2011年高考试题分类考点12 任意角和弧度制及任意角的三角函数、三角函数的诱导公式
高三数学任意角和弧度制和任意角的三角函数试题答案及解析
高三数学任意角和弧度制和任意角的三角函数试题答案及解析1.已知角为第二象限角，且，则的值为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由，得：又因为：所以，解得：又因为角为第二象限角，所以，所以，故选B．【考点】同角三角函数基本关系及诱导公式．2.如图，A，B是单位圆上的两个质点，点B坐标为(1,0)，∠BOA＝60°.质点A以1 rad/s的角速度按逆时针方向在单位圆上运动，质点B以1 rad/s的角速度按顺时针方向在单位圆上运动．(1)求经过1 s 后，∠BOA的弧度；(2)求质点A，B在单位圆上第一次相遇所用的时间．【答案】（1）＋2.（2）s【解析】解：(1)经过1 s 后，∠BOA的弧度为＋2.(2)设经过t s 后质点A，B在单位圆上第一次相遇，则t(1＋1)＋＝2π，所以t＝，即经过s 后质点A，B在单位圆上第一次相遇．3.设角α是第三象限角，且＝－sin，则角是第________象限角．【答案】四【解析】由α是第三象限角，知2kπ＋π<α<2kπ＋ (k∈Z)，kπ＋<<kπ＋ (k∈Z)，知是第二或第四象限角，再由＝－sin知sin<0，所以只能是第四象限角．4.点P从(1,0)出发，沿单位圆x2＋y2＝1逆时针方向运动弧长到达Q点，则Q点的坐标为()A．(－，)B．(－，－)C．(－，－)D．(－，)【解析】设α＝∠POQ，由三角函数定义可知，Q点的坐标(x，y)满足x＝cosα，y＝sinα，∴x＝－，y＝，∴Q点的坐标为(－，)．5.已知角α终边经过点P(x，－)(x≠0)，且cosα＝x，求sinα、tanα的值．【答案】sinα＝－，tanα＝【解析】解：∵P(x，－)(x≠0)，∴P到原点的距离r＝.又cosα＝x，∴cosα＝＝x，∵x≠0，∴x＝±，∴r＝2.当x＝时，P点坐标为(，－)，由三角函数定义，有sinα＝－，tanα＝－.当x＝－时，P点坐标为(－，－)，∴sinα＝－，tanα＝.6. [2014·潍坊质检]已知角α的终边经过点P(m，－3)，且cosα＝－，则m等于()A．－B．C．－4D．4【答案】C【解析】cosα＝＝－ (m<0)，解之得m＝－4，选C项．7.角终边上有一点，则下列各点中在角的终边上的点是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】因为角终边上有一点，所以因此即角的终边上的点在第三象限，所以选C.【考点】三角函数定义8.把表示成θ＋2kπ(k∈Z)的形式，使|θ|最小的θ值是()A．B．C．D．【解析】∵∴与是终边相同的角，且此时＝是最小的，选A.9.若角α,β满足-<α<β<π,则α-β的取值范围是()A．(-,)B．(-,0)C．(0,)D．(-,0)【答案】B【解析】由-<α<β<π知,-<α<π,-<β<π,且α<β,所以-π<-β<,所以-<α-β<且α-β<0,所以-<α-β<0.10.计算2sin(-600°)+tan(-855°)的值为()A．B．1C．2D．0【答案】C【解析】∵sin(-600°)=-sin600°=-sin(360°+240°)=-sin240°=-sin(180°+60°)=sin60°=,同理tan(-855°)=-tan(2×360°+135°)=-tan135°=-tan(180°-45°)=tan45°=1,∴原式=2×+×1=2.11.已知角α的终边上一点的坐标为(sin,cos),则角α的最小正值为()A．B．C．D．【答案】C【解析】∵sin>0,cos>0,∴角α的终边在第一象限,∴tanα====,∴角α的最小正值为.12.若角θ的终边在射线y=-2x(x<0)上,则cosθ=.【答案】-【解析】由已知得角的终边落在第二象限,故可设角终边上一点P(-1,2),则r2=(-1)2+22=5,∴r=,此时cosθ==-.13.已知点P落在角θ的终边上，且θ∈[0,2π]，则θ的值为________．【答案】【解析】由题意可知，点P在第四象限，且点P落在角θ的终边上，所以tan θ＝－1，故θ＝.14.已知则= .【答案】【解析】.【考点】三角函数求值.15.已知角x的终边上一点坐标为，则角x的最小正值为( ) A．B．C．D．【答案】C【解析】因为角终边上一点的坐标为，在第四象限，所以角是第四象限角，又，所以角的最小正值为.【考点】特殊角的三角函数值16.( )A．B．C．D．【答案】A【解析】.【考点】特殊角的三角函数值17.角的终边经过点，则的可能取值为( )A．B．C．D．【答案】D【解析】.【考点】1.任意角的三角函数；2.同角三角函数的基本关系18.已知弧度数为2的圆心角所对的弦长也是2，则这个圆心角所对的弧长是（）A．2B．C．D．【答案】B【解析】已知弧度数为2的圆心角所对的弦长也是2，所以，即，所以.【考点】弧度制.19.求值：________.【答案】【解析】.【考点】三角函数的计算及诱导公式.20.如图，在平面直角坐标系中，以x轴为始边作两个锐角、，它们的终边分别与单位圆交于A、B两点．已知点A的横坐标为；B点的纵坐标为．则 .【答案】【解析】单位圆的半径是1，根据勾股定理以及点A的横坐标为，B点的纵坐标为，可知点A的纵坐标为，点B的横坐标为，所以，，，，因为，是锐角，所以，所以.【考点】1.任意角的三角函数；2.三角函数的和角公式21.已知弧度数为2的圆心角所对的弦长也是2，则这个圆心角所对的弧长是（）A．2B．C．D．【答案】C【解析】.故选C.【考点】扇形弧长公式.22.在平面直角坐标系xOy中，若角α的始边与x轴的正半轴重合，终边在射线y＝－x（x＞0）上，则sin5α＝．【答案】【解析】根据题意，由于平面直角坐标系xOy中，若角α的始边与x轴的正半轴重合，终边在射线y＝－x（x＞0）上，则可知，那么可知sin5α=sin,故答案为【考点】三角函数定义点评：解决的关键是利用三角函数的定义来求解三角函数值，属于基础题。
完整版)三角函数知识点归纳
完整版)三角函数知识点归纳三角函数一、任意角、弧度制及任意角的三角函数1．任意角1)角的概念的推广角可以按照旋转方向分为正角、负角和零角，也可以按照终边位置分为象限角和轴线角。
2)终边与角α相同的角可写成α＋k·360°(k∈Z)。
3)弧度制弧度制是一种角度量，1弧度的角是指长度等于半径长的弧所对的圆心角。
弧度与角度可以互相转换。
2．任意角的三角函数定义设α是一个任意角，角α的终边上任意一点P(x，y)，它与原点的距离为r(x^2+y^2)，那么角α的正弦、余弦、正切分别是：sinα=y/r，cosα=x/r，tanα=y/x。
3．特殊角的三角函数值特殊角的三角函数值可以通过计算得到，如30度角的正弦为1/2，余弦为√3/2，正切为√3/3，以此类推。
注意：删除了明显有问题的段落，同时对每段话进行了小幅度的改写以提高表达清晰度。
和周期；2掌握三角函数的图像及其性质；3熟练运用诱导公式和基本关系进行化简和求值。
二、同角三角函数的基本关系与诱导公式A.基础梳理1.同角三角函数的基本关系1)平方关系：sin^2α+cos^2α=1；（在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号）2)商数关系：sinα/cosα=tanα，cosα/sinα=1/tanα，1+tan^2α=sec^2α，1+ cot^2α=csc^2α。
2.诱导公式公式一：sin(α+2kπ)=sinα，cos(α+2kπ)=cosα，tan(α+2kπ)=tanα其中k∈Z.公式二：sin(π+α)=－sinα，cos(π+α)=－cosα，tan(π+α)=tanα.公式三：sin(π－α)=sinα，cos(π－α)=－cosα，XXX(π－α)=－tanα．公式四：sin(－α)=－sinα，cos(－α)=cosα，tan(－α)=－tanα.公式五：sin(π/2－α)=cosα，cos(π/2－α)=sinα.公式六：sin(π/2+α)=cosα，cos(π/2+α)=－sinα.诱导公式可概括为k·±α的各三角函数值的化简公式．口诀：奇变偶不变，符号看象限．其中的奇、偶是指的奇数22倍和偶数倍，变与不变是指函数名称的变化．若是奇数倍，则函数名称要变(正弦变余弦，余弦变正弦)；若是偶数倍。
金榜2011高考真题分类汇编：考点12任意角和弧度制及任意角的三角函数、三角函数的诱导公式(新课标地区)
考点12任意角和弧度制及任意角的三角函数、三角函数的诱导公式一、选择题1.（2011·新课标全国高考理科·Ｔ5）已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线2y x =上，则cos 2θ= A.45- B.35- C.35 D.45【思路点拨】角θ终边在2y x =上，可得tan 2θ=，再结合22sin cos 1θθ+=可求得2cos θ的值，从而得到cos 2θ的值.【精讲精析】选B. 由题意知，tan 2θ=，即s i n 2c o s θθ=，将其代入22sin cos 1θθ+=中可得21cos 5θ=，故23cos 22cos 1.5θθ=-=-2.（2011·新课标全国高考文科·Ｔ7）已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线y=2x 上，则cos 2θ=（ ） A ．45- B.35- C.35 D.45【思路点拨】角θ终边在2y x =上，可得tan 2θ=，再结合22sin cos 1θθ+=可求得2cos θ的值，从而得到cos 2θ的值.【精讲精析】选B. 由题意知，tan 2θ=，即s i n 2c o s θθ=，将其代入22sin cos 1θθ+=中可得21cos 5θ=，故23cos 22cos 1.5θθ=-=- 二、填空题3.（2011·江西高考文科·Ｔ14）已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x 轴的正半轴，若()4,p y 是角θ终边上一点，且sin θ=y=_____.【思路点拨】首先根据条件求出OP 的长度，再根据任意角三角函数定义求出sin θ，最后解y的值。
【精讲精析】答案：-8.OP 5y 8,sin 0P(45y 8.==-=±θ=-<θθ∴=- 解得又及，y)是角终边上一点，可知为第四象限角，。
高考一轮复习任意角和弧度制及任意角的三角函数
任意角和弧度制及任意角的三角函数知识清单1．任意角(1)角的分类：①按旋转方向不同分为②按终边位置不同分为(2)终边相同的角：终边与角α相同的角可写成(3)弧度制：①1弧度的角：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角． ②规定：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零，|α|＝l r，l 是以角α作为圆心角时所对圆弧的长，r 为半径．③用“弧度”做单位来度量角的制度叫做弧度制．比值l r与所取的r 的大小无关，仅与角的大小有关．④弧度与角度的换算：360°＝2π弧度； 180°＝π弧度．⑤弧长公式：l ＝|α|r ，扇形面积公式：S 扇形＝12lr ＝12|α|r 2. 2．任意角的三角函数(1)任意角的三角函数定义：设α是一个任意角，角α的终边与单位圆交于点P (x ，y )，那么角α的正弦、余弦、正切分别是：sin α＝y ，cos α＝x ，tan α＝y x，它们都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数．设α是一个任意角，角α的终边过点P (x ，y )则sin α＝y r ，cos α＝x r ，tan α＝y x. （2）三角函数在各象限内的符号口诀是：一全正、二正弦、三正切、四余弦．（3）特殊角的三角函数值3．三角函数线题型一 求与已知角终边相同的角1．－870°的终边在第几象限( )A ．一B ．二C ．三D ．四2．给出下列四个命题：①－3π4是第二象限角； ②4π3是第三象限角； ③－400°是第四角限角； ④－315°是第一象限角．其中正确的命题有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个3 如果角α是第二象限角，则π－α角的终边在第________象限．4 若α＝k ·180°＋45°(k ∈Z )，则α的终边在( )A. 第一或第三象限B. 第一或第二象限C. 第二或第四象限D. 第三或第四象限题型二 三角函数的定义1．已知角α的终边与单位圆的交点P ⎝⎛⎭⎫x ，32，则tan α＝( ) A. 3 B ．±3 C.33 D ．±332 已知角α的终边经过点P (m ，－3)，且cos α＝－45，则m 等于( ) A ．－114 B.114C ．－4D ．4 3．若点P 在2π3角的终边上，且P 的坐标为(－1，y )，则y 等于________． 