2019版理数(北师大版)练习：第七章第三节平行关系含解析

课时作业
A组——基础对点练
1．设m，n是不同的直线，α，β是不同的平面，且m，nα，则“α∥β”是“m∥β且n∥β”的( )
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
解析：若m，nα，α∥β，则m∥β且n∥β；反之若m，nα，m∥β且n∥β，则α与β相交或平行，即“α∥β”是“m∥β且n∥β”的充分不必要条件．
答案：A
2．设α，β是两个不同的平面，m，n是平面α内的两条不同直线，l1，l2是平面β内的两条相交直线，则α∥β的一个充分不必要条件是( ) A．m∥l1且n∥l2B．m∥β且n∥l2
C．m∥β且n∥βD．m∥β且l1∥α
解析：由m∥l1，mα，l1β，得l1∥α，同理l2∥α，又l1，l2相交，所以α∥β，反之不成立，所以m∥l1且n∥l2是α∥β的一个充分不必要条件．答案：A
3．设α，β是两个不同的平面，m是直线且mα，“m∥β”是“α∥β”的( )
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：若mα且m∥β，则平面α与平面β不一定平行，有可能相交；而mα且α∥β一定可以推出m∥β，所以“m∥β”是“α∥β”的必要而不充分条件．
答案：B
4．已知m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列命题中正确的是( )
A．若α⊥γ，α⊥β，则γ∥β
B ．若m ∥n ，m α，n β，则α∥β
C ．若m ∥n ，m ⊥α，n ⊥β，则α∥β
D ．若m ∥n ，m ∥α，则n ∥α
解析：对于A ，若α⊥γ，α⊥β，则γ∥β或γ与β相交；对于B ，若m ∥n ，m
α，n β，则α∥β或α与β相交；易知C 正确；对于D ，若m
∥n ，m ∥α，则n ∥α或n 在平面α内．故选C. 答案：C
5．下列四个正方体图形中，A ，B 为正方体的两个顶点，M ，N ，P 分别为其所在棱的中点，能得出AB ∥平面MNP 的图形的序号是( )
A ．①③
B ．②③
C ．①④
D ．②④
解析：对于图形①，平面MNP 与AB 所在的对角面平行，即可得到AB ∥平面MNP ；对于图形④，AB ∥PN ，即可得到AB ∥平面MNP ；图形②③无论用定义还是判定定理都无法证明线面平行． 答案：C
6．已知正方体ABCD A 1B 1C 1D 1，下列结论中，正确的结论是 (只填序号)．
①AD 1∥BC 1；②平面AB 1D 1∥平面BDC 1；③AD 1∥DC 1；④AD 1∥平面BDC 1. 解析：连接AD 1，BC 1，AB 1，B 1D 1，C 1D 1，BD ，因为AB 綊C 1D 1，所
以四边形AD 1C 1B 为平行四边形，故AD 1∥BC 1，从而①正确；易证
BD ∥B 1D 1，AB 1∥DC 1，又AB 1∩B 1D 1＝B 1，BD ∩DC 1＝D ，故平面AB 1D 1∥平面BDC 1，从而②正确；由图易知AD 1与DC 1异面，故③错误；因AD 1∥BC 1，AD 1平面BDC 1，BC 1平面BDC 1，故AD 1∥平面BDC 1，故④正确．
答案：①②④
7．如图所示，在四面体ABCD 中，M ，N 分别是△ACD ，△BCD 的重心，则四面体的四个面所在平面中与MN 平行的是 ．
解析：连接AM 并延长，交CD 于E ，连接BN ，并延长交CD 于
F ，由重心性质可知，E ，F 重合为一点，且该点为CD 的中点E ，连接MN ，由
EM MA ＝EN NB ＝1
2
，得MN ∥AB .因此，MN ∥平面ABC 且MN ∥平面ABD .
答案：平面ABC 、平面ABD
8．(2018·咸阳模拟)如图所示，在四棱锥O ­ABCD 中，底面ABCD 是边长为1的菱形，∠ABC ＝π
4
，OA ⊥底面
ABCD ，OA ＝2，M 为OA 的中点，N 为BC 的中点． (1)求四棱锥O ­ABCD 的体积； (2)证明：直线MN ∥平面OCD .
解析：(1)∵OA ⊥底面ABCD ，∴OA 是四棱锥O ­ABCD 的高．∵四棱锥O ­ABCD 的底面是边长为1的菱形，∠ABC ＝π4，∴底面面积S 菱形ABCD ＝22
. ∵OA ＝2，∴体积V O ­ABCD ＝
23
. (2)证明：取OB 的中点E ，连接ME ，NE (图略)． ∵ME ∥AB ，AB ∥CD ，∴ME ∥CD .
