高考理数真题训练19 坐标系与参数方程(解析版)

专题19 坐标系与参数方程
1．【2019年高考北京卷理数】已知直线l 的参数方程为13,
24x t y t =+=+⎧⎨⎩
（t 为参数），则点（1，0）到直线l
的距离是 A ．
1
5
B ．
25
C ．
45
D ．
65
【答案】D
【解析】由题意，可将直线l 化为普通方程：12
34
x y --=，即()()41320x y ---=，即4320x y -+=，所以点（1，0）到直线l 的距离
6
5
d =
=，故选D ． 【名师点睛】本题考查直线参数方程与普通方程的转化，点到直线的距离，属于容易题，注重基础知识、基本运算能力的考查．
2．【2018年高考北京卷理数】在极坐标系中，直线cos sin (0)a a ρθρθ+=>与圆=2cos ρθ相切，则a =__________．
【答案】1+【解析】圆ρ＝2cos θ即ρ2＝2ρcos θ，可以转化成直角坐标方程为：x 2+y 2＝2x ，即（x –1）2+y 2＝1；直线ρ（cos θ+sin θ）＝a 转化成直角坐标方程为：x +y –a ＝0．由于直线和圆相切，所以圆心到直线的距离等于
=1，解得a ＝．因为a >0，所以负值舍去．故a ＝1．故答案为：1．
【名师点睛】本题考查的知识要点：极坐标方程与直角坐标方程的互化，直线与圆相切的充要条件的应用．首先把曲线和直线的极坐标方程转化成直角坐标方程，进一步利用圆心到直线的距离等于半径求出结果．
3．【2020年高考全国Ⅰ卷理数】[选修4—4：坐标系与参数方程]（10分）
在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为cos ,
sin k
k
x t y t
⎧=⎪⎨=⎪⎩(t 为参数)．以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为4cos 16sin 30ρθρθ-+=． （1）当1k =时，1C 是什么曲线？
（2）当4k =时，求1C 与2C 的公共点的直角坐标．
【解析】（1）当k =1时，1cos ,
:sin ,
x t C y t =⎧⎨=⎩消去参数t 得221x y +=，故曲线1C 是圆心为坐标原点，半径
为1的圆．
（2）当k =4时，4
14
cos ,
:sin ,
x t C y t ⎧=⎪⎨=⎪⎩消去参数t 得1C
1． 2C 的直角坐标方程为41630x y -+=．
由1,41630x y +=-+=⎪⎩
解得14
14
x y ⎧
=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩．
故1C 与2C 的公共点的直角坐标为11
(,)44
．
4．【2020年高考全国II 卷理数】[选修4—4：坐标系与参数方程]（10分）
已知曲线C 1，C 2的参数方程分别为
C 1：2
2
4cos 4sin x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩，（θ为参数），C 2：1,1x t t
y t t ⎧
=+⎪⎪⎨⎪=-
⎪⎩
（t 为参数）．
（1）将C 1，C 2的参数方程化为普通方程；
（2）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．设C 1，C 2的交点为P ，求圆心在极轴上，且经过极点和P 的圆的极坐标方程．
【解析】（1）1C 的普通方程为4(04)x y x +=≤≤．
由2C 的参数方程得22
212x t t =+
+，22
212y t t
=+-，所以224x y -=． 故2C 的普通方程为224x y -=．
（2）由22
4,4x y x y +=⎧⎨-=⎩得5,2
3,2
x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以P 的直角坐标为53(,)22． 设所求圆的圆心的直角坐标为0(,0)x ，由题意得2
20059()24
x x =-+，
解得017
10
x =
． 因此，所求圆的极坐标方程为17
cos 5
ρθ=
．
5．【2020年高考全国III 卷理数】[选修4—4：坐标系与参数方程]（10分）