4 [2015·江西模拟]已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x 轴的正半轴，若P (4，y )是角θ终边上一点，且sin θ＝－255，则y ＝________. 5已知角α的终边上有一点P (t ，t 2＋1)(t >0)，则tan α的最小值为( ) A ．1 B ．2 C.12 D. 2 6 ．已知角α的终边经过点(3，－1)，则角α的最小正值是( )A.2π3B.11π6C.5π6D.3π47 已知角α的终边在直线3x ＋4y ＝0上，则2sin α+cos α=____________，题型三 三角函数值的符号及判定1．若sin α<0且tan α>0，则α是( )A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角2 给出下列各函数值：①sin(－1 000°)；②cos(－2 200°)；③tan(－10)； ④sin 7π10cos πtan 17π9， 其中符号为负的是( )A ．①B ．②C ．③D ．④3 设θ是第三象限角，且⎪⎪⎪⎪cos θ2＝－cos θ2，则θ2是( )A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角题型四 扇形的弧长、面积公式的应用1．弧长为3π，圆心角为135°的扇形半径为________，面积为________．2．已知扇形的周长是6 cm ，面积是2 cm 2，则扇形的圆心角的弧度数是 () A ．1 B ．4 C ．1或4 D ．2或43．[2015·唐山模拟]已知2弧度的圆心角所对的弦长为2，那么这个圆心角所对的弧长是( )A. 2B. sin2C. 2sin1D. 2sin14 .已知扇形周长为10，面积是4，求扇形的圆心角．5 . 已知扇形周长为40，当它的半径和圆心角取何值时，才使扇形面积最大？课后练习1．将表的分针拨快10分钟，则分针旋转过程中形成的角的弧度数是( )A.π3B.π6 C ．－π3 D ．－π62．已知扇形的周长是6 cm ，面积是2 cm 2，则扇形的圆心角的弧度数是( )A ．1或4B ．1C ．4D ．83．已知角α和角β的终边关于直线y ＝x 对称，且β＝－π3，则sin α＝( ) A ．－32 B.32 C ．－12 D.124．已知角α的终边过点P (－8m ，－6sin 30°)且cos α＝－45，则m 的值为( ) A ．－12 B.12 C ．－32 D.325．给出下列命题：①第二象限角大于第一象限角；②三角形的内角是第一象限角或第二象限角；③不论用角度制还是用弧度制度量一个角，它们与扇形所对半径的大小无关；④若sin α＝sin β，则α与β的终边相同；⑤若cos θ<0，则θ是第二或第三象限的角．其中正确命题的个数是 ( )A ．1B ．2C ．3D ．46．三角形ABC 是锐角三角形，若角θ终边上一点P 的坐标为(sin A －cos B ，cos A －sin C )，则sin θ|sin θ|＋cos θ|cos θ|＋tan θ|tan θ|的值是( ) A ．1 B ．－1 C ．3 D ．47．若三角形的两个内角α，β满足sin αcos β<0，则此三角形的形状为____________．8．已知α的顶点在原点，始边与x 轴正半轴重合，点P (－4m,3m ) (m >0)是α终边上一点，则2sin α＋cos α＝________.9．在直角坐标系中，O 是原点，A (3，1)，将点A 绕O 逆时针旋转90°到B 点，则B 点坐标为__________．10．若β的终边所在直线经过点P ⎝⎛⎭⎫cos 3π4，sin 3π4，则sin β＝________tan β＝___. 11如图，角α的终边与单位圆交于第二象限的点A ⎝⎛⎭⎫cos α，35，则cosα－sin α＝________.12．一个扇形OAB 的面积是1 cm 2，它的周长是4 cm ，求圆心角的弧度数和弦长AB .13如图所示，A ，B 是单位圆O 上的点，且B 在第二象限，C 是圆与x 轴正半轴的交点，A 点的坐标为⎝⎛⎭⎫35，45，△AOB 为正三角形．(1)求sin ∠COA ；(2)求cos ∠COB .14设90°<α<180°，角α的终边上一点为P (x ，5)，且cos α＝24x ，求sin α与tan α的值；15．已知sin θ＝1－a 1＋a ，cos θ＝3a －11＋a ，若θ是第二象限角，求实数a 的值．。
任意角和弧度制、三角函数的概念
π
3π
所以 kπ+2 < 2<kπ+ 4 (k∈Z).
π
3π
当 k=2n(n∈Z)时,2nπ+2 < 2<2nπ+ 4 , 2是第二象限角;
3π
7π
当 k=2n+1(n∈Z)时,2nπ+ 2 < 2 <2nπ+ 4 , 2是第四象限角.
综上可知,当 α 是第三象限角时,2是第二或第四象限角.
4
3
3
3
是真命题;-400°=-360°-40°,从而-400°是第四象限角,故③是真命
题;-315°=-360°+45°,从而-315°是第一象限角,故④是真命题.
π
π
(2)集合 π + ≤ ≤ π + ,∈Z 中的角的终边所表示的范围(阴影
4
2
部分)是( C )
π
π
当 k=2n(n∈Z)时,2nπ+ ≤ ≤2nπ+ ,
3
3
3
4π
,k∈Z}.
3
= 2π +
解题心得1.角的终边在一条直线上比在一条射线上多一种情况.
2.判断角β所在的象限,先把β表示为β=2kπ+α,α∈[0,2π),k∈Z,再判断角α所
在的象限即可.
3.确定角 kα, (k≥2,且 k∈N*)的终边的位置:先用终边相同角的形式表示出
角 α 的范围,再写出 kα 或 的范围,最后根据 k 的可能取值讨论确定角 kα 或
∴终边在直线 y= 3x 上的角的集合为 =
高三数学任意角和弧度制和任意角的三角函数试题答案及解析
高三数学任意角和弧度制和任意角的三角函数试题答案及解析1.已知角为第二象限角，且，则的值为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由，得：又因为：所以，解得：又因为角为第二象限角，所以，所以，故选B．【考点】同角三角函数基本关系及诱导公式．2.设α是第二象限角，P(x,4)为其终边上的一点，且cosα＝x，则tanα＝() A．B．C．－D．－【答案】D【解析】∵α是第二象限角，∴cosα＝x<0，即x<0.又cosα＝x＝，解得x＝－3，∴tanα＝＝－.3.已知点P(sinα－cosα，tanα)在第一象限，则在[0,2π]内α的取值范围是()A．(，)B．(π，)C．(，)D．(，)∪(π，)【答案】D【解析】由已知得，解得α∈(，)∪(π，)．4.已知角α终边上一点P(－，y)，且sinα＝y，求cosα和tanα的值．【答案】cosα＝－1，tanα＝0.【解析】r2＝x2＋y2＝y2＋3，由sinα＝＝＝y，∴y＝±或y＝0.当y＝即α是第二象限角时，cosα＝＝－，tanα＝－；当y＝－即α是第三象限角时，cosα＝＝－，tanα＝；当y＝0时，P(－，0)，cosα＝－1，tanα＝0.5.设集合M＝，N＝{α|－π＜α＜π}，则M∩N＝________．【答案】【解析】由－π＜＜π，得－＜k＜.∵k∈Z，∴k＝－1，0，1，2，故M∩N＝6.一段圆弧的长度等于其圆内接正三角形的边长,则其圆心角的弧度数为()A．B．C．D．【答案】C【解析】由题意可知,圆内接正三角形边长a与圆的半径之间关系为a=r,∴α===.7. tan(－1 410°)的值为()A．B．－C．D．－【答案】A【解析】tan(－1 410°)＝tan(－4×360°＋30°)＝tan 30°＝8.《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表.其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积=（弦´矢+矢2）.弧田（如图），由圆弧和其所对弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差.按照上述经验公式计算所得弧田面积与其实际面积之间存在误差.现有圆心角为，弦长等于9米的弧田.（1）计算弧田的实际面积；（2）按照《九章算术》中弧田面积的经验公式计算所得结果与（1）中计算的弧田实际面积相差多少平方米？（结果保留两位小数）【答案】(1) ()；(2)少．【解析】(1)本题比较简单，就是利用扇形面积公式来计算弧田面积，弧田面积等于扇形面积对应三角形面积．(2)由弧田面积的经验计算公式计算面积与实际面积相减即得．试题解析：(1) 扇形半径， 2分扇形面积等于 5分弧田面积=（m2） 7分（2）圆心到弦的距离等于，所以矢长为.按照上述弧田面积经验公式计算得（弦´矢+矢2）=. 10分平方米 12分按照弧田面积经验公式计算结果比实际少1.52平米.【考点】(1)扇形面积公式；(2)弧田面积的经验计算公式．9.在平面直角坐标系中,若角的顶点在坐标原点,始边在轴的非负半轴上,终边经过点(其中)则的值为( )A．B．C．D．【答案】D【解析】，根据任意角的三角函数的定义得，，所以.【考点】任意角三角函数的定义.10.( )A．B．C．D．【答案】A【解析】.【考点】特殊角的三角函数值11.在平面直角坐标系中，已知角的顶点在坐标原点，始边在轴的非负半轴上，终边经过点，则 .【答案】【解析】由任意角的三角函数的定义得：.【考点】任意角的三角函数的定义.12.已知，则满足的角所在的象限为．【答案】二或四【解析】根据指数函数的单调性和，得，即和异号，所以角是第二象限或第四象限的角.【考点】指数函数的单调性、各象限三角函数的符号.13.已知为钝角，且，则与角终边相同的角的集合为．【答案】【解析】由为钝角，且，得，所以与角终边相同的角的集合为，当然也可写成，但注意制度要统一，不要丢掉.【考点】特殊角的三角函数、终边相同角的集合.14.已知，则满足的角所在的象限为．【答案】二或四【解析】根据指数函数的单调性和，得，即和异号，所以角是第二象限或第四象限的角.【考点】指数函数的单调性、各象限三角函数的符号.15.如图所示，在平面直角坐标系xOy中，角α的终边与单位圆交于点A，点A的纵坐标为，则cosα=．【答案】．【解析】由题意及图所示，易知A点的横坐标为，所以．【考点】三角函数的定义．16.已知函数的定义域为[a,b]，值域为[-2，1]，则的值不可能是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】因的值域[-2,1]含最小值不含最大值,根据图象可知定义域小于一个周期,故选D.【考点】三角函数的定义域和值域.17.若角的终边上有一点P(a，－2)，则实数a的值为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】因为，所以.【考点】三角函数的定义.18.若，则角是（）A．第一或第二象限角B．第二或第三象限角C．第三或第四象限角D．第二或第四象限角【答案】D【解析】因为，则角是第二或第四象限角，选D19.点位于直角坐标面的A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】D【解析】因为，位于直角坐标面的第四象限,选D20.已知圆与轴的正半轴相交于点,两点在圆上,在第一象限,在第二象限,的横坐标分别为，则=( )A．B．C．D．【答案】B【解析】设与轴正半轴的夹角分别为则，21.已知动点在圆x2+y2=1上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转，12秒旋转一周，已知时间t=0时，点A（，则0≤t≤12时，动点A的横坐标x关于t（单位：秒）的函数单调递减区间是（）A．[0, 4]B．[4,10]C．[10,12]D．[0,4]和[10,12]【答案】D【解析】解：设动点A与x轴正方向夹角为α，则t=0时α=π/ 3 ，每秒钟旋转π /6 ，在t∈[0，1]上α∈[π/ 3 ，π/ 2 ]，在[7，12]上α∈[3π/ 2 ，7π /3 ]，动点A的纵坐标y关于t都是单调递增的．故选D．22.曲线与坐标轴所围的面积是【答案】３【解析】据余弦函数的图象，23.已知，且在第二象限，那么在 ( )A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】C【解析】解：∵sinθ="3" /4 ，且θ在第二象限，∴cosθ=-/4,所以sin2θ=2sinθcosθ=-3/16Cos2θ=1-2sin2θ=-1/8故2θ在第三象限。
任意角和弧度制及任意角的三角函数考点与提醒归纳
