恩阳区高级中学2018-2019学年高二上学期第一次月考试卷数学

恩阳区高级中学2018-2019学年高二上学期第一次月考试卷数学 班级__________ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1． 函数()log 1x
a f x a x =-有两个不同的零点，则实数的取值范围是（ ）
A ．()1,10
B ．()1,+∞
C ．()0,1
D ．()10,+∞ 2． 在定义域内既是奇函数又是减函数的是（ ）
A ．y=
B ．y=﹣x+
C ．y=﹣x|x|
D ．y=
3． 已知命题“p ：∃x ＞0，lnx ＜x ”，则￢p 为（ ）
A ．∃x ≤0，lnx ≥x
B ．∀x ＞0，lnx ≥x
C ．∃x ≤0，lnx ＜x
D ．∀x ＞0，lnx ＜x
4． 从5名男生、1名女生中，随机抽取3人，检查他们的英语口语水平，在整个抽样过程中，若这名女生第一次、第二次均未被抽到，那么她第三次被抽到的概率是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
5． 集合A={x|﹣1≤x ≤2}，B={x|x ＜1}，则A ∩B=（ ）
A ．{x|x ＜1}
B ．{x|﹣1≤x ≤2}
C ．{x|﹣1≤x ≤1}
D ．{x|﹣1≤x ＜1}
6． 下列说法正确的是（ ） A ．类比推理是由特殊到一般的推理 B ．演绎推理是特殊到一般的推理 C ．归纳推理是个别到一般的推理 D ．合情推理可以作为证明的步骤
7． △ABC 中，A （﹣5，0），B （5，0），点C 在双曲线上，则
=（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．±
8． 某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是，则正视图中的x 的值是（ ）
A．2 B．C．D．3
9．（）0﹣（1﹣0.5﹣2）÷的值为（）
A．﹣B．C．D．
10．等比数列{a n}满足a1=3，a1+a3+a5=21，则a2a6=（）
A．6 B．9 C．36 D．72
11．若动点A，B分别在直线l1：x+y﹣7=0和l2：x+y﹣5=0上移动，则AB的中点M到原点的距离的最小值为（）
A．3B．2C．3D．4
12．函数f（x）=x2﹣x﹣2，x∈[﹣5，5]，在定义域内任取一点x0，使f（x0）≤0的概率是（）A．B．C．D．
二、填空题
13．为了近似估计π的值，用计算机分别产生90个在[﹣1，1]的均匀随机数x1，x2，…，x90和y1，y2，…，y90，在90组数对（x i，y i）（1≤i≤90，i∈N*）中，
经统计有25组数对满足，则以此估计的π值为．
14．在极坐标系中，直线l的方程为ρcosθ=5，则点（4，）到直线l的距离为．
15．如图，E，F分别为正方形ABCD的边BC，CD的中点，沿图中虚线将边长为2的正方形折起来，围成一个三棱锥，则此三棱锥的体积是．
16．设f（x）是定义在R上的周期为2的函数，当x∈[﹣1，1）时，f（x）=，
则f（）=．
17．某班共30人，其中15人喜爱篮球运动，10人喜爱乒乓球运动，8人对这两项运动都不喜爱，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为．
18．已知角α终边上一点为P（﹣1，2），则值等于．
三、解答题
19．已知函数f（x）=（log2x﹣2）（log4x﹣）
（1）当x∈[2，4]时，求该函数的值域；
