人教A版高中数学选修1-1《一章 常用逻辑用语 复习参考题》赛课课件_8
人教A版高中数学选修1-1课件：模块复习课 第一课 常用逻辑用语
常用逻辑用语
【网络体系】
【核心速填】 1.四种命题及其关系 (1)四种命题 命题 原命题 表述形式 若p,则q
逆命题
否命题 逆否命题
________ 若q,则p ____________ 若非p,则非q ____________ 若非q,则非p
(2)四种命题间的逆否关系
逆命题
否命题
逆否命题
5.含有一个量词的命题的否定
命题 ___x∈M,p(x) ∀ ___x0∈M,p(x0) ∃
命题的否定 ______________ ∃x0∈M,¬p(x0) _____________ ∀x∈M,¬p(x)
【易错警示】 1.否命题和命题的否定是两个不同的概念
①否命题是将原命题的条件否定作为条件,将原命题的
p⇒q,q p ③必要不充分条件:___________;
④既不充分也不必要条件 :______________. q⇒p,p q p q 且q p
3.简单的逻辑联结词 (1)用联结词“且”“或”“非”联结命题p和命题q,
可得_____,_____,___. p∧q p∨q ¬p (2)命题p∧q,p∨q,¬p的真假判断.
性,充分条件与必要条件方向正好相反,不要混淆. 如a=0是“a·b=0”的充分不必要条件,“a·b=0”是 “a=0”的必要不充分条件.
4.注意常见逻辑联结词的否定 一些常见逻辑联结词的否定要记住,如:“都是”的否
定“不都是”,“全是”的否定“不全是”,“至少有
一个”的否定“一个也没有”,“至多有一个”的否定 “至少有两个”.
④若|C|>0则C>0或C<0,不正确.
【补偿训练】下列命题:
①“全等三角形的面积相等”的逆命题;
人教A版高中数学选修11第一章1.2.1充分条件与必要条件课件(共21张PPT)
逆充命分题 条“件若与q则必p要”为条真件命的题判，断 练—习—： —用—“有充之分必”和成“必立要”填空
➢ 知识巩固 练习：用“充分”和“必要”填空
(1)x 10 是 x 5的__充__分__条件
练下习列： “若用p，“充则分q””和形“式必的要命”填题空中，哪些命题中的q是p的必要条件
p—是—q—的—充有分之条必件成，立p是q的必要条件
开练关习A：闭用合“充是分灯”和泡“B必亮要的”填充空分条件
逆“若否开命关题A：闭我合们，不则是灯安泡徽B会人亮，”则我们不是合肥人
原逆命否题 命“题若：p则我q们”为不真是命安题徽，人，则我们不是合肥人
x 1 __x___0____? 练习：用“充分”和“必要”填空
练习1，判断下列问题中,p是q的充分条件吗？ “若开关A闭合，则灯泡B会亮”
b1
➢ 能否从集合的角度理解 充分条件和必要条件？
➢ 知识联系
➢集合与充分条件、必要条件的联系
已知A x x满足条件p, B x x满足条件q
1.A B, 则p是q的充分条件，q是p的必要条件
条件 “若开关A闭合，则灯泡B会亮”
判断下列各组问题中，p是不是q的充分条件， “是安徽人”为“是合肥人”的必要条件 白鲸已于2008年列入《世界自然保护联盟濒危物种红色名录》 练习：用“充分”和“必要”填空
➢ 第一章：常用逻辑用语
(2)"两条直线斜率相等" 是 " 这两条直线平行的" ___必__要_____条件
(3“) (x a)(x b) 0”是“x a”的__必__要___ 条件
高中数学 复习课(一)常用逻辑用语讲义(含解析)新人教A版选修1-1-新人教A版高二选修1-1数学教
复习课(一) 常用逻辑用语命题及其关系通过选择题、填空题的方式设置一些多知识点、知识跨度大的试题，考查命题及其关系，以及对命题真假的判断．[考点精要]四种命题的相互改写交换原命题的条件和结论，所得的命题是原命题的逆命题；同时否定原命题的条件和结论，所得的命题是原命题的否命题；交换原命题的条件和结论，并且同时否定，所得的命题是原命题的逆否命题．[注意] 互为逆否命题的两个命题，它们具有相同的真假性．[典例] 将下列命题改写成“若p，则q”的形式，并写出它的逆命题、否命题和逆否命题并判断它们的真假．(1)垂直于同一平面的两条直线平行；(2)当mn<0时，方程mx2－x＋n＝0有实数根．[解] (1)将命题写成“若p，则q”的形式为：若两条直线垂直于同一个平面，则这两条直线平行．它的逆命题、否命题和逆否命题如下：逆命题：若两条直线平行，则这两条直线垂直于同一个平面．(假命题)否命题：若两条直线不垂直于同一个平面，则这两条直线不平行．