榆次区三中2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析

榆次区三中2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析
班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1． 如图，在棱长为1的正方体中，为棱中点，点在侧面内运动，若1111ABCD A B C D -P 11A B Q 11DCC D ，则动点的轨迹所在曲线为（ ）
1PBQ PBD ∠=∠Q
A.直线
B.圆
C.双曲线
D.抛物线
【命题意图】本题考查立体几何中的动态问题等基础知识，意在考查空间想象能力.2． 下列函数中，既是偶函数，又在区间（0，+∞）上单调递减的是（
）A ．B ．y=x 2C ．y=﹣x|x|D ．y=x ﹣2
3． 抛物线y=x 2的焦点坐标为（
）A ．（0，
）B ．（，0）C ．（0，4）D ．（0，2）　
4． “方程+=1表示椭圆”是“﹣3＜m ＜5”的（ ）条件．A ．必要不充分B ．充要
C ．充分不必要
D ．不充分不必要5． 下列命题中正确的是（
）A ．若命题p 为真命题，命题q 为假命题，则命题“p ∧q ”为真命题
B ．命题“若xy=0，则x=0”的否命题为：“若xy=0，则x ≠0”
C ．“”是“”的充分不必要条件
D ．命题“∀x ∈R ，2x ＞0”的否定是“”
6． 如果a ＞b ，那么下列不等式中正确的是（
）A ．B ．|a|＞|b|C ．a 2＞b 2D ．a 3＞b 3
7．已知函数f（x）=x（1+a|x|）．设关于x的不等式f（x+a）＜f（x）的解集为A，若，则实数a的取值范围是（）
A．B．
C．D．
8．下列命题中正确的是（）
A．复数a+bi与c+di相等的充要条件是a=c且b=d
B．任何复数都不能比较大小
C．若=，则z1=z2
D．若|z1|=|z2|，则z1=z2或z1=
9．已知m，n为不同的直线，α，β为不同的平面，则下列说法正确的是（）
A．m⊂α，n∥m⇒n∥αB．m⊂α，n⊥m⇒n⊥α
C．m⊂α，n⊂β，m∥n⇒α∥βD．n⊂β，n⊥α⇒α⊥β
10．已知x，y满足约束条件，使z=ax+y取得最小值的最优解有无数个，则a的值为（）A．﹣3B．3C．﹣1D．1
11．已知双曲线的方程为﹣=1，则双曲线的离心率为（）
A．B．C．或D．或
12．已知正项数列{a n}的前n项和为S n，且2S n=a n+，则S2015的值是（）
A．B．
C．2015D．
二、填空题
13．曲线y＝x2＋3x在点（－1，－2）处的切线与曲线y＝ax＋ln x相切，则a＝________．
14．曲线在点（3，3）处的切线与轴x的交点的坐标为 ．
15．曲线y=x+e x在点A（0，1）处的切线方程是 ．
16．（若集合A⊊{2，3，7}，且A中至多有1个奇数，则这样的集合共有 个．
17．长方体中，对角线与棱、、所成角分别为、、，
1111ABCD A B C D -1A C CB CD 1CC αβ则 ．　
222sin sin sin αβγ++=18．二项式
展开式中，仅有第五项的二项式系数最大，则其常数项为 ．
三、解答题
19．（本小题满分12分）某媒体对“男女延迟退休”这一公众关注的问题进行名意调查，下表是在某单位得到的数据：
赞同
反对合计男
50 150200女
30 170 200合计 80320 400
（Ⅰ）能否有能否有的把握认为对这一问题的看法与性别有关？
97.5%（Ⅱ）从赞同“男女延迟退休”的80人中，利用分层抽样的方法抽出8人，然后从中选出2人进行陈述发言，求事件“选出的2人中，至少有一名女士”的概率．参考公式：，22()K ()()()()
n ad bc a b c d a c b d -=++++()n a b c d =+++
【命题意图】本题考查统计案例、抽样方法、古典概型等基础知识，意在考查统计的思想和基本运算能力20．已知（+）n 展开式中的所有二项式系数和为512，
（1）求展开式中的常数项；
（2）求展开式中所有项的系数之和．
21．已知矩阵M
所对应的线性变换把点A （x ，y ）变成点A ′（13，5），试求M 的逆矩阵及点A 的
坐标．
22．（本小题满分10分）
已知圆过点，.
P )0,1(A )0,4(B （1）若圆还过点，求圆的方程；
P )2,6(-C P （2）若圆心的纵坐标为，求圆的方程.
