重庆市荣昌县仁义中学高一数学下学期期末试卷(含解析)

2014-2015学年重庆市荣昌县仁义中学高一（下）期末数学试卷
一．选择题（每小题5分，共50分）
1．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a2﹣b2=bc，sinC=2sinB，则A=（）
A．30°B．60°C．120°D．150°2．某程序框图如图所示，若输出的S=57，则判断框内为（）
A． k＞4？B． k＞5？C． k＞6？D． k＞7？
3．在等差数列{a n}中，已知a1+a2+a3+a4+a5=20，那么a3=（）
A． 4 B． 5 C． 6 D． 7
4．公差不为零的等差数列{a n}中，a1+a2+a5=13，且a1、a2、a5成等比数列，则数列{a n}的公差等于（）
A． 1 B． 2 C． 3 D． 4
5．等差数列{a n}中，a1+a4+a7=39，a3+a6+a9=27，则数列{a n}前9项的和S9等于（）A． 99 B． 66 C． 144 D． 297
6．如图所示，在两个圆盘中，指针在本圆盘每个数所在区域的机会均等，那么两个指针同时落在奇数所在区域的概率是（）
A．B．C．D．
7．某林场有树苗30000棵，其中松树苗4000棵．为调查树苗的生长情况，采用分层抽样的方法抽取一个容量为150的样本，则样本中松树苗的数量为（）
A． 30 B． 25 C． 20 D． 15
8．设S n为等比数列{a n}的前n项和，8a2+a5=0，则等于（）
A． 11 B． 5 C．﹣8 D．﹣11 9．下列程序运行的结果是（）
A． 1，2，3 B． 2，3，1 C． 2，3，2 D． 3，2，1
10．若实数x，y满足不等式组目标函数t=x﹣2y的最大值为2，则实数a的
值是（）
A．﹣2 B． 0 C． 1 D． 2
二.填空题（每小题5分，共25分）
11．如图，测量河对岸的塔高AB时，可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D．测得∠BCD=15°，∠BDC=30°，CD=30米，并在点C测得塔顶A的仰角为60°，则塔高AB= 米．
12．从五件正品，一件次品中随机取出两件，则取出的两件产品中恰好是一件正品，一件次品的概率是．
13．设x、y∈R+且=1，则x+y的最小值为．
14．在大小相同的6个球中，2个红球，4个是白球．若从中任意选取3个，则所选的3个球中至少有1个红球的概率是．（结果用分数表示）
15．五位同学围成一圈依次循环报数，规定①第一位同学首次报出的数为1，第二位同学首次报出的数也为1，之后每位同学所报出的数都是前两位同学报出的数之和，②若报出的数为3的倍数，则报该数的同学需拍手1次．已知甲同学第一个报数．当五位同学依次循环报到第100个数时，甲同学拍手的总次数为．
三.解答题（共-75分16题13分，17题13分，18题13分，19题12分，20题12分，21题12分）
16．若函数f（x）=
（1）解不等式f（x）＜0
（2）写出求函数的函数值的程序．
17．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a，b，c，已知cos2C=．
（Ⅰ）求sinC的值；
（Ⅱ）当a=2，2sinA=sinC时，求b及c的长．
18．深圳某商场为使销售空调和冰箱获得的总利润达到最大，对即将出售的空调和冰箱相关数据进行调查，得出下表：
资金每台空调或冰箱所需资金（百元）月资金供应数量
（百元）
空调冰箱
成本30 20 300
工人工资 5 10 110
每台利润 6 8
问：该商场怎样确定空调或冰箱的月供应量，才能使总利润最大？最大利润是多少？
19．现有8名奥运会志愿者，其中志愿者A1，A2，A3通晓日语，B1，B2，B3通晓俄语，C1，C2通晓韩语．从中选出通晓日语、俄语和韩语的志愿者各1名，组成一个小组．
（Ⅰ）求A1被选中的概率；
（Ⅱ）求B1和C1不全被选中的概率．
