导数复习之我见.doc

导数解题策略
杨芳
（四川省华签一中638600）
随着课程改革的不断深入，导数知识在高考中的考查要求也逐年加强，导数在高考中由边缘考点变为分析和解决函数问题所必不可少的重要工具。

以导数为工具研究函数，为解决函数问题提供更有效的途径、更简便的手段，可以说导数的加入使函数这部分内容更加充盈，也显得更加重要。

那么如何恰如其分地组织好高三导数的复习教学？下面将从四个方面介绍我的看法。

一、导数的几何意义的考查
策略：
1.函数在某处的导数，等于曲线在该处切线的斜率广3）」=e°）=k
2,切点既在切线上，又在曲线上（即切点坐标既满足曲线方程，又满足直线方程）
例1 （09年四川卷20题）
己知函数f（x） = x3-^2bx2+cx-2的图象在与x轴交点处的切线方程是y = 5x-l0.
（I）求函数/（工）的解析式；
（II ）设函数g（x） = f（x） + -mx.若gG）的极值存在，求实数m的取值范围以及函数g（x）取得极值时对应的自变量x的值.
分析：在（【）中要求函数的解析式，也就是要求参数的值，而两个未知数需要两个条件，由题可知切点在X轴上，所以切点的纵坐标为0,而切点又在切线上，所以该满足切线方程y = 5x-\0.f将切点的纵坐标0代入，可得切点横坐标为2,切点为
（2, 0）,又切点在函数/（X）= x3 + 2bx2 +cx-2的图象，所以（2, 0）满足解析式
f（x） = x3+2bx2+cx-2
得一个方程，有根据函数在某处的导数，等于曲线在这处切
f
线的斜率，得方程.f （2） = 12 + 8。

+。

= 5,在联立两个方程就可解出
具体解答如下
解：（I ）由已知,切点为（2, 0）故有/（2）=0,即4b+c+3=0 .... ①
/(2)= X3-2X2 +X-2,由已知/(2) = 12 + 8& + c = 5.
得8/? + c + 7 = 0 .....② 联立①、②，解得c=l,b=-l
于是函数解析式为/(2) 二P 一2J +工一2 .......... 4分
突破了第一问，第二问也就迎刃而解。

二、导数在单调性的方面的考查
策略：
1.在某个区间上时，为该区间内的增函数
2.在某个区间上)‘‘<°时・，3)为该区间内的减函数
牢记导函数是判断正负，
原函数是判断增减
3.注意两种提法：
3.1.f(x)的单调区间为(功)
3.2.(2) f(x)在区间(。

力)是增函数或减函数
4.有参数时，注意讨论，数形结合
例(09年全国II卷21题)设函数/(%) = —x3 -(1 + 6?)x2 + + 24a,其中常数a > 1
(I )讨论f(x)单调性；
(II)若当x>0时,f(x)>0恒成立，求a的取值范围
解：(I)广'(尤)=尤2 一2(1 +。

)尤+ 4。

=(尤一2)(尤一2〃)
由。

>1知，当x<2时，f\x) > 0,故六尤)在区间(—8,2)是增函数；
当2<x<2a时，f(x) < 0 ,故/(X)在区间(2,2a)是减函数；
当尤>2。

时*，.厂(x)>0,故.f(x)在区间(2。

,+8)是增函数。

综上，当。

>1时，f(x)在区间(—8,2)和(2。

,+8)是增函数，在区间(2,2。

)是减函数。

(II)由(I)知，当x > 0时，/'(工)在x = 2a或x = 0处取得最小值。

f(2a) = -(2ay-(1 + a)(2a)2+ 4" • 2。

+ 24a
4 2
?
=—ci + 4。

~ + 24。

3
由假设知/(0) =
a > 1< f
(2。

) > 0, /(0)> o, 。

> 1,
4
即〈—一a(a + 3)(^7 - 6) > 0, 解得l<a<6 24。

> 0.
故。

的取值范围是(1, 6)
三、导数在极值、最值方面的考查
策略：
2.极值点可能是导数为0的点，也可能是不可导点
3.导数为0的点不一定是极值点(注意判断两侧的符号)
4.特别注意：对可导函数，应牢记：
5.极值点代入导函数，函数值为零
6.极值点代入原函数，算出极值
7.函数的最值可能在极值点、端点、不可导点取得
8.恒成立问题转化为最值问题
在高中阶段，我们遇到的函数基本上是可导函数，而对极少数不可导函数，我认为只要数形结合就非常容易解决，所以我们的重点应放在可导函数上，所以结论3就显得特别重要，很多导数问题都以它作为突破口
例(08年四川卷20题)
设x = 1和x = 2是函数/ (尤)=F + /u +1的两个极值点。

(I )求"和的值；
(II)求的单调区间
解：(I )因为/ (x) = 5x4 +3ar2 +Z?
由假设知：/•'(1) = 5 + 3。

+人=0
/(2)=24X5+22X3^+/?=0
25
解得。

=一力=20
突破了第一问，第二问就转化为第二类考查点，问题也就迎刃而解了
四、导数在不等式、方程方面的应用
策略：
9.不等式问题函数化
10.方程问题函数化
11.函数问题导数化
例、己知x>0,求证：x>ln(l+x)
分析：设f(x)=x —Inx, xc ［0,+8)。

考虑到f(0)=0,
要证不等式变为：x>0时，f(x)>f(O),这只要证明：
f(x)在区间［0,+oo)是增函数。

证明：令：f(x)=x —Inx,容易看出，f(x)在IX间［0,+oo)上可导。

且lim f(x) = 0 = /(O)
由广⑴=1-- =—可得：当.re (0,+oo)时，f\x)>f(O) = O
x+\ x+1
即x —lnx>0,所以：x>0 时，x>lnx
以上例题都是综合考察高中数学诸多知识，都不能单纯的用某一部分内容加以解决；即使考察同一知识点，也是有所侧重，在具体问题中还要灵活应用以上方法。

实战中还常常穿插函数的奇偶性，对称性，大家在复习时也不要忽视这些知识。