浙江省杭州市2015年高考数学模拟命题比赛17

2015年高考模拟试卷数学卷（理科）
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的。

） 1．（原创）全集U =R ，{}3,A x x x =≤∈R ，{}1,B x x x N =≥∈，则U C B A ⋂=（
）
A ．{}13
x x ≤≤ B ．{}1x x ≤ C ．{}1,2,3 D ．{}0,1
2．（原创）已知(0,)απ∈，且3
cos 5
α=-
，则tan α=（ ） A ．34 B ．34- C ．43 D ．43
-
3．（原创）已知函数20
()0
x
x f x x ⎧≤⎪=⎨>⎪⎩， x-1，, ()3y f x m =-的零点个数为，则m 的取值范围
为（ ） A ．{}01
m m ≤≤ B ．{}01m m << C ．{}01m m <≤ D ．{}01m m ≤<
4．（改编）已知1||||==b a 向量b a 与的夹角为60°，且)()(b t a b a +⊥+，则实数t 的值为（ ）
A ．-1
B ．1
C ．-2
D ．2
5．（原创）等差数列{}n a 满足：4569,a a a ++=，则1410a a a ++=（ ） A ．1 B ．3 C ．9 D ．27
6．（改编）在具有如图所示的正视图和俯视图的几何体中，体积最小的几何体的表面积为 （ ） A ．13 B ．237+ C ．
π2
7
D ．14
7．（改编）已知抛物线x y 42
=，圆1)1(:2
2
=+-y x F ，过点F 作直线l ，自上而下依次与上述两曲线交于点D C B A ,,,（如图所示），则
||||CD AB ⋅ ． （ ）
A ．等于1
B ．最小值是1
C ．等于4
D ．最大值是4
8．（改编）已知)(x f 是定义在R 上的增函数，函数)1(-=x f y 的图象关于点（1,0）对称，若对任意的x ，y R ∈，不等式0)34()3(2=--+-x x f y f 恒成立，则
x
y
的取值范围是（ ）
A ．]3322,3322[+-
B ．]3322,1[+
C ．]3,33
22[- D ．]3,1[ 二、填空题：本大题共7小题，第9题每空2分，第10，11，12题每空3分，第13，14，15题每空4分，共36分。

9. （原创）已知()2sin 26f x x π⎛
⎫
=-
⎪⎝
⎭。

则524f π⎛⎫
⎪⎝⎭
= ；若()1f x ≥，则满足条件的x 的集合为 ；则)(x f 的其中一个对称轴为 。

10．（原创）已知圆锥曲线
22
123y x m m +=+，
若此曲线是焦点在x 轴上的双曲线，则m 的取值范围是 ；若此曲线是椭圆，则m 的取值范围是 。

11．（改编）当实数x ，y 满足时，则x+2y 的最大值是 ；若1≤ax+y≤4
恒成立，则实数a 的取值范围是 。

12．（原创）已知函数212
()log (6)f x x =-，若()2f x <-，则x 的解集为 ；
求()y f x =的单调减区间是 ；
13．已知圆0654)26(:2
2
2
=-+---+m m my x m y x C ，定直线l 经过点A (1,0)，若对 任意的实数m ，定直线l 被圆C 截得的弦长始终为定值A ，求得此定值A = ．
14（改编）已知定义在R 上的函数)(x f 满足：⎩⎨⎧-∈-∈+=),
0 ,1[,2),
1 ,0[,2)(2
2x x x x x f 且)()2(x f x f =+，
()kx+2g x =，若方程()()f x g x =有三个实根时， k 的取值范围是 ．
15．若实数x,y 满足42
2
=+y x ,则
2
-+y x xy
的取值范围是 .
三、解答题：本大题共5小题，共74分。