(假命题)逆否命题：若两条直线不平行，则这两条直线不垂直于同一个平面．(真命题)(2)将命题写成“若p，则q”的形式为：若mn<0，则方程mx2－x＋n＝0有实数根．它的逆命题、否命题和逆否命题如下：逆命题：若方程mx2－x＋n＝0有实数根，则mn<0.(假命题)否命题：若mn≥0，则方程mx2－x＋n＝0没有实数根．(假命题)逆否命题：若方程mx2－x＋n＝0没有实数根，则mn≥0.(真命题)[类题通法]简单命题真假的判断方法[题组训练]1．命题“若函数f (x )＝x 2－ax ＋3在[1，＋∞)上是增函数，则a ≤2”的否命题( ) A ．与原命题同为假命题 B ．与原命题一真一假 C ．为假命题D ．为真命题解析：选D 原命题显然为真，原命题的否命题为“若函数f (x )＝x 2－ax ＋3在[1，＋∞)上不是增函数，则a >2”，为真命题，故选D.2．下列命题中为真命题的是( ) A ．命题“若a >b ，则3a >3b”的逆命题 B ．命题“若x 2≤1，则x ≤1”的否命题 C ．命题“若x ＝1，则x 2－x ＝0”的否命题 D ．命题“若a >b ，则1a <1b”的逆否命题解析：选A 对于A ，逆命题是“若3a >3b，则a >b ”，是真命题；对于B ，否命题是“若x 2>1，则x >1”，是假命题，因为x 2>1⇔x >1或x <－1；对于C ，否命题是“若x ≠1，则x 2－x ≠0”，是假命题，因为当x ＝0时，x 2－x ＝0；对于D ，逆否命题是“若1a ≥1b，则a ≤b ”，是假命题，如a ＝1，b ＝－1.故选A.3．下列说法中错误的个数是( )①命题“余弦函数是周期函数”的否命题是“余弦函数不是周期函数” ②命题“若x >1，则x －1>0”的否命题是“若x ≤1，则x －1≤0” ③命题“两个正数的和为正数”的否命题是“两个负数的和为负数”④命题“x ＝－4是方程x 2＋3x －4＝0的根”的否命题是“x ＝－4不是方程x 2＋3x －4＝0的根”A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选C ①错误，否命题是“若一个函数不是余弦函数，则它不是周期函数”；②正确；③错误，否命题是“若两个数不全为正数，则它们的和不为正数”；④错误，否命题是“若一个数不是－4，则它不是方程x 2＋3x －4＝0的根”.充分条件与必要条件充要条件是数学的重要概念之一，在数学中有着非常广泛的应用，在高考中有着较高的考查频率，其特点是以高中数学的其他知识为载体考查充分条件、必要条件、充要条件的判断．[考点精要]充分条件、必要条件与充要条件(1)如果p ⇒q ，则p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件； (2)如果p ⇒q ，q ⇒p ，则p 是q 的充要条件．[典例] (1)(2017·某某高考)已知等差数列{a n }的公差为d ，前n 项和为S n ，则“d >0”是“S 4＋S 6>2S 5”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件(2)(2017·某某高考)设θ∈R ，则“⎪⎪⎪⎪⎪⎪θ－π12<π12”是“sin θ<12”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件[解析] (1)因为{a n }为等差数列，所以S 4＋S 6＝4a 1＋6d ＋6a 1＋15d ＝10a 1＋21d,2S 5＝10a 1＋20d ，S 4＋S 6－2S 5＝d ，所以d >0⇔S 4＋S 6>2S 5.(2)法一：由⎪⎪⎪⎪⎪⎪θ－π12<π12，得0<θ<π6，故sin θ<12.由sin θ<12，得－7π6＋2k π<θ<π6＋2k π，k ∈Z ，推不出“⎪⎪⎪⎪⎪⎪θ－π12<π12”．故“⎪⎪⎪⎪⎪⎪θ－π12<π12”是“sin θ<12”的充分而不必要条件．法二：⎪⎪⎪⎪⎪⎪θ－π12<π12⇒0<θ<π6⇒sin θ<12，而当sin θ<12时，取θ＝－π6，⎪⎪⎪⎪⎪⎪－π6－π12＝π4>π12. 故“⎪⎪⎪⎪⎪⎪θ－π12<π12”是“sin θ<12”的充分而不必要条件． [答案] (1)C (2)A [类题通法]充要关系的判断方法(1)定义法：直接判断若p则q，若q则p的真假．(2)等价法：利用A⇒B与綈B⇒綈A，B⇒A与綈A⇒綈B，A⇔B与綈B⇔綈A的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．