P P 23．（本题满分12分）在长方体中，，是棱上的一点，是棱1111D C B A ABCD -a AD AA ==1E CD P 1AA 上的一点.
（1）求证：平面；
⊥1AD D B A 11
（2）求证：；
11AD E B （3）若是棱的中点，是棱的中点，求证：平面.
E CD P 1AA //DP AE B 1
24．已知三次函数f （x ）的导函数f ′（x ）=3x 2﹣3ax ，f （0）=b ，a 、b 为实数．
（1）若曲线y=f （x ）在点（a+1，f （a+1））处切线的斜率为12，求a 的值；
（2）若f （x ）在区间[﹣1，1]上的最小值、最大值分别为﹣2、1，且1＜a ＜2，求函数f （x ）的解析式．　
榆次区三中2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析（参考答案）
一、选择题
1． 【答案】C.
【解析】易得平面，所有满足的所有点在以为轴线，以所在直//BP 11CC D D 1PBD PBX ∠=∠X BP 1BD 线为母线的圆锥面上，∴点的轨迹为该圆锥面与平面的交线，而已知平行于圆锥面轴线的平面截圆Q 11CC D D 锥面得到的图形是双曲线，∴点的轨迹是双曲线，故选C.
Q 2． 【答案】D
【解析】解：函数为非奇非偶函数，不满足条件；
函数y=x 2为偶函数，但在区间（0，+∞）上单调递增，不满足条件；
函数y=﹣x|x|为奇函数，不满足条件；
函数y=x ﹣2为偶函数，在区间（0，+∞）上单调递减，满足条件；
故选：D
【点评】本题考查的知识点是函数的单调性与函数的奇偶性，是函数图象和性质的综合应用，难度不大，属于基础题．
3． 【答案】D
【解析】解：把抛物线y=x 2方程化为标准形式为x 2=8y ，
∴焦点坐标为（0，2）．
故选：D ．
【点评】本题考查抛物线的标准方程和简单性质的应用，把抛物线的方程化为标准形式是关键．　
4． 【答案】C
【解析】解：若方程+=1表示椭圆，则满足，即，
即﹣3＜m ＜5且m ≠1，此时﹣3＜m ＜5成立，即充分性成立，
当m=1时，满足﹣3＜m ＜5，但此时方程+=1即为x 2+y 2=4为圆，不是椭圆，不满足条件．即必要性
不成立．
故“方程+=1表示椭圆”是“﹣3＜m ＜5”的充分不必要条件．故选：C ．
【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，考查椭圆的标准方程，根据椭圆的定义和方程是解决本题的关键，是基础题．
5．【答案】D
【解析】解：若命题p为真命题，命题q为假命题，则命题“p∧q”为假命题，故A不正确；
命题“若xy=0，则x=0”的否命题为：“若xy≠0，则x≠0”，故B不正确；
“”⇒“+2kπ，或，k∈Z”，
“”⇒“”，
故“”是“”的必要不充分条件，故C不正确；
命题“∀x∈R，2x＞0”的否定是“”，故D正确．
故选D．
【点评】本题考查命题的真假判断，是基础题，解题时要认真审题，仔细解答．
6．【答案】D
【解析】解：若a＞0＞b，则，故A错误；
若a＞0＞b且a，b互为相反数，则|a|=|b|，故B错误；
若a＞0＞b且a，b互为相反数，则a2＞b2，故C错误；
函数y=x3在R上为增函数，若a＞b，则a3＞b3，故D正确；
故选：D
【点评】本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了函数的单调性，难度不大，属于基础题．
7．【答案】A
【解析】解：取a=﹣时，f（x）=﹣x|x|+x，
∵f（x+a）＜f（x），
∴（x﹣）|x﹣|+1＞x|x|，
（1）x＜0时，解得﹣＜x＜0；
（2）0≤x≤时，解得0；
（3）x＞时，解得，
综上知，a=﹣时，A=（﹣，），符合题意，排除B、D；
取a=1时，f（x）=x|x|+x，
∵f（x+a）＜f（x），∴（x+1）|x+1|+1＜x|x|，
（1）x＜﹣1时，解得x＞0，矛盾；
（2）﹣1≤x≤0，解得x＜0，矛盾；
（3）x＞0时，解得x＜﹣1，矛盾；
综上，a=1，A=∅，不合题意，排除C，
故选A．
【点评】本题考查函数的单调性、二次函数的性质、不等式等知识，考查数形结合思想、分类讨论思想，考查学生分析解决问题的能力，注意排除法在解决选择题中的应用．
8．【答案】C
【解析】解：A．未注明a，b，c，d∈R．
B．实数是复数，实数能比较大小．
