中考数学常见几何模型专题09 最值模型-将军饮马(解析版)

专题09 最值模型---将军饮马
最值问题在中考数学常以压轴题的形式考查，将军饮马问题是由轴对称衍生而来，同时还需掌握平移型将军饮马，主要考查转化与化归等的数学思想。

在各类考试中都以中高档题为主，中考说明中曾多处涉及。

本专题就最值模型中的将军饮马问题进行梳理及对应试题分析，方便掌握。

在解决几何最值问题主要依据是：①两点之间，线段最短；②垂线段最短，涉及的基本方法还有：利用轴对称变换化归到“三角形两边之和大于第三边”、“三角形两边之差小于第三边”等。

模型1.求两条线段和的最小值（将军饮马模型）
【模型解读】在一条直线m上，求一点P，使PA+PB最小；
（1）点A、B在直线m两侧：（2）点A、B在直线同侧：
【最值原理】两点之间线段最短。

上图中A’是A关于直线
m
的对称点。

例1．（2022·湖南娄底·中考真题）菱形ABCD的边长为2，45
ABC
∠=︒，点P、Q分别是BC、BD上的动点，CQ PQ
+的最小值为______．
【分析】过点C作CE⊥AB于E，交BD于G，根据轴对称确定最短路线问题以及垂线段最短可知CE为FG+CG 的最小值，当P与点F重合，Q与G重合时，PQ+QC最小，在直角三角形BEC中，勾股定理即可求解．【详解】解：如图，过点C作CE⊥AB于E，交BD于G，根据轴对称确定最短路线问题以及垂线段最短可知CE为FG+CG的最小值，当P与点F重合，Q与G重合时，PQ+QC最小，
m
A
B
m
m
A
B
m
菱形ABCD 的边长为2，45ABC ∠=︒，Rt BEC ∴中，EC =∴
PQ +QC 【点睛】本题考查了菱形的性质，勾股定理，轴对称的性质，掌握轴对称的性质求线段和的最小值是解题的关键．
例2．（2022·四川眉山·中考真题）如图，点P 为矩形ABCD 的对角线AC 上一动点，点E 为BC 的中点，连
接PE ，PB ，若4AB =，BC =PE PB +的最小值为________．
【答案】6
【分析】作点B 关于AC 的对称点B '，交AC 于点F ，连接B E '交AC 于点P ，则PE PB +的最小值为B E '的长度；然后求出B B '和BE 的长度，再利用勾股定理即可求出答案．
【详解】解：如图，作点B 关于AC 的对称点B '，交AC 于点F ，连接B E '交AC 于点P ，则PE PB +的最小值为B E '的长度；
⊥AC 是矩形的对角线，⊥AB =CD =4，⊥ABC =90°，
在直角⊥ABC 中，4AB =，BC =⊥tan
AB ACB BC ∠===，⊥30ACB ∠=︒，
由对称的性质，得2B B BF '=，B B AC '⊥，⊥12
BF BC ==⊥2B B BF '==
⊥BE EF ==60CBF ∠=︒，⊥⊥BEF 是等边三角形，
⊥BE BF B F '==，⊥BEB '∆是直角三角形，
⊥6B E '==，⊥PE PB +的最小值为6；故答案为：6．
【点睛】本题考查了矩形的性质，勾股定理，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质，特殊角的三角函数值，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确的找到点P 使得PE PB +有最小值．
例3．（2022·贵州铜仁·中考真题）如图，在边长为2的正方形ABCD 中，点E 为AD 的中点，将△CDE 沿CE 翻折得△CME ，点M 落在四边形ABCE 内．点N 为线段CE 上的动点，过点N 作NP //EM 交MC 于点P ，则MN +NP 的最小值为________．
【答案】85
【分析】过点M 作MF ⊥CD 于F ，推出MN +NP 的最小值为MF 的长，证明四边形DEMG 为菱形，利用相似三角形的判定和性质求解即可．
【详解】解：作点P 关于CE 的对称点P ′，
由折叠的性质知CE 是⊥DCM 的平分线，⊥点P ′在CD 上，
过点M 作MF ⊥CD 于F ，交CE 于点G ，
⊥MN +NP =MN +NP ′≤MF ，⊥MN +NP 的最小值为MF 的长，
