高中数学 1.1.3 解三角形的进一步讨论教案 新人教A版必修5

福建省光泽县第二中学2014高中数学 1.1.3 解三角形的进一步
讨论教案 新人教A 版必修5
●教学目标
知识与技能：掌握在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，有两解或一解或无解等情形；三角形各种类型的判定方法。

过程与方法：通过引导学生分析，解答三个典型例子，使学生学会综合运用正、余弦定理，三角函数公式及三角形有关性质求解三角形问题。

情感态度与价值观：通过正、余弦定理，在解三角形问题时沟通了三角形的有关性质和三角函数的关系，反映了事物之间的必然联系及一定条件下相互转化的可能，从而从本质上反映了事物之间的内在联系。

●教学重点
在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，有两解或一解或无解等情形； 三角形各种类型的判定方法。

●教学难点
正、余弦定理与三角形的有关性质的综合运用。

●教学过程 （一）.复习归纳：
（1）正弦定理：
sin sin a
b
A B =
sin c
C =
=
++=++2sin sin sin a b c
R A B C
；
或=2sin a R A ，=2sin b R B ，=2sin c R C
余弦定理：2222cos b a c ac B =+-
2222cos a b c bc A =+- 2222cos c a b ab C =+-
或222cos 2+-=b c a A bc ，222cos 2+-=a c b B ac ，222
cos 2+-=b a c C ba
（2）正弦定理可解决的类型：
①已知两角和任一边，求其它两边及一角； ②已知两边和其中一边对角，求另一边的对角。

余弦定理可解决的类型：
①已知三角形的任意两边及它们的夹角就可以求出第三边； ②已知三角形的三条边就可以求出其它角。

（二）.[创设情景]
思考：20,28,40,ABC a b A B C ===在△中，已知求和。

引申：将上题已知条件改为以下几种情况，结果如何？
（1） 20,60a b A === （一解）
（2）
20,60a b A === （一解）
（3）
15,20,60a b A === （无解）
从此题的分析我们发现，在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，在某些条件下会出现无解，一解，两解的情形。

下面进一步来研究这种情形下解三角形的问题。

（三）.讲授新课
[探索研究] ,,,ABC a b A 在△中，已知讨论三角形解的情况 1．当A 为钝角或直角时，必须a b >才能有且只有一解；否则无解。

2．当A 为锐角时，如果≥a b ，那么只有一解； 如果a b <，那么可以分下面三种情况来讨论：
（1）若sin a b A >，则有两解；（2）若sin a b A =，则只有一解； （3）若sin a b A <，则无解。

评述：注意在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，只有当A 为锐角且
sin b A a b <<时，有两解；其它情况时则只有一解或无解。

[随堂练习1] 不解三角形，判断三角形的个数
（1）5,4,120a b A === （2）30,30,50a b A === （3）7,14,30a b A === （4）9,10,60a b A === (5) 6,9,45a b A === (6) 50,72,135c b C === 解：
思考2：能否用余弦定理求解两边及夹角？
利用方程的思想和余弦定理：当等式 2222cos a b c bc A =+-中含有未知数时，等式便成为方程．式中有四个量，知道任意三个，便可以解出另一个，运用此式可以求a 或b 或c 或cosA
例：在∆ABC
中，已知45a b B ===，解三角形。

90,114sin 2,sin 1,
790,sin 60,sin 1,sin 9sin 453sin 1,64
(ABC ABC b A
B a
B AB
C b A B a ABC b C B c ABC ∴<∴⨯===∴==
=<∴=
==>∴(1)a >b,A =12050(3)a <b,A =30a <b,A =有一解.(2)a=b,A=有一解.有一解.(4)有两解(A 为锐角和钝角)
(5)b>c,C=45无解不存在)
(6)b 90135,
180,b c B C B C ABC >>∠>∠=+>∴∴>c,C=135又由知这样无解
随堂练习2
：如图所示，15,:7:8,sin ABC BC AB AC B ===在△中，已知 求AD 的长。