（2）若f（x）＞mlog2x对于x∈[4，16]恒成立，求m的取值范围．
20．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数）．再以原点为极点，以x正半轴为极轴建立极坐标系，并使得它与直角坐标系xOy有相同的长度单位．在该极坐标系中圆C的方程为ρ=4sinθ．
（1）求圆C的直角坐标方程；
（2）设圆C与直线l交于点A、B，若点M的坐标为（﹣2，1），求|MA|+|MB|的值．
21．在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为
ρ（sinθ+cosθ）=1，曲线C2的参数方程为（θ为参数）．
（Ⅰ）求曲线C1的直角坐标方程与曲线C2的普通方程；
（Ⅱ）试判断曲线C1与C2是否存在两个交点？若存在，求出两交点间的距离；若不存在，说明理由．
22．某商场销售某种品牌的空调器，每周周初购进一定数量的空调器，商场每销售一台空调器可获利500元，若供大于求，则每台多余的空调器需交保管费100元；若供不应求，则可从其他商店调剂供应，此时每台空调器仅获利润200元．
（Ⅰ）若该商场周初购进20台空调器，求当周的利润（单位：元）关于当周需求量n（单位：台，n∈N）的函数解析式f（n）；
（Ⅱ）该商场记录了去年夏天（共10周）空调器需求量n（单位：台），整理得表：
（单位：元），求X 的分布列及数学期望．
23．【盐城中学2018届高三上第一次阶段性考试】已知函数f （x ）=（2﹣a ）（x ﹣1）﹣2lnx ，g （x ）=1x xe -．（a ∈R ，e 为自然对数的底数）
（Ⅰ）当a=1时，求f （x ）的单调区间； （Ⅱ）若函数f （x ）在10,
2⎛
⎫
⎪⎝⎭
上无零点，求a 的最小值； （Ⅲ）若对任意给定的x 0∈（0，e]，在（0，e]上总存在两个不同的x i （i=1，2），使得f （x i ）=g （x 0）成立，求a 的取值范围．
24．命题p ：关于x 的不等式x 2+2ax+4＞0对一切x ∈R 恒成立，q ：函数f （x ）=（3﹣2a ）x 是增函数．若p ∨q 为真，p ∧q 为假．求实数a 的取值范围．
恩阳区高级中学2018-2019学年高二上学期第一次月考试卷数学（参考答案）
一、选择题
1． 【答案】B 【解析】
试题分析：函数()f x 有两个零点等价于1x
y a ⎛⎫
= ⎪⎝⎭
与log a y x =的图象有两个交点，当01a <<时同一坐标
系中做出两函数图象如图（2），由图知有一个交点，符合题意；当1a >时同一坐标系中做出两函数图象如图
（1），由图知有两个交点，不符合题意,故选B.
x
（1） （
2）
考点：1、指数函数与对数函数的图象；2、函数的零点与函数交点之间的关系.
【方法点睛】本题主要考查指数函数与对数函数的图象、函数的零点与函数交点之间的关系.属于难题.判断方程()y f x =零点个数的常用方法：①直接法：可利用判别式的正负直接判定一元二次方程根的个数；②转化法：函数()y f x =零点个数就是方程()0f x =
根的个数，结合函数的图象与性质（如单调性、奇偶性、周期性、对称性） 可确定函数的零点个数；③数形结合法：一是转化为两个函数()(),y g x y h x ==的图象的交点个数问题，画出两个函数的图象，其交点的个数就是函数零点的个数，二是转化为(),y a y g x ==的交点个数的图象的交点个数问题.本题的解答就利用了方法③. 2． 【答案】C 【解析】解：A.在定义域内没有单调性，∴该选项错误； B.