(3)利用集合间的包含关系判断：若A⊆B，则A是B的充分条件或B是A的必要条件；若A＝B，则A是B的充要条件．[题组训练]1．设四边形ABCD的两条对角线为AC，BD，则“四边形ABCD为菱形”是“AC⊥BD”的( )A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件解析：选A 若四边形ABCD为菱形，则AC⊥BD，反之，若AC⊥BD，则四边形ABCD不一定是菱形，故选A.2．设α，β是两个不同的平面，m是直线且m⊂α，“m∥β”是“α∥β”的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件解析：选B 当m∥β时，过m的平面α与β可能平行也可能相交，因而m∥β⇒/ α∥β；当α∥β时，α内任一直线与β平行，因为m⊂α，所以m∥β.综上知，“m∥β”是“α∥β”的必要不充分条件．3．对于任意实数x，〈x〉表示不小于x的最小整数，例如〈1.1〉＝2，〈－1.1〉＝－1，那么“|x－y|<1”是“〈x〉＝〈y〉”的( )A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件解析：选B 当x＝1.8，y＝0.9时，满足|x－y|<1，但〈1.8〉＝2，〈0.9〉＝1，即〈x〉≠〈y〉；当〈x〉＝〈y〉时，必有|x－y|<1，所以“|x－y|<1”是“〈x〉＝〈y〉”的必要不充分条件，故选B.含有逻辑联结词、量词的命题的真假，以及全称命题，特称命题的否定．[考点精要]1．含有逻辑联结词的命题与集合之间的关系2．全称命题、特称命题的否定全称命题“∀x ∈M ，p (x )”的否定是“∃x 0∈M ，綈p (x 0)”，特称命题“∃x 0∈M ，p (x 0)”的否定是“∀x ∈M ，綈p (x )”．[典例] (1)已知命题p ：∀x 1，x 2∈R ，[f (x 2)－f (x 1)](x 2－x 1)≥0，则綈p 是( ) A ．∃x 1，x 2∈R ，[f (x 2)－f (x 1)](x 2－x 1)≤0 B ．∀x 1，x 2∈R ，[f (x 2)－f (x 1)](x 2－x 1)≤0 C ．∃x 1，x 2∈R ，[f (x 2)－f (x 1)](x 2－x 1)<0 D ．∀x 1，x 2∈R ，[f (x 2)－f (x 1)](x 2－x 1)<0(2)已知a 与b 均为单位向量，其夹角为θ，有下列四个命题：p 1：|a ＋b |>1⇔θ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，2π3； p 2：|a ＋b |>1⇔θ∈⎝⎛⎦⎥⎤2π3，π；p 3：|a －b |>1⇔θ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π3；p 4：|a －b |>1⇔θ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤π3，π.其中的真命题是( ) A ．p 1，p 4 B ．p 1，p 3 C ．p 2，p 3D ．p 2，p 4[解析] (1)已知全称命题p ：∀x 1，x 2∈R ，[f (x 2)－f (x 1)]·(x 2－x 1)≥0，则綈p ：∃x 1，x 2∈R ，[f (x 2)－f (x 1)](x 2－x 1)<0，故选C.(2)由|a ＋b |>1可得：a 2＋2a ·b ＋b 2>1，∵|a |＝1，|b |＝1，∴a ·b >－12.故θ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，2π3.当θ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，2π3时，a ·b >－12，|a ＋b |2＝a 2＋2a ·b ＋b 2>1，即|a ＋b |>1；由|a －b |>1可得：a 2－2a ·b ＋b 2>1，∵|a |＝1，|b |＝1，∴a ·b <12.故θ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤π3，π，反之也成立．[答案] (1)C (2)A [类题通法]1．判断含有逻辑联结词的命题真假的方法 (1)先确定简单命题p ，q .(2)分别确定简单命题p ，q 的真假． (3)利用真值表判断所给命题的真假． 2．