北京市高考数学试卷理科

2 0 0 8年北京市高考数学试卷（理科）
一、选择题（共8 小题，每题 5 分，满分 40 分）
1．（5 分）已知全集 U=R，会合 A={x| ﹣2≤x＜3} ， B={x|x ＜﹣ 1 或 x≥ 4} ，那么会合A∩B 等于（）
A．{x| ﹣ 1＜ x＜ 3}B．{x|x≤﹣1 或x＞ 3} C ． {x|﹣2≤x＜﹣ 1}D．{x|﹣ 1≤ x＜3}
2．（5 分）若 a=，b=log π 3，c=log 2 sin，则（）
A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．c＞a＞b D．b＞c＞a
3．（5 分）“函数 f （x）（ x∈R）存在反函数”是“函数f （ x）在 R上为增函数”的（）
A．充足而不用要条件B．必需而不充足条件
C．充足必需条件D．既不充足也不用要条件
4．（5 分）若点 P 到直线 x=﹣ 1 的距离比它到点（ 2，0）的距离小 1，则点 P 的轨迹为（）
A．圆B．椭圆C．双曲线D．抛物线
5．（5 分）若实数 x，y 知足则z=3x+2y的最小值是（）
A．0B．1C．D．9
*=a +a ，且 a =﹣ 6，那么 a等于（）6（．5 分）已知数列 {a } 对随意的 p，q∈ N知足 a
n p+qp q210
A．﹣ 165 B．﹣ 33C．﹣ 30D．﹣ 21
7．（5 分）过直线 y=x 上的一点作圆（ x﹣5）2+（ y﹣ 1）2=2 的两条切线 l 1，l 2，当直线 l 1，l 2对于 y=x 对称时，它们之间的夹角为（）
A．30°B．45°C．60°D．90°
8．（5 分）如图，动点 P 在正方体 ABCD﹣A1B1C1D1的对角线 BD1上．过点 P 作垂直于平面 BB1D1 D的直线，与正方体表面订交于 M，N．设 BP=x， MN=y，则函数 y=f （x）的图象大概是（）
A．B．C．D．
二、填空题（共 6 小题，每题 5 分，满分 30 分）
9．（5分）已知（ a﹣ i ）2=2i ，此中 i是虚数单位，那么实数 a=．
10（．5分）已知向量与的夹角为 120°，且，那么的值为．11．（ 5 分）若睁开式的各项系数之和为32，则 n=，其睁开式中的常
数项为．（用数字作答）
12．（ 5 分）如图，函数 f （ x）的图象是折线段ABC，此中 A，B，C的坐标分别为（ 0，4），（ 2， 0），（6，4），则 f （f （0））=；=．（用数字作答）
13．（ 5 分）已知函数 f （x）=x2﹣cosx，对于 [ ﹣，] 上的随意 x1， x2，有以下
条件：
①x1＞x2；② x12＞x22；③ |x 1| ＞x2．
此中能使 f （x1）＞ f （ x2）恒建立的条件序号是．
14．（ 5 分）某校数学课外小组在座标纸上，为学校的一块空地设计植树方案以下：
第 k 棵树栽种在点 P k（ x k，y k）处，此中 x1=1，y1=1，当 k≥ 2 时，
T（a）表示非负实数 a 的整数部分，比如T
（）=2，T（） =0．按此方案，第 6 棵树栽种点的坐标应为
；第2009 棵树栽种点
的坐标应为．
三、解答题（共 6 小题，满分 80 分）
15．（ 13 分）已知函数 f （ x） =sin 2ωx+sin ωxsin（ωx+）（ω＞ 0）的最小正
周期为π．
（1）求ω的值；
（2）求函数 f （x）在区间 [0 ，] 上的取值范围．
16．（ 14 分）如，在三棱 P ABC中，AC=BC=2，∠ACB=90°，AP=BP=AB，PC⊥AC．（Ⅰ）求： PC⊥AB；
（Ⅱ）求二面角 B AP C的大小；
（Ⅲ）求点 C到平面 APB的距离．