时，y=
，x=1时，y=0；
∴该函数在定义域内不是减函数，∴该选项错误；
C ．y=﹣x|x|的定义域为R ，且﹣（﹣x ）|﹣x|=x|x|=﹣（﹣x|x|）； ∴该函数为奇函数；
；
∴该函数在[0，+∞），（﹣∞，0）上都是减函数，且﹣02=02
；
∴该函数在定义域R上为减函数，∴该选项正确；
D.；
∵﹣0+1＞﹣0﹣1；
∴该函数在定义域R上不是减函数，∴该选项错误．
故选：C．
【点评】考查反比例函数的单调性，奇函数的定义及判断方法，减函数的定义，以及分段函数单调性的判断，二次函数的单调性．
3．【答案】B
【解析】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以，命题“p：∃x＞0，lnx＜x”，则￢p为∀x＞0，lnx≥x．
故选：B．
【点评】本题考查命题的否定，特称命题与全称命题的否定关系，基本知识的考查．
4．【答案】B
【解析】解：由题意知，女生第一次、第二次均未被抽到，她第三次被抽到，
这三个事件是相互独立的，
第一次不被抽到的概率为，
第二次不被抽到的概率为，
第三次被抽到的概率是，
∴女生第一次、第二次均未被抽到，那么她第三次被抽到的概率是=，
故选B．
5．【答案】D
【解析】解：A∩B={x|﹣1≤x≤2}∩{x|x＜1}={x|﹣1≤x≤2，且x＜1}={x|﹣1≤x＜1}．
故选D．
【点评】本题考查了交集，关键是理解交集的定义及会使用数轴求其公共部分．
6．【答案】C
【解析】解：因为归纳推理是由部分到整体的推理；类比推理是由特殊到特殊的推理；演绎推理是由一般到特殊的推理；合情推理的结论不一定正确，不可以作为证明的步骤，
故选C．
【点评】本题考查合情推理与演绎推理，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题．
7．【答案】D
【解析】解：△ABC中，A（﹣5，0），B（5，0），点C在双曲线上，
∴A与B为双曲线的两焦点，
根据双曲线的定义得：|AC﹣BC|=2a=8，|AB|=2c=10，
则==±=±．
故选：D．
【点评】本题考查了正弦定理的应用问题，也考查了双曲线的定义与简单性质的应用问题，是基础题目．
8．【答案】C
解析：由三视图可知：原几何体是一个四棱锥，其中底面是一个上、下、高分别为1、2、2的直角梯形，一条长为x的侧棱垂直于底面．
则体积为=，解得x=．
故选：C．
9．【答案】D
【解析】解：原式=1﹣（1﹣）÷
=1﹣（1﹣）÷
=1﹣（1﹣4）×
=1﹣（﹣3）×
=1+
=．
故选：D．
【点评】本题考查了根式与分数指数幂的运算问题，解题时应细心计算，是易错题．
10．【答案】D
【解析】解：设等比数列{a n}的公比为q，
∵a1=3，a1+a3+a5=21，∴3（1+q2+q4）=21，解得q2=2．
则a2a6=9×q6=72．
故选：D．
11．【答案】A
【解析】解：∵l1：x+y﹣7=0和l2：x+y﹣5=0是平行直线，
∴可判断：过原点且与直线垂直时，中的M到原点的距离的最小值
∵直线l1：x+y﹣7=0和l2：x+y﹣5=0，
∴两直线的距离为=，
∴AB的中点M到原点的距离的最小值为+=3，
故选：A
【点评】本题考查了两点距离公式，直线的方程，属于中档题．
12．【答案】C
【解析】解：∵f（x）≤0⇔x2﹣x﹣2≤0⇔﹣1≤x≤2，
∴f（x0）≤0⇔﹣1≤x0≤2，即x0∈[﹣1，2]，
∵在定义域内任取一点x0，
∴x0∈[﹣5，5]，
∴使f（x0）≤0的概率P==
故选C
【点评】本题考查了几何概型的意义和求法，将此类概率转化为长度、面积、体积等之比，是解决问题的关键二、填空题
13．【答案】．
【解析】设A（1，1），B（﹣1，﹣1），则直线AB过原点，且阴影面积等于直线AB与圆弧所
围成的弓形面积S1，由图知，，又，所以
【点评】本题考查了随机数的应用及弓形面积公式，属于中档题．
14．【答案】3．
【解析】解：直线l的方程为ρcosθ=5，化为x=5．
