高一数学上册课时随堂提升训练题47

课时作业10
一、选择题
1．下列表格中的x与y能构成函数的是()
A.
B.
C.
D.
解析：选项A中x＝0时，分别对应1，－1，不符合函数定义；
选项B 中的偶数没有对应值，不符合函数定义；选项D 中的自然数分别对应1,0，－1，不符合函数定义．故选C.
答案：C
2．已知f (x ＋1)＝x 2－1，则f (x )的表达式为( ) A ．f (x )＝x 2＋2x B ．f (x )＝x 2－2x C ．f (x )＝x 2－2x ＋2
D ．f (x )＝x 2－2x －2
解析：令x ＋1＝t ，则x ＝t －1，所以f (t )＝(t －1)2－1＝t 2－2t .故f (x )＝x 2－2x .故选B.
答案：B
3．下列图形是函数y ＝x |x |的图象的是( )
解析：∵g ＝x ·|x |＝⎩⎨⎧
x 2，x ≥0，
－x 2
，x ＜0，
∴其图象为D. 答案：D
4．对于任意实数m ，n ，若函数f (x )满足f (mn )＝f (m )·f (n )，且f (0)≠0，则f (2018)的值为( )
A ．－2
B ．1
C ．2
D ．无法确定
解析：因为m ，n ∈R ，可令m ＝n ＝0，则f (0)＝f (0)·f (0)，又f (0)≠0，所以f (0)＝1.再令m ＝x ，n ＝0，则f (x )＝1.所以f (2018)＝1.故选B.
答案：B 二、填空题
5．[2018·太原五中高一月考]若函数f (x )满足f (n 2)＝f (n )＋2，且n ≥2，f (2)＝1，则f (256)＝________.
解析：由f (n 2)＝f (n )＋2可知，f (256)＝f (162)＝f (16)＋2＝f (4)＋4＝f (2)＋6＝1＋6＝7，填7.
答案：7
6．已知3f (x )＋5f (1
x )＝2x ＋1，则函数f (x )的表达式为________． 解析：因为3f (x )＋5f (1x )＝2x ＋1，用1x 代替x ，得3f (1x )＋5f (x )＝2
x ＋1.
两式联立得⎩⎪⎨⎪⎧
3f (x )＋5f (1x )＝2x ＋1，3f (1x )＋5f (x )＝2
x ＋1.
消去f (1
x )，得f (x )＝－3x 2
＋x ＋58x
(x ≠0)． 答案：f (x )＝－3x 2＋x ＋58x (x ≠0) 7．已知对应：
是实数集M t ∈N ，t 在M 中不存在对应值，则t 的取值范围是________．
解析：由题意得⎩⎪⎨⎪
⎧
a －
b ＋
c ＝－3c ＝0
a ＋
b ＋
c ＝1
，解得⎩⎪⎨⎪⎧
a ＝－1
b ＝2
c ＝0
，
∴ax 2＋bx ＋c ＝－x 2＋2x .若t 在M 中存在对应值，则方程－x 2＋2x ＝t 有实数根；若t 在M 中不存在对应值，则方程－x 2＋2x ＝t 没有实根，因此Δ＝4－4t <0，得t >1.
答案：(1，＋∞) 三、解答题
8．设f (x )是R 上的函数，且满足f (0)＝1，并且对任意实数x ，y ，有f (x －y )＝f (x )－y (2x －y ＋1)，求f (x )的解析式．
解：∵对任意实数x ，y ，有 f (x －y )＝f (x )－y (2x －y ＋1)， ∴令y ＝x ，
有f (0)＝f (x )－x (2x －x ＋1)，
即f (0)＝f (x )－x (x ＋1)．又f (0)＝1， ∴f (x )＝x (x ＋1)＋1＝x 2＋x ＋1. 故f (x )＝x 2＋x ＋1.
9．在边长为4的正方形ABCD 上有一点P ，点P 沿着折线BCDA 由B 点向A 点移动，设P 点移动的路程为x ，△ABP 的面积为y ＝f (x )．求△ABP 的面积与P 移动的路程间的函数关系式．
解：由于点P 在运动的过程中所处的位置不同，△ABP 的面积也不同，所以△ABP 的面积y ＝f (x )是一个分段函数．作图如图所示．
(1)当P 在BC 边上移动时，移动的路程x ∈(0,4]，由图可知△ABP 的面积为y ＝12·4·x ＝2x ；
(2)当P 在CD 边上移动时，移动的路程x ∈(4,8]，由图可知△ABP 的面积为y ＝1
2×4×4＝8；
(3)当P 在DA 边上移动时，移动的路程x ∈(8,12]，由图可知△ABP 的面积为y ＝12·4·(12－x )＝24－2x ；
综上，△ABP 的面积y 与P 移动的路程x 间的函数关系式为y ＝⎩⎪⎨⎪
⎧
2x ，x ∈(0，4]，8，x ∈(4，8]，24－2x ，x ∈(8，12].。