17．（ 13 分）甲、乙等五名奥运志愿者被随机地分到A， B， C， D 四个不一样的位服，每个位起码有一名志愿者．
（Ⅰ）求甲、乙两人同参加 A 位服的概率；
（Ⅱ）求甲、乙两人不在同一个位服的概率；
（Ⅲ）随机量ξ 五名志愿者中参加 A 位服的人数，求ξ 的散布列．18．（ 13 分）已知函数，求函数f′（x），并确立f（x）的区
．
19．（ 14 分）已知菱形 ABCD的点 A， C 在 x2+3y2=4 上，角 BD所在直的
斜率 1．
（Ⅰ）当直 BD点（ 0，1），求直 AC的方程；
（Ⅱ）当∠ ABC=60° ，求菱形 ABCD面的最大．
20．（ 13 分）于每均是正整数的数列A：a1，a2，⋯， a n，定 T1，T1将数列
A 成数列 T（A）：n，a 1，a 1，⋯，a 1；于每均是非整数的数列B：
112n
b1，b2，⋯， b m，定 T2，T2将数列 B 各从大到小摆列，而后去掉全部零的
222
，获得数列 T2（B）；又定 S（B）=2（b1+2b2 +⋯ +mb）+b1 +b2+⋯+b m． A0
是每均正整数的有数列，令A k+1=T2（T1（ A k））（k=0， 1， 2，⋯）．
（Ⅰ）假如数列 A0 5， 3， 2，写出数列 A1， A2；
（Ⅱ）于每均是正整数的有数列A，明 S（T （A））=S（ A）；
1
（Ⅲ）明：于随意定的每均正整数的有数列A0，存在正整数 K，当 k≥K ，S（A）=S（A）．
k+1k
2008 年北京市高考数学试卷（理科）
参照答案与试题分析
一、（共8 小，每小 5 分，分 40 分）
1．（5 分）（2008?北京）已知全集U=R，会合 A={x| ﹣2≤x＜ 3} ，B={x|x ＜﹣ 1 或 x≥4} ，那么会合 A∩ B 等于（）
A．{x| ﹣ 1＜ x＜ 3} B．{x|x ≤﹣ 1 或 x＞ 3} C ． {x| ﹣2≤x＜﹣ 1}D．{x| ﹣ 1≤ x＜3}
【剖析】由题意全集 U=R，会合 A={x| ﹣2≤x＜ 3} ，B={x|x ＜﹣ 1 或 x≥ 4} ，依据交集
的定义计算 A∩B．
【解答】解：∵会合 A={x| ﹣2≤x＜3} ， B={x|x ＜﹣ 1 或 x≥4} ，
∴会合 A∩ B={x| ﹣2≤x＜﹣ 1} ，
应选 C．
2．（5 分）（2008?北京）若 a=，b=log π 3， c=log 2sin，则（）
A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．c＞a＞b D．b＞c＞a
【剖析】利用估值法知 a 大于 1，b 在 0 与 1 之间， c 小于 0．
【解答】解：，
由指对函数的图象可知：a＞1，0＜b＜ 1， c＜ 0，
应选 A
3．（5 分）（2008?北京）“函数 f （ x）（x∈R）存在反函数”是“函数f （ x）在 R上为增函数”的（）
A．充足而不用要条件B．必需而不充足条件
C．充足必需条件D．既不充足也不用要条件
【剖析】函数 f（x）（ x∈R）存在反函数，起码还有可能函数f（x）在 R 上为减函数，充足条件不建立；而必需条件明显建立
【解答】解：“函数f （x）在R上为增函数”?“函数f （x）（x∈R）存在反函数”；反之取 f （ x） =﹣ x（ x∈ R），则函数 f （x）（x∈R）存在反函数，可是 f （ x）在
R上为减函数．
应选 B
4．（5 分）（2008?北京）若点 P 到直线 x=﹣1 的距离比它到点（ 2，0）的距离小 1，
则点P 的轨迹为（）
A．圆B．椭圆C．双曲线D．抛物线
【剖析】把直线 x=﹣ 1 向左平移一个单位变成 x=﹣ 2，此时点 P 到直线 x=﹣ 2 的距离等于它到点（ 2，0）的距离，这就是抛物线的定义．