20．经过长期观测得到：在交通繁忙的时段内，某公路段汽车的车流量y（千辆/小时）与汽车的平均速度υ（千米/小时）之间的函数关系为：y=（υ＞0）．
（1）在该时段内，当汽车的平均速度υ为多少时，车流量最大？最大车流量为多少？（保留分数形式）
（2）若要求在该时段内车流量超过10千辆/小时，则汽车的平均速度应在什么范围内？
21．已知数列{a n}中，a1=1，na n+1=2（a1+a2+..+a n）（n∈N*）．
（1）求a2，a3，a4；
（2）求数列{a n}的通项a n；
（3）设数列{b n}满足b1=，b n+1=b n2+b n，求证：b n＜1（n≤k）．
2014-2015学年重庆市荣昌县仁义中学高一（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（每小题5分，共50分）
1．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a2﹣b2=bc，sinC=2sinB，则A=（）
A．30°B．60°C．120°D．150°
考点：余弦定理的应用．
专题：综合题．
分析：先利用正弦定理，将角的关系转化为边的关系，再利用余弦定理，即可求得A．
解答：解：∵sinC=2sinB，∴c=2b，
∵a2﹣b2=bc，∴cosA===
∵A是三角形的内角
∴A=30°
故选A．
点评：本题考查正弦、余弦定理的运用，解题的关键是边角互化，属于中档题．
2．某程序框图如图所示，若输出的S=57，则判断框内为（）
A． k＞4？B． k＞5？C． k＞6？D． k＞7？
考点：程序框图．
专题：算法和程序框图．
分析：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加并输入S的值，条件框内的语句是决定是否结束循环，模拟执行程序即可得到答案．解答：解：程序在运行过程中各变量值变化如下表：
K S 是否继续循环
循环前 1 1/
第一圈 2 4 是
第二圈 3 11 是
第三圈 4 26 是
第四圈 5 57 否
故退出循环的条件应为k＞4
故答案选A．
点评：算法是新课程中的新增加的内容，也必然是新高考中的一个热点，应高度重视．程序填空也是重要的考试题型，这种题考试的重点有：①分支的条件②循环的条件③变量的赋值④变量的输出．其中前两点考试的概率更大．此种题型的易忽略点是：不能准确理解流程图的含义而导致错误．
3．在等差数列{a n}中，已知a1+a2+a3+a4+a5=20，那么a3=（）
A． 4 B． 5 C． 6 D． 7
考点：等差数列的性质．
专题：计算题．
分析：法一：设首项为a1，公差为d，由已知有5a1+10d=20，所以a3=4．
法二：因为a1+a5=a2+a4=2a3，所以由a1+a2+a3+a4+a5=20得5a3=20，故a3=4．
解答：解：法一：
∵{a n}为等差数列，
设首项为a1，公差为d，
由已知有5a1+10d=20，
∴a1+2d=4，
即a3=4．
故选A．
法二
在等差数列中，
∵a1+a5=a2+a4=2a3，
∴由a1+a2+a3+a4+a5=20得5a3=20，
∴a3=4．
故选A．
点评：本题考查数列的性质和应用，解题时要注意公式的灵活运用．
4．公差不为零的等差数列{a n}中，a1+a2+a5=13，且a1、a2、a5成等比数列，则数列{a n}的公差等于（）
A． 1 B． 2 C． 3 D． 4
考点：等差数列的性质．
专题：计算题．
分析：设出数列的公差，利用a1+a2+a5=13，求得a1和d关系同时利用a1、a2、a5成等比数列求得a1和d的另一关系式，联立求得d．
解答：解：设数列的公差为d则
3a1+5d=13①
∵a1、a2、a5成等比数列
∴（a1+d）2=a1（a1+4d）②
①②联立求得d=2
故选B
点评：本题主要考查了等差数列的通项公式．考查了数列的基础知识的应用．
5．等差数列{a n}中，a1+a4+a7=39，a3+a6+a9=27，则数列{a n}前9项的和S9等于（）A． 99 B． 66 C． 144 D． 297