又∵NE ∥OC ，∵ME ∩EN ＝E ，CD ∩OC ＝C ， ∴平面MNE ∥平面OCD . ∵MN
平面MNE ，
∴MN ∥平面OCD .
9.(2018·石家庄质检)如图，四棱锥P ­ABCD 中，PA ⊥底
面ABCD ，底面ABCD 为梯形，AD ∥BC ，CD ⊥BC ，AD ＝2，
AB ＝BC ＝3，PA ＝4，M 为AD 的中点，N 为PC 上一点，且PC ＝3PN .
(1)求证：MN ∥平面PAB ； (2)求点M 到平面PAN 的距离．
解析：(1)证明：在平面PBC 内作NH ∥BC 交PB 于点H ，连接AH ， 在△PBC 中，NH ∥BC ，且NH ＝13BC ＝1，AM ＝1
2AD ＝1.
又AD ∥BC ，∴NH ∥AM 且NH ＝AM ， ∴四边形AMNH 为平行四边形， ∴MN ∥AH ， 又AH
平面PAB ，MN 平面PAB ，
∴MN ∥平面PAB .
(2)连接AC ，MC ，PM ，平面PAN 即为平面PAC ，设点M 到平面PAC 的距离为h . 由题意可得CD ＝22，AC ＝23， ∴S △PAC ＝1
2
PA ·AC ＝43，
S △AMC ＝12
AM ·CD ＝2， 由V M ­PAC ＝V P ­AMC ，
得13S △PAC ·h ＝1
3S △AMC ·PA ， 即43h ＝2×4，∴h ＝
6
3
， ∴点M 到平面PAN 的距离为6
3
.
10．(2018·昆明七校模拟)一个正方体的平面展开图及该正方体直观图的示意图如图所示，在正方体中，设BC 的中点为M ，GH 的中点为N .
(1)请将字母F ，G ，H 标记在正方体相应的顶点处(不需说明理由)；
(2)证明：直线MN ∥平面BDH ；
(3)过点M ，N ，H 的平面将正方体分割为两部分，求这两部分的体积比． 解析：(1)点F ，G ，H 的位置如图所示．
(2)证明：连接BD ，设O 为BD 的中点，连接OM ，OH ，AC ，BH ，MN . ∵M ，N 分别是BC ，GH 的中点， ∴OM ∥CD ，且OM ＝1
2
CD ，
NH ∥CD ，且NH ＝1
2
CD ， ∴OM ∥NH ，OM ＝NH ，
则四边形MNHO 是平行四边形， ∴MN ∥OH ， 又MN 平面BDH ，OH 平面BDH ，
∴MN ∥平面BDH .
(3)由(2)知OM ∥NH ，OM ＝NH ，连接GM ，MH ，过点M ，N ，H 的平面就是平面GMH ，它将正方体分割为两个同高的棱柱，高都相等，体积比等于底面积之比，即3∶1.
B 组——能力提升练
1．已知直线a ，b ，平面α，则以下三个命题： ①若a ∥b ，b
α，则a ∥α；
②若a ∥b ，a ∥α，则b ∥α； ③若a ∥α，b ∥α，则a ∥b . 其中真命题的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2
D ．3
解析：对于①，若a ∥b ，b
α，则应有a ∥α或a α，所以①是假命题；
对于②，若a∥b，a∥α，则应有b∥α或bα，因此②是假命题；对于③，若a∥α，b∥α，则应有a∥b或a与b相交或a与b异面，因此③是假命题．综上，在空间中，以上三个命题都是假命题．
答案：A
2．已知直线a，b异面，给出以下命题；
①一定存在平行于a的平面α使b⊥α；
②一定存在平行于a的平面α使b∥α；
③一定存在平行于a的平面α使bα；
④一定存在无数个平行于a的平面α与b交于一定点．
则其中正确的是( )
A．①④B．②③
C．①②③D．②③④
解析：对于①，若存在平面α使得b⊥α，则有b⊥a，而直线a，b未必垂直，因此①不正确；对于②，注意到过直线a，b外一点M分别引直线a，b的平行线a1，b1，显然由直线a1，b1可确定平面α，此时平面α与直线a，b均平行，因此②正确；对于③，注意到过直线b上的一点B作直线a2与直线a平行，显然由直线b与a2可确定平面α，此时平面α与直线a平行，且bα，因此③正确；对于④，在直线b上取一定点N，过点N作直线c与直线a平行，经过直线c的平面(除由直线a与c所确定的平面及直线c与b所确定的平面之外)均与直线a平行，且与直线b相交于一定点N，而N在b上的位置任意，因此④正确．综上所述，②③④正确.