任意角和弧度制及任意角的三角函数考点与提醒归纳一、基础知识1．角的概念的推广(1)定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形．(2)分类⎩⎪⎨⎪⎧按旋转方向不同分为正角、负角、零角.按终边位置不同分为象限角和轴线角.(3)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S ＝{β|β＝α＋2k π，k ∈Z }．终边相同的角不一定相等，但相等的角其终边一定相同．2．弧度制的定义和公式(1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作rad. (2)公式：有关角度与弧度的两个注意点(1)角度与弧度的换算的关键是π＝180°，在同一个式子中，采用的度量制度必须一致，不可混用．(2)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度． 3．任意角的三角函数(1)定义：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P (x ，y )，那么sin α＝y ，cos α＝x ，tan α＝yx (x ≠0)．(2)几何表示：三角函数线可以看作是三角函数的几何表示．正弦线的起点都在x 轴上，余弦线的起点都是原点，正切线的起点都是(1,0)．如图中有向线段MP ，OM ，AT 分别叫做角α的正弦线、余弦线和正切线．二、常用结论汇总——规律多一点(1)一个口诀三角函数值在各象限的符号：一全正、二正弦、三正切、四余弦． (2)三角函数定义的推广设点P (x ，y )是角α终边上任意一点且不与原点重合，r ＝|OP |，则sin α＝y r ，cos α＝xr ，tan α＝yx(x ≠0)．(3)象限角(4)轴线角考点一 象限角及终边相同的角[典例] (1)若角α是第二象限角，则α2是( )A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第一或第三象限角D ．第二或第四象限角(2)终边在直线y ＝3x 上，且在[－2π，2π)内的角α的集合为________． [解析] (1)∵α是第二象限角， ∴π2＋2k π<α<π＋2k π，k ∈Z ， ∴π4＋k π<α2<π2＋k π，k ∈Z. 当k 为偶数时，α2是第一象限角；当k 为奇数时，α2是第三象限角．故选C.(2)如图，在坐标系中画出直线y ＝3x ，可以发现它与x 轴的夹角是π3，在[0,2π)内，终边在直线y ＝3x 上的角有两个：π3，4π3；在[－2π，0)内满足条件的角有两个：－2π3，－5π3，故满足条件的角α构成的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫－5π3，－2π3，π3，4π3.[答案] (1)C (2)⎩⎨⎧⎭⎬⎫－5π3，－2π3，π3，4π3[题组训练]1．集合⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪k π≤α≤k π＋π4，k ∈Z 中的角所表示的范围(阴影部分)是( )解析：选B 当k ＝2n (n ∈Z )时，2n π≤α≤2n π＋π4(n ∈Z )，此时α的终边和0≤α≤π4的终边一样，当k ＝2n ＋1(n ∈Z )时，2n π＋π≤α≤2n π＋π＋π4(n ∈Z )，此时α的终边和π≤α≤π＋π4的终边一样． 2．在－720°～0°范围内所有与45°终边相同的角为________． 解析：所有与45°终边相同的角可表示为： β＝45°＋k ×360°(k ∈Z )，则令－720°≤45°＋k ×360°<0°(k ∈Z )， 得－765°≤k ×360°<－45°(k ∈Z )， 解得－765360≤k <－45360(k ∈Z )，从而k ＝－2或k ＝－1， 代入得β＝－675°或β＝－315°. 答案：－675°或－315°考点二 三角函数的定义[典例] 已知角α的终边经过点P (－x ，－6)，且cos α＝－513，则1sin α＋1tan α＝________.[解析] ∵角α的终边经过点P (－x ，－6)，且cos α＝－513，∴cos α＝－x x 2＋36＝－513，解得x ＝52或x ＝－52(舍去)，∴P ⎝⎛⎭⎫－52，－6，∴sin α＝－1213， ∴tan α＝sin αcos α＝125，则1sin α＋1tan α＝－1312＋512＝－23.[答案] －23[解题技法]用定义法求三角函数值的2种类型及解题方法(1)已知角α终边上一点P 的坐标，则可先求出点P 到原点的距离r ，然后用三角函数的定义求解．(2)已知角α的终边所在的直线方程，则可先设出终边上一点的坐标，求出此点到原点的距离，然后用三角函数的定义来求解．[题组训练]1．已知角α的终边经过点(3，－4)，则sin α＋1cos α＝( )A ．－15B.3715C.3720D.1315解析：选D ∵角α的终边经过点(3，－4)，∴sin α＝－45，cos α＝35，∴sin α＋1cos α＝－45＋53＝1315. 2．已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线y ＝2x 上，则cos 2θ＝( )A ．－45B ．－35C ．35D ．45解析：选B 设P (t,2t )(t ≠0)为角θ终边上任意一点，则cos θ＝t5|t |.当t >0时，cos θ＝55；当t <0时，cos θ＝－55.因此cos 2θ＝2cos 2θ－1＝25－1＝－35. 考点三 三角函数值符号的判定[典例] 若sin αtan α<0，且cos αtan α<0，则角α是( ) A ．第一象限角 B ．第二象限角 C ．第三象限角D ．第四象限角[解析] 由sin αtan α<0可知sin α，tan α异号， 则α为第二象限角或第三象限角． 由cos αtan α<0可知cos α，tan α异号， 则α为第三象限角或第四象限角． 综上可知，α为第三象限角． [答案] C[解题技法] 三角函数值符号及角所在象限的判断三角函数在各个象限的符号与角的终边上的点的坐标密切相关．sin θ在一、二象限为正，cos θ在一、四象限为正，tan θ在一、三象限为正.学习时首先把取正值的象限记清楚，其余的象限就是负的，如sin θ在一、二象限为正，那么在三、四象限就是负的．值得一提的是：三角函数的正负有时还要考虑坐标轴上的角，如sin π2＝1>0，cos π＝－1<0.[题组训练]1．下列各选项中正确的是( ) A ．sin 300°>0 B ．cos(－305°)<0 C ．tan ⎝⎛⎭⎫－22π3>0 D ．sin 10<0解析：选D 300°＝360°－60°，则300°是第四象限角，故sin 300°<0；－305°＝－360°＋55°，则－305°是第一象限角，故cos(－305°)>0；－22π3＝－8π＋2π3，则－22π3是第二象限角，故tan ⎝⎛⎭⎫－22π3<0；3π<10<7π2，则10是第三象限角，故sin 10<0，故选D. 2．已知点P (cos α，tan α)在第三象限，则角α的终边在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限解析：选B 由题意得⎩⎨⎧cos α<0，tan α<0⇒⎩⎪⎨⎪⎧cos α<0，sin α>0，所以角α的终边在第二象限．[课时跟踪检测]A 级1．已知扇形的面积为2，扇形圆心角的弧度数是4，则扇形的周长为( ) A ．2 B ．4 C ．6D ．8解析：选C 设扇形的半径为r (r >0)，弧长为l ，则由扇形面积公式可得2＝12lr ＝12|α|r 2＝12×4×r 2，解得r ＝1，l ＝|α|r ＝4，所以所求扇形的周长为2r ＋l ＝6. 2．(2019·石家庄模拟)已知角α(0°≤α<360°)终边上一点的坐标为(sin 150°，cos 150°)，则α＝( )A ．150°B ．135°C ．300°D ．60°解析：选C 由sin 150°＝12 >0，cos 150°＝－32<0，可知角α终边上一点的坐标为⎝⎛⎭⎫12，－32，故该点在第四象限，由三角函数的定义得sin α＝－32，因为0°≤α<360°，所以角α为300°.3．(2018·长春检测)若角α的顶点为坐标原点，始边在x 轴的非负半轴上，终边在直线y ＝－3x 上，则角α的取值集合是( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪α＝2k π－π3，k ∈Z B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪α＝2k π＋2π3，k ∈Z C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪ α＝k π－2π3，k ∈Z D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪α＝k π－π3，k ∈Z 解析：选D 当α的终边在射线y ＝－3x (x ≤0)上时，对应的角为2π3＋2k π，k ∈Z ，当α的终边在射线y ＝－3x (x ≥0)上时，对应的角为－π3＋2k π，k ∈Z ，所以角α的取值集合是⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪α＝k π－π3，k ∈Z .4．已知角α的终边经过点(3a －9，a ＋2)，且cos α≤0，sin α＞0，则实数a 的取值范围是( )A ．(－2,3]B ．(－2,3)C ．[－2,3)D ．[－2,3]解析：选A 由cos α≤0，sin α＞0可知，角α的终边落在第二象限或y 轴的正半轴上，所以有⎩⎪⎨⎪⎧3a －9≤0，a ＋2＞0，解得－2＜a ≤3.5．在平面直角坐标系xOy 中，α为第二象限角，P (－3，y )为其终边上一点，且sin α＝2y4，则y 的值为( ) A.3 B ．－5 C.5 D.3或5解析：选C 由题意知|OP |＝3＋y 2，则sin α＝y 3＋y 2＝2y4，解得y ＝0(舍去)或y ＝±5，因为α为第二象限角，所以y >0，则y ＝ 5.6．已知角α＝2k π－π5(k ∈Z )，若角θ与角α的终边相同，则y ＝sin θ|sin θ|＋cos θ|cos θ|＋tan θ|tan θ|的值为( )A ．1B ．－1C ．3D ．－3解析：选B 由α＝2k π－π5(k ∈Z )及终边相同的概念知，角α的终边在第四象限，因为角θ与角α的终边相同，所以角θ是第四象限角，所以sin θ＜0，cos θ＞0，tan θ＜0.所以y ＝－1＋1－1＝－1. 7．已知一个扇形的圆心角为3π4，面积为3π2，则此扇形的半径为________． 解析：设此扇形的半径为r (r >0)，由3π2＝12×3π4×r 2，得r ＝2.答案：28．(2019·江苏高邮模拟)在平面直角坐标系xOy 中，60°角终边上一点P 的坐标为(1，m )，则实数m 的值为________．解析：∵60°角终边上一点P 的坐标为(1，m )，∴tan 60°＝m1，∵tan 60°＝3，∴m ＝ 3.答案：39．若α＝1 560°，角θ与α终边相同，且－360°＜θ＜360°，则θ＝________. 解析：因为α＝1 560°＝4×360°＋120°， 所以与α终边相同的角为360°×k ＋120°，k ∈Z ， 令k ＝－1或k ＝0，可得θ＝－240°或θ＝120°. 答案：120°或－240°10．在直角坐标系xOy 中，O 为坐标原点，A (3，1)，将点A 绕O 逆时针旋转90°到B 点，则B 点坐标为__________．解析：依题意知OA ＝OB ＝2，∠AOx ＝30°，∠BOx ＝120°， 设点B 坐标为(x ，y )，则x ＝2cos 120°＝－1，y ＝2sin 120°＝3，即B (－1，3)． 答案：(－1，3)11．已知1|sin α|＝－1sin α，且lg(cos α)有意义．(1)试判断角α所在的象限；(2)若角α的终边上一点M ⎝⎛⎭⎫35，m ，且|OM |＝1(O 为坐标原点)，求m 的值及sin α的值． 解：(1)由1|sin α|＝－1sin α，得sin α<0，由lg(cos α)有意义，可知cos α>0， 所以α是第四象限角．(2)因为|OM |＝1，所以⎝⎛⎭⎫352＋m 2＝1，解得m ＝±45. 又因为α是第四象限角，所以m <0， 从而m ＝－45，sin α＝y r ＝m |OM |＝－451＝－45.12．已知α为第三象限角． (1)求角α2终边所在的象限；(2)试判断 tan α2sin α2cos α2的符号．解：(1)由2k π＋π＜α＜2k π＋3π2，k ∈Z ， 得k π＋π2＜α2＜k π＋3π4，k ∈Z ，当k 为偶数时，角α2终边在第二象限；当k 为奇数时，角α2终边在第四象限．故角α2终边在第二或第四象限．(2)当角α2在第二象限时，tan α2＜0，sin α2＞0, cos α2＜0，所以tan α2sin α2cos α2取正号；当角α2在第四象限时，tan α2＜0，sin α2＜0, cos α2＞0， 所以 tan α2sin α2cos α2也取正号．