【解答】解：因为点 P 到直线 x=﹣ 1 的距离比它到点（ 2，0）的距离小 1，
所以点 P 到直线 x=﹣ 2 的距离等于它到点（ 2，0）的距离，所以点 P 的轨迹
为抛物线．
应选 D．
5．（5 分）（2008?北京）若实数 x，y 知足则z=3x+2y的最小值是（）
A．0B．1C．D．9
【剖析】此题考察的知识点是线性规划，办理的思路为：依据已知的拘束条件
画出知足拘束条件的可行域，再用角点法，求出目标函数的最大值．
【解答】解：拘束条件对应的平面地区如图示：由图可知当x=0，y=0 时，
目标函数 Z 有最小值，
Z min=3x+2y=30=1
应选 B
6．（5 分）（2008?北京）已知数列 {a n} 对随意的 p， q∈ N*知足 a p+q=a p+a q，且 a2=﹣6，那么 a10等于（）
A．﹣ 165 B．﹣ 33C．﹣ 30D．﹣ 21
*
【剖析】依据题目所给的恒建立的式子a p+q=a p+a q，给随意的 p，q∈N ，我们能够先算出
a4，再算出 a8，最后算出 a10，也能够用其余的赋值过程，但解题的原理是同样的．
【解答】解：∵ a4 =a2+a2=﹣12，
∴a8 =a4+a4=﹣24，
∴a10=a8 +a2=﹣30，
应选 C
7．（5 分）（2008?北京）过直线 y=x 上的一点作圆（ x﹣5）2+（y﹣1）2=2 的两条切线
l 1，l 2，当直线 l 1， l 2对于 y=x 对称时，它们之间的夹角为（）
A．30°B．45°C．60°D．90°
【剖析】过圆心 M作直线 l ：y=x 的垂线交于 N 点，过 N点作圆的切线能够知足条件，
不难求出夹角为60 ．
理解 N点后，用图象法解之也很方便
【解答】解：圆（ x﹣5）2+（y﹣1）2=2 的圆心（ 5，1），过（ 5，1）与 y=x 垂直的
直线方程： x+y﹣6=0，它与 y=x 的交点 N（ 3， 3），
N 到（ 5，1）距离是，两条切线l1，l2，它们之间的夹角为60°．
应选 C．
8．（5 分）（2008?北京）如图，动点 P 在正方体 ABCD﹣A1 B1C1 D1的对角线 BD1上．过
点 P 作垂直于平面 BB1D1D 的直线，与正方体表面订交于 M， N．设 BP=x，MN=y，则函数
y=f （ x）的图象大概是（）
A．B．C．D．
【剖析】只有当 P 挪动到正方体中心 O时，MN有独一的最大值，则裁减选项 A、C；P
点挪动时， x 与 y 的关系应当是线性的，则裁减选项 D．
【解答】解：设正方体的棱长为1，明显，当 P 挪动到对角线 BD1的中点 O时，函数获得独一最大值，所以清除 A、 C；
当 P 在 BO上时，分别过 M、 N、 P 作底面的垂线，垂足分别为 M1、N1、P1，
则 y=MN=M11=2BP1=2?xcos∠D1BD=2?是一次函数，所以清除D．
应选 B．
二、填空题（共 6 小题，每题 5 分，满分 30 分）
9．（5 分）（ 2008?北京）已知（a﹣i ）2=2i ，此中 i 是虚数单位，那么实数 a=﹣1．【剖析】直接化简方程，利用复数相等条件即可求解．
【解答】解： a2﹣ 2ai ﹣1=a2﹣ 1﹣ 2ai=2i ， a=﹣1
故答案为：﹣ 1
10（．5 分）（ 2008?北京）已知向量与的夹角为120°，且
，那么
的值为0．
【剖析】由向量数目积公式进行计算即可．
【解答】解：由题意知==2× 4×4cos120° +42=0．
故答案为 0．
11．（ 5 分）（2008?北京）若睁开式的各项系数之和为32，则 n= 5，
其睁开式中的常数项为10．（用数字作答）
【剖析】明显睁开式的各项系数之和就是二项式系数之和，也即 n=5；将 5 拆分红“前
3 后 2”恰巧出现常数项， C52=10．