在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2
2
223x t t
y t t
⎧=--⎪⎨=-+⎪⎩（t 为参数且t ≠1），C 与坐标轴交于A 、B
两点． （1）求||AB ；
（2）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求直线AB 的极坐标方程． 【解析】（1）因为t ≠1，由220t t --=得2t =-，所以C 与y 轴的交点为（0，12）； 由2230t t -+=得t =2，所以C 与x 轴的交点为(4,0)-．
故||AB =
（2）由（1）可知，直线AB 的直角坐标方程为
1412
x y
+=-，将cos sin x y ρθρθ==，代入， 得直线AB 的极坐标方程3cos sin 120ρθρθ-+=． 6．【2020年高考江苏】[选修4-4：坐标系与参数方程]
在极坐标系中，已知点1π(,)3A ρ在直线:cos 2l ρθ=上，点2π
(,)6
B ρ在圆:4sin
C ρθ=上（其中0ρ≥，
02θ≤<π）．
（1）求1ρ，2ρ的值；
（2）求出直线l 与圆C 的公共点的极坐标． 【解析】（1）由1cos 23ρπ=，得14ρ=；24sin 26ρπ==，又（0，0）（即（0，6
π））也在圆C 上， 因此22ρ=或0．
（2）由cos 2,
4sin ,
ρθρθ=⎧⎨=⎩得4sin cos 2θθ=，所以sin21θ=．
因为0ρ≥，0 2θ≤<π，所以4
θπ
=
，ρ
所以公共点的极坐标为)4
π
．
7．【2019年高考全国Ⅰ卷理数】在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为（t 为参数）．以
坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为
．
（1）求C 和l 的直角坐标方程； （2）求C 上的点到l 距离的最小值．
【答案】（1）2
2
1(1)4
y x x +=≠-；l
的直角坐标方程为2110x +=；（2
．
【解析】（1）因为221111t t --<≤+，且()
2
2
2
22
222141211y t t x t t ⎛⎫-⎛⎫+=+= ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭+，所以C 的直角坐标方程为2
2
1(1)4
y x x +=≠-．
l
的直角坐标方程为2110x ++=．
（2）由（1）可设C 的参数方程为cos ,
2sin x y αα=⎧⎨=⎩（α为参数，ππα-<<）．
C 上的点到l
π4cos 11
α⎛
⎫-+ ⎪=．
当2π3α=-
时，π4cos 113α⎛
⎫-+ ⎪⎝
⎭取得最小值7，故C 上的点到l
．
【名师点睛】本题考查参数方程、极坐标方程与直角坐标方程的互化、求解椭圆上的点到直线距离的最值问题．求解本题中的最值问题通常采用参数方程来表示椭圆上的点，将问题转化为三角函数的最值求解问题．
8．【2019年高考全国Ⅱ卷理数】在极坐标系中，O 为极点，点000(,)(0)M ρθρ>在曲线:4sin C ρθ=上，直线l 过点(4,0)A 且与OM 垂直，垂足为P ． （1）当0=
3
θπ
时，求0ρ及l 的极坐标方程； （2）当M 在C 上运动且P 在线段OM 上时，求P 点轨迹的极坐标方程．
2221141t x t t y t ⎧-=⎪⎪+⎨
⎪=⎪+⎩
，2cos sin 110ρθθ++=
【答案】（1）0ρ=l 的极坐标方程为cos 23ρθπ⎛⎫
-
= ⎪⎝⎭
； （2）4cos ,,42
ρθθπ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦
π．
【解析】（1）因为()00,M ρθ在C 上，当03θπ=时，04sin 3
ρπ
== 由已知得||||cos
23
OP OA π
==． 设(,)Q ρθ为l 上除P 的任意一点．在Rt OPQ △中，cos ||23OP ρθπ⎛⎫
-
== ⎪⎝⎭
， 经检验，点(2,)3
P π在曲线cos 23ρθπ⎛⎫
-
= ⎪⎝⎭
上． 所以，l 的极坐标方程为cos 23ρθπ⎛⎫