考点：等差数列的前n项和．
专题：等差数列与等比数列．
分析：由等差数列的性质可得a4=13，a6=9，可得a4+a6=22，再由等差数列的求和公式和性
质可得S9=，代值计算可得．
解答：解：由等差数列的性质可得a1+a7=2a4，a3+a9=2a6，
又∵a1+a4+a7=39，a3+a6+a9=27，
∴a1+a4+a7=3a4=39，a3+a6+a9=3a6=27，
∴a4=13，a6=9，∴a4+a6=22，
∴数列{a n}前9项的和S9====99
故选：A
点评：本题考查等差数列的求和公式和性质，属基础题．
6．如图所示，在两个圆盘中，指针在本圆盘每个数所在区域的机会均等，那么两个指针同时落在奇数所在区域的概率是（）
A．B．C．D．
考点：几何概型；相互独立事件的概率乘法公式．
专题：计算题．
分析：首先根据题意，由几何概型的计算公式，计算两个转盘中，指针落在奇数所在区域的概率，进而由相互独立事件概率的乘法公式计算可得答案．
解答：解：根据题意，两个转盘共6个区域，其中有4个是奇数的区域；
由几何概型的计算公式，可得两个转盘中，指针落在奇数所在区域的概率都为=；
由独立事件同时发生的概率，得P==．
故选A．
点评：本题考查概率的计算公式，注意认真审题，认清事件之间的相互关系．
7．某林场有树苗30000棵，其中松树苗4000棵．为调查树苗的生长情况，采用分层抽样的方法抽取一个容量为150的样本，则样本中松树苗的数量为（）
A． 30 B． 25 C． 20 D． 15
考点：分层抽样方法．
分析：先计算抽取比例，再计算松树苗抽取的棵数即可．
解答：解：设样本中松树苗的数量为x，则
故选C
点评：本题考查分层抽样，属基本题．
8．设S n为等比数列{a n}的前n项和，8a2+a5=0，则等于（）
A． 11 B． 5 C．﹣8 D．﹣11
考点：等比数列的性质．
专题：等差数列与等比数列．
分析：由题意可得数列的公比q，代入求和公式化简可得．
解答：解：设等比数列{a n}的公比为q，（q≠0）
由题意可得8a2+a5=8a1q+a1q4=0，解得q=﹣2，
故====﹣11
故选D
点评：本题考查等比数列的性质，涉及等比数列的求和公式，属中档题．
9．下列程序运行的结果是（）
A． 1，2，3 B． 2，3，1 C． 2，3，2 D． 3，2，1
考点：赋值语句．
专题：图表型．
分析：从所给的赋值语句中可以看出a是b付给的值2，b是c付给的值等于3，c是a付给的值，而a又是b付给的值2，得到结果．
解答：解：从所给的赋值语句中可以看出a是b付给的值2，
b是c付给的值等于3，
c是a付给的值，而a又是b付给的值2，
∴输出的a，b，c的值分别是2，3，2
故选C．
点评：本题考查赋值语句，本题解题的关键是在赋值语句中看一个量的值，需要看它是由谁付给的值，从语句往上看，离它最近的变量的值就是所求的变量的值．
10．若实数x，y满足不等式组目标函数t=x﹣2y的最大值为2，则实数a的
值是（）
A．﹣2 B． 0 C． 1 D． 2
考点：简单线性规划．
专题：计算题；压轴题．
分析：画出约束条件表示的可行域，然后根据目标函数z=x﹣2y的最大值为2，确定约束条件中a的值即可．
解答：解：画出约束条件表示的可行域
由⇒A（2，0）是最优解，
直线x+2y﹣a=0，过点A（2，0），
所以a=2，
故选D
点评：本题考查简单的线性规划，考查学生分析问题解决问题的能力，属于中档题．
二.填空题（每小题5分，共25分）
11．如图，测量河对岸的塔高AB时，可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D．测得∠BCD=15°，∠BDC=30°，CD=30米，并在点C测得塔顶A的仰角为60°，则塔高AB= 米．
考点：解三角形的实际应用．
专题：计算题．
分析：先根据三角形的内角和求出∠CBD，再根据正弦定理求得BC，进而在直角三角形ACB 中根据∠ACB及BC，进而求得AB．
