山东省青岛市2022-2023学年高三上学期期初调研检测数学试卷及答案

山东省青岛市2022-2023学年高三上学期期初调研检测数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．若()3i 10z -+=，则z =（ ） A ．3i +
B ．3i --
C ．3i -+
D ．3i -
2．若集合{{1},2x A B x ==∣，则A B =（ ） A ．1,2⎛
⎤-∞ ⎥⎝⎦
B ．10,2⎛⎤
⎥⎝⎦
C ．10,2⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
D ．1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭
3．已知sin 4πα⎛
⎫+= ⎪⎝
⎭，则sin2α=（ ）
A ．3
4
-
B ．34
C ．34
±
D ．4．在6
2x x ⎛
⎫- ⎪⎝
⎭的展开式中，常数项为（ ）
A ．80
B ．80-
C ．160
D ．160-
5．已知0.3sin4,ln2,2a b c ===，则（ ） A ．b a c << B ．c b a << C ．a b c <<
D ．a c b <<
6．已知圆台的上下底面半径分别为1和2，侧面积为，则该圆台的外接球半径为（ ）
A B C D 7．据史书记载，古代的算筹是由一根根同样长短和粗细的小棍制成，如图所示，据《孙子算经》记载，算筹记数法则是：凡算之法，先识其位，一纵十横，百立千僵，千十相望，万百相当.即在算筹计数法中，表示多位数时，个位用纵式，十位用横式，百位用纵式，千位用横式，以此类推.例如
表示62，
表示26，现有5根算筹，据此表示方式表示两位数（算筹不剩余且个位
不为0），则这个两位数大于30的概率为（ ）
A ．13
B ．1
2
C ．23
D ．35
8．抛物线有一条重要性质：从焦点发出的光线，经过抛物线上的一点反射后，反射光线平行于拋物线的轴.如图所示，从拋物线2:2(0)C y px p =>的焦点F 向x 轴上方发出的两条光线,a b 分别经抛物线上的,A B 两点反射，已知两条入射光线与x 轴所成角均为3
π
，且8FB FA +=，则两条反射光线,a b ''之间的距离为（ ）
A
B ．4
C ．2
D ．
二、多选题
9．已知直线()()()12:4340,:21250R l x y l m x m y m m -+=+-+++=∈，则（ ） A ．直线2l 过定点()3,1-- B ．当1m =时，12l l ⊥ C ．当2m =时，12l l ∥
D ．当12l l ∥时，两直线12,l l 之间的距离为1
10．已知函数()sin 4π6f x x ⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭
，则（ ）
A ．()f x 的最小正周期为π
2
B ．()f x 在ππ,88⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
上单调递增
C ．()f x 的图象关于点5π,024⎛⎫
⎪⎝⎭
中心对称
D ．()f x 在π23π,2424⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
上有4个零点
11．在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为菱形，π,3
ABC PA ∠=⊥平面ABCD ，2,PA AB E ==为线段PB 的中点，F 为线段BC 上的动点，则（ ） A ．平面AEF ⊥平面PBC
B ．三棱锥
C PE
D -C ．EF 与平面ABCD 所成角的最小值为6
π
D ．A
E 与PC 所成角的余弦值为1
4
12．已知函数()(),f x g x 的定义域为()R,g x '为()g x 的导函数，且()()50f x g x -'+=，
()()450f x g x ---='，若()g x 为偶函数，则（ ）
A ．()45f =
B ．()20g =
C ．()()13f f -=-
D ．()()1310f f +=
三、填空题
13．已知()()()2,3,1,3,6,3,A B C D --为BC 中点，则AD BC ⋅=___________.
14．某地有6000名学生参加考试，考试后数学成绩X 近似服从正态分布()
2
110,N σ，若
()901100.45P X ≤≤=，则估计该地学生数学成绩在130分以上的人数为___________.
15．已知函数()()
e x
f x x a =-有两个极值点，则实数a 的取值范围是___________.