连接DG ，DM ，由折叠的性质知CE 为线段 DM 的垂直平分线，
⊥AD =CD =2，DE =1，⊥CE
⊥12CE ×DO =12CD ×DE ， ⊥DO ⊥EO ⊥MF ⊥CD ，⊥EDC =90°，⊥DE ⊥MF ，⊥⊥EDO =⊥GMO ，
⊥CE 为线段DM 的垂直平分线，⊥DO =OM ，⊥DOE =⊥MOG =90°，
⊥⊥DOE ⊥⊥MOG ，⊥DE =GM ，⊥四边形DEMG 为平行四边形，
⊥⊥MOG =90°，⊥四边形DEMG 为菱形，⊥EG =2OE GM = DE =1，⊥CG ， ⊥DE ⊥MF ，即DE ⊥GF ，⊥⊥CFG ⊥⊥CDE ，
⊥FG CG DE CE =，即
1FG = ⊥FG =35，⊥MF =1+35=85， ⊥MN +NP 的最小值为85．故答案为：85
． 【点睛】此题主要考查轴对称在解决线段和最小的问题，熟悉对称点的运用和画法，知道何时线段和最小，会运用勾股定理和相似三角形的判定和性质求线段长度是解题的关键．
例4．（2022·江苏南京·模拟预测）【模型介绍】
古希腊有一个著名的“将军饮马问题”，大致内容如下：古希腊一位将军，每天都要巡查河岸同侧的两个军营,A B ．他总是先去A 营，再到河边饮马，之后，再巡查B 营．如图①，他时常想，怎么走才能使每天走的路程之和最短呢？大数学家海伦曾用轴对称的方法巧妙地解决了这个问题．如图②，作点B 关于直线l 的对称点B '，连结AB '与直线l 交于点P ，连接PB ，则AP BP +的和最小．请你在下列的阅读、理解、应用的过程中，完成解答．理由：如图③，在直线l 上另取任一点P '，连结'AP ，BP '，B P ''，⊥直线l 是点B ，B '的对称轴，点P ，P '在l 上，
（1）⊥PB =__________，P B '=_________，⊥AP PB AP PB '+=+=____________．在AP B ''∆中，⊥AB AP P B ''''<+，⊥AP PB AP P B '''+<+，即AP BP +最小．
【归纳总结】在解决上述问题的过程中，我们利用轴对称变换，把点,A B 在直线同侧的问题转化为在直线的两侧，从而可利用“两点之间线段最短”，即转化为“三角形两边之和大于第三边”的问题加以解决（其中点P 为AB '与l 的交点，即A ，P ，B '三点共线）．由此，可拓展为“求定直线上一动点与直线同侧两定点的距离和的最小值”问题的数学模型．
【模型应用】（2）如图④，正方形ABCD 的边长为4，E 为AB 的中点，F 是AC 上一动点．求EF FB +的最小值．
解析：解决这个问题，可借助上面的模型，由正方形对称性可知，点B 与D 关于直线AC 对称，连结DE 交
AC于点F，则EF FB
+的最小值就是线段ED的长度，则EF FB
+的最小值是__________．
（3）如图⑤，圆柱形玻璃杯，高为14cm，底面周长为16cm，在杯内离杯底3cm的点C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在外壁，离杯上沿4cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁到达蜂的最短路程为_____cm．（4）如图⑥，在边长为2的菱形ABCD中，60
ABC
∠=︒，将ABD
∆沿射线BD的方向平移，得到A B D
'''
∆，分别连接A C'，A D
'，B C'，则A C B C
''
+的最小值为____________．
模型2.平移型将军饮马（将军过桥模型）
【模型解读】已知，如图1将军在图中点A 处，现要过河去往B 点的军营，桥必须垂直于河岸建造，问：桥建在何处能使路程最短？
考虑MN 长度恒定，只要求AM +NB 最小值即可．问题在于AM 、NB 彼此分离，所以首先通过平移，使AM 与NB 连在一起，将AM 向下平移使得M 、N 重合，此时A 点落在A ’位置（图2 ）．
问题化为求A ’N +NB 最小值，显然，当共线时，值最小，并得出桥应建的位置（图3）．
图1 图2 图3
【最值原理】两点之间线段最短。