判断含有量词的命题真假的方法(1)全称命题的真假判定：要判定一个全称命题为真，必须对限定集合M 中每一个x 验证 p (x )成立，一般用代数推理的方法加以证明；要判定一个全称命题为假，只需举出一个反例即可．(2)特称命题的真假判定：要判定一个特称命题为真，只要在限定集合M 中，能找到一个x ＝x 0，使p (x 0)成立即可；否则，这一特称命题为假．(3)全称命题的否定一定是特称命题，特称命题的否定一定是全称命题．首先改变量词，把全称量词改为存在量词，把存在量词改为全称量词，然后把判断词加以否定．[题组训练]1．设命题p ：函数y ＝sin 2x 的最小正周期为π2；命题q ：函数y ＝cos x 的图象关于直线x ＝π2对称，则下列判断正确的是( )A ．p 为真B ．綈q 为假C ．p ∧q 为假D ．p ∨q 为真解析：选C 由题意p 与q 均为假命题，故p ∧q 为假．2．命题“存在x ∈R ，使得x 2＋2x ＋5＝0”的否定是________________．解析：这里给出的是一个特称命题，其否定是一个全称命题．等于的否定是不等于． 答案：对任意的x ∈R ，都有x 2＋2x ＋5≠03．已知p ：点M (2,3)在直线ax －y ＋1＝0上，q ：方程x 2＋y 2＋x ＋y ＋a ＝0表示圆，p ∨q 是假命题，某某数a 的取值X 围．解：当p 是真命题时，2a －3＋1＝0，即a ＝1， 所以当p 是假命题时，a ≠1；当q 是真命题时，1＋1－4a >0，即a <12，所以当q 是假命题时，a ≥12.又p ∨q 是假命题，所以p ，q 均为假命题， 所以a ≥12且a ≠1，所以实数a 的取值X 围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，1∪(1，＋∞)．1．设x ∈Z ，集合A 是奇数集，集合B 是偶数集．若命题p ：∀x ∈A,2x ∈B ，则( ) A ．綈p ：∃x ∈A,2x ∈B B ．綈p ：∃x ∉A,2x ∈B C ．綈p ：∃x ∈A,2x ∉BD ．綈p ：∀x ∉A,2x ∉B解析：选C 命题p 是全称命题：∀x ∈M ，p (x )，则綈p 是特称命题：∃x ∈M ，綈p (x )．故选C.2．命题p ：若ab ＝0，则a ＝0；命题q ：若a ＝0，则ab ＝0，则( ) A ．“p 或q ”为假 B ．“p 且q ”为真 C ．p 真q 假D ．p 假q 真解析：选D 由条件易知：命题p 为假命题，命题q 为真命题，故p 假q 真．从而“p 或q ”为真，“p 且q ”为假．3．下列命题中，真命题是( ) A ．∃x 0∈R ，e x 0≤0 B ．∀x ∈R,2x >x 2C ．a ＋b ＝0的充要条件是ab＝－1 D ．a >1，b >1是ab >1的充分条件解析：选D ∵∀x ∈R ，e x >0，∴A 错；∵函数y ＝2x 与y ＝x 2的图象有交点，如点(2,2)，此时2x＝x 2，∴B 错；∵当a ＝b ＝0时，a ＋b ＝0，而0作分母无意义，∴C 错；a >1，b >1，由不等式可乘性知ab >1，∴D 正确．4．设平面α与平面β相交于直线m ，直线a 在平面α内，直线b 在平面β内，且b ⊥m ，则“α⊥β”是“a ⊥b ”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A 先证“α⊥β⇒a ⊥b ”．∵α⊥β，α∩β＝m ，b ⊂β，b ⊥m ，∴b ⊥α.又∵a ⊂α，∴b ⊥a ；再证“a ⊥b ⇒/ α⊥β”．举反例，当a ∥m 时，由b ⊥m 知a ⊥b ，此时二面角αm β可以为(0，π]上的任意角，即α不一定垂直于β.故选A.5．下列有关命题的说法错误的是( )A ．命题“若x 2－1＝0，则x ＝1”的逆否命题为“若x ≠1，则x 2－1≠0” B ．“x ＝1”是“x 2－3x ＋2＝0”的充分不必要条件 C ．若集合A ＝{x |kx 2＋4x ＋4＝0}中只有一个元素，则k ＝1D ．对于命题p ：∃x 0∈R ，使得x 20＋x 0＋1<0，则綈p ：∀x ∈R ，均有x 2＋x ＋1≥0 解析：选C A 显然正确；当x ＝1时，x 2－3x ＋2＝0成立，但x 2－3x ＋2＝0时，x ＝1或x ＝2，故“x ＝1”是“x 2－3x ＋2＝0”的充分不必要条件，B 正确；若集合A ＝{x |kx 2＋4x ＋4＝0}中只有一个元素，则k ＝0或k ＝1，故C 错误；D 显然正确．6．