16．已知双曲线22
22:1(0,0)x y E a b a b
-=>>的左､右焦点分别为1212,,4F F F F =，若线段
()4028x y x -+=-≤≤上存在点M ，使得线段2MF 与E 的一条渐近线的交点N 满足：
221
4
F N F M =
，则E 的离心率的取值范围是___________.
四、解答题
17．记ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知cos cos 2cos a B b A c C +=.
(2)若ABC 为锐角三角形，求a
b
的取值范围.
18．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，1,2AB BC AA AB ⊥==.
(1)证明：11A C AB ⊥；
(2)若三棱锥11B A AC -，求二面角11A B C A --的大小. 19．记关于x 的不等式()
22*
430x nx n n -+≤∈N 的整数解的个数为n a ，数列{}n b 的前n 项和为n T ，
满足1
432n n n T a +=--.
(1)求数列{}n b 的通项公式；
(2)设322n
n n c b λ⎛⎫
=-- ⎪⎝⎭
，若对任意*n ∈N ，都有1n n c c +<成立，试求实数λ的取值范围.
20．为了有针对性地提高学生体育锻炼的积极性，某中学需要了解性别因素是否对学生体育锻炼的经常性有影响，为此随机抽查了男女生各100名，得到如下数据：
(1)根据小概率值0.005α=的独立性检验，分析性别因素与学生体育锻炼的经常性有无关联； (2)从这200人中随机选择1人，已知选到的学生经常参加体育锻炼，求他是男生的概率； (3)为了提高学生体育锻炼的积极性，学校设置了“学习女排精神，塑造健康体魄”的主题活动，在该活动的某次排球训练课上，甲乙丙三人相互做传球训练.已知甲控制球时，传给乙的概率为23
，传
给丙的概率为13；乙控制球时，传给甲和丙的概率均为1
2；丙控制球时，传给甲的概率为34
，传给
乙的概率为1
4
.若先由甲控制球，经过3次传球后，乙队员控制球的次数为X ，求X 的分布列与期
望()E X .
附：()()()()
2
2
()n ad bc a b c d a c b d χ-=
++++
21．在平面直角坐标系Oxy 中，动圆P 与圆22145
:204
C x y x ++-
=内切，且与圆2223
:204
C x y x +-+
=外切，记动圆P 的圆心的轨迹为E . (1)求轨迹E 的方程；
(2)不过圆心2C 且与x 轴垂直的直线交轨迹E 于,A M 两个不同的点，连接2AC 交轨迹E 于点B . （i ）若直线MB 交x 轴于点N ，证明：N 为一个定点；
（ii ）若过圆心1C 的直线交轨迹E 于,D G 两个不同的点，且AB DG ⊥，求四边形ADBG 面积的最小值.
22．已知函数()ln ,0,
0,0.x x x x f x x ->⎧=⎨=⎩
(1)求()f x 的最小值；
(2)函数()y f x =的图象是一条连续不断的曲线，记该曲线与x 轴围成图形的面积为S ，证明：1
e 2
S <-
； (3)若1
e ln (R,0)m
n n x m x x x m n n ++⎛⎫+≤∈> ⎪⎝
⎭对于任意[)1,x ∞∈+恒成立，证明：0m n +≤.
参考答案：
1．B 【分析】根据复数的除法运算法则即可化简求解. 【详解】由()3i 10z -+=得()()()
103i 10==3i 3i 3i 3i z --=---+-+--， 故选：B
2．C 【分析】解无理不等式确定集合A ，解指数不等式确定集合B ，然后由交集定义求解．
【详解】{|1}{|01}A x x x =<=≤<，1{|2{|}2=≤=≤x
B x x x ，
所以1
{|0}2
A B x x ⋂=≤≤．
故选：C ．
3．A 【分析】对sin 4πα⎛
⎫+= ⎪⎝
⎭展开化简可得1sin cos 2αα+=，再对等式两边平方化简后结合二
倍角公式可求出sin 2α的值.