因此tan α2sin α2cos α2取正号．B 级1．若－3π4<α<－π2，从单位圆中的三角函数线观察sin α，cos α，tan α的大小是( )A ．sin α<tan α<cos αB ．cos α<sin α<tan αC ．sin α<cos α<tan αD ．tan α<sin α<cos α解析：选C 如图所示，作出角α的正弦线MP ，余弦线OM ，正切线AT ，因为－3π4 <α<－π2，所以α终边位置在图中的阴影部分，观察可得AT >OM >MP ，故有sin α<cos α<tan α.2．已知点P (sin α－cos α，tan α)在第一象限，且α∈[0,2π]，则角α的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫π2，3π4∪⎝⎛⎭⎫π，5π4B.⎝⎛⎭⎫π4，π2∪⎝⎛⎭⎫π，5π4C.⎝⎛⎭⎫π2，3π4∪⎝⎛⎭⎫5π4，3π2D.⎝⎛⎭⎫π4，π2∪⎝⎛⎭⎫3π4，π解析：选B 因为点P 在第一象限，所以⎩⎪⎨⎪⎧ sin α－cos α>0，tan α>0，即⎩⎨⎧sin α>cos α，tan α>0.由tan α>0可知角α为第一或第三象限角，画出单位圆如图．又sin α>cos α，用正弦线、余弦线得满足条件的角α的终边在如图所示的阴影部分(不包括边界)，即角α的取值范围是⎝⎛⎭⎫π4，π2∪⎝⎛⎭⎫π，5π4.3．已知角θ的终边过点P (－4a,3a )(a ≠0)．(1)求sin θ＋cos θ的值；(2)试判断cos(sin θ)·sin(cos θ)的符号．解：(1)因为角θ的终边过点P (－4a,3a )(a ≠0)，所以x ＝－4a ，y ＝3a ，r ＝5|a |，当a ＞0时，r ＝5a ，sin θ＋cos θ＝35－45＝－15； 当a ＜0时，r ＝－5a ，sin θ＋cos θ＝－35＋45＝15. (2)当a ＞0时，sin θ＝35∈⎝⎛⎭⎫0，π2， cos θ＝－45∈⎝⎛⎭⎫－π2，0， 则cos(sin θ)·sin(cos θ)＝cos 35·sin ⎝⎛⎭⎫－45＜0； 当a ＜0时，sin θ＝－35∈⎝⎛⎭⎫－π2，0， cos θ＝45∈⎝⎛⎭⎫0，π2， 则cos(sin θ)·sin(cos θ)＝cos ⎝⎛⎭⎫－35·sin 45＞0. 综上，当a ＞0时，cos(sin θ)·sin(cos θ)的符号为负；当a ＜0时，cos(sin θ)·sin(cos θ)的符号为正．。
任意角和弧度制及任意角的三角函数考点及例题讲解
任意角和弧度制及任意角的三角函数考纲解读 1.通过角的变换，判断角所在象限；2.常见的角度与弧度之间的转化；3.已知角的终边求正弦、余弦、正切值；4.利用三角函数线求角的大小或角的范围；5.利用扇形面积公式和弧长公式进行相关计算．[基础梳理]1．任意角的概念(1)我们把角的概念推广到任意角，任意角包括正角、负角、零角． ①正角：按逆时针方向旋转形成的角； ②负角：按顺时针方向旋转形成的角；③零角：如果一条射线没有作任何旋转，我们称它形成了一个零角． (2)终边相同角：与α终边相同的角可表示为：{β|β＝α＋2k π，k ∈Z }． 2．弧度与角度的互化(1)1弧度的角：长度等于半径长的弧所对的圆心角． (2)角α的弧度数公式：|α|＝lr .(3)角度与弧度的换算：360°＝2π rad,1°＝π180 rad,1 rad ＝(180π)°≈57°18′.(4)扇形的弧长及面积公式： 弧长公式：l ＝α·r . 面积公式：S ＝12l ·r ＝12α·r 2.3．任意角的三角函数(1)定义：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P (x ，y )，则sin α＝y ，cos α＝x ，tan α＝yx(x ≠0)．(2)几何表示：三角函数线可以看作是三角函数的几何表示．正弦线的起点都在x 轴上，余弦线的起点都是原点，正切线的起点都是(1,0)．如图中有向线段MP ，OM ，AT 分别叫作角α的正弦线、余弦线和正切线．4．终边相同的角的三角函数 sin(α＋k ·2π)＝sin α， cos(α＋k ·2π)＝cos α，tan(α＋k ·2π)＝tan α(其中k ∈Z )，即终边相同的角的同一三角函数的值相等．[三基自测]1．单位圆中，200°的圆心角所对的弧长为( ) A ．10π B ．9π C.9π10 D.10π9答案：D2．若角θ满足tan θ＞0，sin θ＜0，则角θ所在的象限是( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 答案：C3．弧长为3π、圆心角为34π的扇形半径为________．答案：44．(必修4·4.1例题改编)α终边上一点P (－3,4)．则sin α＝________，cos α＝________，tan α＝________.答案：45 －35 －435．(2017·高考全国卷Ⅰ改编)若α的终边过点(3,4)，则cos ⎝⎛⎭⎫α－π4＝__________. 答案：7210[考点例题]考点一 终边相同的角及象限角|易错突破高考总复习·数学(理)第三章 三角函数、解三角形[例1] (1)若角α满足α＝2k π3＋π6(k∈Z )，则α的终边一定在( )A ．第一象限或第二象限或第三象限B ．第一象限或第二象限或第四象限C ．第一象限或第二象限或x 轴非正半轴上D ．第一象限或第二象限或y 轴非正半轴上(2)已知sin α＞0，cos α＜0，则12α所在的象限是( )A ．第一象限B ．第三象限C ．第一或第三象限D ．第二或第四象限(3)下列与9π4的终边相同的角的表达式中正确的是( )A ．2k π＋45°(k ∈Z )B ．k ·360°＋94π(k ∈Z )C ．k ·360°－315°(k ∈Z )D ．k π＋5π4(k ∈Z )[解析] (1)由α＝2k π3＋π6，k ∈Z ，当k ＝0时，α＝π6，终边在第一象限．当k ＝1时，α＝2π3＋π6＝5π6，终边在第二象限．当k ＝－1时，α＝－2π3＋π6＝－π2，终边在y 轴的非正半轴上，故选D.(2)因为sin α＞0，cos α＜0，所以α为第二象限角，即π2＋2k π＜α＜π＋2k π，k ∈Z ，则π4＋k π＜12α＜π2＋k π，k ∈Z .当k 为偶数时，12α为第一象限角；当k 为奇数时，12α为第三象限角，故选C.(3)由定义知终边相同的角中不能同时出现角度和弧度，应为π4＋2k π或k ·360°＋45°(k ∈Z )．[答案] (1)D (2)C (3)C [易错提醒][纠错训练]1．在－720°～0°范围内所有与45°终边相同的角为________． 解析：所有与45°有相同终边的角可表示为：β＝45°＋k ×360°(k ∈Z )， 则令－720°<45°＋k ×360°＜0°， 得－765°<k ×360°＜－45°， 解得－765360<k ＜－45360，从而k ＝－2或k ＝－1，代入得β＝－675°或β＝－315°. 答案：－675°或－315°2．终边在直线y ＝3x 上的角的集合为__________． 解析：在坐标系中画出直线y ＝3x ， 可以发现它与x 轴正半轴的夹角是π3，终边在直线y ＝3x 上的角的集合为 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|α＝k π＋π3，k ∈Z .答案：⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|α＝k π＋π3，k ∈Z考点二 扇形弧长、面积公式的应用|方法突破[例2] (1)(2018·合肥模拟)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，卷一《方田》[三三]：“今有宛田，下周三十步，径十六步．问为田几何？”译成现代汉语其意思为：有一块扇形的田，弧长30步，其所在圆的直径是16步，问这块田的面积是多少(平方步)？( )A ．120B ．240C ．360D ．480(2)(2018·太原模拟)已知2弧度的圆心角所对的弦长为2，那么这个圆心角所对的弧长是( )A ．2B ．sin 2 C.2sin 1D ．2 sin 1[解析] (1)由题意可得：S ＝12×8×30＝120(平方步)．(2)如图：∠AOB ＝2弧度，过O 点作OC ⊥AB 于C ，并延长OC 交弧AB 于D .则∠AOD ＝∠BOD ＝1弧度，且AC ＝12AB ＝1，在Rt △AOC 中，AO ＝AC sin ∠AOC ＝1sin 1，即r ＝1sin 1，从而弧AB 的长为l ＝α·r ＝2sin 1.[答案] (1)A (2)C [方法提升][母题变式]将本例(1)改为已知扇形的半径是2，面积为8，则此扇形的圆心角的弧度数是( ) A ．4 B ．2 C ．8D ．1解析：设半径为r ，圆心角的弧度数为θ， 由S ＝12θr 2，得8＝12×θ×4，∴θ＝4.答案：A考点三 三角函数的定义|模型突破角度1 用三角函数的定义求值[例3] (1)(2018·大同模拟)已知角α的终边经过点P (－x ，－6)，且cos α＝－513，则x的值为________．(2)已知角α的终边在直线y ＝－3x 上，则10sin α＋3cos α的值为________． [解析] (1)∵cos α＝－x(－x )2＋(－6)2＝－x x 2＋36＝－513，∴⎩⎪⎨⎪⎧x >0，x 2x 2＋36＝25169，解得x ＝52.(2)设α终边上任一点为P (k ，－3k )， 则r ＝k 2＋(－3k )2＝10|k |. 当k ＞0时，r ＝10k ， ∴sin α＝－3k 10k ＝－310，1cos α＝10kk＝10， ∴10sin α＋3cos α＝－310＋310＝0；当k ＜0时，r ＝－10k ， ∴sin α＝－3k －10k ＝310，1cos α＝－10k k＝－10， ∴10sin α＋3cos α＝310－310＝0.[答案] (1)52 (2)0[模型解法]角度2 三角函数值符号的判断[例4] (1)(2018·怀化模拟)sin 2·cos 3·tan 4的值( ) A ．小于0 B ．大于0 C ．等于0D ．不存在(2)已知点P (cos α，tan α)在第三象限，则角α的终边在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限[解析] (1)∵π2<2<3<π<4<32π.∴sin 2>0，cos 3<0，tan 4>0. ∴sin 2·cos 3·tan 4<0.(2)由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧ cos α<0，tan α<0，则⎩⎪⎨⎪⎧sin α>0，cos α<0，所以角α的终边在第二象限，故选B.[答案] (1)A (2)B [模型解法]角度3 利用三角函数线比较大小，解不等式[例5] (1)(2018·石家庄模拟)若－3π4<α<－π2，从单位圆中的三角函数线观察sin α，cos α，tan α的大小是( )A ．sin α<tan α<cos αB ．cos α<sin α<tan αC ．sin α<cos α<tan αD ．tan α<sin α<cos α[解析] 如图所示，作出角α的正弦线MP ，余弦线OM ，正切线AT ，观察可得，AT >OM >MP ，故有sin α<cos α<tan α.[答案] C (2)y ＝sin x －32的定义域为________． [解析] ∵sin x ≥32，作直线y ＝32交单位圆于A 、B 两点，连接OA 、OB ，则OA 与OB 围成的区域(图中阴影部分)即为角x 的终边的范围，故满足条件的角x 的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪2k π＋π3≤x ≤2k π＋2π3，k ∈Z .[答案] ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |2k π＋π3≤x ≤2k π＋2π3，k ∈Z[模型解法]形如sin α≥a 或sin α≤a ()a ∈[－1，1]的解，其关键点为： (1)作出sin α＝a 的函数线；(2)根据不等式，确定α的转动方向； (3)写出α的区域．[高考类题](2014·高考大纲全国卷)设a ＝sin 33°，b ＝cos 55°，c ＝tan 35°，则( ) A ．a >b >c B ．b >c >a C ．c >b >aD ．c >a >b解析：∵b ＝cos 55°＝sin 35°>sin 33°＝a ，∴b >a . 又∵c ＝tan 35°＝sin 35°cos 35°>sin 35°＝cos 55°＝b ，∴c >b .∴c >b >a .故选C. 答案：C[真题感悟]1.[考点一、二] (2014·高考新课标全国卷Ⅰ)如图，圆O 的半径为1，A 是圆上的定点，P 是圆上的动点，角x 的始边为射线OA ，终边为射线OP ，过点P 作直线OA 的垂线，垂足为M ，将点M 到直线OP 的距离表示成x 的函数f (x )，则y ＝f (x )在[0，π]的图象大致为( )答案：C2.[考点二、三](2017·高考北京卷)在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于y 轴对称．若sin α＝13，则sin β＝__________.解析：由已知可得，sin β＝sin(2k π＋π－α)＝sin(π－α)＝sin α＝13(k ∈Z )．1答案：3。
