数学人教A版(2019)必修第一册2.3二次函数与一元二次方程、不等式(共21张ppt)

大于取两端
x1=x2
{x|x>x2或x<x1}{x|x b }
2a
大于取两端
ax2+bx+c<0 (a>0) {x|x x<x }
1<
2
的解集
小于取中间
⊿<0
：
φ
没有实数根 小于取中间
R
(2)不等式解集确定方
程根为x1,x2
⊿≤0，
φ
不等式解集为
图像法
新知讲解
例1 求不等式 2 − 5 + 6 > 0的解集.
() − ≥
对于二次项系数是负数(即 < )的不等式，
可以先把二次项系数化成正数，再求解.
总结
求解一元二次不等式的一般步骤：
形的边长为多少米？
实际问题注意x取值范围
设：这个矩形的一条边长为，则另一条边为(12 − ).由题意，得：
(12 − ) > 20，其中 ∈ {|0 < < 12}.
整理得： − + < ， ∈ {| < < }.①
所以{| < < }又因为{| < < }，
< （函数图象位
于x轴下方）即 − + <
问题3依据求解一元二次不等式x2－12x＋20＜0解集的方法，如何求
解一般的一元二次不等式 2 + + > 0（ > 0）和 2 + + < 0( >
0)的解集？.
（1）先求出一元二次方程的根，
（2）再根据二次函数图象与轴的相关位置
教学
目标
重点
理解二次函数、一元二次方程于一元二次
不等式之间的关系
难点
总结解一元二次不等式的方法
新知讲解
问题1 园艺师打算在绿地上用栅栏围一个矩形区域种植花卉.若栅
栏的长度为24，围成的矩形区域的面积要大于 ，则这个矩
形的边长为多少米？
设：这个矩形的一条边长为，则另一条边为(12 − ).由题意，得：
(2)不等式3 2 − 6 + 2 ≤ 0的解集.
（1）∆> 0
(2)求方程根
（3）下结论
2
例2 求不等式9 − 6 + 1 > 0的解集.
（1）∆= 0
(2)求方程根
（3）图像
（4）下结论

例3 求不等式− + − > 的解集.
（1）∆< 0
(2)求方程根
（3）图像
（4）下结论
(12 − ) > 20，其中 ∈ {|0 < < 12}.
整理得： − + < ， ∈ {| < < }.①
求得不等式①的解集，就得到了问题的答案.
不等式①的解集怎么求解？
1.一元二次不等式的概念
一般地，我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的
我们知道，这两个交点的横坐标就是方程
− + = 的两个实数根 = ， = ，
因此二次函数 = − + 与轴的两个交点是(, )和(, ).
二次函数零点2,10
概念生成
2.二次函数的零点:一般地，对于二次函数 = + + ，我们把使
因此当边长满足 < < 时，围成的矩形区域的面积大于 .
二次函数 = − + 的两个零点 = ， = 将图像分成几段？.
当x满足 < 或 > 时 > （函数图象位于轴上方）
即 − + >
当x满足 < < 时
（3）确定一元二次不等式的解集.
我们知道，对于一元二次方程 + + = ( > )，它的根按照
∆> ，∆= ，∆< 可分为三种情况.
相应地，二次函数 = + + ( > )的图象与轴的位置关系也分为三种情况.
因此，我们分三种情况来讨论对应的一元二次不等式 + + > (< )( > )
3.一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系:
⊿=b2-4ac
二次函数
y=ax2+bx+c(a>0)
的图象
方程
ax2+bx+c=0
的根
ax2+bx+c>0
(a>0)
的解集
⊿>0
⊿=0
y
x1
y
x2
x
有两相异实
根x1x2(x1<0，
求根（十字相乘，求
根公式
x
(1)不等式解集为
+ + = 的实数叫做二次函数的零点.
二次函数零点
.
函数对应方程的根
【注意】零点不是点是数
例：函数y＝x2－3x＋2的零点是________．
图像与x轴交点的横坐标
新知讲解
假设 ∈ {|5 < < 12}.
问题1 园艺师打算在绿地上用栅栏围一个矩形区域种植花卉.若栅
栏的长度为24，围成的矩形区域的面积要大于 ，则这个矩
求最值时注意把握 “一正，二定，三相等”
新课导入
在初中，我们从一次函数的角度看一元一次方程、一元一
次不等式，发现了三者之间的内在联系，利用这种关系可以
更好地解决相关问题.
对于二次函数、一元二次方程和一元二次不等式，是否也
有这样的联系呢？
2.3 二次函数与一元二次方
程、不等式 （第1课时）
学会解一元二次不等式
不等式，称为一元二次不等式
ax2＋bx＋c>0(a≠0) 或 ax2＋bx＋c<0(a≠0) 其中a,b,c为常数，且a≠0
y>0
y<0
三个二次
y=ax2＋bx＋c(a≠0)二次函数
y=0
ax2＋bx＋c=0(二次方程）
思考：一元二次不等式，一元二次方程和二次函数什么关系
在初中，我们从一次函数的观点看一元一次方程、一元一次不等式的思想
方法.类似地，能否从二次函数的观点看一元二次不等式，进而得到一元二
次不等式的求解方法呢？
新知讲解
下面，我们先考察一元二次不等式 − + < 与二次函
数 = − + 之间的关系.
在平面直角坐标系中画出二次函数 = − +
的图象，图象与轴有两个交点。
复习回顾
我们上节课学习了什么知识？
如果 > , > ，则 ≤
+
，当且仅当

= 时，等号成立。
已知 x, y 都是正数, P, S 是常数.
(1) xy=P x+y≥2 (当且仅当 x=y 时, 取“=”号).
(2) x+y=S xy≤S2(当且仅当 x=y 时, 取“=”号).