【详解】因为sin 4πα⎛
⎫+ ⎪⎝⎭
，
所以sin cos cos sin
4
4
π
π
αα+=
αα=
， 所以1
sin cos 2
αα+=，
所以()2
1sin cos 4
αα+=
， 所以22
1
sin 2sin cos cos 4αααα++=
，即112sin cos 4
αα+=， 所以3
sin 24
α=-， 故选：A
4．D 【分析】根据二项式展开式的特征即可知中间项（第4项）为常数项.
【详解】由于1,x x 互为倒数，故常数项为第4项，即常数项为()3
3362C 208160x x ⎛⎫-=⨯-=- ⎪⎝⎭
， 故选：D
5．C 【分析】根据中间值法结合函数的单调性即可比较大小
【详解】因为0.30221c =>=，()ln201b =∈，，3π
π4,sin402
a ∴<<∴=<, 故a
b
c <<，
故选：C
6．B 【分析】根据圆台的侧面积计算公式可求母线长l 即可利用球心与底面圆心的连线垂直与底面，根据勾股定理即可求解. 【详解】设圆台的高和母线分别为,h l ，球心到圆台上底面的距离为x ，
根据圆台的侧面积公式可得()π12l l +=⇒
因此圆台的高2h =，
当球心在圆台内部时，则()2
22212x h x +=+-，解得7
4
x =，故此时外接球半径为
=
=， 当球心在圆台外部时，则()222212x x h +=+-，x h >，解得7
4
x =不符合要求，舍去，
故选：B
7．C 【分析】根据5根算筹，分为四类情况：41322314++++，，，,逐一分类求解满足要求的两位数，即可求解概率.
【详解】根据题意可知：一共5根算筹，十位和个位上可用的算筹可以分为413
22314++++，，，一共四类情况；
第一类：41+，即十位用4根算筹，个位用1根算筹，那十位可能是4或者8，个位为1，则两位数为41或者81；
第二类：32+，即十位用3根算筹，个位用2根算筹，那十位可能是3或者7，个位可能为2或者6，故两位数可能32，36，72，76；
第三类：23+，即十位用2根算筹，个位用3根算筹，那么十位可能是2或者6，个位可能为3或者7，故两位数可能是23，27，63，67；
第四类：14+，即十位用1根算筹，个位用4根算筹，那么十位为1，个位可能为4或者8，则该两位数为14或者18，
综上可知：所有的两位数有:14，18，23，27，32，36，41，63，67，72，76，81共计12个，则大于30的有32，36，41，63，67，72，76，81共计8个， 故概率为82=123
， 故选:C
8．D 【分析】由题意得,02p F ⎛⎫
⎪⎝⎭
，则可求出直线,AF BF 的方程，分别与抛物线方程联立表示出,A B
的坐标，由8FB FA +=结合抛物线的定义可求出p ，从而可求出,A B 两点纵坐标的差，即可得两条反射光线,a b ''之间的距离.
【详解】由题意得,02p F ⎛⎫
⎪⎝⎭
，
因为3OFA π∠=，所以直线FA
的斜率为tan 3π
-=
所以直线FA
为2p y x ⎫=-⎪⎭，
由222p y x y px
⎧⎫=-⎪⎪⎭⎨⎪=⎩
，得2
322p x px ⎛⎫-= ⎪⎝⎭， 解得16x p =
或3
2
x p =，
所以16A p p ⎛⎫
⎪ ⎪⎝
⎭
， 同理直线BF
的方程为2p y x ⎫=-⎪⎭，
由222p y x y px
⎧⎫=-⎪⎪⎭⎨⎪=⎩
，得2
322p x px ⎛⎫-= ⎪⎝⎭， 解得16x p =
或3
2x p =，
所以32B p ⎛⎫ ⎪⎝⎭
，
因为8FB FA +=， 所以8A B x x p ++=， 所以
13
862
p p p ++=，解得3p =， 所以两条反射光线,a b ''
之间的距离为B A y y -= 故选：D
9．ACD 【分析】根据直线过定点的求法，可判断A,根据直线的一般式在垂直平行满足的条件可判断BC,根据两平行线间距离公式即可求解D.