点（4，）化为．
∴点到直线l的距离d=5﹣2=3．
故答案为：3．
【点评】本题考查了极坐标化为直角坐标、点到直线的距离，属于基础题．
15．【答案】．
【解析】解：由题意图形折叠为三棱锥，底面为△EFC，高为AC，
所以三棱柱的体积：××1×1×2=，
故答案为：．
【点评】本题是基础题，考查几何体的体积的求法，注意折叠问题的处理方法，考查计算能力．
16．【答案】1．
【解析】解：∵f（x）是定义在R上的周期为2的函数，
∴=1．
故答案为：1．
【点评】本题属于容易题，是考查函数周期性的简单考查，学生在计算时只要计算正确，往往都能把握住，在高考中，属于“送分题”．
17．【答案】12．
【解析】解：设两者都喜欢的人数为x人，则只喜爱篮球的有（15﹣x）人，只喜爱乒乓球的有（10﹣x）人，由此可得（15﹣x）+（10﹣x）+x+8=30，解得x=3，
所以15﹣x=12，
即所求人数为12人，
故答案为：12．
18．【答案】．
【解析】解：角α终边上一点为P（﹣1，2），
所以tanα=﹣2．
===﹣．
故答案为：﹣．
【点评】本题考查二倍角的正切函数，三角函数的定义的应用，考查计算能力．
三、解答题
19．【答案】
【解析】解：（1）f（x）=（log2x﹣2）（log4x﹣）
=（log2x）2﹣log2x+1，2≤x≤4
令t=log2x，则y=t2﹣t+1=（t﹣）2﹣，
∵2≤x≤4，
∴1≤t≤2．
当t=时，y min=﹣，当t=1，或t=2时，y max=0．
∴函数的值域是[﹣，0]．
（2）令t=log2x，得t2﹣t+1＞mt对于2≤t≤4恒成立．
∴m＜t+﹣对于t∈[2，4]恒成立，
设g（t）=t+﹣，t∈[2，4]，
∴g（t）=t+﹣=（t+）﹣，
∵g（t）=t+﹣在[2，4]上为增函数，
∴当t=2时，g（t）min=g（2）=0，
∴m＜0．
20．【答案】
【解析】解：（1）方程ρ=4sinθ的两边同时乘以ρ，得ρ2=4ρsinθ，
将极坐标与直角坐标互化公式代入上式，
整理得圆C的直角坐标方程为x2+y2﹣4y=0．
（2）由消去t，得直线l的普通方程为y=x+3，
因为点M（﹣2，1）在直线l上，可设l的标准参数方程为，
代入圆C的方程中，得．
设A，B对应的参数分别为t1，t2，由韦达定理，得＞0，t1t2=1＞0，
于是|MA|+|MB|=|t1|+|t2|=，
即|MA|+|MB|=．
【点评】1．极坐标方程化直角坐标方程，一般通过两边同时平方，两边同时乘以ρ等方式，构造或凑配ρ2，
ρcosθ，ρsinθ，再利用互化公式转化．常见互化公式有ρ2=x2+y2，ρcosθ=x，ρsinθ=y，（x≠0）等．
2.参数方程化普通方程，关键是消参，常见消参方式有：代入法，两式相加、减，两式相乘、除，方程两边同时平方等．
3.运用参数方程解题时，应熟练参数方程中各量的含义，即过定点M0（x0，y0），且倾斜角为α的直线的参数
方程为，参数t表示以M0为起点，直线上任意一点M为终点的向量的数量，即当沿
直线向上时，t=；当沿直线向下时，t=﹣．
21．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）由曲线C 1的极坐标方程为ρ（sin θ+cos θ）=1，可得它的直角坐标方程为x+y=1，
根据曲线C 2的参数方程为
（θ为参数），可得它的普通方程为
+y 2=1．
（Ⅱ）把曲线C 1与C 2是联立方程组，化简可得 5x 2
﹣8x=0，显然△=64＞0，
故曲线C 1与C 2是相交于两个点．
解方程组求得
，或
，可得这2个交点的坐标分别为（0，1）、（，﹣）．
【点评】本题主要考查把极坐标方程化为直角坐标方程，把参数方程化为普通方程的方法，求两条曲线的交点，属于基础题．
22．【答案】
【解析】解：（I ）当n ≥20时，f （n ）=500×20+200×（n ﹣20）=200n+6000， 当n ≤19时，f （n ）=500×n ﹣100×（20﹣n ）=600n ﹣2000，