高一数学任意角和弧度制和任意角的三角函数试题答案及解析
高一数学任意角和弧度制和任意角的三角函数试题答案及解析1.如果角的终边经过点，则（）A．B．C．D．【答案】A【解析】直接利用三角函数的定义，求出.因为角θ的终边经过点,由三角函数的定义可知，，故选A.【考点】任意角的三角函数的定义．2.已知扇形半径为8, 弧长为12, 则中心角为弧度, 扇形面积是【答案】.【解析】圆心角；由扇形的面积公式得.【考点】扇形的面积公式及圆心角的计算.3.若点P位于第三象限，则角是第象限的角.【答案】二【解析】点P位于第三象限，则即,所以角是第二象限的角,答案为二.【考点】三角函数的符号4.半径为，中心角为所对的弧长是（）.A．B．C．D．【答案】D.【解析】弧长cm,故选D.【考点】弧长公式：（其中的单位是弧度）.5.已知cosθ•tanθ＜0，那么角θ是（）.A．第一或第二象限角B．第二或第三象限角C．第三或第四象限角D．第一或第四象限角【答案】B【解析】，，是第二象限角或第三象限角.【考点】象限角的符号.6.已知，则的集合为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由知，在第一或第三象限，因为，所以．【考点】简单三角方程7.与角-终边相同的角是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】与−终边相同的角为2kπ−，k∈z，当 k=-1时，此角等于，故选：C．【考点】终边相同的角的定义和表示方法.8.如图，长为4米的直竹竿AB两端分别在水平地面和墙上（地面与墙面垂直），T为AB中点，，当竹竿滑动到A1B1位置时，，竹竿在滑动时中点T也沿着某种轨迹运动到T1点，则T运动的路程是_________米.【答案】.【解析】如图可知，点运动的轨迹为一段圆弧，由题意已知：，，∴，∴点运动的路程为.【考点】弧度制有关公式的运用.9.已知角的终边上有一点（1，2），则的值为（ ).A．B．C．D．–2【答案】A【解析】角的终边过，，.【考点】任意角三角函数的定义.10.若角的终边上有一点，则的值是（）A．B．C．D．【答案】B.【解析】先利用诱导公式化简，根据三角函数的定义知，即，故选B.【考点】运用诱导公式化简求值；任意角的三角函数的定义．11. 60°=_________．（化成弧度）【答案】【解析】根据,可得．【考点】角度与弧度的互化．12.与终边相同的最小正角是．【答案】【解析】因为与终边相同的角是所以当时，与终边相同的最小正角是【考点】与终边相同的角13.比较的大小 .【答案】【解析】,在上为增函数，可知，，可得.【考点】正弦函数的性质，特殊角的三角函数.14.已知扇形的周长为30，当它的半径R和圆心角各取何值时，扇形的面积S最大？并求出扇形面积的最大值．【答案】当扇形半径为，圆心角为2时，扇形有最大面积．【解析】根据条件扇形的周长为30可以得到l+2R=30,从而扇形的面积S=lR=（30－2R）R=，即把S表示为R的二次函数，根据二次函数求最值的方法，可以进一步变形为S=－（R－）2+，从而得到当扇形半径为，圆心角为2时，扇形有最大面积．∵扇形的周长为30，∴l+2R=30，l=30-2R，∴S=lR=（30－2R）R==－（R－）2+．．．．．5分∴当R=时，扇形有最大面积，此时l=30－2R=15，==2．．．．．．．．8分答：当扇形半径为，圆心角为2时，扇形有最大面积．．．．．10分．【考点】1、弧度制下扇形相关公式；2、二次函数求最值．15.若点P(Cos,Sin)在直线y=-2x上，则=( )A．B．C．D．【答案】B【解析】因为点在直线上，所以，则.【考点】任意角的三角函数的定义；同角三角函数间的基本关系．16.已知是第一象限的角，那么是（）A．第一象限角B．第二象限角C．第一或第二象限角D．第一或第三象限角【答案】D【解析】∵α的取值范围（k∈Z）∴的取值范围是（k∈Z），分类讨论①当k="2n+1" （其中n∈Z）时的取值范围是即属于第三象限角．②当k=2n（其中n∈Z）时的取值范围是即属于第一象限角．故答案为：D．【考点】象限角、轴线角．17.设，，，则( )A．B．C．D．【答案】D【解析】因为，所以＜；因为，所以＞，＜，，所以b＜a＜c．故答案为：D．【考点】三角函数值．18.扇形的半径是,圆心角是60°,则该扇形的面积为 .【答案】π【解析】扇形的面积公式为.【考点】扇形的弧度制面积公式.19.的值（）A．小于B．大于C．等于D．不存在【答案】A【解析】因为，所以，从而，选A.【考点】任意角的三角函数.20.计算：= ；【答案】1【解析】原式=【考点】三角函数值的计算21.已知扇形的圆心角为2rad，扇形的周长为8cm，则扇形的面积为___________cm2。
高考数学一轮复习任意角和弧度制、三角函数的概念
3．(忽视对参数的讨论)已知角α的终边过点P(－8m，6m)(m≠0)，则sin α＝ ________.
解析：由题意得 x＝－8m，y＝6m，所以 r＝10|m|. 当 m> 0 时，sin α＝160mm＝53； 当 m< 0 时，sin α＝－61m0m＝－53. 答案：35或－35
Ⅲ.微点知能的优化拓展 1．掌握 5 个常用结论 (1)若 α∈0，π2，则 tan α> α> sin α. (2)α，β终边相同⇔β＝α＋2kπ，k∈Z. (3)α，β终边关于x轴对称⇔β＝－α＋2kπ，k∈Z. (4)α，β终边关于y轴对称⇔β＝π－α＋2kπ，k∈Z. (5)α，β终边关于原点对称⇔β＝π＋α＋2kπ，k∈Z.
数时，α2为第二象限角；当 k 为奇数时，α2为第四象限角，而 2α 的终 边落在第一、二象限或 y 轴的非负半轴上． 答案：二、四 第一、二象限或 y 轴的非负半轴上
[一“点”就过] 1．利用终边相同的角的集合求适合某些条件的角 先写出与这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过对集合中的参 数k赋值来求得所需的角．
限角，故 C 正确；－315°＝－360°＋45°，所以－315°是第一象
限角，故 D 正确，故选 B 、C 、D . 答案：B C D
3．集合α|kπ＋π4≤α≤kπ＋π2，k∈Z中的角所表示的范围(阴影部分)是( )
解析：当 k＝2n(n∈Z )时，2nπ＋π4≤α≤2nπ＋π2，此时 α 表示的范围 与π4≤α≤π2表示的范围一样；当 k＝2n＋1(n∈Z )时，2nπ＋π＋π4 ≤α≤2nπ＋π＋π2，此时 α 表示的范围与π＋π4≤α≤π＋π2表示的范 围一样，故选 C . 答案：C
4．设集合 M＝x|x＝k2·180°＋45°，k∈Z，N＝x|x＝k4·180°＋45°，k∈Z，
第一节 任意角和弧度制及任意角的三角函数-高考状元之路
第一节 任意角和弧度制及任意角的三角函数复习备考资讯考纲点击（一）基本初等函数Ⅱ（三角函数）1．任意角的概念、弧度制(1)了解任意角的概念和弧制度的概念．(2)能进行弧度与角度的互化．2．三角函数(1)理解任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义．(2)能利用单位圆中的三角函数线推导出απαπ±±,2的正弦、余弦、正切的诱导公式，能画出===y x y x y ,co s ,sin x tan 的图像，了解三角函数的周期性．(3)理解正弦函数、余弦函数在[O ，2羽上的性质（如单调性、最大值和最小值、图像与z 轴交点等），理解正切函数在)2.2(ππ-内的单调性． (4)理解同角三角函数的基本关系式： .tan cos sin ,1cos sin 22x x x x x ==+ (5)了解函数)sin(ϕω+=x A y 的物理意义；能画出函数y )sin(ϕω+=x A 的图像；了解参数ϕω,,A 对函数图像变化的影响．(6)会用三角函数解决一些简单实际问题，了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型．（二）三角恒等变换1．和与差的三角函数公式(1)会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式．(2)会用两角差的余弦公式推导出两角差的正弦、正切公式．(3)会用两角差的余弦公式推导出两角和的正弦、余弦、正切公式，推导二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系．2．简单的三角恒等变换能运用上述公式进行简单的恒等变换（包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但对这三组公式不要求记忆）．（三）解三角形1．正弦定理和余弦定理掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度盘问题2．应用能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题，◎考情分析………-1．三角函数的定义及应用、运用同角三角函数关系式对三角式进行化简与求值是高考热点，主要以选择题、填空题的形式考查．2．三角函数的值域、最大（小）值、单调性、奇偶性、周期性以及三角函数图像的对称性是高考热点，主要以选择题、填空题的形式考查．3．结合三角恒等变换，考查)4sin(+=x A y ω的性质及简单应用是解答题中三角函数考查的热点．而其图像时平移和伸缩变换常在客观题中考查．4．利用两角和与差的正弦、余弦、正切公式进行三角函数式的化简求值是高考常考的内容．公式逆用、变形用（尤其是余弦二倍角的变形用）是高考热点．在选择题、填空题、解答题中都可以考查．5．利用正、余弦定理求三角形中的边、角及其面积是高考考查的热点．常与三角恒等变换相结合，综合考查边角互化，三角形形状的判断等．在平面解析几何、立体几何中常作为工具求角和两点间距离．6．应用正弦定理、斜弦定理时解决实际问题的能力及测量问题的考查是高考的热点，在选择、填空、解 答题中即可能考查，属中档题，预习设计 基础备考知识梳理1．角的概念的推广(1)按旋转方向不同分为(2)按终边位置不同分为 和终边落在坐标轴上的角．2．终边相同的角终边与角α相同的角可写成3．弧度制(1)1弧度的角：把长度等于 长的弧所对的圆心角叫做l 弧度的角．(2)规定：正角的弧度数为 ，负角的弧度数为 ，零角的弧度数为 ︱α︱=L 是以角α作为圆心角时所对圆弧的长，r 为半径．(3)用“弧度”做单位米度量角的制度叫做弧度制，比值rl 与所取的r 的大小 ，仅与 有关．(4)弧度与角度的换算：= 360 弧度；= 180 弧度．(5)弧长公式：=l ，扇形面积公式：=扇形S 4．任意角的三角函数(1)任意角的三角函数定义：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x ，y)，那么角α的正弦、余弦、正切分别是=αsin =αcos . =αtan , 它们都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数．(2)三角函数在各象限内的符号口诀是：“一全正、二正弦、三正切、四余弦”．5．三角函数线设角α的顶点在坐标原点，始边与x 轴正半轴重合，终边与单位圆相交于点P ，过P 作PM 垂直x 轴于点M ．由三角函数的定义知，点P 的坐标为),sin ,(cos αα即,(cos αP ),sin α其中=αcos=αsin , 单位圆与x 轴的正半轴交于点A ，单位圆在A 点的切线与α的终边或其反向延长线相交于点T ，则=αtan 我们把有向线段OM 、MP 、AT 叫做α的典题热身1．若),(45180z k k ∈+⋅= α则α在 ( )A ．第一或第三象限B ．第一或第二象限C ．第二或第四象限D ．第三或第四象限2．已知角α的终边经过点（3，-1），则角α的最小正值是 ( )32.πA 611.πB 65.πc 43.πD3．已知2弧度的圆心角所对的弦长为2，那么这个圆心角所对的弧长为 ( 12.A 2sin .B 1sin 2.c 1sin 2.D4．若,2tan =α则ααααcos sin cos 3sin +-的值是 （ ） 31.-A 35.-B 31.c 35.D 5．点P 从点(O ，1)沿单位圆122=+y x 顺时针第一次运动到点)22,22(-时，转过的角是 弧度．