【解答】解：∵睁开式的各项系数之和为32
∴2n =32 解得 n=5
睁开式的通项为T r+1=C5r x10﹣5r
当 r=2 时，常数项为
C52=10．故答案为 5，10．
12．（ 5 分）（2008?北京）如图，函数 f （x）的图象是折线段ABC，此中 A， B， C 的
坐标分别为（ 0，4），（2，0），（6，4），则 f （f （0））=2；
=﹣ 2 ．（用数字作答）
【剖析】由函数的图象可知，，当0≤ x≤ 2，f'（x）=﹣2，所
以由导数的几何意义知=f' （1）=﹣ 2．
【解答】解：∵ f （ 0） =4，f （4）=2， f （ 2） =4，
∴由函数的图象可知，
，
由导数的几何意义知=f ′（ 1）=﹣2．
答案： 2；﹣ 2．
13．（ 5 分）（ 2008?北京）已知函数 f （x）=x2﹣cosx ，对于[ ﹣，] 上的随意 x1，x2，有以下条件：
①x1＞x2；② x1 2＞x22；③ |x
1|＞x2．
此中能使 f （x1）＞ f （ x2）恒建立的条件序号是②．
【剖析】先研究函数的性质，察看知函数是个偶函数，因为 f ′（ x）=2x+sinx ，在[0 ，] 上 f ′（ x）＞ 0，可推测出函数在y 轴两边是左减右增，此类函数的特色是
自变量离原点的地点越近，则函数值越小，欲使 f （ x1）＞ f （ x2）恒建立，只要x1，到原点的距离比x2，到原点的距离大即可，由此可得出|x 1 | ＞ |x 2| ，在所给三个条件
中找切合条件的即可．
【解答】解：函数 f （x）为偶函数， f ′（ x）=2x+sinx ，
当 0＜x≤时， 0＜sinx ≤1，0＜2x≤π，
∴f ′（ x）＞ 0，函数 f （x）在 [0 ，] 上为单一增函数，
由偶函数性质知函数在 [ ﹣，0]上为减函数．
2 2
当 x1＞ x2时，得 |x 1| ＞ |x 2| ≥0，
∴f（ |x 1| ）＞f （|x 2 | ），由函数 f （x）在上 [ ﹣，] 为偶函数得 f （x1）＞f（ x2），故②建立．
∵＞﹣，而f（）=f（），
∴①不建立，同理可知③不建立．故答案是②．
故应填②
14．（ 5 分）（2008?北京）某校数学课外小组在座标纸上，为学校的一块空地设计植
树方案以下：第k 棵树栽种在点 P k（x k， y k）处，此中 x1=1，y1=1，当 k≥2 时，
T（a）表示非负实数 a 的整数部分，比如T （） =2， T（） =0．按此方案，第6棵树栽种点的坐标应为（1，2）；第2009
棵树栽种点的坐标应为（4，402）．
【剖析】由意可知，数列 x n 1，2，3，4，5，1，2，3，4，5，1，2，3，4，5，⋯；数列 {y n } 1，1，1，1，1，2， 2， 2，2， 2，3，3，3，3，3，4，4，4，4，4，⋯由此下手能获得第 6 棵栽种点的坐和第 2009 棵栽种点的坐．
【解答】解：∵成的数列0，0，0，0，1，0，0，0，0，1，
0，0，0，0，1⋯， k=2，3，4，5，⋯
一一代入算得数列x n1，2，3，4，5，1，2，3，4，5，1，2，3，4，5，⋯
*
即 x n的重复律是x5n+1=1，x5n+2=2， x5n+3=3，x5n+4=4，x5n=5． n∈ N．
数列 {y n } 1，1，1，1，1，2，2，2， 2， 2， 3， 3， 3， 3， 3， 4， 4，4，4，4，⋯
即 y n的重复律是y5n+k=n，0≤k＜5．
∴由意可知第 6 棵栽种点的坐（1，2）；第 2009 棵栽种点的坐（ 4，
402）．
三、解答（共 6 小，分80 分）
15．（ 13 分）（ 2008?北京）已知函数 f （x）=sin2ωx+sin ωxsin（ωx+）（ω＞0）的最小正周期π．