写出文字说明、证明过程或演算步骤。

16．（本小题满分14分）在ABC ∆中，内角,,A B C 的对应边分别为,,a b c ，已知
sin cos a c B b C =+．
（1）求A C +的值；（2）若2b =，求ABC ∆面积的最大值．
17．（本题满分15分）已知数列{}n a ，n S 是其前n 项的且满足32(N )n n a S n n *
=+∈
（1）求证：数列12n a ⎧
⎫+
⎨⎬⎩⎭
为等比数列； （2）记12n n T S S S =+++…，求n T 的表达式。

18．（本题满分15分）如图1，在ACB Rt ∆中，90C ∠=°，3=BC ，6=AC ，D ，E 分
别是AC ，AB 上的点，且BC DE //，2=DE ，将ADE ∆沿DE 折起到DE A 1
∆的位
置，使CD C A ⊥1，如图2．
（Ⅰ）求证：⊥C A 1平面BCDE ；
（Ⅱ）若M 是D A 1的中点，求CM 与平面BE A 1所成角的大小；
（Ⅲ）点F 是线段BE 的靠近点E 的三等分点，点P 是线段F A 1上的点，直线l 过点B 且
垂直于平面BCDE ，求点P 到直线l 的距离的最小值．
19．（本小题满分15分）已知椭圆122
22=+b
y a x （0>>b a ）的右焦点为2(3,0)F ，离心率为
e .
（Ⅰ）若e =
（Ⅱ）设直线y kx =与椭圆相交于A ，B 两点，,M N 分别为线段22,AF BF 的中点. 若坐标原点O 在以MN 为直径的圆上，且2
322≤<e ，求k 的取值范围.
20．（本小题满分15分）已知函数f(x)=|x 2-1|，g(x)=x 2
+ax+2，x ∈R ． (Ⅰ)若函数g(x)≤0的解集为[1，2]，求不等式f(x)≤g(x)的解集；
(Ⅱ)若函数h(x)=f(x)+g(x)+2在(0，2)上有两个不同的零点x 1，x 2，求实数a
的取值范围．
2015年高考模拟试卷数学参考答案与评分标准
一、选择题（本大题共8题，每题5，共40分）
二、填空题（本大题共7小题，第9题每空2分，第10，11，12题每空3分，第13，14，15题每空4分，共36分）
9、 ， ， ，
10、 ， 11、 ，
12、 ， 13、
14、 15、
三、解答题（74分） 16本小题满分14分）
17．（本题满分15分）18．（本题满分15分）
19．（本题满分15分）20．（本题满分15分）
2015年高考模拟试卷数学参考答案与评分标准
一、选择题（本大题共8题，每题5，共40分）
二、填空题（本大题共7小题，第9题每空2分，第10，11，12题每空3分，第13，14，15题每空4分，共36分） 9、 2 ， (2,2),62k k k Z π
πππ+
+∈ ， 3
x π
= ， 10、 0<m<-3 ， 0<m<-3 11、 4 ， []_
12、(,10)
(10,)-∞-+∞ ， (3,)+∞
13、
5
145
2 14 1
(,1)3
15、 ]21,2()2,21[+-
三、解答题（74分） 16本小题满分14分）
（1）由正弦定理得到：sin sin sin sin cos A C B B C =+
因为在三角形中，sin sin[()]sin()A B C B C π=-+=+ ------2分 所以sin()sin cos cos sin sin sin sin cos B C B C B C C B C +=+=+ 所以cos sin sin sin B C C B = -----4分 因为(0,),sin 0C C π∈≠ ，所以cos sin B B =即tan 1,(0,)B B π=
题
号
1 2 3 4 5 6 7 8
答
案
D D B A C B A C
学校_________________ 班级_________________ 姓名____________ 学号___________试场号 座位号 ……………………………密…………………………………………封…………………………………………线…………………………………
所以4
B π
=
即3
4
A C π+=。

-----6分 （2）由余弦定理得到：222
2cos b a c ac B =+-,所
以2
2
2a c =+
-----8分
所以2
2
22a c ac +=+≥
即2ac ≤
=+当且仅当a c =
即a c ===”成立 ----12分
而1sin 2ABC
S
ac B =
=，所以ABC ∆
面积的最大值为12
+。

