四川省成都外国语学校高三数学12月一诊模拟试题 理

成都外国语学校高2014级一诊模拟
数 学 （理工类）
一、选择题 1、复数3)2
321(i +-
的值是（ ）
A.i -
B.i
C.1-
D.1
2、已知集合}73|{},03|{2
<≤==-+=x x B x ax x A ，若A B ≠∅，则实数a 的取值集合为（
） A.]0,121
[-
B.)49
4
,121[--
C.]0,494(-
D.]0,494
[- 3、等比数列{}n a 的首项为1a ，公比为q ，已知3339
,22
a S ==，则（ ）
A.2-=q 或1=q
B.21-=q
C.21-=q 或1=q
D.2
1
=q 或1=q
4、如图，设D 是图中边长分别为1和2的矩形区域，E 是D 内位于函数1
(0)y x x
=>图
象下方的区域（阴影部分），从D 内随机取一个点M ，则点M 取自E 内的概率为（ ） A ．
ln 22 B ．1ln 22- C ．1ln 22+ D ．2ln 2
2
- 5、如图，在平行四边形ABCD 中，点F E ,分别是DC AD ,边的中点，BF BE ,分别与对角线AC 交于T R ,，有以下命题：①CA BA CD CR AB AR ⋅=⋅+⋅；②2
29=⋅；③=+=
=。

其中正确的命题个数为（ ）
A.4
B.3
C.2
D.1
6、要得到函数)5
2sin(2π
+=x y 的图象，应该把函数)15
2
sin(3)152cos(ππ---
=x x y 的图象做如下变换（ ）
A.将图象上的每一点横坐标缩短到原来的2
1
而纵坐标不变 B.沿x 向左平移
2
π
个单位，再把得图象上的每一点横坐标伸长到原来的2而纵坐标不变
C.先把图象上的每一点横坐标缩短到原来的21而纵坐标不变，再将所得图象沿x 向右平移4π
个单位
D.先把图象上的每一点横坐标缩短到原来的21而纵坐标不变，再将所得图象沿x 向左平移2
π个单位
7、有如下四个命题：（1）“a b >”是“
b
a 1
1<”的必要不充分条件；
（2）若b a ,都是正实数，则“12
2=-b a ”是“1<-b a ”的充分条件；（3）若b a ,都是正实数，则“1||3
3
=-b a ”是
“1||<-b a ”的充分不必要条件；（4）“1>b
a
”是“||||a b >”的充分不必要条件。

