九年级数学上册综合算式专项练习题多项式的运算

九年级数学上册综合算式专项练习题多项式
的运算
多项式是数学中常见的代数表达式，由若干个项通过加法或减法运
算组合而成。

在九年级数学上册中，我们学习了多项式的基本概念和
运算规则。

本文将通过综合算式专项练习题的形式，重点讲解多项式
的运算。

1. 给定多项式$P(x)=3x^3+4x^2-5x+1$ 和$Q(x)=-2x^3+5x^2+3x-2$，计算它们的和和差。

解：首先按照同类项相加的原则，将 $P(x)$ 和 $Q(x)$ 中的各同类
项相加，得到：
\[
P(x)+Q(x) = (3x^3 + (-2x^3)) + (4x^2 + 5x^2) + ((-5x) + 3x) + (1 + (-2)) \]
化简运算后得到：
\[
P(x)+Q(x) = x^3 + 9x^2 - 2x - 1
\]
接下来，计算差$P(x)-Q(x)$，也是按照同类项相减的原则进行运算，得到：
\[
P(x)-Q(x) = (3x^3 - (-2x^3)) + (4x^2 - 5x^2) + ((-5x) - 3x) + (1 - (-2)) \]
化简运算后得到：
\[
P(x)-Q(x) = 5x^3 - x^2 - 8x + 3
\]
2. 给定多项式 $A(x) = -2x^4 + 3x^3 + 5x^2 - 4x + 1$ 和一个实数 $k = -2$，计算 $A(k)$ 的值。

解：将多项式 $A(x)$ 中的 $x$ 替换为 $k$，有：
\[
A(k) = -2k^4 + 3k^3 + 5k^2 - 4k + 1
\]
将 $k$ 的值代入，进行运算得到：
\[
A(k) = -2(-2)^4 + 3(-2)^3 + 5(-2)^2 - 4(-2) + 1
\]
化简运算后得到：
\[
A(k) = -32 + 24 + 20 + 8 + 1 = 21
所以 $A(k)$ 的值为 21。

3. 给定多项式 $B(x) = 2x^5 - x^4 + 3x^2 - 2$ 和 $C(x) = -x^3 + 2x^2 - 4x + 1$，计算它们的积 $B(x) \cdot C(x)$。

解：将多项式 $B(x)$ 和 $C(x)$ 进行乘法运算，按照每个项相乘后指数相加的原则得到：
\[
B(x) \cdot C(x) = (2x^5 - x^4 + 3x^2 - 2) \cdot (-x^3 + 2x^2 - 4x + 1)
\]
展开运算后可以得到：
\[
B(x) \cdot C(x) = -2x^8 + 3x^7 + 2x^6 - 7x^5 - 3x^4 + 11x^3 - 14x^2 + 8x - 2
\]
所以 $B(x) \cdot C(x)$ 的结果为 $-2x^8 + 3x^7 + 2x^6 - 7x^5 - 3x^4 + 11x^3 - 14x^2 + 8x - 2$。

4. 给定多项式 $D(x) = x^4 - 3x^2 + 2$，求 $D(x)$ 的一个根并验证是否为零点。

解：为了求出 $D(x)$ 的根，我们需要将 $D(x) = 0$ 进行求解。

首先，将多项式 $D(x)$ 因式分解得到：
D(x) = (x^2 - 2)(x^2 - 1)
\]
然后，我们令 $D(x) = 0$，即 $(x^2 - 2)(x^2 - 1) = 0$。

由此得到两组方程：
\[
x^2 - 2 = 0 \quad \text{和} \quad x^2 - 1 = 0
\]
解这两组方程可以得到 $x = \pm \sqrt{2}$ 和 $x = \pm 1$。

因此，$D(x)$ 的根为 $x = \pm \sqrt{2}$ 和 $x = \pm 1$。

接下来，我们验证这些根是否为零点。

将根代入 $D(x) = x^4 - 3x^2 + 2$ 中进行计算，得到：
\[
D(-\sqrt{2}) = (-\sqrt{2})^4 - 3(-\sqrt{2})^2 + 2 = 16 - 6 + 2 = 12
\]
\[
D(\sqrt{2}) = (\sqrt{2})^4 - 3(\sqrt{2})^2 + 2= 16 - 6 + 2 = 12
\]
\[
D(-1) = (-1)^4 - 3(-1)^2 + 2 = 1 - 3 + 2 = 0
\]
\[
D(1) = (1)^4 - 3(1)^2 + 2 = 1 - 3 + 2 = 0
\]
可以发现，只有当根为 $x = -1$ 或 $x = 1$ 时，多项式 $D(x)$ 才为零点。

通过以上综合算式专项练习题，我们深入学习了多项式的运算，包括求和、求差、求积和求根等。

多项式的运算在数学中具有重要的意义和应用价值，在实际问题中经常会遇到。

希望通过这些练习题，你能够掌握多项式的运算规则，并能够灵活运用到解题中。