【详解】对A;()()()2:21250R l m x m y m m +-+++=∈变形为()2250,m x y x y -++-+=
令2=0250x y x y -+⎧⎨-+=⎩，则31x y =-⎧⎨=-⎩
，因此直线2l 过定点()3,1--，A 正确；
对于B;当1m =时，()()12:4340,:327043320l x y l x y -+=-+=⨯+-⨯-≠，，故两直线不垂直，故B 错误；
对于C;当2m =时，12:4340,:4390l x y l x y -+=-+=，439
434
-=
≠-，故两直线平行，C 正确； 对于D;当12l l ∥时,则满足
()1225
2434
m m m m -+++=≠⇒=-，此时
12:4340,:4390l x y l x y -+=-+=，，故D 正确；
故选：ACD
10．AC 【分析】根据周期的计算公式可判断A ，根据整体法即可验证是否单调，判断B,计算
05π5π4sin 4sin π=6π242f ⎛⎫⎛
⎫=⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭，由此可判断C,将函数零点转化为方程的根，即可求解D.
【详解】对于A;周期2ππ
42
T =
=,故A 正确； 对于B;当ππ,88x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，ππ2πππ4,,63322x ⎡⎤⎡⎤+∈-⊄-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，故()f x 在ππ,88⎡⎤-⎢⎥⎣⎦
上不单调递增，
B 错误； 对于C;05π5π4sin 4sin π=6π242f ⎛⎫⎛
⎫=⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故5π,024⎛⎫ ⎪⎝⎭
是()f x 的一个对称中心，故C 正确；
对于D;令()sin 4=04=6π6ππ,Z f x x x k k ⎛
⎫=+⇒+∈ ⎪⎝⎭,解得ππ,Z 244
k x k =-+∈，
故当π23π,2424x ⎡⎤
∈-⎢⎥⎣⎦
时， 取0,1,2,34k =，
分别得12345π5π11π17π23π
2424242424
x x x x x =-====，，，，， 故()f x 在π23π,2424⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
上有5个零点，D 错误,
故选：AC
11．BCD 【分析】根据特殊位置的点F ,即可排除A,根据等体积法求三棱锥的体积可求解B ，根据线面角的几何法即可找到角，然后在三角形中求解最小值即可判断C ，根据平移，用几何法找线线角，即可用三角形的余弦定理求解D . 【详解】对于D ;取BC 中点N ,连接,AN EN , 则//PC EN ,故AEN ∠或其补角为AE 与PC 所成角，
由于ABC 为边长为2的等边三角形，则2AN AC ==,因此PB PC ==故11
22
EN PC AN PB =
==
在AEN △中，由余弦定理可得2
2
2
2
2
2
1cos
24
AE EN AN AEN AE EN
+-+-∠==
⋅,故AE 与
PC 所成角的余弦值为1
4
，D 正确；
对于A;由于F 为线段BC 上的动点，若F 移动到点B 时，此时考虑平面PAB 与平面PBC 是否垂直，若两平面垂直，则其交线为PB ,由于AE PB ⊥,AE ⊂平面PAB ，则AE ⊥平面PBC ，
EN ⊂平面PBC ，故AE EN ⊥,这显然与D 选项矛盾，故平面PAB 与平面PBC 不垂直，A 错误，
对于B ;取PA 中点为H ，则//,//,EH AB AB CD 所以//,EH CD CD ⊂平面,PCD EH ⊄平面PCD ,故
//EH 平面PCD ,因此点E 到平面PCD 的距离与点H 到平面PCD 的距离相等，故
11112223
C PE
D
E PCD H PCD C PHD C PAD P C CAD AD
V V V V V V S
PA ------======⨯⨯⋅,因此
1
1122sin 606
62D CA C E D
P V S PA -=
⋅=⨯⨯⨯⨯⨯，故B 正确； 对于C ;取AB 中点为M ,连接,EM MF ,则//EM PA ,所以EM ⊥平面ABCD ,故EFM ∠为EF 与平面
ABCD 所成角，在直角三角形EFM 中，1
12
EM PA =
=,故当MF 长度最大时，EFM ∠最小，故当F 运动到与C 重合时，MF
EFM ∠最小为30，故C 正确； 故选：BCD
12．AD 【分析】由()g x 是偶函数得出()g x '是奇函数，然后在已知式中对自变量赋值求解． 【详解】()g x 是偶函数，则()()g x g x -=，两边求导得()()g x g x ''--=， 所以()g x '是奇函数，
由()()50f x g x -'+=，()()450f x g x ---='，得()5()(4)f x g x g x ''-=-=-， 即()(4)g x g x ''-=-+，所以()g x '是周期函数，且周期为4，(0)(4)0g g ''==， 在()()50f x g x -'+=，()()450f x g x ---='中令4x =得 (4)(4)50f g '+-=，(4)5f =，A 正确；