其中真命题的个数是（ ）
A.4
B.3
C.2
D.1
8、从某中学甲、乙两个班中各随机抽取10名同学，测量他们的身高(单位：cm)后获得身高数据的茎叶图如图1，在这20人中，记身高在[150,160)，[160,170)，[170,180)，[180,190]的人数依次为A 1，A 2，A 3，A 4，图2是统计样本中身高在一定范围内的人数的程序框图，则下列说法中正确的是( )
A ．由图1可知甲、乙两班中平均身高较高的是甲班，图2输出的S 的值为18
B ．由图1可知甲、乙两班中平均身高较高的是乙班，图2输出的S 的值为16
C ．由图1可知甲、乙两班中平均身高较高的是乙班，图2输出的S 的值为18
D ．由图1可知甲、乙两班中平均身高较高的是甲班，图2输出的S 的值为
16
图
1
9、一个四面体的三视图如右图，在三视图中的三个正方形的边长都是2，则该多面体的体积、表面积、外接球面的表面积分别为（
）
A.π4,12,22
B.π6,34,3
2
2
C.π6,6,3
3
D.π3
2,32,2
10、已知圆4:2
2=+y x O 上存在点P ，直线03:=-+b y x l 上存在点Q ，使得6
π=
∠OQP ，
则实数b 的取值范围为（ ）
A.)4,4(-
B.]4,4[-
C.]8,8[-
D.]3
3
8,338[-
11、把3盆不同的兰花和4盆不同的玫瑰花摆放在下图图案中的1，2，3，4，5，6，7所示的位置上，其中三盆兰花不能放在一条直线上，则不同的摆放方法为（ ）
A ．2680种
B ．4320种
C ．4920种
D ．5140种
12、定义在R 上的可导函数()f x ，当(1,)x ∈+∞时，(1)()()0x f x f x '-->恒成立，(2)a f =，
1
(3)2
b f =
，1)c f =，则,,a b c 的大小关系为（ ） A ．b a c << B ．a c b << C ．b c a << D ．a b c <<
二、填空题
13、要将两种大小不同的钢板截成A 、B 、C 三种规格，每张钢板可同时截得三种规格的小钢板的块数如下表所示：
今需要A 、B 、C 三种规格的成品分别为15、18、27块，为得到所需A 、B 、C 三种规格的成品，且使所用钢板张数最少，则第一种钢板、第二种钢板分别截___________块，
14、已知n
m x x x f )31()1()(+++= （*∈N n m 、）的展开式中x 的系数为11．则当2x 的系数取得最小值时，)(x f 展开式中x 的奇次幂项的系数之和为___________．
15、已知等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，若1)1(2017)1(,1)1(2017)1(3
2016520163252-=-+-=-+-a a a a ，
则下列四个命题中真命题的序号为 ．
①20172017=S ； ②公差0<d ； ③20182018=S ； ④22016S S <
16、如图，已知双曲线1:2
2=-y x C 的左焦点为F ，左准线与x 轴的
交于点M ，过点F 的直线l 与双曲线相交于B A ,两点且满足
)0(>=λλ，62tan -=∠AMB ，则λ的值为___________
三、解答题
17、（1）已知ABC ∆的三内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，证明：A bc c b a cos 22
2
2
-+=； （2）利用（1）的结果解决下面的问题：
如图，一架飞机以h km /600的速度，沿方位角060的航向从A 地出发向B 地飞行，飞行了m in 36后到达E 地，飞机由于天气原因按命令改飞C 地，已知km BC km CD km AD 500,1200,3600===，且00113,30=∠=∠BCD ADC 。