答案：D
3．(2018·温州十校联考)如图，点E为正方形ABCD边CD上异于点C，D的动点，将△ADE沿AE翻折成△SAE，使得平面SAE⊥平面ABCE，则下列三种说法中正确的个数是( )
①存在点E使得直线SA⊥平面SBC；
②平面SBC内存在直线与SA平行；
③平面ABCE 内存在直线与平面SAE 平行． A ．0 B ．1 C ．2
D ．3
解析：由题图，得SA ⊥SE ，若存在点E 使得直线SA ⊥平面SBC ，则SA ⊥SB ，
SA ⊥SC ，则SC ，SB ，SE 三线共面，则点E 与点C 重合，与题设矛盾，故①错误；因为SA 与平面SBC 相交，所以在平面SBC 内不存在直线与SA 平行，故②错误；显然，在平面ABCE 内，存在直线与AE 平行，由线面平行的判定定理得平面ABCE 内存在直线与平面SAE 平行，故③正确．故选B. 答案：B
4．(2018·郑州市质检)如图，直三棱柱ABC ­A ′B ′C ′中，△ABC 是
边长为2的等边三角形，AA ′＝4，点E ，F ，G ，H ，M 分别是边AA ′，
AB ，BB ′，A ′B ′，BC 的中点，动点P 在四边形EFGH 内部运动，并且始终有MP ∥平面ACC ′A ′，则动点P 的轨迹长度为( ) A ．2 B ．2π C ．2 3
D ．4
解析：连接MF ，FH ，MH ，因为M ，F ，H 分别为BC ，AB ，A ′B ′的中点，所以
MF ∥平面AA ′C ′C ，FH ∥平面AA ′C ′C ，所以平面MFH ∥平面AA ′C ′C ，所以M 与线段FH 上任意一点的连线都平行于平面AA ′C ′C ，所以点P 的运动轨迹是线段FH ，其长度为4，故选D. 答案：D 5．在三棱锥P
ABC 中，PB ＝6，AC ＝3，G 为△PAC 的重心，过点G 作三棱锥
的一个截面，使截面平行于直线PB 和AC ，则截面的周长为 ． 解析：过点G 作EF ∥AC ，分别交PA 、PC 于点E 、F ，过E 、F 分别作EN ∥PB 、
FM ∥PB ，分别交AB 、BC 于点N 、M ，连接MN (图略)，则四边形EFMN 是平行四边形，所以EF 3＝23，即EF ＝MN ＝2，FM PB ＝FM 6＝1
3，即FM ＝EN ＝2，所以截面的周
长为2×4＝8. 答案：8 6．正方体ABCD
A 1
B 1
C 1
D 1的棱长为1 cm ，过AC 作平行于体对角线BD 1的截面，
则截面面积为 cm 2.
解析：如图所示，截面ACE ∥BD 1，平面BDD 1∩平面ACE ＝EF ，其中F 为AC 与
BD 的交点，∴E 为DD 1的中点，∴S △ACE ＝12×2×32＝6
4
(cm 2)． 答案：
64
7．如图，四棱锥P ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，AD ∥BC ，AB ＝AD ＝AC ＝3，PA
＝BC ＝4，M 为线段AD 上一点，AM ＝2MD ，N 为PC 的中点．
(1)证明MN ∥平面PAB ； (2)求四面体N ­BCM 的体积．
解析：(1)证明：由已知得AM ＝2
3
AD ＝2，
取BP 的中点T ，连接AT ，TN ，由N 为PC 中点知TN ∥BC ，
TN ＝12
BC ＝2.
又AD ∥BC ，故TN 綊AM ，故四边形AMNT 为平行四边形，于是MN ∥AT . 因为AT
平面PAB ，MN 平面PAB ，
所以MN ∥平面PAB .
(2)因为PA ⊥平面ABCD ，N 为PC 的中点， 所以N 到平面ABCD 的距离为1
2PA .
取BC 的中点E ，连接AE .
由AB ＝AC ＝3得AE ⊥BC ，AE ＝AB 2－BE 2＝ 5. 由AM ∥BC 得M 到BC 的距离为5，
故S△BCM＝1
2
×4×5＝2 5.
所以四面体N­BCM的体积V N­BCM＝1
3
·S△BCM·
PA
2
＝
45
3
.。