的最值，正弦定理，余弦定理
15.在△ABC中，A,B的对应边分别为a,b且A=2B,sinB=3
5，则a
b
的值是（）
A. 3
5B. 4
5
C. 4
3
D. 8
5
【答案】 D
【考点】二倍角的正弦公式，正弦定理
16.在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，已知cosA=4
5
,b=2,S△ABC=3，则边a为（）
A. 20
3B. 5 C. √13 D. √97
4
【答案】C
【考点】余弦定理，三角形中的几何计算
二、多选题（共1题；共3分）
17.对于△ABC，有如下判断，其中正确的判断是（）
A. 若A>B，则sinA>sinB
B. 若sin2A=sin2B，则△ABC为等腰三角形
C. 若sin2A+sin2B<sin2C，则△ABC是钝角三角形
D. 若a=8，c=10，B=60°，则符合条件的△ABC有两个
【答案】A,C
【考点】正弦定理，余弦定理，三角形的形状判断
三、填空题（共2题；共3分）
18.△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c．已知bsinA=acos(B−π
6
)．则角B的大小为________，若a=2,c=3，则b的值为________．
【答案】π
3
；√7
【考点】两角和与差的余弦公式，正弦定理，余弦定理
19.在△ABC中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，A=60°，b=1，其面积为√3，则
a+b+c
sinA+sinB+sinC
=________．
【答案】2√39
3
【考点】正弦定理，余弦定理
四、解答题（共5题；共45分）
20.△ABC中，sin2A－sin2B－sin2C=sinBsinC．
（1）求A；
（2）若BC=3，求△ABC周长的最大值.
【答案】（1）解：由正弦定理可得：BC2−AC2−AB2=AC⋅AB，
∴cosA=AC2+AB2−BC2
2AC⋅AB =−1
2
，
∵A∈(0,π)，∴A=2π
3
.
（2）解：由余弦定理得：BC2=AC2+AB2−2AC⋅ABcosA=AC2+AB2+AC⋅AB=9，即(AC+AB)2−AC⋅AB=9.
∵AC⋅AB≤(AC+AB
2
)2（当且仅当AC=AB时取等号），
∴9=(AC+AB)2−AC⋅AB≥(AC+AB)2−(AC+AB
2)2=3
4
(AC+AB)2，
解得：AC+AB≤2√3（当且仅当AC=AB时取等号），
∴△ABC周长L=AC+AB+BC≤3+2√3，∴△ABC周长的最大值为3+2√3.
【考点】基本不等式在最值问题中的应用，正弦定理，余弦定理
21.已知函数f(x)=√3sinxcosx+1
2
(sin2x−cos2x)(x∈R).
（1）求f(x)的单调递增区间.
（2）在ΔABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若f(A)=1，c=10，cosB= 1
7
，求ΔABC的中线AD 的长.
【答案】（1）解：f(x)=1
2(−cos2x+√3sin2x)=sin(2x−π
6
).令2kπ −π
2
≤2x −π
6
≤2kπ +π
2
，
k∈Z，解得kπ −π
6≤x ≤kπ +π
3
，k∈Z，
所以递增区间：[−π
6+kπ,π
3
+kπ]k∈Z.
（2）解：由(1)知，f(x)=sin(2x−π
6
)，∴在ΔABC中f(A)=1
∴sin(2x−π
6
)=1
∴2A−π
6=π
2
∴A=π
3
又cosB=1
7
∴sinB=4√3
7
，
∴sinC=sin(A+B)=√3
2×1
7
+1
2
×4√3
7
=5√3
14
，
在ΔABC中，由正弦定理c
sinC =a
sinA
，得5√3
14
=
√3
2
∴a=14，∴BD=7
在ΔABD中，由余弦定理得，
AD2=AB2+BD2−2AB⋅BDcosB=102+72−2×10×7cosB=129
因此ΔABC得中线AD=√129.
【考点】函数的单调性及单调区间，正弦定理，余弦定理
22.在锐角三角形ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，且2sin2AcosA−√3cos(B+C)−sin3A−√3=0
（Ⅰ）求A的大小；
（Ⅱ）若a=2，求ΔABC的周长L的最大值.
【答案】解：（Ⅰ）∵A+B+C=π，∴cos(B+C)=−cosA①，
∵3A=2A+A，∴sin3A=sin(2A+A)=sin2AcosA+cos2AsinA②，
又sin2A=2sinAcosA③，cos2A=2cos2A−1④，
将①②③④代入已知，得2sin2AcosA+√3cosA=sin2AcosA+cos2AsinA+√3，
得sinA+√3cosA=√3，即sin(A+π
3)=√3
2
，
又A∈(0,π
2)，∴A+π
3
=2π
3
，即A=π
3
.
（Ⅱ）由正弦定理得，√3
2=b
sinB
=c
sin(2
3
π−B)
L=
√3+sin(2
3
π−B)]+2=4sin(B+π
6
)+2(π
6
<B<π
2
)
∵π
6<B<π
2
，∴π
3
<B+π
6
<2π
3
，
当B+π
6=π
2
时，即B=π
3
，ΔABC的周长L max=6.
【考点】两角和与差的余弦公式，两角和与差的正弦公式，诱导公式，正弦定理23.在锐角△ABC中，角A,B,C的对边分別为a,b,c，且√3a=2csinA．（1）求角C的大小；
（2）若c=√13，且△ABC的面积为3√3，求a+b的值．
【答案】（1）解：在锐角△ABC中，因为√3a=2csinA，
由正弦定理可知：a=2RsinA, c=2RsinC（其中R为△ABC外接圆半径），所以√3sinA=2sinCsinA，
又因为锐角三角形，则A∈(0,π
2)，可得sinA>0，所以sinC=√3
2
，
又因为锐角三角形，则C∈(0,π
2)，所以C=π
3
．
（2）解：因为 △ABC 的面积为 3√3 ，即 S △ABC =1
2absinC =1
2absin π
3=3√3 ， 可得 ab =12 ⋯⋯ ①．
在 △ABC 中，由余弦定理可知： cosC =
a 2+
b 2−
c 2
2ab
=1
2
，
因为 c =√13 ，所以 a 2+b 2−13=ab ⋯⋯ ②， 联立①②解得： a +b =7 ．
【考点】解三角形，正弦定理，余弦定理
24.在 ΔABC 中，角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c ，已知向量 m ⃗⃗ =(a +c,a −b) 与向量 n ⃗ =(b,a −c) 互相平行，且 c =√3 ． （1）求角C ；
（2）求a+b 的取值范围．
【答案】 （1）解：由题意知： (a +c)(a −c)+b(b −a)=0 ；即 a 2+b 2−c 2=ab =2ab cos C ； 所以， cos C =1
2,C =π
3 ．
（2）解：∵ C =π
3 ，∴ A +B =
2π3
，
a +
b =2sin A +2sin B =2sin A +2sin (2π
3−A)=2sin A +2sin
2π3
cos A −2cos
2π3
sin A =2(3
2sin A +
√3
2cos
A)=2√3(√32sin A +12cos A)=2√3sin (A +π
6)
∵ 0<A <
2π
3
，∴ π6
<A +π6
<
5π6
⇒12<sin (A +π
6
)≤1 ．
所以 sin A +sin B 的取值范围是 (√3,2√3] ．
【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示，平均值不等式，正弦定理，余弦定理。