课堂设计 方法备考题型一 象限角、终边相同角的表示【例1】(1)已知角α是第一象限角，确定2,2αa 的终边所在的位置．(2)写出终边在直线x y 3=上的角的集合题型二 弧长与扇形面积【例2】已知一扇形的中心角是α，所在圆的半径是R ．(1)若,10,60cm R o ==α求扇形的弧长及该弧所在的弓形面积；(2)若扇形的周长是一定值c(c>0)，当a 为多少弧度时，该扇形有最大面积，题型三 三角函数的定义【例3】已知角α的终边在直线3x+4y=0上，求sin α，COS α，tan α的值．题型四 三角函数线及其应用【例4】在单位圆中画出适合下列条件的角α终边的范围，并由此写出角α的集合，;23sin )1(≥α ⋅-≤21cos )2(α技法巧点………．1．常见的终边相同的角的表示2．三角函数定义的拓展已知角α终边上一点P(x ，y)，求α的三角函数值时，可先求出该点到原点的距离r ，再利用下式求解：==ααcos ,sin r y ,n ta ,xy r x =α 这也是可看作三角函数的定义 失误防范 1．注意易混概念的区别：第一象限角、锐角、小于900的角是概念不同的三类角．第一类是象限角，第二、第三类是区间角．2．角度制与弧度制可利用rad π=180进行互化，在同一个式子中，采用的度量制度必须一致，不可混用．3．注意熟记00～3600间特殊角的弧度表示．随堂反馈1．已知α为第三象限的角，则2α所在的象限是 ( ) A ．第一或第二象限 B ．第二或第三象限 C ．第一或第三象限 D ．第二或第四象限2．(2011．泰安模拟)已知扇形的半径为12 cm ，弧长为18cm ，则扇形圆心角的弧度数是 ( )3．（2011．山东实验中学诊断）已知点P( tana ，COSa)在第三象限，则角α的终边在 ( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限32.A 23.B π32.c π23.D4．(2011．淄博模拟)与6100角终边相同的角可表示为( )z k k A ∈+⋅,230360. z k k B ∈+⋅,250360.z k k C ∈+⋅,70360. z k k D o ∈+⋅,270360.5．满足23sin 21<≤-θ的θ的取值范围是 高效作业 技能备考知识方法加技能·高考路上任我行 对应学生书P64一、选择题1．若点P 在角π32的终边上，且,2||=OP 则点P 的坐标为（ ） )3,1.(A )1,3.(-B )3,1.(--c )3,1.(-D2．若角α的终边与角β的终边关于原点对称，则 ( )βα=.A βα+= 180.B z k k a C ∈+⋅=⋅,360β z k k D ∈++⋅=,180360.βα3．(2011．秦皇岛模拟)已知α为第一象限角，则2α所在的象限是 ( ) A ．第一或第二象限 B ．第二或第三象限 C ．第一或第三象限 D ．第二或第四象限4．若α为第三象限角，则2cos |2cos |2sin |2sin|ααα+=a y 的值为( ) 0.A 2.B 2.-c 2.D 或2-5．(2011．大连模拟)点P 从(1，O)出发，沿单位圆122=+y x 顺时针方向运动32π弧长到达Q 点，则Q 的坐标为( ) )23,21.(-A )21,23.(--B )23,21.(--C )21,23(.-⋅D6．(2011．海口模拟)已知点)tan ,(sin αααs p ∞-在第一象限，则在[O ，2兀]内α的取值范围是( ))2,4(ππ⋅A )45,(ππ⋅B )45,43(ππ⋅c )45,()2,4(ππππ ⋅D二、填空题7．（2011．南昌模拟）已知点P( tan α，COS α)在第三象限，则角α的终边在第 象限．8．（2011．江西高考）已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x 轴的正半轴，若P(4，y)是角θ终边上一点，且,552sin -=θ则=y9．若角α的终边落在直线x y -=上，则+-ααsin 1sin ααcos cos 1-的值等于三、解答题10．设α为第四象限角，其终边上的一个点是)5,(-x P 且,42cos x =α求αsin 和.tan α11．已知扇形OAB 的圆心角α为,120 半径长为6， (1)求B A 的弧长；(2)求弓形OAB 的面积．12.已知A 、B 是单位圆O 的动点，且A 、B 分别在第一、二象限．C 是圆O 与轴正半轴的交点，△AOB 为正三角形．记⋅=∠αAOC(1)若A 点的坐标为),54,53(求αααα2cos cos 2sin sin 22++的值； (2)求2||BC 的取值范围．。
2011届高考数学二轮复习课件4.1 任意角和弧度制及任意角的三角函数
即 P(cos , sin ) ,其中cos = OM ,sin MP , 单位圆与x轴的正半轴交于点A,单位圆在A点
的切线与 的终边或其反向延长线相交于点 T，则 tan AT .我们把有向线段OM、 MP、AT叫做 的 余弦线 、 正弦线、 正切线 .
三角函 数线 有向线段 MP 有向线段 OM 有向线段 AT 为正弦线 为余弦线 为正切线 4.同角三角函数的基本关系 (1)平方关系： sin 2 cos 2 1 .
（3）弧度制
①1弧度的角：_______________________________ 把长度等于半径长的弧所对的圆心角 叫做1弧度的角.
②规定：正角的弧度数为正数 ,负角的弧度数为 l 负数 ，零角的弧度数为 零 ,| | r ,l是以角
作为圆心角时所对圆弧的长，r为半径. ③用“弧度”做单位来度量角的制度叫做弧度制.比 值
5.已知 为第四象限角，且 cos ,
1 求1 tan 的值. 2 tan
2
1 2
解
∵ 为第四象限角，且 cos ,
1 2
1 3 sin 1 cos2 1 ( ) 2 , 2 2 sin tan 3, cos 1 1 2 1 tan 1 ( 3 ) 2 tan ( 3 ) 2
3 3
题型四
同角三角函数的基本关系式
【例4】 （12分）已知 是三角形的内角，且 sin
（1）求tan 的值； （2） 把
1 用tan 表示出来，并求其值. 2 2 cos sin 1 思维启迪 （1）由 sin cos 及 sin 2 cos 2 1, 5
2011年高考试题分类汇编(三角函数)
2011年高考试题分类汇编（三角函数）考点1 任意角的三角函数考法1 三角函数的定义1.（2011·课标全国卷·文科）已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线x y 2=上，则θ2cos =A.54-B.53-C.53D.542.（2011·江西卷·文科）已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x 轴的正半轴，若()4,p y 是角θ终边上一点，且sin θ=，则tan θ= . 3.（2011·大纲全国卷·文科）已知3(,)2παπ∈，tan 2α=，则cos α= . 4.（2011·重庆卷·文科）若3cos 5α=-，且3(,)2παπ∈，则tan α= .考法2 三角函数的图像1.（2011·大纲全国卷·理科）设函数()cos ,0f x x ωω=>（），将)(x f y =的图像向右平移3π个单位长度后，所得的图像与原图像重合，则ω的最小值等于 A.31B.3C.6D.9 2.（2011·课标全国卷·理科）函数11y x =-的图像与函数2sin y x π=（2x -≤4≤）的图像所有交点的横坐标之和等于A.2B. 4C. 6D.8 3.（2011·陕西卷·理科）函数x x x f cos )(-=，)(x f 在[)0+∞，内 A.没有零点 B.有且仅有一个零点 C.有且仅有两个零点 D.有无穷多个零点 考法3 三角函数的性质1.（2011·湖北卷·理科）已知函数R x x x x f ∈-=,cos sin 3)(，若1)(≥x f ， 则x 的取值范围为A.{,}3x k x k k Z ππππ+≤≤+∈B. {22,}3x k x k k Z ππππ+≤≤+∈C.5{,}66x k x k k Z ππππ+≤≤+∈ D. 5{22,}66x k x k k Z ππππ+≤≤+∈ 2.（2011·课标全国卷·文科）设函数)42cos()42sin()(ππ+++=x x x f ，则A.()y f x =在(0,)2π单调递增，其图像关于直线4π=x 对称 B.()y f x =在(0,)2π单调递增，其图像关于直线2π=x 对称 C.()y f x =在(0,)2π单调递减，其图像关于直线4π=x 对称 D.()y f x =在(0,)2π单调递减，其图像关于直线2π=x 对称3.（2011·湖北卷·理科）若函数()sin f x x ω= (0ω>)在区间[0,]3π上单调递增，在区间[,]32ππ上单调递减，则ω=A.23B.32 C.2 D.3 4.（2011·课标全国卷·理科）设函数()sin()cos()f x x x ωϕωϕ=+++,0ω>,2πϕ<的最小正周期为π，且)()(x f x f =-，则 A.)(x f 在(0,)2π单调递减 B.)(x f 在3(,)44ππ单调递减C.)(x f 在(0,)2π单调递增D.)(x f 在3(,)44ππ单调递增5.（2011·天津卷·文科）已知函数()2sin()f x x ωϕ=+，x R ∈，0ω>，πϕπ-<≤.若()f x 取得最小正周期为6π，且当2x π=时，()f x 取得最大值，则A.()f x 在区间[2,0]π-上是增函数 B ．()f x 在区间[3,]ππ--上是增函数 C.()f x 在区间[3,5]ππ上是减函数 D ．()f x 在区间[4,6]ππ上是减函数 6.（2011·福建卷·理科）对于函数()sin f x a x bx c =++ (其中，,,a b R c Z ∈∈),选取,,a b c 的一组值计算(1)f 和(1)f -，所得出的正确结果一定不可能是 A.4和6B.3和1C.2和4D.1和27.（2011·湖南卷·理科）由直线,,033x x y ππ=-==与曲线cos y x =所围成的封闭图形的面积为A.128.（2011·重庆卷·文科）设函数()sin cos )cos f x x x x x π=+，x R ∈.（Ⅰ）求()f x 的最小正周期；（Ⅱ）若函数()y f x =的图像按(4b π= 平移后得到函数()y g x =的图像，求()y g x =在[0,]4π上的最大值.9.（2011·北京卷·文理）已知函数1)6sin(cos 4(-+=πx x x f ），（Ⅰ）求)(x f 的最小正周期； （Ⅱ）求)(x f 在区间[,]64ππ-上的最大值和最小值.考点2 三角函数的恒等变换1.（2011·全国大纲卷·理科）已知(,)2παπ∈，55sin =α,则tan 2α=___.2.（2011·重庆卷·理科）已知ααcos 21sin +=，且(0,)2πα∈，则)4s in(2cos παα-的值为______.3.（2011·山东卷·理科）若点)9,(a 在函数x y 3=的图像上，则6tan πa 的值为 A.0 B.33C.1D.3 4.（2011·福建卷·理科）若tan 3α=，则2sin 2cos aα的值等于 A.2 B.3 C.4 D.65.（2011·浙江卷·理科）若02πα<<，02πβ-<<，1cos ()23πα+=，cos ()423πβ-=，则cos ()2βα+=A.3B.3-9D.9- 6.（2011·辽宁卷·理科）设1sin()43πθ+=，则sin 2θ=A. 97- B. 91- C. 97 D. 917.（2011·福建卷·文科）若(0,)2πα∈，且21sin cos 24αα+=，则tan α的值等于A.2B. 38.（2011·上海卷·理科）函数)6cos()2sin(x x y -+=ππ的最大值为 .9.（2011·重庆卷·理科）设)2(cos )cos sin (cos )(,2x x x a x x f R a -+-=∈π，满足)0()3(f f =-π，求函数)(x f 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡2411,4ππ上的最大值和最小值 10.（2011·四川卷·理科）已知函数)43cos()47sin()(ππ-++=x x x f ，x R ∈, （Ⅰ）求()f x 的最小正周期和最大值. （Ⅱ）已知4cos()5βα-=，4cos()5βα+=-，02παβ<<≤.求证：2[()]20f β-=. 11.（2011·浙江卷·文科）已知函数()sin ()3f x A x πϕ=+，x R ∈，0A >，02πϕ<<.()y f x =的部分图像，如图所示，P 、Q低点，点P 的坐标为(1,)A .（Ⅰ）求()f x 的最小正周期及ϕ的值；（Ⅱ）若点R 的坐标为(1,0)，23PRQ π∠=，求A 的值.12. （2011·广东卷·理科）已知函数)(),631sin(2)(R x x x f ∈-=π（Ⅰ）求)45(πf 的值；（Ⅱ）设[0,]2παβ∈、,1310)23(=+παf ，56)23(=+πβf ，求cos()αβ+的值.