高考数学第二轮复习 第19讲 直线与圆锥曲线的位置关系(一)导学案

第19讲 直线与圆锥曲线的位置关系(1)
一、复习目标
1、能够把研究直线与圆锥曲线位置关系的问题转化为研究方程(组)的问题；
2、会利用韦达定理等处理诸如弦中点、弦长等问题；
3、能够运用数形结合的思想方法分析、判断，能综合运用函数、不等式的知识解决相关问题.
二、基础回顾
1、直线l 被圆044222=++-+y x y x 截得的线段长为２，将直线l 沿向量)4,3(-=平移后被该圆截得的线段的长仍为２，则直线l 的方程为（ ）
A 0234=++y x
B 0543=++y x
C 0234=-+y x
D 0543=-+y x
2、若直线y x t =+与椭圆2
214
x y +=相交于A,B 两点，当t 变化时，||AB 的最大值是（ ）
A 2
B 5
C D
3、若双曲线221x y -=的右支上一点(,)P a b 到直线y x =的距离为，则
______.
a b += 4、椭圆221ax by +=与直线10x y +-=相交于,A B 两点，C 为AB 的中点，若
AB O =为坐标原点，OC 斜率为
2
，则,a b 的值分别为_____________. 三、例题探究 例1、12,F F 分别是椭圆2
212
x y +=的左、右焦点，过1F 作倾斜角3π的直线与椭圆交于,P Q 两点，求PQ F 2∆的面积.
例2、对于椭圆2
2
19y x +=，是否存在存直线l ，使l 与椭圆交于不同的两点,M N ，且线段MN 恰好被直线12
x +
0=平分，若存在，求出l 的倾斜角的范围，若不存在，请说明理由.
例3、已知Ｏ为坐标原点，)0,8(),0,4(=-=，
动点P 10=+，（１）求PB PA ⋅的最小值。

（２）若)0,1(Q ，试问动点P 的轨迹上是否存在N M ,两点，满足QM NQ 3
4=，若存在，求出N M ,两点的坐标；若不存在，请说明理由。

〔备用题〕、已知椭圆的一个顶点是)1,0(-A ，焦点在x 轴上，其右焦点到直线
022=+-y x 的距离为３，试问是否存在一条斜率为)0(≠k k ，且在y 轴上的截距为２的直线l ，使l 与已知椭圆交于不同的两点N M ,，设MN 的中点为P ，且有直线AP 到直
线l 的角的正切为k
2。

若存在，求出k 的值，若不存在请说明理由。

四、方法点拨
１、研究直线与圆锥曲线的位置关系时，常常联立方程组，应用韦达定理求解。

如例１
将面积表示为121(2)||2
S c x x =-，再求12||x x -=２、直线和曲线有两个交点，应用△>0，再借助于等式消去其中一个变量，去求其中另一个
变量的范围。

如例2。

３、在研究曲线上的点的性质时，要注意定义的应用，如例3。

在研究线段长度关系时，可
以转化为坐标关系，再用一元二次方程求解。

冲刺强化训练（19）
班级 姓名 学号 日期 月 日
1、12,F F 是椭圆22
221x y a b
+=的左，右焦点，把向量12F F 绕1F 逆时针旋转60°得到1F A A 点在y 轴上，且1F A 的中点M 在椭圆上，则椭圆的离心率为（ ）
A 、
12 B 、2
C 2
D 1 2、过M （－2,0）的直线l 与椭圆2222x y +=交于P 1、P 2两点，线段P 1P 2的中点为P ，设直线l 的斜率为k 1,(k 1≠0)，直线OP 的斜率为k 2，则k 1·k 2的值等于（ ）
A. 2
B.－2
C.12
D. 12
- ３、已知)6
2,5(),62,5(y x y x -==，双曲线1=⋅上一点M 到F （7,0）的距离为11，N
是MF 的中点，O 为坐标原点，则｜ON ｜＝（ ）
A 、211
B 、2
21 C 、21 D 、22121或 ４、已知21F F 、是两个定点,椭圆1C 和等轴双曲线2C 都以21F F 、为焦点，点Ｐ是1C 和2C 的一个交点，且02190=∠PF F ，那么椭圆1C 的离心率是（ ） A.
36 B.23 C.22 D. 3
22 ５、双曲线22
1916
x y -=的两个焦点为F 1、F 2，点P 在双曲线上，且直线PF 1、PF 2倾斜角之差为3
π，则△PF 1F 2的面积是＿＿＿＿＿. ６、已知椭圆C 的焦点分别是F
1(-F
2长轴长为6，设直线 y ＝x ＋2交椭圆C 于A 、B 两点，则线段AB 的中点坐标为 .
７、已知点P 是直线:3480l x y ++=上的动点，PA 、PB 是圆222210x y x y +--+=的两条切线，A 、B 是切点，C 是圆心，那么四边形PACB 的面积最小值是＿＿＿＿.
8、设直线1+=kx y 与圆0422=-+++my kx y x 交于N M ,两点，且N M ,关于
直线0=+y x 对称，求不等式组⎪⎩
⎪⎨⎧≥≤-≥+-0001y m y kx y kx 表示平面区域的面积。