解答：解：∠CBD=180°﹣∠BCD﹣∠BDC=135°，
根据正弦定理，
∴BC===15，
∴AB=tan∠ACB•CB=×15=15，
故答案为15．
点评：本题主要考查了正弦定理的应用．属基础题．
12．从五件正品，一件次品中随机取出两件，则取出的两件产品中恰好是一件正品，一件次品的概率是．
考点：古典概型及其概率计算公式．
分析：从六件产品中取出两件产品有15种方法，取出的两件产品中恰好是一件正品，一件次品有5种结果，根据古典概型公式得到结果．
解答：解：∵从六件产品中取出两件产品有C62=15种方法，
取出的两件产品中恰好是一件正品，一件次品有C51C11=5种结果
古典概型公式得到P==，
故答案为：
点评：概率教学的核心问题是让学生了解随机现象与概率的意义，加强与实际生活的联系，以科学的态度评价身边的一些随机现象．
13．设x、y∈R+且=1，则x+y的最小值为16 ．
考点：基本不等式．
专题：计算题．
分析：将x、y∈R+且=1，代入x+y=（x+y）•（），展开后应用基本不等式即可．解答：解：∵=1，x、y∈R+，
∴x+y=（x+y）•（）==10+≥10+2=16（当且仅当，
x=4，y=12时取“=”）．
故答案为：16．
点评：本题考查基本不等式，着重考查学生整体代入的思想及应用基本不等式的能力，属于中档题．
14．在大小相同的6个球中，2个红球，4个是白球．若从中任意选取3个，则所选的3个球中至少有1个红球的概率是．（结果用分数表示）
考点：等可能事件的概率．
分析：由题意知本题是一个古典概型，试验发生包含的所有事件是从6个球中取3个，而满足条件的事件是所选的3个球中至少有1个红球，包括有一个红球2个白球；2个红球一个白球，用组合数表示出结果，得到概率．
解答：解：由题意知本题是一个古典概型，
∵试验发生包含的所有事件是从6个球中取3个，共有C63=20种结果，
而满足条件的事件是所选的3个球中至少有1个红球，
包括有一个红球2个白球；2个红球一个白球，共有C21C42+C22C41=16
∴所选的3个球中至少有1个红球的概率是=，
故答案为：．
点评：古典概型要求能够列举出所有事件和发生事件的个数，本题可以列举出所有事件，概率问题同其他的知识点结合在一起，实际上是以概率问题为载体．
15．五位同学围成一圈依次循环报数，规定①第一位同学首次报出的数为1，第二位同学首次报出的数也为1，之后每位同学所报出的数都是前两位同学报出的数之和，②若报出的数为3的倍数，则报该数的同学需拍手1次．已知甲同学第一个报数．当五位同学依次循环报到第100个数时，甲同学拍手的总次数为 5 ．
考点：数列递推式．
专题：计算题；压轴题．
分析：先根据题意可确定5位同学所报数值为斐波那契数列，然后可找到甲所报的数的规律，进而可转化为等差数列的知识来解题．
解答：解：由题意可知：
（1）将每位同学所报的数排列起来，即是“斐波那契数列”：
1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，377，610，987，…
（2）该数列的一个规律是，第4，8，12，16，…4n项均是3的倍数．
（3）甲同学报数的序数是1，6，11，16，…，5m﹣4．
（4）问题可化为求数列{4n}与{5m﹣4}的共同部分数，
易知，当m=4k，n=5k﹣1时，5m﹣4=20k﹣4=4n，又1＜4n≤100，
∴20k﹣4＜100．∴k≤5
∴甲拍手的总次数为5次．即第16，36，56，76，96次报数时拍手．
故答案为：5
点评：本题主要考查斐波那契数列、等差数列的知识．数列是高考的重点，每年必考，一定要强化复习并且还要灵活运用．
三.解答题（共-75分16题13分，17题13分，18题13分，19题12分，20题12分，21题12分）
16．若函数f（x）=
（1）解不等式f（x）＜0
（2）写出求函数的函数值的程序．
考点：其他不等式的解法；设计程序框图解决实际问题．
专题：函数的性质及应用．
分析：（1）把要解的不等式转化为与之等价的2个不等式组，求得每个不等式组的解集，再取并集，即得所求．