-
= ⎪⎝⎭
． （2）设(,)P ρθ，在Rt OAP △中，||||cos 4cos ,OP OA θθ== 即 4cos ρθ=． 因为P 在线段OM 上，且AP OM ⊥，故θ的取值范围是,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦
．
所以，P 点轨迹的极坐标方程为4cos ,,42
ρθθπ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦
π．
【名师点睛】本题主要考查极坐标方程与直角坐标方程的互化，熟记公式即可，属于常考题型．
9．【2019年高考全国Ⅲ卷理数】如图，在极坐标系Ox 中，(2,0)A ，)4B π
，)4
C 3π
，(2,)D π，弧AB ，BC ，CD 所在圆的圆心分别是(1,0)，(1,)2
π，(1,)π，曲线1M 是弧AB ，曲线2M 是弧BC ，曲线3M 是弧CD ．
（1）分别写出1M ，2M ，3M 的极坐标方程；
（2）曲线M 由1M ，2M ，3M 构成，若点P 在M 上，且||OP =
P 的极坐标．
【答案】（1）1M 的极坐标方程为π2cos 04ρθθ⎛⎫
=≤≤
⎪⎝
⎭
，2M 的极坐标方程为π3π2sin 44ρθθ⎛⎫=≤≤
⎪⎝⎭，3M 的极坐标方程为3π2cos π4ρθθ⎛⎫
=-≤≤ ⎪⎝⎭
．
（2）π6⎫⎪⎭或π3⎫⎪⎭或2π3⎫⎪⎭或5π6⎫
⎪⎭
．
【解析】（1）由题设可得，弧,,AB BC CD 所在圆的极坐标方程分别为2cos ρθ=，2sin ρθ=，
2cos ρθ=-．
所以1M 的极坐标方程为π2cos 04ρθθ⎛
⎫=≤≤
⎪⎝
⎭，2M 的极坐标方程为π
3π2sin 44ρθθ⎛⎫=≤≤ ⎪⎝⎭
，3
M 的极坐标方程为3π2cos π4ρθθ⎛⎫
=-≤≤
⎪⎝⎭
． （2）设(,)P ρθ，由题设及（1）知
若π04θ≤≤
，则2cos θ=π
6
θ=；
若π3π44θ≤≤，则2sin θ=π3θ=或2π3θ=；
若3ππ4θ≤≤，则2cos θ-=5π6
θ=．
综上，P 的极坐标为π6⎫⎪⎭或π3⎫⎪⎭或2π3⎫⎪⎭或5π6⎫
⎪⎭
．
【名师点睛】此题考查了极坐标中过极点的圆的方程，思考量不高，运算量不大，属于中档题．
10．【2019年高考江苏卷数学】在极坐标系中，已知两点3,
,42A B ππ⎛
⎫⎫ ⎪⎪⎝⎭⎭
，直线l 的方程为sin 34
ρθπ⎛⎫
+= ⎪⎝
⎭
．
（1）求A ，B 两点间的距离；（2）求点B 到直线l 的距离．
【答案】（12）2．
【解析】（1）设极点为O ．在△OAB 中，A （3，
4π），B ，2
π
），
由余弦定理，得AB = （2）因为直线l 的方程为sin()34
ρθπ+=，
则直线l 过点)2π，倾斜角为
34
π．
又)2
B π，所以点B 到直线l 的距离为3sin(
)242
ππ
⨯-=． 【名师点睛】本题主要考查曲线的极坐标方程等基础知识，考查运算求解能力．
11．【2018年高考全国Ⅰ卷理数】在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的方程为||2y k x =+．以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为2
2cos 30ρρθ+-=． （1）求2C 的直角坐标方程；
（2）若1C 与2C 有且仅有三个公共点，求1C 的方程．
【答案】（1）2C 的直角坐标方程为22
(1)4x y ++=．；（2）1C 的方程为4
||23
y x =-
+． 【解析】（1）由cos x ρθ=，sin y ρθ=得2C 的直角坐标方程为22
(1)4x y ++=．
（2）由（1）知2C 是圆心为(1,0)A -，半径为2的圆．
由题设知，1C 是过点(0,2)B 且关于y 轴对称的两条射线．记y 轴右边的射线为1l ，y 轴左边的射线为
2l ．由于B 在圆2C 的外面，故1C 与2C 有且仅有三个公共点等价于1l 与2C 只有一个公共点且2l 与2C 有
两个公共点，或2l 与2C 只有一个公共点且1l 与2C 有两个公共点． 当