9、一船在水面上的高度为5米，船顶宽4米．现要通过一抛物线型桥洞，该抛物线方程为y x 82-=，测得河面宽10米(河面宽与桥洞宽相同)，问：该船能否通过桥洞？请说明理由．若不能，只得等落潮退水。

当河面宽至少为多少米时，该船才能通过桥洞？（精确到0.1米）．
10、直线:1l y kx =+与双曲线122=-y x 的左支交于A 、B 两点，直线l ′过定点
P （－2，0）且过弦AB 的中点M ，求直线l ′在y 轴上的截距b 的取值范围.
第19讲 直线与圆锥曲线的位置关系一（参考答案）
基础回顾
1、A
2、C
3、
12 4
、1,33
例题探究
例1
、解：直线为1)y x +，与椭圆2222x y +=联立方程组，消去y ，得到一个有关x 的一元二次方程271240x x ++=，
又2121212|||2
FP Q S y y x ∆=⨯⨯-=-，代入计算
得2F PQ S ∆= 〖教学建议〗：联立方程组得到一元二次方程后，要注意检验△是否大于零；求弦长、求高，思路虽清晰，但要让学生踏踏实实地运算，培养合理运算的能力和细心运算的习惯. 例2、解：若直线的倾斜角为90°时，这样的点M,N 不存在。

若直线的倾斜角不为90°时，设直线为y kx b =+，则2219y kx b y x =+⎧⎪⎨+=⎪⎩
消去y ，得到一个有关x 的一元二次方程222(9)290k x kbx b +++-=，设M ,
N 分别1122(,),(,)x y x y ，因为线段MN 恰好被直线12x +0=平分，所以121x x +=-，即2
219kb k =+，又因为直线与椭圆必须有两个交点，所以△>0，2290k b -+>,将上式代人得23k >，所以
k k <>2(,)(,)3223
ππππ⋃ 〖教学建议〗：1、设直线方程时一定要注意倾斜角为90°时的情况。

2、解析几何中一个等式和一个不等式在求范围时经常遇到，只需将等式代入不等式即可。

例3、（I ）解：P 点的轨迹方程是)0,4(),0,4(,19
252
2B A y x -=+ 29
169P y -=⋅，又[]3,3-∈P y ，所以7)(min -=⋅ （Ⅱ）解：由题意知Q N M ,,共线，设Q N M ,,所在直线为l ，当k 不存在时，不成立 当k 存在时，设b kx y l +=:，过点0),0,1(=+∴b k Q ，又椭圆与直线联立方程得 ⎪⎩⎪⎨⎧-==-+-+N M y y k b by y k 3
40225918)925(2222由韦达定理，消去N M y y ,，得2592=k
当53=
k 时，53-=b ，)5
12,3(),59,4(--N M 当53-=k 时，53=b ，)512,3(),59,4(--N M 〖教学建议〗：应用圆锥曲线的定义求轨迹问题要注意定义本身的条件限制。

在解决线段长度关系时，可以转化为坐标关系，再用一元二次方程求解。

〔备用题〕解： 设椭圆的右焦点是)0,(c ，则2,322
2=∴=+c c ，又1=b ，所以
3=a ，椭圆13
22
=+y x ，设2:+=kx y l （0≠k ）与椭圆联立 221223112,0912)113(k k x x kx x k +-=+=+++，所以ｐ点的横坐标2
316k k x p +-= 2312k y p +=，又)1,0(-A ，k k k AP 212+-=∴，k
k k k 231tan 32=-+=θ，55=k 代入检验“△”无解。

〖教学建议〗：1、直线与圆锥曲线的位置关系中，要理解中点弦问题的常规解法。

以及所要注意的解题要点。

[冲刺强化训练19]
1、D ；
2、D ；
3、B ；
4、A ；
5、316
6、)5
1
,59(- 7、22
8、解析：直线1+=kx y 与圆0422=-+++my kx y x 交于N M ,两点，且N M ,关于
直线0=+y x 对称，所以1k =，又圆心在直线上0=+y x ，所以1m =-，100
0x y x y y -+≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩表示平面区域的面积为14。

9、解析：一抛物线型桥洞，该抛物线方程为y x 82-=，测得河面宽10米(河面宽与桥洞
宽相同)，此时河面与拱顶的距离为
258米，因为船高已经是5米，所以船无法通过，要船通过此桥，218(5)2x =⨯+
，则河面宽至少为 10、解析：⎩⎨⎧=-+=11
22y x kx y 022)1(2
2=---∴kx x k ，直线l 与左支交于两点。

∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧><+>∆≠-00
00121212x x x x k ，解得21<
<k ,又设
),,(),,(),,(002211y x M y x B y x A 2
0221011,12k y k k x x x -=-=+=∴
22
222121011k k k k k k PM -+=+---=,所以)2(221:2/+-+=x k k y l ，2222b k k ∴=+-， 由于21<
<k
，∴2b <--2b >.。