没法求得(2)g 的值，B 错；
令1=-得，(1)(5)50f g '---=，(5)(1)(1)g g g '''==--，则(1)(1)50f g '-+--=，无法求得(1)f -，同理令3x =-得，(3)(3)50f g '-+--=，(3)(1)(1)g g g '''-==--，
因此(3)(1)50f g '----=，相加得(1)(3)10f f -+-=，只有在(1)0g '-=时，有(1)(3)f f -=-，但
(1)g '-不一定为0，因此C 错；
在()()50f x g x -'+=中令1x =得，(1)(1)50f g '+-=，在()()450f x g x ---='中令3x =得，(3)(1)50f g '--=，两式相加得(1(3)100f f +-=，即(1)(3)10f f +=，D 正确；
故选：AD ． 13．
15
2
【分析】由中点坐标公式得D 点坐标，再求得向量的坐标后由数量积的坐标表示计算． 【详解】D 是BC 中点，则D 点坐标为16337
(,)(,3)222+--=-， 3(,6)2AD =-，(5,0)BC =，315
5022
AD BC ⋅=⨯+=．
故答案为：
15
2
． 14．300【分析】根据正态分布的对称性即可成绩在130分以上的概率，进而可求人数. 【详解】由正态分布曲线的对称轴为=110μ，以及()901100.45P X ≤≤=可得
()1101300.45P X ≤≤=，因此()()1
1301101300.052
P X P X >=-≤≤=, 故130分以上的人数为60000.05=300⨯. 故答案为：300 15．21
0e
a -
<<【分析】求出导函数()'f x ，问题转化为()0f x '=有两个不等实根，分离参数后转化为求新函数的极值、单调性、变化趋势，从而得参数范围．
【详解】()e e x x f x a x '=-+，由题意()e e 0x x f x a x '=-+=有两个不等的实根， 即e e x x a x =+有两个不等的实根，
设()e e x x g x x =+，是()e e e (2)e x x x x g x x x '=++=+，
2x <-时，()0g x '<，()g x 递减，2x >-时，()0g x '>，()g x 递增，
所以2
min 2
1()(2)e e g x g -=-=-=-
， 又1x <-时，()(1)e 0x g x x =+<，且x →-∞时，()0g x →，(1)0g -=， 所以21
0e
a -
<<，方程e e x x a x =+有两个不等的实根，且都是变号的根，即()f x 有两个极值点．
故答案为：2
1
0e a -
<<． 16
．⎣⎦【分析】设00(,4)M x x +，0(28)x -≤≤，由2214F N F M =得221
4F N F M =，求出N 点坐标，代入渐近线方程得用0x 表示b
a
的式子，求得其范围后可得离心率范围．
【详解】设00(,4)M x x +，0(28)x -≤≤，2(2,0)F ， 2214F N F M =
，则220011
(2,4)44
F N F M x x ==-+， 001
(2,)(2,4)4N N x y x x -=-+，则064N x x +=，044N x y +=，
028x -≤≤，则0N x >，0N y >，N 点在渐近线b
y x a
=
上， 所以0046
44
x x b a ++=⋅，00042166x b a x x +==-++， 由028x -≤≤得0121762x ≤≤+，所以1627b a ≤≤，又22221c b a a
-=， 所以22585449c a ≤≤
e ≤≤
故答案为：． 17．(1)
3
π (2)1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭
【分析】（1）根据正弦定理边化角，由和差角公式即可化简求值，
（2）根据锐角确定B 的范围，由正弦定理化边为角，结合三角函数即可求解. （1）
因为cos cos 2cos a B b A c C ⋅+⋅=⋅,
所以由正弦定理得：sin cos sin cos 2sin cos A B B A C C +=, 即()sin 2sin cos A B C C +=,
因为πA B C +=-，所以sin()=sin 2sin cos A B C C C +=， 因为0πC <<，故sin 0C ≠，所以1cos 2
C =， 进而π3
C =, （2） 由（1）知π2π
,33C A B =
=-,
因为ABC 为锐角三角形，所以π02B <<且02ππ
B 32
<
-<, 所以
ππ62
B <<,
由正弦定理得：2π1sin sin sin 1322sin sin sin 2
B B B
a A
b B B B ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭====, 因为
ππ62B <<
，所以tan B >, 所以1,22a b ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
.