考点3 解三角形1.（2011·课标全国卷·文科）ABC ∆中，0120B =，7AC =，5AB =，则ABC ∆的面积为 .2.（2011·四川卷·文理）在ABC ∆中，C B C B A sin sin sin sin sin 222-+≤，则A 的取值范围是A.(0,]6πB.[,)6ππC.(0,]3πD.[,)3ππ3.（2011·重庆卷·理科）若ABC ∆的内角,,A B C 所对的边,,a b c 满足060C =，且4)(22=-+c b a ，则ab 的值为A.34B.348-C. 1D. 32 4.（2011·重庆卷·文科）若ABC ∆的内角,,A B C 满足6sin 4sin 3sin A B C -=， 则cos B =B. 34 D. 11165.（2011·浙江卷·文科）在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分,,a b c .若cos a A =sin b B ，则2sin cos cos A A B +=A.12-B.12C. 1-D. 16.（2011·辽宁卷·理科）若ABC ∆的三个内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，2sin sin sin a A B b A +=，则ab= A. 32 B. 22 C. 3 D.2 7.（2011·北京卷·文理）在ABC ∆中，若5b =，4B π∠=，tan 2A =，则sin A =_____；a = ______.8.（2011·全国课标卷·文科）ABC ∆中120B = ，7AC =，5AB =，则AB C ∆的面积为 .9.（2011·全国大纲卷·文科）ABC ∆的三个内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .己知B b C a C c A a sin sin 2sin sin =-+. （Ⅰ）求B ；（Ⅱ）若75A = ，2b =，求a 与c .10.（2011·湖北卷·文理）设ABC ∆的内角A,B,C 所对的边分别为c b a ,,，已知1a =，2b =，1cos 4C =（Ⅰ）求ABC ∆的周长；（Ⅱ）求cos()A C -的值.11.（2011·山东卷·理科）ABC ∆的三个内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c 已知bac B C A -=-2cos cos 2cos ，（Ⅰ）求ACsin sin 的值；（Ⅱ）若41cos =B ，ABC ∆的周长为5，求b 的长.12.（2011·山东卷·理科）ABC ∆的三个内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c 已知bac B C A -=-2cos cos 2cos ，（Ⅰ）求ACsin sin 的值；（Ⅱ）若41cos =B ，2b =，求ABC ∆的面积S .13.（2011·天津卷·文科）在ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别为c b a ,,，已知,2.B C b =（Ⅰ）求cos A 的值；（Ⅱ）cos(2)4A π+的值．14.（2011·浙江卷·理科）ABC ∆的三个内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .已知sin sin sin A C p B +=（p R ∈）且241b ac =. （Ⅰ）当54p =，1b =时，求a ，c 的值； （Ⅱ）若角B 为锐角，求p 的取值范围.15.（2011·辽宁卷·文科）若ABC ∆的三个内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，2sin sin sin a A B b A +=， （Ⅰ）求ab（Ⅱ）若222c b =，求B .16.（2011·安徽卷·文科）在ABC ∆中，c b a ,,分别为内角,,A B C 所对的边长，a =b =12cos()0B C ++=，求边BC 上的高.17.（2011·湖南卷·文理）ABC ∆的三个内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且满足sin cos c A a C =. （Ⅰ）求角C 的大小； （Ⅱ）求)4cos(sin 3π+-B A 的最大值，并求取得最大值时角,A B 的大小.18.（2011·江西卷·理科）在ABC ∆的三个内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c , 已知sin cos C C +1sin 2C =- （Ⅰ）求sin C 的值（Ⅱ）若224()8a b a b +=+-，求边c 的值19.（2011·江西卷·文科）在ABC ∆中，A,B,C 的对边分别是c b a ,,，已知C b B c A a cos cos cos 3+=.（Ⅰ）求A cos 的值； （Ⅱ）若332cos cos ,1=+=C B a ，求边c 的值． 20.（2011·全国大纲卷·理科）ABC ∆的三个内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .已知090A C -=，a b +=，求C .21.（2011·全国大纲卷·文科）ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为c b a ,,.己知sin csin sin sin ,a A C C b B += （Ⅰ）求B ；（Ⅱ）若075A =，2b =，求a 与c .22.在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为c b a ,,，且满足sin cos c A a C =. （Ⅰ）求角C 的大小；cos()4A B π-+的最大值，并求取得最大值时角,A B 的大小.。
高三数学任意角和弧度制和任意角的三角函数试题答案及解析
高三数学任意角和弧度制和任意角的三角函数试题答案及解析1.已知角为第二象限角，且，则的值为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由，得：又因为：所以，解得：又因为角为第二象限角，所以，所以，故选B．【考点】同角三角函数基本关系及诱导公式．2.点P从(1,0)出发，沿单位圆逆时针方向运动弧长到达Q点，则Q点的坐标为________．【答案】【解析】由三角函数定义可知Q点的坐标(x，y)满足x＝cos＝－，y＝sin＝.3.如图所示，在平面直角坐标系xOy中，角α的终边与单位圆交于点A，点A的纵坐标为，则cos α＝________.【答案】－＝，且A点在第二象限，又因为圆O为单位圆，所以A点横坐标【解析】因为A点纵坐标yAx＝－，由三角函数的定义可得cos α＝－.A4.已知角α终边经过点P(x，－)(x≠0)，且cosα＝x，求sinα、tanα的值．【答案】sinα＝－，tanα＝【解析】解：∵P(x，－)(x≠0)，∴P到原点的距离r＝.又cosα＝x，∴cosα＝＝x，∵x≠0，∴x＝±，∴r＝2.当x＝时，P点坐标为(，－)，由三角函数定义，有sinα＝－，tanα＝－.当x＝－时，P点坐标为(－，－)，∴sinα＝－，tanα＝.5.如果点P(sinθ·cosθ，2cosθ)位于第三象限，试判断角θ所在的象限；【答案】第二象限角【解析】因为点P(sinθ·cosθ，2cosθ)位于第三象限，所以sinθ·cosθ<0，2cosθ<0，即所以θ为第二象限角．6.若θ是第二象限角，试判断sin(cosθ)的符号．【答案】负号【解析】∵2kπ＋<θ<2kπ＋π(k∈Z)，∴－1<cosθ<0，∴sin(cosθ)<0.∴sin(cosθ)的符号是负号．7.已知2rad的圆心角所对的弦长为2，求这个圆心角所对的弧长．【答案】【解析】如图，∠AOB＝2rad，过O点作OC⊥AB于C，并延长OC交于D.∠AOD＝∠BOD＝1rad，且AC ＝AB＝1.在Rt△AOC中，AO＝，从而弧AB的长为l＝|α|·r＝8.已知角α(0≤α≤2π)的终边过点P，则α＝__________．【答案】【解析】将点P的坐标化简得，它是第四象限的点，r＝|OP|＝1，cosα＝＝.又0≤α≤2π，所以α＝.9.若角α的终边与直线y＝3x重合且sinα＜0，又P(m，n)是角α终边上一点，且|OP|＝，则m－n＝________．【答案】2【解析】依题意知解得m＝1，n＝3或m＝－1，n＝－3.又sinα＜0，∴α的终边在第三象限，∴n＜0，∴m＝－1，n＝－3，∴m－n＝2.10.等于()A．sin2-cos2B．cos2-sin2C．±(sin2-cos2)D．sin2+cos2【答案】A【解析】原式===|sin2-cos2|,∵sin2>0,cos2<0,∴原式=sin2-cos2.11.已知点P(sinπ,cosπ)落在角θ的终边上,且θ∈[0,2π),则θ的值为()A．B．C．D．【答案】D【解析】点P(sinπ,cosπ),即为P(,-),它在第四象限的角平分线上,且θ∈[0,2π),故选D.12.在单位圆中,一条弦AB的长度为,则弦AB所对的圆心角α是rad.【答案】π【解析】由已知R=1,∴sin==,∴=,∴α=π.13.已知角x的终边上一点坐标为，则角x的最小正值为( )A．B．C．D．【答案】C【解析】因为角终边上一点的坐标为，在第四象限，所以角是第四象限角，又，所以角的最小正值为.【考点】特殊角的三角函数值14.若角的终边上有一点，则的值是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】角600°的终边与角-120°的终边相同，且角-120°的终边在第三象限，，所以.故选B.或解：因为角角600°的终边在第三象限，第三象限角终边上的点任一点，，由选项可知，只有B满足.故选B.【考点】1.终边相同的角的运用；2.三角函数的定义的运用.15.如图，在平面直角坐标系中，以x轴为始边作两个锐角、，它们的终边分别与单位圆交于A、B两点．已知点A的横坐标为；B点的纵坐标为．则 .【答案】【解析】单位圆的半径是1，根据勾股定理以及点A的横坐标为，B点的纵坐标为，可知点A的纵坐标为，点B的横坐标为，所以，，，，因为，是锐角，所以，所以.【考点】1.任意角的三角函数；2.三角函数的和角公式16.运用物理中矢量运算及向量坐标表示与运算，我们知道：两点等分单位圆时，有相应正确关系为，三等分单位圆时，有相应正确关系为，由此推出：四等分单位圆时的相应正确关系为 .【答案】【解析】用两点等分单位圆时，关系为，两个角的正弦值之和为0，且第一个角为，第二个角与第一个角的差为：，用三点等分单位圆时，关系为，此时三个角的正弦值之和为0，且第一个角为，第二个角与第一个角的差与第三个角与第二个角的差相等，均为有，依此类推，可得当四点等分单位圆时，为四个角正弦值之和为0，且第一个角为，第二个角为，第三个角，第四个角为，即其关系为.【考点】三角函数的定义与三角恒等式.17.（1）设扇形的周长是定值为，中心角．求证：当时该扇形面积最大；（2）设．求证：．【答案】（1）详见解析；（2）详见解析.【解析】（1）由扇形周长为定值可得半径与弧长关系(定值)，而扇形面积，一般地求二元函数最值可消元化为一元函数(见下面详解)，也可考虑利用基本不等式，求出最值，并判断等号成立条件，从而得解；（2）这是一个双变元(和)的函数求最值问题，由于这两个变元没有制约关系，所以可先将其中一个看成主元，另一个看成参数求出最值(含有另一变元)，再求解这一变元下的最值，用配方法或二次函数图象法. 试题解析：（1）证明：设弧长为，半径为，则， 2分所以，当时， 5分此时，而所以当时该扇形面积最大 7分（2）证明：9分∵，∴， 11分∴当时， 14分又，所以，当时取等号，即． 16分法二：9分∵，, 11分∴当时，， 14分又∵，∴当时取等号即． 16分【考点】扇形的周长和面积、三角函数、二次函数.18.若，则A．B．C．D．【答案】A【解析】因为，所以==，=，故选A.【考点】本题主要考查特殊角的三角函数值，诱导公式、和差倍半公式的应用。
任意角和弧度制及任意角的三角函数
[归纳领悟] 1．对与角α终边相同的一般形式α＋k· 360°的理解． (1)k∈Z；(2)α是任意角；
(3)终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相
同．终边相同的角有无穷多个，它们相差360°的整数
倍．
α 2．已知 α 的终边位置，确定 kα，k (k∈N+)的终边的方法： 先用终边相同角的形式表示出角 α 的范围，再写出 kα α α 或k 的范围， 然后就 k 的可能取值讨论 kα 或k 的终边所 在位置.