问收到命令时飞机应该沿什么航向飞行，此时E 地离C 地的距离是多少？(方位角：由正北方
向沿顺时针方向的旋转角。

参考数据：4
337tan 0
=)
500km
030
A
B
km 3600
km
120022(
2cos 222
22
+-+=
-+=
ac
c a c a ac
b
c a B C
113
D
北
E
18、为了了解某工业园中员工的颈椎疾病与工作
性质是否有关，在工业园内随机的对其中50名工
作人员是否患有颈椎疾病进行了抽样调查，得到如右的列联表.
已知在全部50人中随机抽取1人，抽到患有颈椎疾病的人的概率为
3
5
. （1）请将上面的列联表补充完整，并判断是否有99.5%的把握认为患颈椎疾病与工作性质有关？说明你的理由；
（2）已知在患有颈椎疾病的10名蓝领中，有3为工龄在15年以上，现在从患有颈椎疾病的10名蓝领中，选出3人进行工龄的调查，记选出工龄在15年以上的人数为ξ，求ξ的分布列及数学期望.
参考公式：22
()()()()()
n ad bc k a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.
下面的临界值表仅供参考：
19、如图所示，平面EAD ⊥平面ABCD ，ADE ∆是等边三角形，ABCD 是矩形，F 是AB 的中点，G 是AD 的中点，H 是
CE 的中点，EC 与平面ABCD 成30︒角．
H
G F
E
D
B
C A
（1）求证：EG ⊥平面ABCD ； （2）求证：//HF 平面EAD ；
（3）若4=AD ，求三棱锥CEF D -的体积
20、（本小题满分12分）已知动圆P 与圆()2
2
1:381F x y ++=相切，且与圆()2
2
2:31F x y -+=相
内切，记圆心P 的轨迹为曲线C ；设Q 为曲线C 上的一个不在x 轴上的动点，O 为坐标原点，过点
2F 作OQ 的平行线交曲线C 于,M N 两个不同的点．（1）求曲线C 的方程；
（2）试探究MN 和2
OQ 的比值能否为一个常数？若能，求出这个常数，若不能，请说明理由； （3）记2QF M ∆的面积为1S ，2OF N ∆的面积为2S ，令12S S S =+，求S 的最大值．
21、已知a 为实常数，函数()ln 1f x x ax =-+. （1）若)(x f 在),1(+∞是减函数，求实数a 的取值范围；
（2）当10<<a 时函数()f x 有两个不同的零点1212,()x x x x <，求证：11
1x e
<<且122x x +>.（注：e 为自然对数的底数）；
（3）证明)2*,(4
1ln 54ln 43ln 32ln 2≥∈-<+++++n N n n
n n n 选做题
22、已知曲线M 的参数方程为ααα(sin 22,cos 2⎩
⎨⎧+==y x 为参数）
，曲线N 的极方程为8)3sin(=+π
θρ．
（1）分别求曲线M 和曲线N 的普通方程； （2）若点N B M A ∈∈,，求AB 的最小值．
23、设|1||1|)(++-=x x x f ． （1）求2)(+≤x x f 的解集；
（2）若不等式|
||
12||1|)(a a a x f --+≥
对任意实数0≠a 恒成立，求实数x 的取值范围．
成都外国语学校2017届一诊考前模拟试题
理科数学
命题人：李斌
审题人：刘丹
二、选择题 1、D
2、A 【解析】根据题意，则关于x 的方程032
=-+x ax 在区间)7,3[有解，则a 的取值集合为函数
2
3x x y +-=
在定义域)7,3[上的值域，令]3
1
,71(1∈=x t ，t t y -=23，显然值域为A 3、C 【解析】要利用等比数列的求和公式必须分1=q 和1≠q 讨论：当1=q 显然符合题意；当1
≠q 时，根据已知有⎪⎪⎩
⎪
⎪⎨⎧=--=291)1(23
3
121q q a q a ，解得21-=q 4、C 【解析】矩形面积为122S =⨯=，1
112
1
1
(2)(2ln )1ln 212
S dx x x x =-=-=-⎰，因
此阴影部分的面积为1'22(1ln 2)1ln 2S S =-=--=+，所以所求概率为
'1ln 2
2
S P S +=
=
．故选C ．
5、A 【解析】设==,，则+=，因E R B ,,三点共线，且E 为AD 之中点，则
2
μ
λμλ+
=+=且1=+μλ，又C R A ,,三点共线，
则m m m +==，由平面向量基本定理则有
31132,=⇒=⇒==m m m m μλ，所以AC AR 3
1=，同理可得
3
1
=，所以T R ,为AC 的两个三等分点，易得四个命题都正确，选A
6、C 【解析】先将)152sin(3)152cos(ππ---=x x y 化为)5
cos(2π
+=x y 再化为
)25sin(2ππ
++
=x y ，最后进行图象变换。

若先沿x 轴方向平移再伸缩：沿x 向右平移2
π
个单位，再把得图象上的每一点横坐标缩短到原来的2
1
而纵坐标不变；若先伸缩再沿x 轴方向平移：先把图
象上的每一点横坐标缩短到原来的21而纵坐标不变，再将所得图象沿x 向右平移4
π
个单位。