1l 与2C 只有一个公共点时，A 到1l 所在直线的距离为22=，故43k =-或0k =．
经检验，当0k =时，1l 与2C 没有公共点；当4
3
k =-时，1l 与2C 只有一个公共点，2l 与2C 有两个公共点．
当
2l 与2C 只有一个公共点时，A 到2l 所在直线的距离为22=，故0k =或43k =．
经检验，当0k =时，1l 与2C 没有公共点；当4
3
k =时，2l 与2C 没有公共点． 综上，所求1C 的方程为4
||23
y x =-
+． 12．【2018年高考全国Ⅱ卷理数】在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2cos 4sin x θy θ=⎧⎨=⎩，
（θ为参数），
直线l 的参数方程为1cos 2sin x t αy t α=+⎧⎨=+⎩
，
（t 为参数）．
（1）求C 和l 的直角坐标方程；
（2）若曲线C 截直线l 所得线段的中点坐标为(1,2)，求l 的斜率．
【答案】（1）曲线C 的直角坐标方程为22
1416x y +=，l 的直角坐标方程为1x =；
（2）l 的斜率为2-． 【解析】（1）曲线C 的直角坐标方程为22
1416
x y +=．
当cos 0α≠时，l 的直角坐标方程为tan 2tan y x αα=⋅+-， 当cos 0α=时，l 的直角坐标方程为1x =．
（2）将l 的参数方程代入C 的直角坐标方程，整理得关于t 的方程
22(13cos )4(2cos sin )80t t ααα+++-=．①
因为曲线C 截直线l 所得线段的中点(1,2)在C 内，所以①有两个解，设为1t ，2t ，则120t t +=． 又由①得122
4(2cos sin )
13cos t t ααα
++=-
+，故2cos sin 0αα+=，于是直线l 的斜率tan 2k α==-． 13．【2018年高考全国Ⅲ卷理数】在平面直角坐标系xOy 中，O ⊙的参数方程为cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩
，
（θ为参数），
过点(0，且倾斜角为α的直线l 与O ⊙交于A B ，两点． （1）求α的取值范围；
（2）求AB 中点P 的轨迹的参数方程．
【答案】（1）α的取值范围是(,)44π3π．；（2）点P
的轨迹的参数方程是2,2cos 222
x y αα
⎧=
⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩(α
为参数，
44
απ3π
<<
)． 【解析】（1）O 的直角坐标方程为22
1x y +=．
当2
απ
=时，l 与O 交于两点． 当2απ≠
时，记tan k α=，则l
的方程为y kx =-l 与O
交于两点当且仅当|
1<，解得1k <-或1k >，即(,)42αππ∈或(,
)24
απ3π
∈． 综上，α的取值范围是(,)44
π3π
．
（2）l
的参数方程为cos ,(sin x t t y t αα
=⎧⎪⎨
=⎪⎩为参数，44απ3π
<<)． 设A ，B ，P 对应的参数分别为A t ，B t ，P t ，则2
A B
P t t t +=
，且A t ，B t
满足2sin 10t α-+=．
于是A B t t α+=
，P t α=．又点P 的坐标(,)x y
满足cos ,
sin .
P P x t y t αα=⎧⎪⎨
=⎪⎩ 所以点P
的轨迹的参数方程是2,2222
x y αα
⎧=⎪
⎪⎨
⎪=--⎪⎩(α为参数，44απ3π<<)． 14．【2018年高考江苏卷数学】在极坐标系中，直线l 的方程为π
sin()26
ρθ-=，曲线C 的方程为ρ=4cos θ，
求直线l 被曲线C 截得的弦长．
【答案】直线l 被曲线C
截得的弦长为 【解析】因为曲线C 的极坐标方程为=4cos ρθ， 所以曲线C 的圆心为（2，0），直径为4的圆．
因为直线l 的极坐标方程为πsin()26ρθ-=，
则直线l 过A （4，0），倾斜角为π
6
，
所以A 为直线l 与圆C 的一个交点． 设另一个交点为B ，则∠OAB =
π6
． 连结OB ，因为OA 为直径，从而∠OBA =
π2
，
所以π
4cos
6
AB ==
因此，直线l 被曲线C 截得的弦长为。