（1）求ω的；
（2）求函数 f （x）在区 [0 ，] 上的取范．
【剖析】（Ⅰ）先依据倍角公式和两角和公式，函数行化，再利用T=，
而求得ω
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得函数 f （x）的分析式，再依据正弦函数的性而求得函数f （x）的范．
【解答】解：（Ⅰ）==
．
∵函数 f （ x）的最小正周期π，且ω＞0，
∴，解得ω=1．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得．
∵，
∴，
∴．
∴，即 f （x）的取值范围为．
16．（14 分）（2008?北京）如图，在三棱锥 P﹣ABC中，AC=BC=2，∠ACB=90°，AP=BP=AB，PC⊥AC．
（Ⅰ）求证： PC⊥AB；
（Ⅱ）求二面角B﹣AP﹣ C的大小；
（Ⅲ）求点 C到平面 APB的距离．
【剖析】（Ⅰ）欲证 PC⊥ AB，取 AB中点 D，连结 PD，CD，可先证 AB⊥平面 PCD，欲
证 AB⊥平面 PCD，依据直线与平面垂直的判断定理可知只要证 AB与平面 PCD内两订交直线垂直，而 PD⊥ AB，CD⊥AB，又 PD∩ CD=D，知足定理条件；
（Ⅱ）取 AP中点 E．连结 BE，CE，依据二面角平面角的定义可知∠ BEC是二面角 B
﹣AP﹣C 的平面角，在△ BCE中求出此角即可；
（Ⅲ）过 C 作 CH⊥PD，垂足为 H，易知 CH的长即为点 C到平面 APB的距离，在
Rt△ PCD中利用勾股定理等知识求出 CH即可．
【解答】解：（Ⅰ）取 AB中点 D，连结 PD，CD．
∵AP=BP，∴ PD⊥AB．
∵AC=BC，∴ CD⊥AB．
∵PD∩CD=D，∴ AB⊥平面 PCD．
∵PC?平面 PCD，∴ PC⊥AB．
（Ⅱ）∵ AC=BC，AP=BP，∴△ APC≌△ BPC．
又 PC⊥ AC，∴ PC⊥BC．
又∠ ACB=90°，即 AC⊥BC，且 AC∩PC=C，∴ BC⊥平面 PAC．
取 AP中点 E．连结 BE，CE．
∵AB=BP，∴ BE⊥AP．
∵EC是 BE在平面 PAC内的射影，∴ CE⊥
AP．∴∠BEC是二面角B﹣AP﹣C 的平面角．
在△ BCE中， BC=2，，CE=
cos∠ BEC=．∴二面角B﹣AP﹣C的大小arccos．
（Ⅲ）由（Ⅰ）知AB⊥平面 PCD，∴平面 APB⊥平面 PCD．
过 C作 CH⊥PD，垂足为 H．
∵平面 APB∩平面 PCD=PD，∴ CH⊥平面 APB．
∴CH的长即为点 C 到平面 APB的距离．
由（Ⅰ）知 PC⊥AB，又 PC⊥AC，且 AB∩ AC=A，∴ PC⊥平面 ABC．
∵CD?平面 ABC，∴ PC⊥CD．
在 Rt△ PCD中，，，
∴．∴．
∴点 C到平面 APB的距离为．
17．（ 13 分）（ 2008?北京）甲、乙等五名奥运志愿者被随机地分到A，B，C，D四个不一样的岗位服务，每个岗位起码有一名志愿者．
（Ⅰ）求甲、乙两人同时参加 A 岗位服务的概率；
（Ⅱ）求甲、乙两人不在同一个岗位服务的概率；
（Ⅲ）设随机变量ξ为这五名志愿者中参加 A 岗位服务的人数，求ξ的散布列．【剖析】（Ⅰ）甲、乙两人同时参加 A 岗位服务，则此外三个人在B、C、D三个地点进行全摆列，全部的事件数是从 5 个人中选 2 个作为一组，同其余 3 人共 4 个元素在四个地点进行摆列．
（Ⅱ）总事件数同第一问同样，甲、乙两人不在同一个岗位服务的对峙事件是甲、乙两人同时参加同一岗位服务，即甲、乙两人作为一个元素同其余三个元素进行全摆列．（Ⅲ）五名志愿者中参加 A 岗位服务的人数ξ可能的取值是 1、2，ξ =2”是指有两人同时参加 A 岗位服务，同第一问近似做出结果．写出散布列．