解：在△ABC 中，设7,8.A B x A C
x ==由正弦定理得 2
3
374878sin 7sin sin 8sin 7=⨯==∴=x B x C B x C x 再由余弦定理得2
2
2
(7)(8)152815cos60x x x =+-，
90,,sin 3
sin 260120(1)60,C=18075sin 756sin (2)120,C=18015
sin 75
6
sin 60
,75,b a a B A b A A
A A
B b
C c B A A B b C c B A C <<∴===∴===--===
==--=
=
===
=解法一:B=45且问题有两解由正弦定理,
得
或当时
当时
故2120,15
,c c A C c c +==
====
或222222
2222
2cos ,
cos 4510,cos (1)
2
1
1cos ,6021
1cos ,120
260,75,12b a c ac B c
c c b c a
A bc a b c A A a b c A A A C c c A =+-=+--+==+-====
======-======解法二:由余弦定理有整理，得解得又当）可得故当）可得故故或0,15,C c c ===
A
B
C
D
7x
8x
28150,35,2135.
x x x x AB AB ∴-+=∴==∴==或或
思考3：能否由余弦定理判定三角形 类型 ？
222222222是直角ABC 是直角三角形是钝角ABC 是钝角三角形是锐角a b c A a b c A a b c A =+⇔⇔∆>+⇔⇔∆<+⇔⇔ABC 是锐角三角形
∆ （注意：是锐角A ⇔ABC 是锐角三角形∆）
练习：在∆ABC 中，已知7a =，5b =，3c =，判断∆ABC 的类型。

解：222753>+，即222a b c >+，∴ABC 是钝角三角形∆。

随堂练习3：一钝角三角形的边长为连续自然数，则这三边长为（ ） A 、1，2，3 B 、2，3，4 C 、3，4，5 D 、4，5，6
分析： 要看哪一组符合要求，只需检验哪一个选项中的最大角是钝角，即该角的余弦值小于0。

A 、B 、C 显然不满足，故选D
Ⅳ.课时小结
（1）在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，有两解或一解或无解等情形； （2）三角形各种类型的判定方法；
（3）用余弦定理和方程的思想求解两边及夹角。

Ⅴ.课后作业
（1）在∆ABC 中，已知4b =，10c =，=30B ，试判断此三角形的解的情况。

（2）设x 、x+1、x+2是钝角三角形的三边长，求实数x 的取值范围。

（3）在∆ABC 中，060A =，1a =，2b c +=，判断∆ABC 的形状。

●板书设计 ●授后记
课时3 解三角形进一步讨论 习题
A 组 基础巩固
1.在△ABC 中，a ＝12，b ＝13，C ＝60°，此三角形的解的情况是 （ ）
A ．无解
B ．一解
C ． 二解
D ．不能确定
2.符合下列条件的三角形有且只有一个的是
（ ）
A
．a=1,b=2 ,c=3
B ．a=1,b=2 ,∠A=30°
,sin ,AD ABC AD AB B AD ==∴==在中
C ．a=1,b=2,∠A=100°
D ．b=c=1, ∠B=45°
3.若(a+b+c)(b+c －a)=3bc,且sinA=2sinBcosC, 那么ΔABC 是 （ ）
A ．直角三角形
B ．等边三角形
C ．等腰不等边三角形
D ．等腰直角三角形
4.已知△ABC 中，AB ＝6，∠A ＝30°，∠B ＝120°，则△ABC 的面积为 （ ) A ．9 B ．18 C ．93
D ．183
5．在ABC ∆中，根据下列条件解三角形，其中有两个解的是 （ ）
A ．10=b ， 45=A ， 70=C
B ．60=a ，48=c ，
60=B
C ．7=a ，5=b ， 80=A
D ．14=a ，16=b ，
45=A
6．在△ABC 中，角A 、B 均为锐角，且,sin cos B A >则△ABC 的形状是 （ ） A ．直角三角形 B ．锐角三角形 C ．钝角三角形 D ．等腰三角形 7．关于x 的方程22cos cos cos 02
C
x x A B -⋅⋅-=有一个根为1，则△ABC 一定是 （ ）
A. 等腰三角形
B. 直角三角形
C. 锐角三角形
D. 钝角三角形
8．在△ABC 中，已知===B b x a ,2, 60°，如果△ABC 两组解，则x 的取值范围是
( )
A ．2>x
B ．2<x
C ．33
4
2<
<x D ． 33
4
2≤
<x 9.ABC ∆中，a ，b ，c 分别为∠A ，∠B ，∠C 的对边，如果a ，b ，c 成等差数列, ∠B=30°
ABC ∆的面积为1
2
，那么b 为 （ ）
A ．31+
B ．33+
C ．
3
3
3+ D ．32+ 10．若△ABC 的周长等于20，面积是310，A ＝60°，则BC 边的长是 （ ）
A ． 5
B ．6
C ．7
D ．8
B 组 巩固提高
11．已知△ABC 中，===A b a ,209,181
121°，则此三角形解的情况是 12．三角形的一边长为14，这条边所对的角为60°，另两边之比为8：5，则这个三角形的 面积为 。