例1．（2022·重庆中考模拟）如图，已知直线l 1∥l 2，l 1、l 2之间的距离为8，点P 到直线l 1的距离为6，点Q
到直线l2的距离为4，PQ=在直线l1上有一动点A，直线l2上有一动点B，满足AB⊥l2，且PA+AB+BQ 最小，此时PA+BQ=______．
【答案】16．
【详解】作PE⊥l1于E交l2于F，在PF上截取PC=8，连接QC交l2于B，作BA⊥l1于A，此时PA+AB+BQ最短．作QD⊥PF于D．在Rt△PQD中，∵∠D=90°，PQ=，PD=18，∴DQ==，∵AB=PC=8，AB∥PC，∴四边形ABCP是平行四边形，∴PA=BC，CD=10，∴PA+BQ=CB+BQ=QC=
==16．故答案为16．
例2．（2022·广西·二模）已知，在河的两岸有A，B两个村庄，河宽为4千米，A、B两村庄的直线距离AB ＝10千米，A、B两村庄到河岸的距离分别为1千米、3千米，计划在河上修建一座桥MN垂直于两岸，M 点为靠近A村庄的河岸上一点，则AM+BN的最小值为()
A．B．C．D
【答案】A
【分析】作BB'垂直于河岸，使BB′等于河宽，连接AB′，与靠近A的河岸相交于M，作MN垂直于另一条河岸，则MN⊥BB′且MN＝BB′，于是MNBB′为平行四边形，故MB′＝BN；根据“两点之间线段最短”，AB′最短，即AM+BN最短，此时AM+BN＝AB′．
【详解】解：如图，作BB'垂直于河岸，使BB′等于河宽，连接AB′，与靠近A的河岸相交于M，作MN垂直于另一条河岸，则MN⊥BB′且MN＝BB′，于是MNBB′为平行四边形，故MB′＝BN．
根据“两点之间线段最短”，AB′最短，即AM+BN 最短．
⊥AB ＝10千米，BC ＝1+3+4＝8千米，⊥在RT △ABC
中，AC 6，
在RT △AB′C 中，B′C ＝1+3＝4千米，⊥AB′
=A ．
【点睛】本题考查了轴对称—最短路径问题，要利用“两点之间线段最短”，但许多实际问题没这么简单，需要我们将一些线段进行转化，即用与它相等的线段替代，从而转化成两点之间线段最短的问题．目前，往往利用对称性、平行四边形的相关知识进行转化．
模型
3.修桥选址模型
【模型解读】已知A 、B 是两个定点，P 、Q 是直线m 上的两个动点，P 在Q 的左侧,且PQ 间长度恒定,
在直线m 上要求P 、Q 两点，使得P A +
PQ +QB 的值最小。