【解答】解：（Ⅰ）记甲、乙两人同时参加 A 岗位服务为事件E A，
总事件数是从 5 个人中选 2 个作为一组，同其余 3 人共 4 个元素在四个地点进行摆列C52A44．
知足条件的事件数是A33，
那么，
即甲、乙两人同时参加 A 岗位服务的概率是．
（Ⅱ）记甲、乙两人同时参加同一岗位服务为事件 E，知
足条件的事件数是 A44，
那么，
∴甲、乙两人不在同一岗位服务的概率是．
（Ⅲ）随机变量ξ 可能取的值为1，2．事件“ξ=2”是指有两人同时参加 A 岗位服务，
则．
∴，ξ 的散布列是
ξ12
P
18．（13 分）（2008?北京）已知函数，求导函数 f ′（x），并确立f（ x）的单一区间．
【剖析】依据函数的求导法例进行求导，而后由导数大于 0 时原函数单一递加，导数小于 0 时原函数单一递减可得答案．
【解答】解：==．令 f' （ x） =0，得 x=b﹣1．
当 b﹣1＜1，即 b＜ 2 时， f' （x）的变化状况以下表：
x（﹣∞， b b﹣ 1（b﹣1，（1，+
﹣1）1）∞）
f ′（ x）﹣0+﹣
当 b﹣1＞1，即 b＞ 2 时， f' （x）的变化状况以下表：
x（﹣∞，（1，b﹣b﹣ 1 （ b﹣ 1， +
1）1）∞）
f ′（ x）﹣+0﹣
所以，当 b＜2 时，函数 f （ x）在（﹣∞， b﹣1）上单一递减，在（ b﹣1，1）上单一递加，
在（ 1，+∞）上单一递减．
当 b＞2 时，函数 f （ x）在（﹣∞， 1）上单一递减，在（ 1，b﹣1）上单一递加，在（b﹣ 1， +∞）上单一递减．
当 b﹣1=1，即 b=2 时，，所以函数f（x）在（﹣∞，1）上单一
递减，在（ 1，+∞）上单一递减．
19．（ 14 分）（ 2008?北京）已知菱形 ABCD的极点 A，C在椭圆 x2+3y2 =4 上，对角线 BD 所在直线的斜率为1．
（Ⅰ）当直线 BD过点（ 0，1）时，求直线 AC的方程；
（Ⅱ）当∠ ABC=60°时，求菱形ABCD面积的最大值．
【剖析】（Ⅰ）由题意得直线 BD的方程，依据四边形 ABCD为菱形，判断出 AC⊥BD．于是可设出直线 AC的方程与椭圆的方程联立，依据鉴别式大于0 求得 n 的范围，设 A，C 两点坐标分别为（ x1，y1），（x2，y2），依据韦达定理求得x1+x2和 x1x2，代入直线方程可表示出 y1+y2，从而可得 AC中点的坐标，把中点代入直线y=x+1 求得 n，从而可得直线 AC的方程．
（Ⅱ）依据四边形 ABCD为菱形判断出∠ ABC=60°且 |AB|=|BC|=|CA| ．从而可得菱
形ABCD的面积依据 n 的范围确立面积的最大值．
【解答】解：（Ⅰ）由题意得直线BD的方程为 y=x+1．
因为四边形 ABCD为菱形，所以AC⊥BD．
于是可设直线 AC的方程为 y=﹣ x+n．
由因为
得 4x2﹣ 6nx+3n2﹣ 4=0．A，C在椭圆上，
所以△ =﹣12n2 +64＞0，解得
设 A，C两点坐标分别为（ x1，y1），（x2， y2），
．
，，y1=x1+n，y2= x2+n．
所以．
所以 AC的中点坐．
由四形 ABCD菱形可知，点在直y=x+1上，
所以，解得 n= 2．
所以直 AC的方程 y= x 2，即 x+y+2=0．
（Ⅱ）因四形ABCD菱形，且∠ ABC=60°，
所以 |AB|=|BC|=|CA| ．
所以菱形 ABCD的面．
由（Ⅰ）可得，
所以．
所以当 n=0 ，菱形 ABCD的面获得最大．
20．（ 13 分）（ 2008?北京）于每均是正整数的数列A：a1，a2，⋯， a n，定
T1，T1将数列 A 成数列 T1（A）：n，a11，a21，⋯， a n1；于每均是非