18．(1)证明见解析 (2)6
π
【分析】（1）根据线面垂直可得线线垂直，根据正方形对角线互相垂直得线线垂直，进而根据线面垂直的判定定理即可证明1AB ⊥平面1A BC ,进而可证，
（2）建立空间直角坐标系，根据向量的坐标运算可求平面法向量，根据向量夹角求二面角大小. （1）
证明：连接1A B ，
由三棱柱111ABC A B C -为直三棱柱可得1BB ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC , 所以1BB BC ⊥
因为1,BC AB AB BB B ⊥⋂=,1,AB BB ⊂平面11AA B B , 所以BC ⊥平面11AA B B ,
因为1AB ⊂平面11AA B B ,所以1BC AB ⊥.
因为12AA AB ==，所以四边形11AA B B 是正方形， 所以11AB A B ⊥，
又因为1BC A B B ⋂=，1,⊂BC A B 平面1A BC , 所以1AB ⊥平面1A BC ,
因为1
AC ⊂平面1A BC ,所以11A C AB ⊥ （2）
由（1）得BC ⊥平面11AA B B
所以点C 到平面1AA B 的距离为BC .
所以1111111112323B A AC C AA B V V A B AA BC BC --==⨯⋅⋅==
解得BC =因为1,,BA BC BB 两两垂直，以B 为原点，分别以1,,BC BA BB 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示空间直角坐标系，
则()()())
110,2,0,0,2,2,0,0,2,A A B C
，
设平面1AB C 的法向量为()111,,m x y z =, 因为(
)
()12,2,0,0,2,2AC AB =
-=-,
则11111220,220m AC x y m AB y z ⋅=-=⋅=-+=,
令1x ，则(
)
2,1,1m =
,
设平面11A B C 的法向量为()222,,n x y z =, 因为(
)
()1
112,2,2,0,2,0AC A B =--=-,
则12221122220,20n AC x y z n A B y ⋅=--=⋅=-=,
令2x (
)
2,0,1n =
,
设二面角11A B C A --的平面角为θ，根据几何体特征可知θ为锐角，
所以3cos cos ,23
m n m n m n
θ⋅==
=
=
⋅所以二面角11A B C A --的大小为6
π
. 19．(1)11
322
n n b =⨯-
(2)16855
λ-
<< 【分析】（1）解不等式可确定n a ，由1(2)n n n b T T n -=-≥及11b a =可求得n b ；
（2）由（1）求得n c ，单调性转化为10n n c c +->恒成立，然后按n 的奇偶性分类讨论得参数范围． （1）
由不等式22430x nx n -+≤可得：3n x n ≤≤， 21n a n ∴=+，
11133424
n n T n +=⨯--，
当1n =时，111b T ==，
当2n ≥时，111322
n n n n b T T -=-=⨯-，
因为11b =适合上式，
11
322
n n b ∴=⨯-；
（2）
由（1）可得：1
331(1)
2n
n
n n c λ-⎛⎫
=-+- ⎪⎝⎭
， 1
1
133
1(1)2n n n
n c λ+++⎛⎫
∴=-+- ⎪
⎝⎭
，
1153,23(1)022n
n
n n n n n c c c c λ++⎛⎫
<∴-=⨯+-> ⎪⎝⎭
，
4
(1)25
n n λ∴->-⨯，
当n 为奇数时，425
n
λ<⨯，
由于425n ⨯随着n 的增大而增大，当1n =时，425n
⨯的最小值为85，
85
λ∴<
， 当n 为偶数时，425
n
λ>-⨯，
由于425n -⨯随着n 的增大而减小，当2n =时，425n -⨯的最大值为165-，
16
5
λ∴>-
，
综上可知：16855