解：所有与角α有相同终边的角可以表示为：β＝
k· 360°＋45°(k∈Z)；
令k分别取－1,0，可得在(－360°，360°)内的角β
有－315°及45°.
4．(1)写出终边落在直线 y＝ 3x 上的角的集合； (2)若角 θ 与 168° 角的终边相同，求在[0° ，360° )内终边 θ 与 角的终边相同的角． 3
π 解：(1)在(0，π)内终边在直线 y＝ 3x 上的角是 ， 3 π ∴终边在直线 y＝ 3x 上的角的集合为{α|α＝ ＋kπ，k∈Z}． 3 (2)∵θ＝168° ＋ k· 360° (k∈Z)， θ ∴ ＝56° ＋k· 120° (k∈Z)，∵0° ≤56° ＋k· 120° <360° ， 3 θ ∴k＝0,1,2 时， ∈[0° ，360° )． 3 θ 故在[0° ，360° )内终边与 角的终边相同的角是 56° ，176° ，296° . 3
三、任意角的三角函数和符号
四、三角函数线
1．若Α＝K· 180°＋45°(K∈Z)，则Α在 A．第一或第三象限 C．第二或第四象限 B．第一或第二象限 D．第三或第四象限
( AΒιβλιοθήκη 解析：令k＝0,1，知α在一、三象限．
高考数学 专题12 任意角和弧度制及任意角的三角函数热点题型和提分秘籍 理-人教版高三全册数学试题
专题12 任意角和弧度制及任意角的三角函数1．了解任意角的概念2．了解弧度制的概念，能进行弧度与角度的互化 3．理解任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)的定义热点题型一 象限角与终边相同的角例1、 (1)终边在直线y ＝3x 上，且在[－2π，2π)内的角α的集合为________。
(2)如果α是第三象限的角，试确定－α，2α的终边所在位置。
【答案】（1）⎩⎨⎧⎭⎬⎫－53π，－23π，π3，43π（2）见解析解析：(1)如图，在坐标系中画出直线y ＝3x ，可以发现它与x 轴的夹角是π3，在[0，2π)内，终边在直线y ＝3x 上的角有两个：π3，43π；在[－2π，0)内满足条件的角有两个：－23π，－53π，故满足条件的角α构成的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫－53π，－23π，π3，43π。
(2)由α是第三象限的角得π＋2k π＜α＜3π2＋2k π(k ∈Z )，所以－3π2－2k π＜－α＜－π－2k π(k ∈Z )，即π2＋2k π＜－α＜π＋2k π (k ∈Z )， 所以角－α的终边在第二象限。
由π＋2k π＜α＜3π2＋2k π(k ∈Z )，得2π＋4k π＜2α＜3π＋4k π(k ∈Z )。
所以角2α的终边在第一、二象限及y 轴的非负半轴。
【提分秘籍】1．终边在某直线上角的求法步骤(1)数形结合，在平面直角坐标系中画出该直线。
(2)按逆时针方向写出[0，2π)内的角。
(3)再由终边相同角的表示方法写出满足条件角的集合。
(4)求并集化简集合。
2．确定kα，αk(k ∈N *)的终边位置的方法先用终边相同角的形式表示出角α的X 围，再写出kα或αk的X 围，然后根据k 的可能取值讨论确定kα或αk的终边所在位置。
【举一反三】设角α是第二象限的角，且⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos α2＝－cos α2，则角α2属于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限热点题型二 扇形的弧长及面积公式例2、 (1)已知扇形周长为10，面积是4，求扇形的圆心角。
2011创新方案高考数学复习精编人教新课标--31任意角和弧度制及任意角的三角函数
第三章 第一节 任意角和弧度制及任意角的三角函数题组一角的集合表示1•若角的终边与角的终边关于原点对称，则 A . a= 3B . a= 180 °+ 3C . a= k 360 °+ 3, k € ZD . a= k 360 °+ 180 °+ 3 k € Z则 a= k 360°+ 180°+ 3 答案：D2 .若角3的终边与60。
角的终边相同，在0。
〜360讷，终边与角 彳的终边相同的角为解析：•/ 3= k 360° + 60° k € Z , ••• 3= k 120° + 20° k € 乙又3 [0,冗)，0°< k 120°3 3 + 20°< 360° k € Z ,•- -k < ¥，••• k = 0,1,2.此时得£分别为20° 140° 260° .故在[0 , n 内，与角彳终边 相同的角为20° 140° 260°. 答案：20° 140° 260°题组二弧长、扇形面积公式3.若1弧度的圆心角所对的弦长等于2,则这圆心角所对的弧长等于解析：设圆的半径为r.由题意知r sin*= 1,1• r = , ••弧长 I = arsin?答案：C4.如图，设点 A 是单位圆上的一定点，动点P 从A 出发在圆上按逆时针方向转一周，点P 所旋转过的弧AP 的 长为I ，弦AP 的长为d ,则函数A . sin*nB.nc./ 1si n?D . 2sig解析：借助图形可知，若角a 与3的终边关于原点对称,1 1. sin^解析：如图取 AP 的中点为D ，设/ DOA= 0，贝U d=2sin 0 , • d=2s in —2 答案：C5 •已知一扇形的中心角是a 所在圆的半径是R.(1)若 a 60 ° R = 10 cm ，求扇形的弧所在的弓形面积;(2)若扇形的周长是一定值 C (C > 0)，当a 为多少弧度时，该扇形有最大面积?解：(1)设弧长为I ，弓形面积为S 弓, n10"一60一3, R 一 10, •••l -丁蚀),S 弓一 S 扇—S A -2X;0nX 10 — -X 102x sin602 3 2一 50(3—_23)(cm 2)-⑵法一：•••扇形周长 c = 2R + l = 2R +aR • R —一^4 + 4 a+ a< —24 16.4 + a+_aa - 2( a -一 2舍去)时，扇形面积有最大值代.法二：由已知2R + l = c ,c — l• R 一丁(l v c),1 C — l • S — 2Rl 一 2匸•一 ；(cl — l 2)2, d = f(l)的图象大致为rffd '22zv0 dA 2 k I Ao dA 2?r IB 22OJI 2n 1() jr 2-Jt4• ••当且仅当a — 4,即c uC1 22 心R=「=2, c-22题组三三角函数的定义6•点P从（1,0）出发，沿单位圆x2+ y2= 1逆时针方向运动弓孤长到达Q点，则Q的坐标3解析：根据题意得Q（cos|n, sin|n,即Q（—2，¥）.答案：A7 .在（0,2 n内使sinx> cosx成立的x取值范围是答案：Ci r2-& （2010银川模拟）若角a的终边落在直线y=—x上，则—sin a 2- + * 1 —迦°的值等71—sin a cos a于（）A . 0 B . 2 C. —2 D. 2tan a解析：因为角a的终边落在直线y=—x上，a= k n+ |j n, k€ Z , sin a, COS a的符号相即角a的终边在第二象限时，sin a> 0, COS aV 0 ；当a= 2k n+ "4，即角a的终边在第四象限时，sin aV 0, Cos a> 0.1 C2 C2 一4(1—2)+16,•••当扇形圆心角为2弧度时，扇形面积有最大值2C_2二当1 =2时，S max=畚此时B.（肯，c. (—^，D.(—，2）a= 2 k nF I n解析：用单位圆内正弦线和余弦线来解.sin a , " 1—cos asin a , |sin%|所以有 I = ，+ -------- _■ 1 — sin a答案：A9. (1)设 90°v av 180 ° ,角 a 的终边上一点为 P(x , 5),且 cos a=^4^x ,求 sin a 与 tan a的值;(2)已知角 B 的终边上有一点 P(x ,— 1)(XM 0),且 tan B=—x ,求 sin 0, cos a 解：(1) T r = ^x 2^^, •- cos a=,x 2 + 5x -: ---- 解得 x = 0 或 x = + 3.x 2 + 5••• tan =—-,x当 x = 1 时，sin 0=—子,cos 0= j; 当 x =— 1 时，sin =—今,cos 0= —于.题组四三角函数值的符号10.若 1 +sinx • sin 2x + cosx • cos 2x = 0,贝U x 不可能是 （）A .任何象限的角B .第一、二、三象限的角C .第一、二、四象限的角D .第一、三、四象限的角解析：由已知得 1 + sinx -|sinx|+ cosx |cosx|= 0,cos a |COSa| ' COS a 从而•/ 90° v a 180,--x v 0,因此 x = — ■-.j 3故 r = 2 2, sin 510a='=2p2（2）T B 的终边过点（x ,— 1), 2又 tan 0=— x , • x = 1 ,/• x = ±1.•r故x 不可能是第一、二、四象限的角. COSX W 0,答案：C11. 若B 为第一象限角，则能确定为正值的是0 0 0A . sinqB . cos?C . tanqD . cos2 0n解析：•/ 2k nV 0< 2k n+ ?(k € Z),0 n•- k n< q < k n+ 4(k € Z),4k n< 2 0< 4k T H-仆€ Z).可知0是第一、第三象限角，sin 0cos 0都可能取负值，只有 tan 0能确定为正值.2 0是第一、第二象限角， cos2 0可能取负值. 答案：C12 .设0< 0< 2n,如果sin 0< 0且cos2 0< 0,贝U 0的取值范围是3 n3 nA . n< B.y < 0< 2n解析：•/ 0< 0< 2 n 且 sin 0< 0, • n< 0< 2 n 又由 cos2 0< 0 得 2k n+ 2< 2 0< 2k nH 竽， 即 k n+ 于< 0< k n+ —^(k € Z),4 4 \ 小T n< 0< 2n, • k = 1,即0的取值范围是5n < 0<吁.44答案：Dsinx w 0, C n< 0< 4 45 n … 7 n D.?<0< 7。
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- 1 - 考点12 任意角和弧度制及任意角的三角函数、
三角函数的诱导公式
一、选择题
1.（2011·新课标全国高考理科·Ｔ5）与（2011·新课标全国高考文科·T7）相同
已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线2y x =上，则cos2θ=（ ） (A)45- (B)35- (C) 35 (D)45 【思路点拨】角θ终边在2y x =上，可得tan 2θ=，再结合22sin cos 1θθ+=可求得2cos θ的值，从而
得到cos2θ的值.
【精讲精析】选 B. 由题意知，tan 2θ=，即sin 2cos θθ=，将其代入22
sin cos 1θθ+=中可得21cos 5θ=，故23cos 22cos 1.5
θθ=-=- 二、填空题
2.（2011·江西高考文科·Ｔ14）已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x 轴的正半轴，若()4,P y 是角θ终
边上一点，且sin θ=y=_____.
【思路点拨】首先根据条件求出OP ，再根据任意角三角函数定义求出sin θ，最后解y 的值.
【精讲精析】
OP 5y 8,sin 0P(4y 8.
==-=±θ=<θθ∴=- 解得又及，y)是角终边上一点，可知为第四象限角， 【答案】-8。