C．∵=，则z1=z2，正确；
D．z1与z2的模相等，符合条件的z1，z2有无数多个，如单位圆上的点对应的复数的模都是1，因此不正确．故选：C．
9．【答案】D
【解析】解：在A选项中，可能有n⊂α，故A错误；
在B选项中，可能有n⊂α，故B错误；
在C选项中，两平面有可能相交，故C错误；
在D选项中，由平面与平面垂直的判定定理得D正确．
故选：D．
【点评】本题考查命题真假的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．
10．【答案】D
【解析】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．
由z=ax+y，得y=﹣ax+z，
若a=0，此时y=z，此时函数y=z只在B处取得最小值，不满足条件．
若a＞0，则目标函数的斜率k=﹣a＜0．
平移直线y=﹣ax+z，
由图象可知当直线y=﹣ax+z和直线x+y=1平行时，此时目标函数取得最小值时最优解有无数多个，
此时﹣a=﹣1，即a=1．
若a＜0，则目标函数的斜率k=﹣a＞0．
平移直线y=﹣ax+z，
由图象可知当直线y=﹣ax+z，此时目标函数只在C处取得最小值，不满足条件．
综上a=1．
故选：D．
【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决此类问题的基本方法，利用z的几何意义是解决本题的关键．注意要对a进行分类讨论．
11．【答案】C
【解析】解：双曲线的方程为﹣=1，
焦点坐标在x轴时，a2=m，b2=2m，c2=3m，
离心率e=．
焦点坐标在y轴时，a2=﹣2m，b2=﹣m，c2=﹣3m，
离心率e==．
故选：C．
【点评】本题考查双曲线的离心率的求法，注意实轴所在轴的易错点．
12．【答案】D
【解析】解：∵2S n=a n+，∴，解得a1=1．
当n=2时，2（1+a2）=，化为=0，又a2＞0，解得，
同理可得．
猜想．
验证：2S n =
…+=， ==
，因此满足2S n =a n +
，∴
．∴S n =
．∴S 2015
=
．故选：D ．【点评】本题考查了猜想分析归纳得出数列的通项公式的方法、递推式的应用，考查了由特殊到一般的思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．
二、填空题
13．【答案】
【解析】由y ＝x 2＋3x 得y ′＝2x ＋3，
∴当x ＝－1时，y ′＝1，
则曲线y ＝x 2＋3x 在点（－1，－2）处的切线方程为y ＋2＝x ＋1，
即y ＝x －1，设直线y ＝x －1与曲线y ＝ax ＋ln x 相切于点（x 0，y 0），
由y ＝ax ＋ln x 得y ′＝a ＋（x ＞0），
1x ∴
，解之得x 0＝1，y 0＝0，a ＝0.
{a ＋1x 0＝1y 0＝x 0－1y 0＝ax 0＋ln x 0)∴a ＝0.
答案：014．【答案】　（，0）　．
【解析】解：y ′=﹣
，
∴斜率k=y ′|x=3=﹣2，
∴切线方程是：y ﹣3=﹣2（x ﹣3），
整理得：y=﹣2x+9，
令y=0，解得：x=，
故答案为：．
【点评】本题考查了曲线的切线方程问题，考查导数的应用，是一道基础题．
15．【答案】　2x ﹣y+1=0　．
【解析】解：由题意得，y ′=（x+e x ）′=1+e x ，
∴点A （0，1）处的切线斜率k=1+e 0=2，
则点A （0，1）处的切线方程是y ﹣1=2x ，即2x ﹣y+1=0，
故答案为：2x ﹣y+1=0．
【点评】本题考查导数的几何意义，以及利用点斜式方程求切线方程，注意最后要用一般式方程来表示，属于基础题．
16．【答案】　6　
【解析】解：集合A 为{2，3，7}的真子集有7个，奇数3、7都包含的有{3，7}，则符合条件的有7﹣1=6个．故答案为：6
【点评】本题考查集合的子集问题，属基础知识的考查．
17．【答案】
【解析】
试题分析：以为斜边构成直角三角形：，由长方体的对角线定理可得：
1AC 1111,,AC D AC B AC A ∆∆∆.222222
1111222111sin sin sin BC DC A C AC AC AC αβγ++=++2221212()2AB AD AA AC ++=
=考点：直线与直线所成的角．