（2）利用条件语句写出根据函数的解析式求函数的值的程序．
解答：解：（1）∵函数f（x）=，故由f（x）＜0可得①，或②．
解①求得x＜0，解②求得x＞12，
故不等式f（x）＜0的解集为{x|x＜0，或x＞12}．
（2）求函数的函数值的程序如下：
INPUT x
IF x≤4THEN
y=2x
ELSE
IF 4＜x≤8THEN
y=8
ELSE
IF x＞8 THEN
y=2x（12﹣x）
END IF
END IF
PRINT y
END
点评：本题主要考查分段函数的应用，体现了转化、分类讨论的数学思想，根据函数的解析式求函数的值的程序写法，属于基础题．
17．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a，b，c，已知cos2C=．
（Ⅰ）求sinC的值；
（Ⅱ）当a=2，2sinA=sinC时，求b及c的长．
考点：正弦定理；三角函数中的恒等变换应用；余弦定理．
专题：解三角形．
分析：（1）注意角的范围，利用二倍角公式求得sinC的值．
（2）利用正弦定理先求出边长c，由二倍角公式求cosC，用余弦定理解方程求边长b．
解答：解：（Ⅰ）解：因为cos2C=1﹣2sin2C=，及0＜C＜π
所以 sinC=．
（Ⅱ）解：当a=2，2sinA=sinC时，由正弦定理=，解得c=4．
由cos2C=2cos2C﹣1=，及0＜C＜π 得cosC=±．
由余弦定理 c2=a2+b2﹣2abcosC，得b2±b﹣12=0，
解得b=或b=2．
所以b=或b=2，c=4．
点评：本题主要考查三角变换、正弦定理、余弦定理等基础知识，同时考查运算求解能力，属于中档题．
18．深圳某商场为使销售空调和冰箱获得的总利润达到最大，对即将出售的空调和冰箱相关数据进行调查，得出下表：
资金每台空调或冰箱所需资金（百元）月资金供应数量
（百元）
空调冰箱
成本30 20 300
工人工资 5 10 110
每台利润 6 8
问：该商场怎样确定空调或冰箱的月供应量，才能使总利润最大？最大利润是多少？
考点：函数模型的选择与应用．
专题：计算题．
分析：先设空调和冰箱的月供应量分别为x，y台，月总利润为z百元，依题意得列出约束条件和目标函数，最后依据线性规则的方法求出目标函数的最大值即可．
解答：解：设空调和冰箱的月供应量分别为x、y台，月总利润为z百元，
则，
作出可行域如图，作直线y=﹣x的平行线，
当直线l过可行域上的一个顶A（4，9）即x、y分别为4、9时，z取得最大值，
∴空调和冰箱的月供应量分别为4台和9台时，月总利润为最大，
最大值为6•4+10•9=114（百元）．
点评：本题主要考查了用平面区域二元一次不等式组，以及简单的转化思想和数形结合的思想，注意解题方法的积累，属于中档题．
19．现有8名奥运会志愿者，其中志愿者A1，A2，A3通晓日语，B1，B2，B3通晓俄语，C1，C2通晓韩语．从中选出通晓日语、俄语和韩语的志愿者各1名，组成一个小组．
（Ⅰ）求A1被选中的概率；
（Ⅱ）求B1和C1不全被选中的概率．
考点：等可能事件的概率；互斥事件与对立事件．
分析：（Ⅰ）先用列举法，求出从8人中选出日语、俄语和韩语志愿者各1名，所有一切可能的结果对应的基本事件总个数，再列出A1恰被选中这一事件对应的基本事件个数，然后代入古典概型公式，即可求解．
（Ⅱ）我们可利用对立事件的减法公式进行求解，即求出“B1，C1不全被选中”的对立事件“B1，C1全被选中”的概率，然后代入对立事件概率减法公式，即可得到结果．
解答：解：（Ⅰ）从8人中选出日语、俄语和韩语志愿者各1名，
其一切可能的结果组成的基本事件空间Ω={（A1，B1，C1），（A1，B1，C2），（A1，B2，C1），（A1，B2，C2），（A1，B3，C1），（A1，B3，C2），（A2，B1，C1），（A2，B1，C2），（A2，B2，C1），（A2，B2，C2），（A2，B3，C1），（A2，B3，C2），（A3，B1，C1），（A3，B1，C2），（A3，B2，C1），（A3，B2，C2），（A3，B3，C1），（A3，B3，C2）}