(原理用平移知识解)
（1）点A 、B 在直线m 两侧：
（2）点A 、B 在直线m 同侧：
如图1 如图2
（1）如图1，过A 点作AC ∥m ,且AC 长等于PQ 长，连接BC ,交直线m 于Q ,Q 向左平移PQ 长，即为P 点，此时P 、Q 即为所求的点。

（2）如图2，过A 点作AE ∥m ,且AE 长等于PQ 长，作B 关于m 的对称点B ’,连接B ’E ,交直线m 于Q ,Q 向左平移PQ 长，即为P 点，此时P 、Q 即为所求的点。

【最值原理】两点之间线段最短。

Q P
例1．（2022.山东青岛九年级一模）如图，已知A （3，1）与B （1，0），PQ 是直线y ＝x 上的一条动线段且PQ ＝（Q 在P 的下方），当AP +PQ +QB 最小时，Q 点坐标为（ ）
A ．（，）
B ．（，）
C ．（0，0）
D ．（1，1）
【解答】解：作点B 关于直线y ＝x 的对称点B '（0，1），过点A 作直线MN ，使得MN 平行于直线y ＝x ，并沿MN 向下平移单位后得A '（2，0）连接A 'B '交直线y ＝x 于点Q ，如图
理由如下：∵AA '＝PQ ＝
，AA '∥PQ ∴四边形APQA '是平行四边形 ∴AP ＝A 'Q
∵AP +PQ +QB ＝B 'Q +A 'Q +PQ 且PQ ＝ ∴当A 'Q +B 'Q 值最小时，AP +PQ +QB 值最小
根据两点之间线段最短，即A '，Q ，B '三点共线时A 'Q +B 'Q 值最小
∵B '（0，1），A '（2，0） ∴直线A 'B '的解析式y ＝﹣x +1
∴x ＝﹣x +1，即x ＝ ∴Q 点坐标（，） 故选：A ．
例2．（2022·四川自贡·中考真题）如图，矩形ABCD 中，42AB BC ==，，G 是AD 的中点，线段EF 在边AB 上左右滑动；若1EF =，则GE CF +的最小值为____________．
【答案】
【分析】如图，作G关于AB的对称点G'，在CD上截取CH=1，然后连接HG'交AB于E，在EB上截取EF=1，此时GE+CF的值最小，可得四边形EFCH是平行四边形，从而得到G'H=EG'+EH=EG+CF，再由勾股定理求出HG'的长，即可求解．
【详解】解：如图，作G关于AB的对称点G'，在CD上截取CH=1，然后连接HG'交AB于E，在EB上截取EF=1，此时GE+CF的值最小，
⊥G'E=GE，AG=AG'，
⊥四边形ABCD是矩形，⊥AB⊥CD，AD=BC=2⊥CH⊥EF，
⊥CH=EF=1，⊥四边形EFCH是平行四边形，
⊥EH=CF，⊥G'H=EG'+EH=EG+CF，
⊥AB=4，BC=AD=2，G为边AD的中点，⊥AG=AG'=1
⊥DG′=AD+AG'=2+1=3，DH=4-1=3，
⊥
HG'=
+的最小值为
即GE CF
【点睛】此题主要考查了利用轴对称求最短路径问题，矩形的性质，勾股定理等知识，确定GE+CF最小时E，F位置是解题关键．
例3．（2022·广东·九年级期中）如图，CD是直线x＝1上长度固定为1的一条动线段．已知A（﹣1，0），B （0，4），则四边形ABCD周长的最小值为_________________．
【答案】6
【分析】在y 轴上取点E ，使BE ＝CD ＝1，则四边形BCDE 为平行四边形，根据勾股定理得到AB ，作点A 关于直线x ＝1的对称点A '，得到A '、E 、D 三点共线时，AD +DE 最小值为A 'E 的长，根据勾股定理求出A 'E ，即可得解；
【详解】解：如图，在y 轴上取点E ，使BE ＝CD ＝1，则四边形BCDE 为平行四边形，
∵B （0，4），A （﹣1，0），∴OB ＝4，OA ＝1，∴OE ＝3，AB
作点A 关于直线x ＝1的对称点A '，∴A '（3，0），AD ＝A 'D ，
∴AD +DE ＝A 'D +DE ，即A '、E 、D 三点共线时，AD +DE 最小值为A 'E 的长， 在Rt △A 'OE 中，由勾股定理得A 'E
=
∴C 四边形ABCD 最小值＝AB +CD +BC +AD ＝AB +CD +A 'E
．故答案为：6． 【点睛】本题考查了轴对称最短路线问题、勾股定理、位置与坐标，准确分析作图计算是解题的关键．
模型4. 求多条线段和（周长）最小值
【模型解读】在直线m 、n 上分别找两点P 、Q ，使PA +PQ +QB 最小。