λ-
<<． 20．(1)认为性别因素与学生体育锻炼的经常性有关联，此推断犯错误的概率不大于0.005 (2)4
7
(3)分布列答案见解析，数学期望：
119
【分析】（1）根据卡方的计算，与临界值比较，即可根据独立性检验的思想求解， （2）根据条件概率的计算公式即可求解，
（3）由离散型随机变量取值对应的事件，求出对应的概率，即可求解. （1）
零假设为0H ：性别因素与学生体育锻炼的经常性无关联 根据列联表中的数据，经计算得到
22
0.005200(40802060)9.5247.87960140100100
x χ⨯⨯-⨯=≈>=⨯⨯⨯
根据小概率值0.005α=的独立性检验，我们推断0H 不成立，即认为性别因素与学生体育锻炼的经常性有关联，此推断犯错误的概率不大于0.005. （2）
用A 表示事件“选到经常参加体育锻炼的学生”，B 表示事件“选到男生”，则()()()
804
1407
n AB P B A n A =
=
=∣. （3）
由题知X 的所有可能取值为0,1,2，
()()13112112131321111
0;1;343123233243433418
P X P X ==⨯⨯===⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯=
()21221111
232332436
P X ==⨯⨯+⨯⨯=；
所以X 的分布列为:
()1111111012.1218369
E X =⨯
+⨯+⨯=
21．(1)22
143x y +=
(2)（i ）证明见解析；（ii ）
288
49
【分析】（1）根据两圆内切和外切列出圆心距与半径的关系，即可发现圆心P 的轨迹满足椭圆的定义，进而可求其方程，
（2）联立直线AB 与椭圆方程，得韦达定理，根据点坐标可得BN 方程，进而代入韦达定理即可求出N 坐标，根据弦长公式可求AB 长度，进而得CD 长，根据,AB CD 垂直，即可表示四边形ADBG 的面积，根据不等式即可求解最值. （1）
设动圆P 的半径为R ，圆心P 的坐标为(),x y
由题意可知：圆1C 的圆心为()11,0C -，半径为72
；圆2C 的圆心为()21,0C ，半径为12.
动圆P 与圆1C 内切，且与圆2C 外切， 112122
724212PC R PC PC C C PC R ⎧=-⎪⎪∴⇒+=>=⎨⎪=+⎪⎩
∴动圆P 的圆心的轨迹E 是以12,C C 为焦点的椭圆，设其方程为：22
221(0)x y
a b a b
+=>>，
其中224,22,2,3a c a b ==∴==
从而轨迹E 的方程为：22
143x y +=
（2）
（i ）设直线AB 的方程为()()()()112210,,,,y k x k A x y B x y =-≠，则()11,M x y - 由()
22114
3y k x x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩可得：()
22224384120k x k x k +-+-=
22121222
8412
,4343
k k x x x x k k -∴+==++ 直线BM 的方程为()21
1121y y y y x x x x ++=
--， 令0y =可得N 点的横坐标为： ()()()()211121221
1112112121222
N k x x x x x x x x x x y x x y y k x x x x ---+-=
+=+=++-+-
2222
2
2412824343482
43k k k k k
k -⨯-++==-+ N ∴为一个定点，其坐标为()4,0
（ii ）根据（i ）可进一步求得：
21AB x =-=
()
22
12143k k +==+. 1
,DG AB DG k k
⊥∴=-，
则(
)2212134
k DG k +=
+
AB DG ⊥，
∴四边形ADBG 面积()()()
()()
2
22
22222121121