----15分
17．（本题满分15分）
解：（1）当1=n 时，12311+=S a ，∴11=a ……1分 当2≥n 时，n S a n n +=23 ①， )1(2311-+=--n S a n n ② ∴②-①得：12331+=--n n n a a a ，即131+=-n n a a ……5分
∴2113211++=+-n n a a ，32
121
1
=++
-n n a a ，又02
3211≠=+a ∴数列}2
1{+n a 是以23
为首项，3为公比的等比数列。

……7分
（2）由（1）得：132321-⋅=+n n a ，∴21
3231-⋅=-n n a ……9分
∴代入得：)32(4
1
343+-⋅=n S n n ……12分
∴n n S S S S T ++++= 321
))32(975(4
1
)3333(4332++++-++++=n n ……14分 4
)4()13(892)325(4131)31(343+--=++---⋅=n n n n n n ……15分 18．【解题思路】（Ⅰ）
由题CD DE ⊥，DE D A ⊥1，D D A CD =1
∴
DE ⊥平面1A CD ， ……2分
又
1A C ⊂平面1A CD ， 1A C ⊥DE 又1
AC CD ⊥， ∴
D CD D
E = ∴1A C ⊥平面BCDE ． ……4分
（Ⅱ）如图建立空间直角坐标系C xyz -，则()200D -，，，
()
0023
A ，，，
()
030B ，，，
()
220E -，，∴
()
10323
A B =-，，，
)0,1,2(--=BE ……6分
设平面1A BE 法向量为()n x y z =，，
则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅0
01n BE n B A ∴323020y z x y ⎧-=⎪⎨--=⎪⎩ ∴3
22
z y y x ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩
∴不妨取(
)123n =-，， ……8分
又∵()
103M -，， ∴(
)103
CM =-，， ……9分
∴=><=|,cos |sin n CM θ1342214313222
CM n CM n
+=
==
+++，
∴CM 与平面1A BE 所成角的大小45︒．……11分 （Ⅲ）设)0,,(00y x F ，则)0,3,(00-=y x BF ，)0,1,2(--=BE
由题BE
BF 3
2=∴
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧
=-=373400y x ，即)0,37,34(-F ……12分 设),,(111z y x P ，)32,,(1111-=z y x P A ， )32,3
7,34(1--=F A
设F A P A 11λ=，即)32,,(111-z y x =)32,3
7,34(--λ
∴
λ
3
41-=x ，λ371=y ，λ32321-=z 即(P λ3
4-，λ37
，)3232λ-
设点P 在直线l 上的射影为P '， 则(0,3,2323)P λ'-
点P 到直线l 的距离的平方222216765
||(3)149939
PP λλλλ'=+-=-+ 由题]1,0[∈λ，故当65
63
=
λ时，点P 到直线l 的距离有最小值65
65
12 ……15分 解：（Ⅰ）由题意得， 结合
，
所以，椭圆的方程为； ……5分
（Ⅱ）由，
设，
所以，……7分
依题意，OM⊥ON，
易知，四边形为平行四边形，所以，
因为，
所以，
即，
将其整理为，………11分
因为，
所以，………13分
即。

15分
20．（本小题满分15分）
解：（Ⅰ）∵函数g（x）≤0的解集为[1，2]，∴-a=3，∴a=-3，1分
x2-1＞0时，x2-1≤x2-3x+2，∴x＜-1；3分
x2-1≤0时，-x2+1≤x2-3x+2，∴-1≤x≤或x=1；5分
∴不等式f（x）≤g（x）的解集为{x|x≤或x=1}；7分（Ⅱ）函数h（x）=f（x）+g（x）+2=|x2-1|+x2+ax+4=0，
x2-1＞0时，-a=2x+；x2-1≤0时，-a=，10分
∵函数h（x）=f（x）+g（x）+2在（0，2）上有两个不同的零点x1，x2，
∴由2x+≥2，可得-a≥2，14分∴a≤-2．15分。