由18个基本事件组成．由于每一个基本事件被抽取的机会均等，
因此这些基本事件的发生是等可能的．
用M表示“A1恰被选中”这一事件，则M={（A1，B1，C1），（A1，B1，C2），（A1，B2，C1），（A1，B2，C2），（A1，B3，C1），（A1，B3，C2）}
事件M由6个基本事件组成，因而．
（Ⅱ）用N表示“B1，C1不全被选中”这一事件，
则其对立事件表示“B1，C1全被选中”这一事件，
由于={（A1，B1，C1），（A2，B1，C1），（A3，B1，C1）}，事件有3个基本事件组成，
所以，由对立事件的概率公式得．
点评：本题考查的知识点是古典概型，古典概型要求所有结果出现的可能性都相等，强调所有结果中每一结果出现的概率都相同．弄清一次试验的意义以及每个基本事件的含义是解决问题的前提，正确把握各个事件的相互关系是解决问题的关键．解决问题的步骤是：计算满足条件的基本事件个数，及基本事件的总个数，然后代入古典概型计算公式进行求解．
20．经过长期观测得到：在交通繁忙的时段内，某公路段汽车的车流量y（千辆/小时）与汽车的平均速度υ（千米/小时）之间的函数关系为：y=（υ＞0）．
（1）在该时段内，当汽车的平均速度υ为多少时，车流量最大？最大车流量为多少？（保留分数形式）
（2）若要求在该时段内车流量超过10千辆/小时，则汽车的平均速度应在什么范围内？
考点：基本不等式在最值问题中的应用．
专题：应用题；不等式的解法及应用．
分析：（1）根据基本不等式性质可知y==≤，进而
求得y的最大值．根据等号成立的条件求得此时的平均速度．
（2）在该时间段内车流量超过10千辆/小时时，解不等式即可求出v的范围．
解答：解：（1）依题意，y==≤，
当且仅当v=，即v=40时，上式等号成立，
∴y max=（千辆/时）．
∴如果要求在该时段内车流量超过10千辆/时，则汽车的平均速度应大于25km/h且小于64km/h．当v=40km/h时，车流量最大，最大车流量约为千辆/时；
（2）由条件得＞10，
整理得v2﹣89v+1600＜0，
即（v﹣25）（v﹣64）＜0．解得25＜v＜64．
点评：本题主要考查了基本不等式在最值问题中的应用．要特别留意等号取得的条件．
21．已知数列{a n}中，a1=1，na n+1=2（a1+a2+..+a n）（n∈N*）．
（1）求a2，a3，a4；
（2）求数列{a n}的通项a n；
（3）设数列{b n}满足b1=，b n+1=b n2+b n，求证：b n＜1（n≤k）．
考点：数列递推式；数列与不等式的综合．
专题：综合题．
分析：（1）把n=1，n=2，n=3，n=4分别代入已知递推公式可求
（2）由已知na n+1=2（a1+a2+…+a n）=2S n可得（n﹣1）a n=2S n﹣1，两式相减可得，利用迭代可求a n
（3））由（2）得：b1=，b n+1=b n2+b n＞b n＞b n﹣1＞…＞b1＞0，
所以{b n}是单调递增数列，故要证：b n＜1（n≤k）只需证b k＜1即可
解答：解：（1）a2=2，a3=3，a4=4
（2）na n+1=2（a1+a2+…+a n）①
（n﹣1）a n=2（a1+a2+…+a n﹣1）②，
①﹣②得：na n+1﹣（n﹣1）a n=2a n，即：na n+1=（n+1）a n，=
所以a n=a1••…=1••…=n（n≥2），所以a n=n（n∈N*）
（3）由（2）得：b1=，b n+1=b n2+b n＞b n＞b n﹣1＞…＞b1＞0，
所以{b n}是单调递增数列，故要证：b n＜1（n≤k）只需证b k＜1
若k=1，则b1=＜1，显然成立；若k≥2，则b n+1=b n2+b n＜b n b n+1+b n
所以﹣＞﹣，因此：=（﹣）+…+（﹣）+＞﹣+2=
所以b k＜＜1，
所以b n＜1（n≤k）
点评：本题主要考查了利用数列的递推关系实现“项”与“和”之间的转化，利用迭代的方法求数列的通项公式，数列的单调性的运用．。