已知p ：m －1<x <m ＋1，q ：(x －2)(x －6)<0，且q 是p 的必要不充分条件，则m 的取值X 围是( )A ．(3,5)B ．[3,5]C ．(－∞，3)∪(5，＋∞)D ．(－∞，3]∪[5，＋∞)解析：选B p ：m －1<x <m ＋1，q ：2<x <6.因为q 是p 的必要不充分条件，所以由p 能得到q ，而由q 得不到p ，所以可得⎩⎪⎨⎪⎧m －1>2，m ＋1≤6或⎩⎪⎨⎪⎧m －1≥2，m ＋1<6.解得3≤m ≤5.7．命题“在△ABC 中，如果∠C ＝90°，那么c 2＝a 2＋b 2”的逆否命题是__________________________________．答案：在△ABC 中，若c 2≠a 2＋b 2，则∠C ≠90°8．设p ：x >2或x <23；q ：x >2或x <－1，则綈p 是綈q 的________条件．解析：綈p ：23≤x ≤2.綈q ：－1≤x ≤2.因为綈p ⇒綈q ，但綈q ⇒/ 綈p . 所以綈p 是綈q 的充分不必要条件． 答案：充分不必要9．已知命题p ：“∀x ∈[1,2]，x 2－a ≥0”，命题q ：“∃x 0∈R ，x 20＋2ax 0＋2－a ＝0”，若命题“p 且q ”是真命题，则实数a 的取值X 围是________．解析：命题p ：“∀x ∈[1,2]，x 2－a ≥0”为真，则a ≤x 2，x ∈[1,2]恒成立，所以a ≤1. 命题q ：“∃x 0∈R ，x 20＋2ax 0＋2－a ＝0”为真， 则“4a 2－4(2－a )≥0，即a 2＋a －2≥0”，解得a ≤－2或a ≥1. 若命题“p 且q ”是真命题，则实数a 的取值X 围是(－∞，－2]∪{1}． 答案：(－∞，－2]∪{1}10．已知p ：x 2－8x －20＞0，q ：x 2－2x ＋1－a 2＞0，若p 是q 的充分不必要条件，求正实数a 的取值X 围．解：p ：x 2－8x －20＞0⇔x ＜－2或x ＞10， 令A ＝{x |x <－2或x >10}，∵a ＞0，∴q ：x ＜1－a 或x ＞1＋a ， 令B ＝{x |x <1－a 或x >1＋a }， 由题意p ⇒q 且q ⇒/ p ，知A B ，应有⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，1＋a <10，1－a ≥－2或⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，1＋a ≤10，1－a >－2⇒0＜a ≤3，∴a 的取值X 围为(0,3]．11．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x －1，x <－2，x ＋3－2≤x ≤12.(1)求函数f (x )的最小值；(2)已知m ∈R ，命题p ：关于x 的不等式f (x )≥m 2＋2m －2对任意m ∈R 恒成立；q ：函数y ＝(m 2－1)x是增函数．若“p 或q ”为真，“p 且q ”为假，某某数m 的取值X 围．解：(1)作出函数f (x )的图象，可知函数f (x )在(－∞，－2)上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，12上单调递增，故f (x )min ＝f (－2)＝1.(2)对于命题p ，m 2＋2m －2≤1， 故－3≤m ≤1； 对于命题q ，m 2－1>1，故m >2或m <－ 2.由于“p 或q ”为真，“p 且q ”为假，则p 与q 一真一假．①若p 真q 假，则⎩⎨⎧－3≤m ≤1，－2≤m ≤2，解得－2≤m ≤1.②若p 假q 真，则⎩⎨⎧m >1或m <－3，m <－2或m >2，解得m <－3或m > 2. 故实数m 的取值X 围是(－∞，－3)∪[－2，1]∪(2，＋∞)．。
人教A版高中数学选修1-1 1.1.2四种命题课件(共17张PPT)
条件的否定作为条件 结论的否定作为结论
结论的否定作为条件
条件的否定作为结论
逆命题: 若q,则p 否命题: 若¬p，则¬q 逆否命题: 若¬q，则¬p
2.四种命题真假的判断.
课本第6页练习题.
四种命题的形式：
原命题：“ 若p，则q ”, 逆命题：“ 若q，则p ”,
否命题：“ 若￢p，则￢q ”, 逆否命题：“ 若￢q，则￢p ”.
例1 写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题，并判 断它们的真假： （1）面积相等的三角形全等； （2）互为相反数的两数之和为0.