（1）两个点都在直线外侧： （2）一个点在内侧，一个点在外侧：
n
n
n
m
n
（3）两个点都在内侧：
（4）台球两次碰壁模型
1）已知点A 、B 位于直线m ,n 的内侧，在直线n 、m 分别上求点D 、E 点，使得围成的四边形ADEB 周长最短.
2）已知点A 位于直线m ,n 的内侧, 在直线m 、n 分别上求点P 、Q 点P A +PQ +QA 周长最短.
【最值原理】两点之间线段最短。

例1．（2022·江苏九年级一模）如图，Rt △ABC 中，∠C =90°，AC =3，BC =4，D ，E ，F 分别是AB ，BC ，AC 边上的动点，则△DEF 的周长的最小值是（ ）
A ．2.5
B ．3.5
C ．4.8
D ．6
【答案】C
【分析】如图作D 关于直线AC 的对称点M ，作D 关于直线BC 的对称点N ，连接CM ，CN ，CD ，EN ，FM ，DN ，DM ．由∠MCA =∠DCA ，∠BCN =∠BCD ，∠ACD +∠BCD =90°，推出∠MCD +∠NCD =180°，可得M 、B 、N 共线，由DF +DE +EF =FM +EN +EF ，FM +EN +EF ≥MN ，可知当M 、F 、E 、N 共线时，且CD ⊥AB 时，DE +EF +FD 的值最小，最小值=2CD ，求出CD 的值即可解决问题．
【详解】解：如图，作D 关于直线AC 的对称点M ，作D 关于直线BC 的对称点N ，连接CM ，CN ，CD ，EN ，FM ，DN ，DM ．
n
m B
n
∴DF =FM ，DE =EN ，CD =CM ，CD =CN ，∴CD =CM =CN ， ∵∠MCA =∠DCA ，∠BCN =∠BCD ，∠ACD +∠BCD =90°，
∴∠MCD +∠NCD =180°，∴M 、C 、N 共线，∵DF +DE +EF =FM +EN +EF ，
∵FM +EN +EF ≥MN ，∴当M 、F 、E 、N 共线时，且CD ⊥AB 时，DE +EF +FD 的值最小，最小值为MN =2CD ， ∵CD ⊥AB ，∴12•AB •CD =12•AB•AC ，∴CD =
•AB AC AB =12
5
=2.4， ∴DE +EF +FD 的最小值为4.8．故选：C ．
【点睛】本题考查了轴对称-最短问题、两点之间线段最短、垂线段最短等知识，解题的关键是灵活运用轴对称以及垂线段最短解决最短问题，属于中考选择题中的压轴题．
例2．（2022·湖北武汉市·九年级期中）如图，点A 在y 轴上，G 、B 两点在x 轴上，且G （﹣3，0），B （﹣2，0），HC 与GB 关于y 轴对称，∠GAH ＝60°，P 、Q 分别是AG 、AH 上的动点，则BP ＋PQ ＋CQ 的最小值是（ ）
A ．6
B ．7
C ．8
D ．9
【答案】B
【分析】分别作B 、C 关于AG 和AH 对称的点B '、C '，连接BP 、CQ 、B C '、C Q '，PQ ，得出BP ＋PQ ＋CQ 的最小值为B C ''，再依据等边三角形的性质和判定和轴对称的性质分别求得B P PN '+和C Q QN '+即可求得． 【详解】解：分别作B 、C 关于AG 和AH 对称的点B '、C '，连接BP 、CQ 、B C '、C Q '，PQ
∵HC 与GB 关于y 轴对称， ∴GO=HO,BO=CO,∵x 轴⊥y 轴，∴AG=AH ，B '、C '关于y 轴对称， ∴当B '、C '，P 、Q 在同一条直线上时，BP PQ CQ B P PQ C Q B C ''''==＋＋＋＋最小，此时//B C x ''轴， ∵∠GAH ＝60°，∴△AGH 为等边三角形，∴∠AGO=60°，
∵//B C x ''轴，B 、B '关于AG 对称，∴60BPG B PG PGB '∠=∠=∠=︒,B P BP '=， ∴△BPG 为等边三角形，过作PM ⊥GO 交x 轴与M ，
∵G （﹣3，0），B （﹣2，0），∴BG=1，BO=2，∴11
1,22
PB PB BG BM BG '====
=， ∴171222B P PN BP MB BO '+=++=++=，同理可得7
2
C Q QN '+=,即7B C ''=．故选：B ．
【点睛】本题考查轴对称的性质，等边三角形的性质和判断，坐标与图形变化．能借助轴对称的性质正确变形将折线的长化成一条线段的长是解题关键．
例3．（2022·湖北青山·八年级期中）如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，∠ABC ＝30°，AC ＝2，以BC 为边向左作等边△BCE ，点D 为AB 中点，连接CD ，点P 、Q 分别为CE 、CD 上的动点． （1）求证：△ADC 为等边三角形；（2）求PD +PQ +QE 的最小值．
【答案】（1）证明见解析；（2）4．
【分析】（1）先根据直角三角形的性质可得60,BAC AD CD ∠=︒=，再根据等边三角形的判定即可得证；（2）连接,PA QB ，先根据等边三角形的性质可得1
2
ACE ACD ∠=
∠，再根据等腰三角形的三线合一可得CE 垂直平分AD ，然后根据线段垂直平分线的性质可得PA PD =，同样的方法可得QB QE =，从而可得
PD PQ QE PA PQ QB ++=++，最后根据两点之间线段最短即可得出答案．
【详解】证明：（1）在Rt ABC 中，90,30,2ACB ABC AC ∠=︒∠=︒=，60,24BAC AB AC ∠∴=︒==， 点D 是Rt ABC 斜边AB 的中点，2AD AC ∴==，ADC ∴是等边三角形； （2）如图，连接,PA QB ，
BCE 和ADC 都是等边三角形，60BCE ∴∠=︒，60ACD ∠=︒，
1
302
ACE ACB BCE ACD ∴∠=∠-∠=︒=∠，CE ∴垂直平分AD ，PA PD ∴=，
同理可得：CD 垂直平分BE ，QB QE ∴=，PD PQ QE PA PQ QB ∴++=++， 由两点之间线段最短可知，当点,,,A P Q B 共线时，PA PQ QB ++取得最小值AB ， 故PD PQ QE ++的最小值为4．
【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质、含30角的直角三角形的性质等知识点，熟练掌握等边三角形的性质是解题关键．
例4．（2022·山东泰安·中考真题）如图，30AOB ∠=︒，点M 、N 分别在边OA OB 、上，且3,5OM ON ==，点P 、Q 分别在边OB OA 、上，则MP PQ QN ++的最小值是（ ）
A B C 2 D 2
【答案】A
【分析】作M 关于OB 的对称点M ′，作N 关于OA 的对称点N ′，连接M ′N ′，即为MP +PQ +QN 的最小值；证出△ONN ′为等边三角形，△OMM ′为等边三角形，得出∠N ′OM ′=90°，由勾股定理求出M ′N ′即可． 【详解】解：作M 关于OB 的对称点M ′，作N 关于OA 的对称点N ′，如图所示： 连接M ′N ′，即为MP +PQ +QN 的最小值．
根据轴对称的定义可知：5ON ON '==，3OM OM '==，∠N ′OQ =∠M ′OB =30°， ∴∠NON ′=60°，'60MOM ∠=︒，∴△ONN ′为等边三角形，△OMM ′为等边三角形， ∴∠N ′OM ′=90°，∴在Rt △M ′ON ′中，M ′N
A ．
【点睛】本题考查了轴对称--最短路径问题，根据轴对称的定义，找到相等的线段，得到等边三角形是解题的关键．
模型5.求两条线段差最大值
【模型解读】在一条直线m 上，求一点P ，使PA 与PB 的差最大； （1）点A 、B 在直线m 同侧：
延长AB 交直线m 于点P ，根据三角形两边之差小于第三边，P’A -P’B ＜AB ，而P A -PB =AB 此时最大， 因此点P 为所求的点。