721112243344334
k k k S AB DG k k k k +++=⨯=⨯⨯=
++++ （法一）
()
()()
()
2
2
222
2
222721
721
288
494334
43342k k S k
k k k ++=
≥
=
++⎛⎫
+++ ⎪
⎝⎭
等号当且仅当224334k k +=+时取，即1k =±时，min 288
49
S = （法二）令21,0,1k t k t +=≠∴>， 则
22
2
27272721112111491224t S t t t t
t ===+-⎛⎫-++--+
⎪⎝⎭
当112t =，即1k =±时，min 288
49
S =
【点睛】本题考查了椭圆的方程，以及直线与椭圆的位置关系，综合性较强.利用几何法求轨迹方程时，要多注意图形位置间体现的等量关系，可通过先判断轨迹，再求其方程.直线与椭圆相交问题，联立方程是常规必备步骤，韦达定理得弦长，求面积或者长度最值时，往往需要先将其表达出来，再利用不等式或者函数的知识进行求解. 22．(1)1- (2)证明见解析 (3)证明见解析
【分析】（1）求导，利用导函数的正负确定单调性，进而可求最值，
（2）通过单调性和最值可知当[]0,e x ∈时，()10f x -≤≤，进而可证明围成的面积在梯形OABC 内部，进而可求解，
（3）对式子进行变形为ln e ln e n
m
n n x x m n x x +⎛⎫+≤ ⎪⎝
⎭，构造函数()[)e ,0,x h x x x ∞=∈+利用单调性将其转
化为只需要ln n
m n x x
+≤即可求解.
（1）
当()0,x ∈+∞时，由题知：()ln f x x '=
当01x <<时，()()0,f x f x '<在()0,1上单调递减 当1x >时，()()0,f x f x '>在()1,+∞上单调递增. 所以当()()()0,,11x f x f ∞∈+≥=-，又因为()00f = 所以()f x 最小值为()11f =-. （2）
因为()()e 0,00f f ==，由（1）知：当[]0,e x ∈时，()10f x -≤≤. 因为()e 1f '=，所以()f x 在点()e,0处的切线方程为e y x =- 令()ln 2e(0e)g x x x x x =-+<≤，则()ln 10g x x -'=≤ 所以()g x 在(]0,e 上单调递减，()()e 0g x g ≥= 所以()e f x x ≥-.
所以曲线()()0e y f x x =≤≤在x 轴､y 轴､1y =-和e y x =-之间
设原点为,O y 轴与1y =-交点为,1A y =-和e y x =-的交点为()e 1,1B --， 点()e,0为C ，
所以曲线()()0e y f x x =≤≤在梯形OABC 内部 所以()11
e 1111e 22
OABC S S <=-⨯+⨯⨯=-.
（3）
因为1e ln m n n x m x x x n ++⎛⎫+≤ ⎪⎝
⎭，所以1e ln m n n x
n m n x x x x n x ++⎛⎫+≤ ⎪
⎝⎭
所以ln e ln ln ln e n
m
n n n n n x x m n nx x x x x x +⎛⎫+≤== ⎪⎝⎭
①当0m
n x
+<时，
因为1≥x ，所以m nx n <-≤-，所以0m n +< ②当0m
n x
+
≥时， 令()[)e ,0,x
h x x x ∞=∈+
则()()10x
h x x e '=+>在[)0,x ∈+∞时恒成立
所以()e x
h x x =在[)0,x ∈+∞时单调递增
由题知：ln 0n x ≥ 所以ln n m
n x x
+≤. 所以
ln m
x x x n
≤- 由（1）知：
1m
n
≤- 所以0m n +≤
【点睛】本题考查了导数的综合运用，利用导数求解不含参的最值问题比较常规，处理起来也比较容易，对于含参问题，利用导数求解时，往往需要合理变形，然后根据式子特征构造函数，利用导数求解构造的函数的单调性.。