所以该选C
7、B 【解析】（1）显然错误；对于（2）：假设1≥-b a ，又b a ,是正数，则111>+⇒>+>b a b a ，
于是有1))((2
2
>-+=-b a b a b a 与已知12
2=-b a 矛盾，所以假设不成立，于是（2）正确；对于
（3）：由于b a ,都是正实数，则
1|||||2|||||||||13222233<-⇒-=+-⋅->++⋅-=-=b a b a b ab a b a b ab a b a b a ，反过来令
1==b a ，则1||33=-b a 不成立，于是（3）正确；对于（4）
：由||||1|
||
|1b a b a b a >⇒>⇒>，反过来，令1,2=-=b a ，则1>b
a 不成立，于是（4）正确，所以选B
8、C 解析 由茎叶图可知，甲班学生身高的平均数为170.4，乙班学生身高的平均数为170.7，故乙班学生的平均身高较高．由题意可知，A 1＝2，A 2＝7，A 3＝9，A 4＝2，由程序框图易知，最后输出的结果为S ＝7＋9＋2＝18.
9、B 【解析】根据三视图知，此多面体是由棱长为2的正方体截去四个角而得到的棱长为2的正四面体，于是选B
10、C 【解析】因点P 在圆O 上，原点O 到直线PQ 的最大距离为2，而
6
π
=
∠OQP ，则OQ 的最大距离为4，则原点O 到直线
03:=-+b y x l 42
|
|≤=
b d 才能保证在圆O 11、B 【解析】7个点可组成的三角形有3053
7=-C ，∵三盆兰花不能放在一条直线上，∴可放入三角形三个角上，有1803
3130=A C 中放法，再放4盆不同的玫瑰花，没有限制，
放在剩余4个位置，有244
4=A 种放法，∴不同的摆放方法为432024180=⨯种．故选B.
12、A 【解析】构造函数1
)
()(-=x x f x g ，当),1(+∞∈x 时0)1()()1)((')('2>---=x x f x x f x g ，即函数)
(x g 单调递增， ∴)2(1
2)
2()2()12(),3(13)3()3(21),2(12)2()2(g f f c g f f b g f f a =-=+==-===-=
=，
∴)3()2()2(g g g <<，即c a b <<，故选A ． 二、填空题
13、答案：3、9或4、8
【解析】设所需第一种钢板x 张，第二种钢板y
根据题意，得约束条件为2152183270,0,x y x y x y x x Z y y Z
+≥⎧⎪+≥⎪⎪
+≥⎨⎪≥∈⎪≥∈⎪⎩，则目标函数为z x =+解方程组327215
x y x y +=⎧⎨+=⎩，得点1839
(,)55M
把z x y =+变形为y x z =-+，当直线y x z =-+经过可行域上的点M 时截距z 最小，
此时1839
11.455
z =+=，当12z =时直线12y x =-+经过可行域内的点(3,9),(4,8)B C 它们是最优解。

答：要截得所需三种规格的钢板，且使所截两种钢板数最小的方法有两种：第一种截法是第一种钢板3张，第二种钢板9张；第二种截法是第一种钢板4张，第二种钢板8张。

两种截法都最少
要两种钢板12张。

14、【答案】22【解析】由题意得：11311=+n m C C ，即：m+3n=11．x 2的系数为： 当n=2时，x 2的系数的最小值为19，此时m=5 ，则f （x ）=（1+x ）5+（1+3x ）2
设f （x ）的展开式为f （x ）=a 0+a 1x+a 2x 2+…+a 5x 5
令x=1,则f （1）=a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5 令x=-1,则f （-1）=a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4－a 5 则a 1+a 3+a 5=2
)1()1(--f f =22,所求系数之和为22
考点：（1）二项式定理指定项或指定项系数；（2）赋值法求奇数项系数和．
15、答案：①②【解析】构造函数3
5
2017)(x x x f +=，则)(x f 是R 单调递增的奇函数， 由已知有：1)1(,1)1(20162-=-=-a f a f ，利用)(x f 的单调性及奇偶性得：
19
)2(955
3692)1(92)310)(311(2)1(92)1(3222
22+-=+-=-+
--=-+-=+n n n n n n n n n m m C C n m 19)2(9553692
)1(92)310)(311(2)1(92)1(322222+-=+-=-+--=-+-=+n n n n n n n n n m m C C n m )2(9553692)1(92)310)(311(2)1(92)1(322222+-=+-=-+--=-+-=+n n n n n n n n n m m C C n m 19)2(9553692)1(92)310)(311(2)1(92)1(32
22
22+-=+-=-+
--=-+
-=+n n n n n n n n n m m C C n m
22016201621,2a a a a <<=+
对于①：20172
)
(20172)(201720162201712017=+=+=
a a a a S ，则①正确；
对于②：由于}{n a 是等差数列，又22016a a <，则公差0<d ，则②正确； 对于③：20182
)
(20182)(201820171201812018<+<+=
a a a a S ，则③错误；
对于 ④：20141)2(20172211201720172016>-⇒+<--=-=a a a a a S S ，
显然1)1(2>-a f ，这与1)1(2=-a f 矛盾，则④错误 16、答案：223-=λ或223+ 【解析】由双曲线的方程知离心率2=
e ，分别过点B A ,作左准线的垂线，垂足分别为C D ,，又
过点A 作x 轴的垂线，垂足为H 且交BC 于点E 。

