山东省胶州市实验中学2020_2021学年高二数学上学期1月学习质量检测试题202102270383

某某省胶州市实验中学2020-2021学年高二数学上学期1月学习质
量检测试题
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的。

3．已知数列{(1)(21)}
n n
-+的前n项和为
n
S，*N
n∈，则
11
S
=
（）
A．13
-B．12
-C．11
-D．10
-
6．已知正项等比数列{}
n
a的前n项和为
n
S，*N
n∈，
23
4,9
S a
==，则24
13
a a
a a
+
=
+
（）A．
1
3
B．
3
4
C．3D．2
7．在三棱柱
111
ABC A B C
-中，上下底面均为等腰直角三角形，且
1
22,
AB BC AA
=⊥平面
ABC，若该三棱柱存在内切球，则
1
AA=（）
A．2B．22C．222
8．设m n
、是两条不同的直线，αβ
、是两个不同的平面，下述错误的是（）A．若mα
⊥，//
m n，//nβ，则αβ
⊥；B．若αβ
⊥，mα
⊄，mβ
⊥，则//
mα
C ．若αβ⊥，m α⊂，n β⊂，则m n ⊥；
D ．若m β⊥，m α⊂，则αβ⊥ 二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。

全部选对的得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分。

9．如图，在四棱锥B ACDE -中，//AE CD ，2CD AE =，点,M N 分别为,BE BA 的中点，若DM CN P =，DE CA Q =，
则下述正确的是（ ）
A ．DM DE D
B =+ B ．直线DE 与B
C 异面 C ．//MN C
D D ．,,B P Q 三点共线
B
A
C
D
M E
N
三、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分。

15．在三棱锥A BCD -中，若平面ABC ⊥平面BCD ，BD CD =且BD CD ⊥．则直线CD 与
平面ABC 所成角的大小为．
16．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，1n n a S +=，*
N n ∈，则n S =．
四、解答题：共70分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17．（10分）
在①414S =-，②515S =-，③615S =-三个条件中任选两个，补充到下面问题中，并解答．
已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足：，*
N n ∈．
（1）求n S 的最小值；（2）设数列67
1
{}n n a a ++的前n 项和n T ，证明：1n T <．
18.(12分)
19．（12分）
在平面直角坐标系中，圆C 的圆心在直线0x y -=上，且圆C 经过点(2,0)P 和点
(3)Q -．
（1）求圆C 的标准方程；
（2）求经过点(21)M ，且与圆C 恰有1个公共点的直线的方程．
20.（12分）已知O 为坐标原点，点(2,0)G -和点(2,0)H ，动点P 满足：||||2PG PH -=． （1）求动点P 的轨迹曲线W 的方程并说明W 是何种曲线；
（2）若抛物线2
:2(0)Z y px p =>的焦点F 恰为曲线W 的顶点，过点F 的直线l 与抛物
线Z 交于M ，N 两点，||8MN =，求直线l 的方程．
21.（12分）某企业年初在一个项目上投资2千万元，据市场调查，每年获得的利润为投资的
50%，为了企业长远发展，每年底需要从利润中取出500万元进行科研、技术改造，其余继
续投入该项目．设经过
()
n n *∈N 年后，该项目的资金为
n
a 万元．
（1）写出一个关于n a 和1
n a
-（2n ≥）的递推公式，并证明：数列{}1000-n a 为等比数列；
（2）若该项目的资金达到翻一番，至少经过几年？（lg30.5≈，lg 20.3≈）
高二2021年1月份学习质量检测
数学试题 答案
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的。

1.C
2. C 3．A 4.C 5.A 6．C 7．B 8．C
二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。

全部选对的得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分。

9．BCD 10. BD 11.ABD 12.BCD
三、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分。

13.
15．4π
16．1
2n -
四、解答题：共70分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17．（10分）
解：
（1）若选择②③； 由题知：0566=-=S S a 又因为,1552
)
(53515-==+=
a a a S 所以33-=a 2分 所以1,3336==-=d a a d 所以6)6(6-=-+=n d n a a n .4分 所以 <<=<<<<765210a a a a a ，5分 所以1556-==≥S S S n 6分 若选择①②；
由题知：1455-=-=S S a 又因为,1552
)
(53515-==+=
a a a S 所以33
-=a 2分
所以1,2235==-=d a a d 所以6)3(3-=-+=n d n a a n .4分 所以 <<=<<<<765210a a a a a ，5分 所以1556-==≥S S S n 6分 若选择①③； 由题知：152)
(6616-=+=a a S ，所以55216
1-=+=+d a a a
由题知：142
)
(4414-=+=
a a S ，所以732141-=+=+d a a a 2分
所以1,51=-=d a ，6-=n a n 4分
所以 <<=<<<<765210a a a a a ，5分 所以1556-==≥S S S n .6分 （2）因为6-=n a n ，所以
1
1
1)1(1176+-=+=++n n n n a a n n 8分
所以11
1
111131212111<+-=+-
++-+-=n n n T n .10分 18.(12分)
19．（12分）解: （1）直线PQ 的斜率13k = PQ 中点坐标为13(2，，
所以PQ 中垂线方程为313()2
y x =-，即3y x =2分
由3y x y x
=⎧⎪⎨⎪⎩得，圆心(0,0)C ，所以||2r CP == 所以圆C 的标准方程为：2
2
4x y +=5分
（2）当该直线斜率不存在，即直线方程为2x =时，成立6分
当该直线斜率存在时，设其方程为：1(2)y k x -=-，即210kx y k --+=7分 因为该直线与圆C 恰有1个公共点， 所以圆心到直线距离21221
k d k -=
=+，得3
4
k =-
10分
所以切线方程为2x =或34100x y +-=12分 20.【详解】
（1）根据双曲线的定义：
点P 的轨迹是以(2,0)G -，(2,0)H 为焦点的双曲线的右支1分
且22,PG PH a -==所以222
1,2,,a c b c a b ===-=2分
所以动点P 的轨迹方程为：2
21(1)3
y x x -=≥5分
（2）因为曲线W 的顶点为(1,0)F ，所以抛物线Z 的方程为：2
4y x =
设直线)1(:-=x k y l 6分
由抛物线的定义知：1212||1,||1,||28MF x NF x MN x x =+=+=++= 所以126x x +=8分
将(1)y k x =-代入2
4y x =得：2
2
2
2(2)0k x k x k -++=，9分
所以2122
2(2)6k x x k ++==，解得1k =±11分
所以直线l 的方程为：1y x =-或1y x =-+12分 21．解：
（1）证明：由题意知()()1150%5002n n a a n -=+-≥．..........1分 即13
5002
-=
-n n a a ，......2分 所以()()13
1000100022
n n a a n --=
-≥．......4分 由题意知()12000150%5002500=+-=a ，所以数列{}1000-n a 的首项为110001500-=a ，
所以{}1000-n a 是首项为1500，公比为3
2
的等比数列．.....6分
（2）由（1）知数列{}1000-n a 的首项为110001500-=a ，公比为
32
． 所以1
310001500?2n n a -⎛⎫
-= ⎪
⎝⎭
，所以1
3150010002n n a -⎛⎫
=⋅+ ⎪
⎝⎭
．......8分
当4000n a ≥
，得1
322-⎛⎫
≥ ⎪
⎝⎭
n ．.....9分
两边取常用对数得()31lg lg 22
-≥n ，所以lg 20.33
1lg 3lg 20.50.32-≥≈=--n ，所以 2.5≥n ，......10分 因为n *∈N ，所以3n ≥．......11分
即至少经过3年，该项目的资金达到翻一番．......12分
22.(12分)
考试
- 11 - / 11。