（2）点A 、B 在直线m 异侧：
过B 作关于直线m 的对称点B’,连接AB’交点直线m 于P ,此时PB =PB’，P A -PB 最大值为AB’ 【最值原理】三角形两边之差小于第三边。

例1．（2022·四川成都·中考真题）如图，在菱形ABCD 中，过点D 作DE CD ⊥交对角线AC 于点E ，连接BE
，
B
m
点P 是线段BE 上一动点，作P 关于直线DE 的对称点P '，点Q 是AC 上一动点，连接P Q '，DQ ．若14AE =，
18CE =，则DQ P Q '-的最大值为_________．
【分析】延长DE ，交AB 于点H ，确定点B 关于直线DE 的对称点F ，由点B ，D 关于直线AC 对称可知QD=QB ，求QD QP '-最大，即求QB QP '-最大，点Q ，B ，P '共线时，QD QP QB QP BP '''-=-=，根据“三角形两边之差小于第三边”可得BP '最大，当点P '与点F 重合时，得到最大值.连接BD ，即可求出CO ，EO ，再说明
EOD DOC ，可得DO ，根据勾股定理求出DE ，然后证明EOD BHD ，可求BH ，即可得出答案．
【详解】延长DE ，交AB 于点H ，
⊥AB CD ，ED ⊥CD ，⊥DH ⊥AB ．取FH=BH ，
⊥点P 的对称点在EF 上．由点B ，D 关于直线AC 对称，⊥QD=QB ．
要求QD QP '-最大，即求QB QP '-最大，点Q ，B ，P '共线时，QD QP QB QP BP '''-=-=，根据“三角形两边之差小于第三边”可得BP '最大，当点P '与点F 重合时，得到最大值BF ． 连接BD ，与AC 交于点O ．
⊥AE=14,CE=18， ⊥AC=32，⊥CO=16，EO=2． ⊥⊥EDO +⊥DEO =90°，⊥EDO +⊥CDO =90°，⊥⊥DEO=⊥CDO ． ⊥⊥EOD=⊥DOC ，⊥
EOD DOC ，⊥
EO DO
DO CO
=，
即2
21632DO =⨯=， 解得DO =⊥2BD DO ==．
在Rt ⊥DEO 中，6DE =
=．
⊥⊥EDO=⊥BDH ，⊥DOE=⊥DHB ，⊥EOD BHD ，
⊥
EO DE
BH BD =，即2BH =BH =
⊥2BF BH ==
．
【点睛】这是一道根据轴对称求线段差最大的问题，考查了菱形的性质，勾股定理，轴对称的性质，相似三角形的性质和判定等，确定最大值是解题的关键．
例2．（2022·河南南阳·一模）如图，已知⊥ABC 为等腰直角三角形，AC ＝BC ＝6，⊥BCD ＝15°，P 为直线CD 上的动点，则|P A －PB|的最大值为____．
⊥ABC 为等腰直角三角形，15BCD ∠=CD ⊥AA ′，AC =BC ，⊥90ACB ∠=
【点睛】此题主要考查轴对称--最短路线问题，等腰直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，正确的作出图形是解题的关键．
例3．（2022·江苏·九年级月考）如图，点A ，B 在直线MN 的同侧，A 到MN 的距离8AC =，B 到MN 的距离5BD =，已知4CD =，P 是直线MN 上的一个动点，记PA PB +的最小值为a ，PA PB -的最大值为b ，则22a b -的值为（ ）
A ．160
B ．150
C ．140
D ．130
【答案】A
【分析】作点A 关于直线MN 的对称点A '，连接A B '交直线MN 于点P ，则点P 即为所求点，过点A '作直线AE BD ⊥，在根据勾股定理求出线段A B '的长，即为PA +PB 的最小值，延长AB 交MN 于点P '，此时
P A P B AB ''-=，由三角形三边关系可知AB PA PB >-，故当点P 运动到P '时PA PB -最大，过点B 作
BE AC ⊥由勾股定理求出AB 的长就是PA PB -的最大值，代入计算即可得．
【详解】解：如图所示，作点A 关于直线MN 的对称点A '，连接A B '交直线MN 于点P ，则点P 即为所求点，过点A '作直线AE BD ⊥，
⊥8AC =，5BD =，4CD =，⊥8A C '=，8+5=13BE =，==4A E CD '，
在Rt A EB '中，根据勾股定理得，⊥
A B 'PA +PB 的最小值是a 如图所示，延长AB 交MN 于点P '，
⊥P A P B AB ''-=，AB PA PB >-，⊥当点P 运动到P '点时，PA PB -最大， 过点B 作BE AC ⊥，则4BE CD ==， ⊥853AE AC BD =-=-=，
在Rt AEB 中，根据勾股定理得，5AB =，
⊥5PA PB -=，即5b =，⊥22225160a b -=-=，故选A ．
【点睛】本题考查最短线路问题和勾股定理，解题关键是熟知两点之间线段最短及三角形的三边关系．
课后专项训练
1．（2022·山东泰安·二模）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝8，点E、F分别是边BC、CD上的动点，且EF＝4，点M是EF的中点，点Q是AB的中点，连接PQ、PM，则PQ+PM的最小值为（）
A．10B．C．8D．
值，点
在矩形
2．（2022·广东广州·二模）如图，在等腰直角三角形ABC中，⊥ABC=90°，AB=6，线段PQ在斜边AC上运动，且PQ=2．连接BP，BQ．则△BPQ周长的最小值是（）
A．2B．2C．8D．2
3．（2022·安徽合肥·二模）如图，在矩形ABCD中，点E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA上的动点(不与端点重合)，若四点运动过程中满足AE=CG、BF=DH，且AB=10、BC=5，则四边形EFGH周长的最小值等于（）
A．B．C．D．
【分析】由矩形的性质与线段的等量关系证明()