设直线l
直角三角形中三角函数的定义知：|||
|2||||tan ===
∠AF AH AD AH AMF 同理可得αsin 2tan =∠BMF ，则MF 平分AMB ∠，
由62tan -=∠AMB 得26tan =
∠AMF ，于是2
3sin =α 当α为锐角时如图，由)0(>=λλ设1||,||==BF AF λ， 由双曲线的第二定义知，2
1||λ
-=
BE ，在ABE Rt ∆中， 2
1
)1(21|||
|cos =+-==
λλαAB BE ，解之得223-=λ，
当α为钝角时可得223+=λ 四、解答题
17、【解析】（1）证明：利用向量证明：
在ABC ∆中，以AC AB ,为基向量，由已知得AB a BC b AC c AB ,||,||,||===与的夹角为A 又AB AC BC -=，则⋅-+=-=2)(2
2
2
2
，所以
A bc c b a cos 2222-+=
…………………………4分
（2）解：如图，连接CE AC ,，在ACD ∆中由余弦定理，得：
3600002
3
1200360021200)3600(222=⋅
⋅⋅-+=AC ， 则600=AC ，
则222AC AD CD +=，即ACD ∆是直角三角形，且060=∠ACD ，又0
113=∠BCD ，则0
53=∠ACB ，…………6分 在ABC ∆中，由余弦定理，则有：
22225005
3
5006002500600=⋅⋅⋅-+=AB ，则500=AB ……6分
又500=BC 则ABC ∆是等腰三角形，且053=∠BAC ， 由已知有36060
36
600=⋅=AE ，
在ACE ∆中，由余弦定理，有4805
3
60036026003602
2=⋅
⋅⋅-+=CE ………………9分 又222CE AE AC +=，则0
90=∠AEC 。

由飞机出发时的方位角为0
60，则飞机由E 地改飞C 地的方位角为：
0000150)6090(180=--………………………………………………………………………11分
答：收到命令时飞机应该沿方位角0
150的航向飞行，E 地离C 地km 480。