（1） 面积相等的三角形全等
1.互逆命题：一般地，对于两个命题，如果一个命题的 条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么我们 把这样的两个命题叫做互逆命题，其中一个命题叫做原 命题，另一个命题叫做原命题的逆命题.
即若原命题为： “若p，则q”， 则它的逆命题为：“若q，则p”.
２.互否命题：如果一个命题的条件和结论恰好是另一个
解：原命题：若两个三角形的面积相等，则这两个三角形全等; 逆命题：若两个三角形全等，则这两个三角形的面积相等; 否命题：若两个三角形的面积不相等，则这两个三角形不全等; 逆否命题：若两个三角形不全等，则这两个三角形的面积不相等.
（Hale Waihona Puke ）互为相反数的两数之和为0.解：原命题：若两个数互为相反数，则这两个数的和为0; 逆命题：若两个数的和为0，则这两个数互为相反数; 否命题：若两个数不互为相反数，则这两个数的和不为0; 逆否命题：若两个数的和不为0，则这两个数不互为相反数.
高中数学人教A版选修1-1 第一章 常用逻辑用语
1.1命题及其关系（2）
有一天，财主想要阿凡提的毛驴但又不 想给金币，就对阿凡提说：
高中数学人教A版选修1-1练习：第1章 常用逻辑用语
第一章 1.1 1.1.1A 级 基础巩固一、选择题1．下列语句中，是命题的是( A ) A ．π是无限不循环小数 B ．3x ≤5C ．什么是“绩效工资”D ．今天的天气真好呀！[解析] 由命题的定义可知，选项A 正确． 2．下列命题为真命题的是( A ) A ．若1x ＝1y ，则x ＝yB ．若x 2＝1，则x ＝1C ．若x ＝y ，则x ＝yD ．若x <y ，则x 2<y 2[解析] B 中，若x 2＝1，则x ＝±1；C 中，若x ＝y <0，则x 与y 无意义；D 中，若x ＝－2，y ＝－1，满足x <y ，但x 2>y 2，故选A ．3．下列语句中，不能成为命题的是( B ) A ．5>12 B ．x >0C ．已知a 、b 是平面向量，若a ⊥b ，则a ·b ＝0D ．三角形的三条中线交于一点[解析] A 是假命题；C 、D 是真命题，B 中含变量x ，未指定x 的取值范围，无法判断真假，故不是命题．4．下列命题正确的是( D ) A ．三点确定一个平面 B ．两条直线确定一个平面 C ．四边形确定一个平面D ．不共面的四点可以确定四个平面[解析] 因为四点不共面，所以任意三点不共线，又不共线的三点确定一个平面，所以不共面的四点可以确定四个平面．5．下列四个命题中，真命题是( D ) A ．a >b ，c >d ⇒ac >bd B ．a <b ⇒a 2<b 2 C ．1a <1b⇒a >bD ．a >b ，c <d ⇒a －c >b －d[解析]∵c<d，∴－c>－d，又∵a>b，∴a－c>b－d，故选D．6．给定下列命题：①若k>0，则方程x2＋2x－k＝0有实数根；②若a>b>0，c>d>0，则ac>bd；③对角线相等的四边形是矩形；④若xy＝0，则x、y中至少有一个为0.其中是真命题的是(B)A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④[解析]①中Δ＝4－4(－k)＝4＋4k>0，所以①为真命题；②由不等式的乘法性质知命题正确，所以②为真命题；③如等腰梯形对角线相等，不是矩形，所以③是假命题；④由等式性质知命题正确，所以④是真命题，故选B．二、填空题7．给出下列命题①若ac＝bc，则a＝b；②方程x2－x＋1＝0有两个实数根；③对于实数x，若x－2＝0，则(x－2)(x＋1)＝0；④若p>0，则p2>p；⑤正方形不是菱形．其中真命题是__③__，假命题是__①②④⑤__.[解析]c＝0时，①错；方程x2－x＋1＝0的判别式Δ＝－3<0，∴方程x2－x＋1＝0无实根；p＝0.5>0，但p2>p不成立；正方形的四条边相等，是菱形．因此①②④⑤都是假命题．对于③，若x－2＝0，则x＝2，∴(x－2)(x＋1)＝0，故正确．8．下列命题：①若xy＝1，则x、y互为倒数；②平行四边形是梯形；③若ac2>bc2，则a>b.其中真命题的序号是__①③__.