整数的数列 B：b1， b2，⋯， b m，定 T2，T2将数列 B 各从大到小摆列，而后去
222
掉全部零的，获得数列 T（2 B）；又定 S（B）=2（b1+2b2+⋯+mb）+b1 +b2 +⋯+b m．
A0是每均正整数的有数列，令A k+1=T2（T1（ A k））（k=0，1，2，⋯）．
（Ⅰ）假如数列A05， 3， 2，写出数列 A1， A2；
（Ⅱ）于每均是正整数的有数列A，明 S（T1（A））=S（A）；
（Ⅲ）明：于随意定的每均正整数的有数列A0，存在正整数K，当k≥K ， S（A k+1）=S（ A k）．
【剖析】（Ⅰ）由A0：5，3，2，求得T1（A0）再通A k+1=T2（T1（ A k））求解．
（Ⅱ）有数列 A 求得T（1 A）再求得（ST（1 A）），由（SA）=2（ a1 +2a2++na n）+a12+a22++a n2，二者作差比．
（Ⅲ） A 是每均非整数的数列 a1，a2， a n．在存在 1≤i ＜j ≤n，有 a i≤a j条件下，交数列 A
的第 i 与第 j 获得数列 B，在存在 1≤ m＜ n，使得 a m+1=a m+2═a n =0 条件下，若数列 a1，a2，⋯， a m C， A k+1=T2（T1（A k））s（A k+1）≤ S（ T1
（A k））．由 S（T1（A k））=S（A k），获得 S（A k+1）≤ S（A k）．S（A k）是大于 2 的整数，
所以有限步后，必有S（A k） =S（A k+1）=S（ A k+2） =0．
【解答】解：（Ⅰ）解： A0：5，3，2，T1（A0）：3，4，2，1，A1=T2（T1（A0））：4，3，
2，1；T1（A1）：4，3，2，1，0，A2=T2（T1（A1））：4，3，2，1．
（Ⅱ）明：每均是正整数的有数列 A a1， a2，a n，
T1（A） n，a11，a21， a n1，
从而 S（T1（ A））=2[n+2（a11）+3（a21）++（n+1）（ a n1）]+n 2+（a11）2 +（ a2 1）2++（ a n1）2．
又 S（A）=2（ a1+2a2++na n）+a12+a22++a n2，
所以 S（T1（A））S（A）=2[n 2 3（ n+1）]+2（a1+a2++a n）+n22（a1+a2++a n）2
+n= n（ n+1）+n +n=0，
故 S（T1（A））=S（A）．
（Ⅲ）明： A 是每均非整数的数列a1，a2， a n．
当存在 1≤ i ＜ j ≤ n，使得 a i≤a j，交数列 A 的第 i 与第 j 获得数列 B，
S（B） S（A）=2（ia j +ja i ia i ja j）=2（ i j ）（a j a i）≤ 0．
当存在 1≤ m＜ n，使得 a m+1=a m+2═a n=0 ，若数列 a1，a2，a m C，S（C）=S
（A）．
所以 S（T2（A））≤ S（A）．
从而于随意定的数列A0，由 A k+1=T2（ T1（A k））（ k=0，1，2，）
可知 S（A k+1）≤ S（ T1（A k））．
又由（Ⅱ）可知S（T1（A k））=S（A k），所以 S（ A k+1）≤ S（A k）．
即于 k∈ N，要么有 S（A k+1）=S（ A k），要么有 S（ A k+1）≤ S（A k） 1．
因 S（A k）是大于 2 的整数，所以有限步后，必有S（A k）=S（A k+1） =S（A k+2）
=0．
即存在正整数K，当k≥K ， S（A k+1） =S（A）
参加本试卷答题和审题的老师有： zhiyuan ；wdlxh ；wzj123 ；豫汝王世崇；涨停；qiss ；minqi5 ； zlzhan ；xintrl；wsj1012；zhwsd；wodeqing（排名不分先后）
2017年 2月 4日。