………………12分
18、【答案】（1）我们有99.5%的把握认为患颈椎疾
病是与工作性质有关系的；（2）0.9
【解析】解：（Ⅰ）根据在全部50人中随机抽取1人患颈椎疾病的概率为3
5
，
可得患颈椎疾病的为30人，故可得列联表如右：
因为22
()()()()()
n ad bc K a b c d a c b d -=++++，
即22
50(2015510)25
252530203
K ⨯-⨯==
⨯⨯⨯， 所以28.333K ≈，
又2(7.879)0.0050.5P K ==%≥，
所以，我们有99.5%的把握认为患颈椎疾病是与工作性质有关系的．
500km
030
A
B
km 3600
km
120022(
2cos 222
2
2
+-+=
-+=
ac
a c a ac
b
c a B C
113
D
北
E
（Ⅱ）现在从患颈椎疾病的10名蓝领中，选出3名进行工龄的调查， 记选出工龄在15年以上的人数为ξ，则0123ξ=，，，．
故37310C 7(0)C 24P ξ===，2173310C C 21(1)C 40P ξ⋅===，12
733
10C C 7(2)C 40
P ξ⋅===，33
310C 1(3)C 120P ξ===， 则ξ的分布列为：
则72171()01230.9244040120
E ξ=⨯
+⨯+⨯+⨯=． 考点：1.独立性检验；2.分布列.
19、（1）证明： ADE ∆是等边三角形，且G 是AD 的中点
AD EG ⊥∴，
又平面EAD ⊥平面A B C D ，平面 E A D
平面A B C D AD =，⊂EG 平面EAD
∴EG ⊥平面ABCD
（2）证明：取ED 的中点I ，连AI HI ,， H 是CE 的中点
CD HI CD HI 2
1
,//=∴
ABCD 是矩形，F 是AB 的中点
CD AF CD AF 2
1
,//=∴
CD AF CD AF =∴,//，则AFHI 是平行四边形
AI FH //∴，则⊂AI 平面⊄FH EAD ,平面EAD
∴//HF 平面EAD
（3）解：连CG ，由（1）知EG ⊥平面ABCD ，则ECG ∠是EC 与平面ABCD 成角，
即0
30=∠ECG ，且CG EG ⊥而ADE ∆是等边三角形，当4=AD 时，,32=EG
在CEG Rt ∆中，又 0
30=∠ECG ，则63==EG CG
又ABCD 是矩形，且G 是AD 的中点，则24,222
=-==DG CG CD DG
H
G F
E
D
B
C A
282
1
=⋅=∴∆AD CD S CDF 361631=
⋅==∴∆--EG S V V CDF CDF E CEF D 所以三棱锥CEF D -的体积为
3
6
16 20、
（2）设()()()112233,,,,,M x y N x y Q x y ，直线:OQ x my =，则直线:3MN x my =+，
由221167x my x y
=⎧⎪⎨+
=⎪⎩可得：222
22112716112716m x m y m ⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩，∴2
23223
2112716112716m
x m y m ⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩
， ∴()222
22332221121112112716716716
m m OQ x y m m m +=+=+=+++ 由223
1167
x my x y =+⎧⎪
⎨+
=⎪⎩可得：()2271642490m y my ++-=，∴12122
4249,716716m y y y y m m +=-=-++， ∴
21MN y =
==-
()22
561716m m +===+．
∴()
()222
22561171621121716
m MN
m m OQ
m ++==++∴MN 和2OQ 的比值为一个常数，这个常数为12．
21、【解析】（1）因()ln 1f x x ax =-+，则x
ax
a x x f -=
-=
11)('，又)(x f 在),1(+∞是减函数 所以01≤-ax 在),1(+∞∈x 时恒成立，则实数a 的取值范围为),1[+∞
（2）因当10<<a 时函数()f x 有两个不同的零点1212,()x x x x <，则有
01ln 1ln 2211=+-=+-ax x ax x ，
则有12
121ln 1ln x x a x x ++=
=.设1ln ()(0)x g x x x +=> . 2ln '()x g x x
=-. 当01x << 时，'()0g x > ；当1x > 时，'()0g x < ；
所以()g x 在(0,1) 上是增函数，在(1,)+∞ 上是减函数.()g x 最大值为(1)1g = .
由于12()()g x g x = ，且01a << ，所以12
12
1ln 1ln 01x x x x ++<
=< ，
又21x x <，所以111x e <<. 下面证明：当01x <<时，221
ln 1
x x x -<+ .设22
1(x)ln (0)1x h x x x -=->+ ，
则22
22
(1)'()0(1)
x h x x x -=>+ .()h x 在(0,1] 上是增函数， 所以当01x <<时，()(1)0h x h <= .即当01x <<时，221
ln 1
x x x -<+..