[解析]①、③是真命题；②平行四边形不是梯形．三、解答题9．判断下列语句是否为命题，并说明理由.(1)指数函数是增函数吗？(2)x>2；(3)x＝2和x＝3是方程x2－5x＋6＝0的根；(4)请把窗户关上；(5)8>7；(6)这是一棵大树．[解析](1)是疑问句，所以不是命题．(2)(6)不能判断真假，不是命题．(3)(5)是陈述句且能判断真假，是命题． (4)是祈使句，不是陈述句，所以不是命题．B 级 素养提升一、选择题1．“红豆生南国，春来发几枝？愿君多采撷，此物最相思．”这是唐代诗人王维的《相思》诗，在这4句诗中，可作为命题的是( A )A ．红豆生南国B ．春来发几枝C ．愿君多采撷D ．此物最相思[解析] A 为可判断真假的陈述句，所以是命题；而B 为疑问句，C 为祈使句，D 为感叹句，所以均不是命题．2．下列命题中的真命题是( A ) A ．二次函数的图象是一条抛物线B ．若一个四边形的四条边相等，则这个四边形是正方形C ．已知m 、n ∈R ，若m 2＋n 2≠0，则mn ≠0D ．平行于同一直线的两个平面平行[解析] A 是真命题；B 中四边形可以是菱形，故B 是假命题；C 中当m ＝0，n ＝1时，m 2＋n 2≠0，而mn ＝0，故C 是假命题；D 中两平面可以相交，故D 是假命题．3．有下列命题：①若xy ＝0，则|x |＋|y |＝0；②若a >b ，c ≠0，则ac >bc ；③矩形的对角线互相垂直． 其中真命题共有( A ) A ．0个 B ．1个 C ．2个D ．3个[解析] ①中，当x ＝1，y ＝0时，xy ＝0，|x |＋|y |＝1，故①错误；②中，若a ＝2，b ＝1，c ＝－1，则ac ＝－2，bc ＝－1，ac <bc ，故②错误；③中，矩形对角线相等但不垂直，故③错误．4．下列命题中的假命题是( B ) A ．若log 2x <2，则0<x <4B ．若a 与b 共线，则a 与b 的夹角为0°C ．已知非零数列{a n }满足a n ＋1－2a n ＝0，则该数列为等比数列D ．点(π，0)是函数y ＝sin x 图象上一点[解析] B 中当a 与b 共线，但方向相反时，a 与b 的夹角为180°，所以B 是假命题． 5．(2017·鹰潭高二检测)在下列给出的命题中，所有正确命题的个数为( C ) ①函数y ＝x 2－3x ＋1的图象关于x ＝32对称；②若实数x ，y 满足x 2＋y 2＝1，则y x ＋2的最大值为33；③若△ABC 为锐角三角形，则sin A >cos B ． A ．1个 B ．2个 C ．3个D ．0个[解析] ①由y ＝⎝⎛⎭⎫x －322－54知①正确，②y x ＋2表示平面直角坐标系中(x ，y )与(－2,0)两点所在直线的斜率，由数形结合知②正确，③由三角形中的性质知③正确，故应选C ．二、填空题6．设a 、b 、c 是空间的三条直线，下面给出四个命题： ①若a ⊥b ，b ⊥c ，则a ∥c ；②若a 、b 是异面直线，b 、c 是异面直线，则a 、c 也是异面直线； ③若a 和b 相交，b 和c 相交，则a 和c 也相交； ④若a 和b 共面，b 和c 共面，则a 和c 也共面． 其中真命题的个数是__0__.[解析] ∵垂直于同一直线的两条直线不一定平行， ∴命题①不正确；∵与同一直线均异面的两条直线的位置关系可以共面，也可以异面，∴命题②不正确； ∵与同一直线均相交的两条直线在空间中可以相交，也可以平行或异面，∴命题③不正确；∵当两平面的相交直线为直线b 时，两平面内分别可以作出直线a 与c ，即直线a 与c 不一定共面，∴命题④不正确．综上所述，真命题的个数为0.7．下列语句中是命题的有__①③④⑤__，其中是真命题的有__①④__(填序号). ①“等边三角形难道不是等腰三角形吗？” ②“垂直于同一条直线的两条直线必平行吗？” ③“一个数不是正数就是负数”；④“在一个三角形中，大角所对的边大于小角所对的边”； ⑤“若x ＋y 为有理数，则x 、y 都是有理数”； ⑥作一个三角形．[解析] ①通过反义疑问句(即反问句)对等边三角形是等腰三角形作出判断，是真命题． ②疑问句，没有对垂直于同一直线的两条直线是否平行作出判断，不是命题． ③是假命题，数0既不是正数也不是负数．