【方法点晴】本题主要考查了空间中直线与直线所成的角的计算问题，其中解答中涉及到长方体的结构特征、直角三角形中三角函数的定义、长方体的对角线长公式等知识点的考查，着重考查学生分析问题和解答问题的能力，属于中档试题，本题的解答中熟记直角三角形中三角函数的定义和长方体的对角线长定理是解答的关键．18．【答案】　70　．
【解析】解：根据题意二项式
展开式中，仅有第五项的二项式系数最大，则n=8，所以二项式
=展开式的通项为
T r+1=（﹣1）r C 8r x 8﹣2r
令8﹣2r=0得r=4
则其常数项为C 84=70
故答案为70．【点评】本题考查二项式定理的应用，涉及二项式系数的性质，要注意系数与二项式系数的区别．
三、解答题
19．【答案】
【解析】（Ⅰ）根据题中的数据计算：()2
24005017030150 6.2580320200200
⨯⨯-⨯K ==⨯⨯⨯因为6．25＞5．024，所以有97．5%的把握认为对这一问题的看法与性别有关（Ⅱ）由已知得抽样比为，故抽出的8人中，男士有5人，女士有3人．分别设为，选81=8010
,,,,,1,2,3a b c d e 取2人共有，，，，，，，，，，，{},a b {},a c {},a d {},a e {},1a {},2a {},3a {},b c {},b d {},b e {},1b ，，，，，，，，，，，，{},2b {},3b {},c d {},c e {},1c {},2c {},3c {},d e {},1d {},2d {},3d {},1e ，，，，28个基本事件，其中事件“选出的2人中，至少有一名女士”包含18个
{},2e {},3e {}1,2{}1,3{}2,3基本事件，故所求概率为．189=2814P =
20．【答案】
【解析】解：（1）对（
+）n ，所有二项式系数和为2n =512，解得n=9
；设T r+1为常数项，则：
T r+1=C 9r
=C 9r 2r ，
由﹣r=0，得r=3，∴常数项为：C 9323=672；
（2）令x=1，得（1+2）9=39．
【点评】本题考查了二项式展开式定理的应用问题，也考查了赋值法求展开式各项系数和的应用问题，是基础题．
21．【答案】
【解析】解：依题意，由M=
得|M|=1，故M ﹣1
=
从而由=得
═
=
故A （2，﹣3）为所求．
【点评】此题考查学生会求矩阵的逆矩阵及掌握矩阵的线性变换，考查学生的计算能力，比较基础．　
22．【答案】（1）；（2）.047522=++-+y x y x 4
25)2()25(22=
-+-y x 【解析】
试题分析：（1）当题设给出圆上三点时，求圆的方程，此时设圆的一般方程，将022=++++F Ey Dx y x 三点代入，求解圆的方程；（2）AB 的垂直平分线过圆心，所以圆心的横坐标为
，圆心与圆上任一点连线2
5段为半径，根据圆心与半径求圆的标准方程.
试题解析：（1）设圆的方程是，则由已知得P 022=++++F Ey Dx y x ，解得．⎪⎩
⎪⎨⎧=+-+-+=++++=++++026)2(60
04040001222222F E D F D F D ⎪⎩⎪⎨⎧==-=475F E D 故圆的方程为.P 04752
2=++-+y x y x （2）由圆的对称性可知，圆心的横坐标为
，故圆心，P 25241=+)2,2
5(P 故圆的半径，P 2
5)20()251(||22=-+-==AP r 故圆的标准方程为.P 425)2(25(22=-+-y x 考点：圆的方程
23．【答案】
【解析】【命题意图】本题综合考查了线面垂直、线线垂直、线面平行等位置关系的证明，对空间想象能力及逻辑推理有较高要求，对于证明中辅助线的运用是一个难点，本题属于中等难度.
24．【答案】
【解析】解：（1）由导数的几何意义f′（a+1）=12∴3（a+1）2﹣3a（a+1）=12
∴3a=9∴a=3
（2）∵f′（x）=3x2﹣3ax，f（0）=b
∴
由f′（x）=3x（x﹣a）=0得x1=0，x2=a
∵x∈[﹣1，1]，1＜a＜2
∴当x∈[﹣1，0）时，f′（x）＞0，f（x）递增；当x∈（0，1]时，f′（x）＜0，f（x）递减．
∴f（x）在区间[﹣1，1]上的最大值为f（0）
∵f（0）=b，
∴b=1
∵，
∴f（﹣1）＜f（1）
∴f（﹣1）是函数f（x）的最小值，
∴
∴
∴f（x）=x3﹣2x2+1
【点评】曲线在切点处的导数值为曲线的切线斜率；求函数的最值，一定要注意导数为0的根与定义域的关系．。