AEH CGF SAS
≌，(
BEF DGH SAS
≌
，连接E G'交BC于F，此时EF FG
+最小，即四边形
是矩形，BG CG
'=，GG BC AD
'==，则E
Rt GE G''中，()(
2
G E G GG
''''
=+求出E G'的值，进而可求最小的周长．四边形ABCD是矩形，
BC，BAD
∠
DH，⊥BE
中⊥
AH
EAH
=
⎧
⎪
∠
⎨⊥()
AEH CGF SAS
≌
，同理(
BEF DGH SAS
≌HG，
BC的对称点E'，连接于F，此时EF FG
+
Rt GE G ''中，由勾股定理得四边形EFGH 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，轴对称等知识．解题的关键在于找出四边形EFGH 周长最小时点4．（2022·湖北鄂州·中考真题）如图，定直线MN ∥PQ ，点B 、C 分别为MN 、PQ 上的动点，且BC =12，BC 在两直线间运动过程中始终有⊥BCQ =60°．点A 是MN 上方一定点，点D 是PQ 下方一定点，且AE ∥BC ∥DF ，AE =4，DF =8，AD
BC 在平移过程中，AB +CD 的最小值为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．【答案】C 【分析】如图所示，过点F 作FH CD ∥交BC 于H ，连接EH ，可证明四边形CDFH 是平行四边形，得到CH =DF =8，CD =FH ，则BH =4，从而可证四边形ABH
E 是平行四边形，得到AB =HE ，即可推出当E 、
F 、H 三点共线时，EH +HF 有最小值EF 即AB +CD 有最小值EF ，延长AE 交PQ 于
G ，过点E 作ET ⊥PQ 于T ，过点A 作AL ⊥PQ 于L ，过点D 作DK ⊥PQ 于K ，证明四边形BEGC 是平行四边形，⊥EGT =⊥BCQ =60°，得到EG =BC =12，然后通过勾股定理和解直角三角形求出ET 和TF 的长即可得到答案．
【详解】解：如图所示，过点F 作FH CD ∥交BC 于H ，连接EH ，
⊥BC DF FH CD ∥∥，，⊥四边形CDFH 是平行四边形，
⊥CH =DF =8，CD =FH ，⊥BH =4，⊥BH =AE =4，
又⊥AE BC ∥，⊥四边形ABHE 是平行四边形，⊥AB =HE ，
⊥EH FH EF +≥，⊥当E 、F 、H 三点共线时，EH +HF 有最小值EF 即AB +CD 有最小值EF ，
延长AE 交PQ 于G ，过点E 作ET ⊥PQ 于T ，过点A 作AL ⊥PQ 于L ，过点D 作DK ⊥PQ 于K ，
⊥MN PQ BC AE ∥∥，，⊥四边形BEGC 是平行四边形，⊥EGT =⊥BCQ =60°，⊥EG =BC =12，
⊥=cos =6=sin GT GE EGT ET GE EGT ⋅⋅∠，∠
同理可求得8GL AL ==，，4KF DK ==，，⊥2TL =，
⊥AL ⊥PQ ，DK ⊥PQ ，⊥AL DK ∥，⊥⊥ALO ⊥⊥DKO ，
⊥2AL AO DK DO ==，⊥2133
AO AD DO AD ====
⊥24OL OK =，，
⊥42TF TL OL OK KF =+++=，⊥
EF =C ．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，勾股定理，解直角三角形，
正确作出辅助线推出当E 、F 、H 三点共线时，EH +HF 有最小值EF 即AB +CD 有最小值EF 是解题的关键．
5．（2022·山东潍坊·八年级期末）如图，在平面直角坐标系中，已知()0,1A ，()4,2B ，PQ 是x 轴上的一条动线段，且1PQ =，当AP PQ QB ++取最小值时，点Q 坐标为______.
【答案】()2,0
【分析】如图把点A 向右平移1个单位得到E （1，1），作点E 关于x 轴的对称点F （1，-1），连接BF ，BF 与x 轴的交点即为点Q ，此时AP+PQ+QB 的值最小，求出直线BF 的解析式，即可解决问题．
【详解】解：如图把点4向右平移1个单位得到E （1，1），作点E 关于x 轴的对称点F （1，-1），连接BF ，
BF与x轴的交点即为点Q，此时4P+PQ+QB的值最小.
设最小BF的解析式为y=kx+b，则有
1
42
k b
k b
+=-
⎧
⎨
+=
⎩
解得
1
2
k
b
=
⎧
⎨
=-
⎩
⊥直线BF的解析式为y=x-2，令y=0，得到x=2.
⊥Q（2.0）故答案为（2，0）.
【点睛】本题考查轴对称最短问题、坐标与图形的性质、一次函数的应用等知识，解题的关键是学会利用对称解决最短问题，学会构建一次函数解决交点问题，属于中考常考题型
6．（2022·江苏南通·一模）平面直角坐标系xOy中，已知点P（m，m＋2），点Q（n，0），点M（1，1），则PQ＋QM最小值为_________．
点
一次函数
M
7．（2022·江苏南通·一模）如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，AD⊥BC于点D，点E、F分别是线段AB、AD上的动点，且BE＝AF，则BF+CE的最小值为_____．
⊥
AD BC
AB BG
=
∴+，∴当
BF CE CE CG
BC=，在
=10
AB AC
BG=，12
【点睛】本题考查轴对称求最短距离，熟练掌握轴对称求最短距离的方法，通过构造三角形全等，将所求的问题转化为将军饮马求最短距离是解题的关键．
8．（2022·浙江金华·八年级期末）在综合实践课上，小明把边长为2cm的正方形纸片沿着对角线AC剪开，如图l所示．然后固定纸片△ABC，把纸片△ADC沿AC的方向平移得到△A′D′C′，连A′B，D′B，D′C，在平移过程中：（1）四边形A′BCD′的形状始终是__；（2）A′B+D′B的最小值为__．