∴
．
（ II ）由（1）得f （18）=8800，f （19）=9400，f （20）=10000，f （21）=10200，f （22）=10400， ∴P （X=8800）=0.1，P （X=9400）=0.2，P （X=10000）=0.3，P （X=10200）=0.3，P （X=10400）=0.1， X
23．【答案】（1） f （x ）的单调减区间为（0，2]，单调增区间为[2，+∞）；（2） 函数f （x ）在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭
上无零点，则a 的最小值为2﹣4ln2；（3）a 的范围是3,21e ⎛⎤
-∞-
⎥-⎝⎦
. 【解析】试题分析：（Ⅰ）把a=1代入到f （x ）中求出f ′（x ），令f ′（x ）＞0求出x 的范围即为函数的增区间，令f ′（x ）＜0求出x 的范围即为函数的减区间； （Ⅱ）f （x ）＜0时不可能恒成立，所以要使函数在（0，
12）上无零点，只需要对x ∈（0，1
2
）时f （x ）＞0恒成立，列出不等式解出a 大于一个函数，利用导数得到函数的单调性，根据函数的增减性得到这个函数的最大值即可得到a 的最小值；
试题解析：
（1）当a=1时，f （x ）=x ﹣1﹣2lnx ，则f ′（x ）=1﹣，
由f ′（x ）＞0，得x ＞2； 由f ′（x ）＜0，得0＜x ＜2．
故f （x ）的单调减区间为（0，2]，单调增区间为[2，+∞）； （2）因为f （x ）＜0在区间上恒成立不可能，
故要使函数上无零点，
只要对任意的
，f （x ）＞0恒成立，即对
恒成立．
令，则
，
再令，
则
，故m （x ）在
上为减函数，于是
，
从而，l （x ）＞0，于是l （x ）在上为增函数，所以
，
故要使
恒成立，只要a ∈[2﹣4ln2，+∞），
综上，若函数f （x ）在10,
2⎛
⎫
⎪⎝⎭
上无零点，则a 的最小值为2﹣4ln2； （3）g ′（x ）=e 1﹣x ﹣xe 1﹣x =（1﹣x ）e 1﹣x ，
当x ∈（0，1）时，g ′（x ）＞0，函数g （x ）单调递增； 当x ∈（1，e]时，g ′（x ）＜0，函数g （x ）单调递减． 又因为g （0）=0，g （1）=1，g （e ）=e •e 1﹣e ＞0， 所以，函数g （x ）在（0，e]上的值域为（0，1]． 当a=2时，不合题意；
当a ≠2时，f ′（x ）=，x ∈（0，e]
当x=
时，f ′（x ）=0．
由题意得，f （x ）在（0，e]上不单调，故，即
①
又因为，当x →0时，2﹣a ＞0，f （x ）→+∞，
，
所以，对任意给定的x 0∈（0，e]，在（0，e]上总存在两个不同的x i （i=1，2）， 使得f （x i ）=g （x 0）成立，当且仅当a 满足下列条件：
即
令h （a ）=，
则h
，令h ′（a ）=0，得a=0或a=2，
故当a ∈（﹣∞，0）时，h ′（a ）＞0，函数h （a ）单调递增；
当
时，h ′（a ）＜0，函数h （a ）单调递减．
所以，对任意，有h （a ）≤h （0）=0， 即②对任意恒成立． 由③式解得：
．④
综合①④可知，当a 的范围是3,21e ⎛⎤
-∞-
⎥-⎝⎦
时，对任意给定的x 0∈（0，e]，在（0，e]上总存在两个不同的
x i（i=1，2），使f（x i）=g（x0）成立．
24．【答案】
【解析】解：设g（x）=x2+2ax+4，由于关于x的不等式x2+2ax+4＞0对一切x∈R恒成立，∴函数g（x）的图象开口向上且与x轴没有交点，
故△=4a2﹣16＜0，∴﹣2＜a＜2．
又∵函数f（x）=（3﹣2a）x是增函数，
∴3﹣2a＞1，得a＜1．
又由于p或q为真，p且q为假，可知p和q一真一假．
（1）若p真q假，则，得1≤a＜2；
（2）若p假q真，则，得a≤﹣2．
综上可知，所求实数a的取值范围为1≤a＜2，或a≤﹣2．。