由101x <<得1()0h x < .所以211211
ln 1
x x x -<+.
所以
112111ln 21x x x x +<+ ，即12121
x
a x <+，112()1x x a ->，112ln ln()0x x a +->.
又111ln ax x =+ ，所以1121ln()0ax x a
-+->，112ln()1ax x a
+->. 所以111112222()ln()()1ln()10f x x a x x ax a a a a
-=---+=-+-> . 而0)(2=x f ，则有122()()f x f x a
->.
由（1）知x ax a x x f -=
-=11)('，则)(x f 在)1,0(a 内单调递增，在),1
(+∞a 内单调递减， 由1210x x a <<<，得121x a a ->.所以122x x a -<，122
2x x a
+>> .
②证法二：
由（II ）①可知函数()f x 在1
(0,)a 是增函数，在1(,)a
+∞是减函数..1ln )(+-=ax x x f
所以01)1(,011)1
(>-=<-=+--=a f e a e a e
f .故11
1x e
<< 第二部分:分析:因为a x 101<<,所以a x a 121>-.只要证明:0)2
(1>-x a
f 就可以得出结论
下
面
给
出
证
明
：
构
造
函
数
：
)1
0).((ln )2()2ln()()2()(a
x ax x x a a x a x f x a f x g ≤<-----=--=
则：0)2()1(22121)(2
<--=+--=
'a
x x a x a a x a x x g 所以函数)(x g 在区间]1,0(a 上为减函数.a x 101<<,则0)1
()(1=>a
g x g ,又0)(1=x f
于是0)()(1)2
()2ln()2(11111>=-+---=-x g x f x a a x a x a f . 又0)(2=x f 由(1)可知
122x a x ->.即22
21>>+a
x x
（3）由（1）知当1=a 时，1ln )(+-=x x x f 在),1(+∞上是减函数，且0)1(=f
所以当),1(+∞∈x 时恒有01ln <+-x x ，即1ln -<x x 当2*,≥∈n N n 时，有1ln 2
2
-<n n ，即
2
1
1ln -<
+n n n ，累加得： 4
)]1(21[211ln 43ln 32ln 2n
n n n n -=-+++<++++ （2*,≥∈n N n ）
考点：1.利用导数研究函数的单调性；2.利用函数求函数最值；3.构造函数法；4.放缩法. 选做题
22、已知曲线M 的参数方程为αα
α(sin 22,cos 2⎩⎨
⎧+==y x 为参数）
，曲线N 的极方程为8)3sin(=+π
θρ． （1）分别求曲线M 和曲线N 的普通方程； （2）若点N B M A ∈∈,，求AB 的最小值．
【答案】（1）4)2(2
2
=-+y x ，0163=-+y x ；（2）5． 【解析】
试题分析：（1）参数方程利用平方法消参得到4)2(2
2
=-+y x ；极坐标方程利用两角和的正弦公
式展开后利用⎩⎨
⎧==,
sin ,
cos θρθρy x 化为普通方程0163=-+y x ；（2）圆M 的圆心)2,0(M ，半径为
2=r ，点M 到直线N 的距离为71
3162=+-=
d ，故AB 的最小值为527=-=-r d ．
试题解析：
（1）曲线M 的普通方程为4)2(2
2=-+y x ， 由8)3
sin(=+
π
θρ有83
sin
cos 3
cos
sin =+π
θρπ
θρ，
又⎩
⎨⎧==,sin ,cos θρθρy x ∴曲线N 的普通方程为0163=-+y x ．
（2）圆M 的圆心)2,0(M ，半径为2=r ，点M 到直线N 的距离为71
3162=+-=d ，
故AB 的最小值为527=-=-r d ． 考点：坐标系与参数方程．
23、设|1||1|)(++-=x x x f ． （1）求2)(+≤x x f 的解集；
（2）若不等式|
||
12||1|)(a a a x f --+≥
对任意实数0≠a 恒成立，求实数x 的取值范围．
【答案】（1）}20|{≤≤x x ；（2）),2
3[]2
3,(+∞--∞ ． 【解析】
试题分析：（1）分类讨论解不等式；（2）利用绝对值三角不等式求出
|1||21|
||
a a a +--的最大值,恒
成立等价为()3f x ≥,去掉绝对值,求出x 的范围． 试题解析：（1）由2)(+≤x x f 得：
⎪⎩⎪⎨⎧+≤----≤≥+211102x x x x x 或⎪⎩⎪⎨⎧+≤++-<<-≥+2111102x x x x x 或⎪⎩
⎪⎨⎧+≤++-≥≥+2111
02x x x x x 解得20≤≤x
∴2)(+≤x x f 的解集为}20|{≤≤x x ．
（2）
31
2111211|||12||1|=-++≤--+=--+a
a a a a a a
当且仅当0)1
2)(11(≤-+
a
a 时，取等号． 由不等式|
||
12||1|)(a a a x f --+≥
对任意实数0≠a 恒成立，可得3|1||1|≥++-x x ，
解得：2
3-
≤x 或23≥x ．
故实数x 的取值范围是),2
3[]2
3
,(+∞--∞ ．
考点：1．绝对值不等式的解法；2．绝对值三角不等式；3．恒成立等价转化．。