9．（2022·贵州遵义·中考真题）如图，在等腰直角三角形ABC 中，90BAC ∠=︒，点M ，N 分别为BC ，AC
上的动点，且AN CM =，AB =AM BN +的值最小时，CM 的长为__________．
【答案】2【分析】过点A 作AD BC ∥，且AD AC =，证明AND CMA ≌
△△，可得AM DN =，当,,B N D 三点共线时，BN AM +取得最小值，证明AB BM =，即可求解．
【详解】如图，过点A 作AD BC ∥，且AD AC =，连接DN ，如图1所示，DAN ACM ∴∠=∠， 又AN CM =，AND CMA ∴≌，AM DN ∴=，BN AM BN DN BD ∴+=+≥，
当,,B N D 三点共线时，BN AM +取得最小值，此时如图2所示，
在等腰直角三角形ABC 中，90BAC ∠=︒，AB =2BC ==，
AND CMA ≌△△，ADN CAM ∴∠=∠，AD AC AB ==，ADN ABN ∴∠=∠，
AD BC ∥，ADN MBN ∴∠=∠，ABN MBN ∴∠=∠，设MAC α∠=，
90BAM BAC αα∴∠=∠-=︒-，245ABM ABN NBM α∴∠=∠+∠==︒，22.5α∴=︒，
180180904567.5AMB BAM ABM α∴∠=︒-∠-∠=︒-︒+-︒=︒，9022.567.5BAM ∠=︒-︒=︒，
AB BM ∴=2CM BC BM ∴=-=
即BN AM +取得最小值为22-
图1 图2
【点睛】本题考查了等腰直角三角的性质，勾股定理，两点之间线段最短，转化线段是解题的关键．
10．（2022·广西贺州·中考真题）如图，在矩形ABCD 中，
86AB BC ==，，E ，F 分别是AD ，AB 的中点，ADC ∠的平分线交AB 于点G ，点P 是线段DG 上的一个动点，则PEF 的周长最小值为__________．
【答案】55
【分析】在CD 上取点H ，使DH =DE ，连接EH ，PH ，过点F 作FK ⊥CD 于点K ，可得DG 垂直平分EH ，
从而得到当点F 、P 、H 三点共线时，PEF 的周长最小，最小值为FH +EF ，分别求出EF 和FH ，即可求解．
【详解】解：如图，在CD 上取点H ，使DH =DE ，连接EH ，PH ，过点F 作FK ⊥CD 于点K ，
在矩形ABCD 中，⊥A =⊥ADC =90°，AD =BC =6，CD =AB =8，⊥⊥DEH 为等腰直角三角形，
⊥DG 平分⊥ADC ，⊥DG 垂直平分EH ，⊥PE =PH ，
⊥PEF 的周长等于PE +PF +EF =PH +PF +EF ≥FH +EF ，
⊥当点F 、P 、H 三点共线时，PEF 的周长最小，最小值为FH +EF ，
⊥E ，F 分别是AD ，AB 的中点，⊥AE =DE =DH =3，AF =4，⊥EF =5，
⊥FK ⊥CD ，⊥⊥DKF =⊥A =⊥ADC =90°，⊥四边形ADKF 为矩形，
⊥DK =AF =4
，FK =AD =6，⊥HK =1，⊥FH
⊥FH +EF =5PEF 的周长最小为55
【点睛】本题主要考查了最短距离问题，矩形的判定和性质，勾股定理等知识，明确题意，准确得到当点F 、P 、H 三点共线时，PEF 的周长最小，最小值为FH +EF 是解题的关键．
11．（2022·黑龙江·中考真题）如图，菱形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，60BAD ∠=︒，3AD =，AH 是BAC ∠的平分线，CE AH ⊥于点E ，点P 是直线AB 上的一个动点，则OP PE +的最小值是________．
【分析】作点O 关于AB 的对称点F ，连接OF 交AB 于G ，连接PE 交直线AB 于P ，连接PO ，则PO =PF ，此时，PO +PE 最小，最小值=EF ，利用菱形的性质与直角三角形的性质，勾股定理，求出OF ，OE 长，再证明△EOF 是直角三角形，然后由勾股定理求出EF 长即可．
【详解】解：如图，作点O 关于AB 的对称点F ，连接OF 交AB 于G ，连接PE 交直线AB 于P ，连接PO ，则PO =PF ，此时，PO +PE 最小，最小值=EF ，
⊥菱形ABCD ，⊥AC ⊥BD ，OA =OC ，O =OD ，AD =AB =3，
⊥⊥BAD =60°，⊥△ABD 是等边三角形，⊥BD =AB =3，⊥BAO =30°，⊥OB =
32，⊥OA
⊥点O 关于AB 的对称点F ，⊥OF ⊥AB ，OF =2OG =OA ⊥⊥AOG =60°，
⊥CE⊥AH于E，OA=OC，⊥OE=OC=OA
⊥AH平分⊥BAC，⊥⊥CAE=15°，⊥⊥AEC=⊥CAE=15°，
⊥⊥DOE=⊥AEC+⊥CAE=30°，⊥⊥DOE+⊥AOG=30°+60°=90°，⊥⊥FOE=90°，
⊥由勾股定理，得EF
==,
2
⊥PO+PE最小值．
【点睛】本题考查菱形的性质，利用轴对称求最短距离问题，直角三角形的性质，勾股定理，作点O关于AB的对称点F，连接OF交AB于G，连接PE交直线AB于P，连接PO，则PO=PF，则PO+PE最小，最小值=EF是解题的关键．
12．（2022·安徽安庆·八年级期末）如图，在四边形ABCD中，∠BCD＝50°，∠B＝∠D＝90°，在BC、CD上分别取一点M、N，使△AMN的周长最小，则∠MAN＝_____°．
【答案】80
【分析】作点A关于BC、CD的对称点A1、A2，根据轴对称确定最短路线问题，连接A1、A2分别交BC、DC 于点M、N，利用三角形的内角和定理列式求出∠A1+∠A2，再根据轴对称的性质和角的和差关系即可得∠MAN．
【详解】如图，作点A关于BC、CD的对称点A1、A2，连接A1、A2分别交BC、DC于点M、N，连接AM、AN，则此时△AMN的周长最小，。