13．在ΔABC 中，∠A 、∠B 、∠C 是三个内角，∠C =30°，那么
22sin sin 2sin sin cos A B A B C +-的值是_____________.
14．在△ABC 中，已知AB l =，50C ∠=，当B ∠= 时，BC 的长取得最大值.
C 组 综合训练
15.已知在ABC ∆中，cm c cm a A 6245==︒=∠，，，解三角形。

（角度精确到1°，边长精确到0.1 cm ）
16．在△ABC 中，若()B A C B A cos cos sin sin sin +=+. (1)判断△ABC 的形状；
(2)在上述△ABC 中，若角C 的对边1=c ，求该三角形内切圆半径的取值范围。

17.在锐角三角形中，边a 、b 是方程x 2
－2 3 x+2=0的两根，角A 、B 满足2sin(A+B)－ 3 =0，求角C 的度数，边c 的长度及△ABC 的面积。

18.在△ABC 中，已知2a b c =+，2
sin sin sin A B C =，试判断△ABC 的形状。

19.在△ABC 中，已知角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，边c=7
2 ，且tanA+tanB=
3 tanA ·tanB
－ 3 ，又△ABC 的面积为ABC
S
=
a+b 的值。

20.二次方程ax 2
－2bx+c=0,其中a 、b 、c 是一钝角三角形的三边,且以b 为最长.
①证明方程有两个不等实根； ②证明两个实根α,β都是正数； ③若a=c,试求|α－β|的变化范围.
参考答案: 1.B （∵已知满足两边一夹角） 2.D （A 与C 无解，B 有两解，故选D ） 3.B (由
()()3a b c b c a bc +++-=得2
2()3b c a bc +-=，222b c a bc ∴+-=，由此可得60A =,
由sin 2sin cos A B C =得22222a b c a b ab
+-=⋅，进而可求b c =，∴三角形为等边三角形)
4.
（
由
题
知
30
C =，由正弦定理得
6
a =，
11
sin 66sin1209322
ABC
S
ac B =
=⨯⨯⨯= 5.D （A 符合两角一夹边， B 符合两边一夹角，C 只有一解,故选D ） 6.C(由已知知A 角B 角均小于45,90C ∴>)
7.A(由已知得21c o s c o s c o s 02
C A B -
-=，
2
sin cos cos 02
C
A B ∴-=，2
1cos()sin 22C A B ++= 1cos()cos cos 02A B A B ++∴-=，化简整理得cos()1A B -=，0A B ∴-=
，A B =）
8.C
（由题得sin
A =
1x <<，2x ∴<<） 9.C （由题可知2b a c =+①，由面积为1
2
可得2ac =②，由∠B=30°得2224
a c
b +-=
①②③得b =
） 10.C （由题可知
20a b c +
+=①，1402bc bc ==②由cos 60A =得222
b c a bc +-=③，综合①②③得7a =） 11.无解
（
b a
>，B A ∴>显然不可能） 12.（设另两边为8x,5x 由余弦定理可
求x=2,则另两边为16和10，由1
sin 2
ABC
S
ab C =
得S
= 13.14（由题得原
式=2
2
sin sin sin A B A B +=22sin sin (150)3sin sin(150)A A A A +---展开整理得原式=
1
4
） 14. 40°（由50C ∠=知130A B ∠=-，由正弦定理得s i n s i n (130)
A B B C
C B =-，sin(130)sin 50l B BC ⋅-∴=，当40B ∠=时，BC 的长取得最大值.）
15．解：由正弦定理得：
︒
=∠︒=∠∴=
⨯==
1206023
2226sin sin C C A a c C 或
当∠=︒C 60时，∠=︒-∠+∠=︒B A C 18075() )(7.275sin 45sin 2sin sin cm B A a b ≈⨯==
当时，∠=︒∠=︒-∠+∠=︒C B A C 12018015() )(7.015sin 45sin 2
sin sin cm B A a b ≈⨯==
︒=∠︒=∠≈∴7560)(7.2B C cm b ，，
︒=∠︒=∠≈15120)(7.0B C cm b ，，或
16．解：（1）由()B A C B A cos cos sin sin sin +=+ 可得12
sin
22
=C
0cos =∴C 即C ＝90° ∴△ABC 是以C 为直角顶点得直角三角形
（2）内切圆半径 ()c b a r -+=21
()1sin sin 2
1
-+=B A
212214sin 22-≤-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=
πA ∴内切圆半径的取值范围是⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-212,0 17．解：由2sin(A+B)－ 3 =0，得sin(A+B)=
3
2
, ∵△ABC 为锐角三角形 ∴A+B=120°, C=60°, 又∵a 、b 是方程x 2
－2 3 x+2=0的两根，∴a+b=2 3 , a ·b=2, ∴c 2
=a 2
+b 2
－2a ·bcosC =(a+b)2
－3ab=12－6=6, ∴c= 6 , S △ABC =12 absinC=12 ×2×32 =3
2 .
18.解：由正弦定理
2sin sin sin a b c
R A B C
===得：sin 2a A R =，sin 2b B R =，
sin 2c
C R
=。

所以由
2sin sin sin A B C =可得：2()222a b c R R R
=⋅，即：2a bc =。

又已知2a b c =+，所以224()a b c =+，所以24()bc b c =+，即2()0b c -=， 因而b c =。

故由2a b c =+得：22a b b b =+=，a b =。

所以a b c ==，△ABC 为等边三角形。

19.解：由tanA+tanB= 3 tanA ·tanB － 3 可得
tan tan 1tan tan A B
A B
+-⋅＝－ 3 ，即tan(A+B)=－ 3
∴tan(π－C)= － 3 , ∴－tanC=－ 3 , ∴tanC= 3 ∵C ∈(0, π), ∴C=
3
π 又△ABC 的面积为S △ABC =332 ，∴12 absinC=33
2
即12 ab ×32 =33
2
, ∴ab=6 又由余弦定理可得c 2=a 2+b 2
－2abcosC
∴(72 )2= a 2+b 2
－2abcos 3
π
∴(72 )2= a 2+b 2－ab=(a+b)2
－3ab ∴(a+b)2=121
4 , ∵a+b>0, ∴a+b=112
20．解：①由题意可知B 为钝角，∴
-1﹤cosB ﹤0,∴-1﹤-(cosB+1)﹤0,则
2222(2)42(2)2(2cos 2)
b a
c b ac a c ac B ac =--=-=+--=
22222(cos 1)22(2)2()0a c B ac a ac c a c ⎡⎤+-+>-+=->⎣⎦
∴方程有两个不等实根。

②0,0,,c
a a
αβαβαβ+=
>⋅=>∴都是正数。

③∵a=c ，∴2
2
2222222cos 22cos ,22cos b a c ac B a a B b a a B =+-=-∴-=-
∴22222
2
2222
24244cos ()44cos b c b a a B
B a a a a αβαβαβ---=+-=-=
==- ∵-1﹤cosB ﹤0,∴0﹤-4cosB ﹤4，∴2αβ-<。