④是真命题，在同一个三角形中，大边对大角，大角对大边． ⑤是假命题，如x ＝3，y ＝－ 3. ⑥祈使句，不是命题．8．在△ABC 中，若AB →·BC →>0，则△ABC 是__钝角__三角形. [解析] ∵AB →·BC →>0，∴BA →·BC →<0，∴∠B 为钝角， ∴△ABC 是钝角三角形．C 级 能力提高1．把下列命题写成“若p ，则q ”的形式，并判断真假． (1)当ac >bc 时，a >b ；(2)当m >14时，方程mx 2－x ＋1＝0无实根；(3)当abc ＝0时，a ＝0或b ＝0或c ＝0； (4)当x 2－2x －3＝0时，x ＝3或x ＝－1； (5)正三角形的重心、内心、外心、垂心重合． [解析] (1)若ac >bc ，则a >b .假命题．(2)若m >14，则方程mx 2－x ＋1＝0无实根．真命题．(3)若abc ＝0，则a ＝0或b ＝0或c ＝0.真命题． (4)若x 2－2x －3＝0，则x ＝3或x ＝－1.真命题．(5)若一个三角形为正三角形，则这个三角形的重心、内心、外心、垂心重合．真命题． 2．将命题“已知a 、b 为正数，当a >b 时，有a 2>b 2”写成“若p ，则q ”的形式，并指出条件和结论.[解析] 根据题意，“若p ，则q ”的形式为： 已知a 、b 为正数，若a >b ，则a 2>b 2. 其中条件p ：a >b ，结论q ：a 2>b 2.第一章 1.1 1.1.2 1.1.3A 级 基础巩固一、选择题1．设a 、b 是向量，命题“若a ＝－b ，则|a |＝|b |”的逆命题是( D ) A ．若a ≠－b ，则|a |≠|b | B ．若a ＝－b ，则|a |≠|b | C ．若|a |≠|b |，则a ≠－b D ．若|a |＝|b |，则a ＝－b[解析] 将原命题的条件改为结论，结论改为条件，即得原命题的逆命题． 2．命题：“若x 2<1，则－1<x <1”的逆否命题是( D )A ．若x 2≥1，则x ≥1，或x ≤－1B ．若－1<x <1，则x 2<1C ．若x >1，或x <－1，则x 2>1D ．若x ≥1，或x ≤－1，则x 2≥1[解析] －1<x <1的否定为x ≤－1或x ≥1， x 2<1的否定为x 2≥1，故逆否命题为“若x ≤－1或x ≥1，则x 2≥1”，故选D ． 3．命题“若c <0，则方程x 2＋x ＋c ＝0有实数解”，则( C ) A ．该命题的逆命题为真，逆否命题也为真 B ．该命题的逆命题为真，逆否命题也假 C ．该命题的逆命题为假，逆否命题为真 D ．该命题的逆命题为假，逆否命题也为假[解析] 如：当c ＝0时，方程x 2＋x ＋c ＝0有实数解，该命题的逆命题“若方程x 2＋x ＋c ＝0有实数解，则c <0”是假命题；若c <0，则Δ＝1－4c >0，命题“若c <0，则方程x 2＋x ＋c ＝0有实数解”是真命题，故其逆否命题是真命题．4．已知一个命题与它的逆命题、否命题、逆否命题，在这四个命题中( B ) A ．真命题个数一定是奇数 B ．真命题个数一定是偶数C ．真命题个数可能是奇数，也可能是偶数D ．以上判断都不对[解析] 因为原命题是真命题，则它的逆否命题一定是真命题，一个命题的逆命题是真命题，则它的否命题一定是真命题，故选B ．5．对于实数a 、b 、c ，下列命题中是真命题的是( B ) A ．若a >b ，则ac >bc B ．若ac 2>bc 2，则a >b C ．若a >b ，则ac 2>bc 2 D ．若a >b ，则1a <1b[解析] ∵ac 2>bc 2，∴c 2>0，∴a >b . 6．有下列四个命题：(1)“若x ＋y ＝0，则x 、y 互为相反数”的否命题； (2)“对顶角相等”的逆命题；(3)“若x ≤－3，则x 2－x －6>0”的否命题；(4)“直角三角形的两锐角互为余角”的逆命题．其中真命题的个数是(B)A．0B．1C．2D．3[解析](1)“若x＋y≠0，则x与y不是相反数”是真命题．(2)“对顶角相等”的逆命题是“相等的角是对顶角”是假命题．(3)原命题的否命题是“若x>－3，则x2－x－6≤0”，解不等式x2－x－6≤0可得－2≤x≤3，当x＝4时，x>－3而x2－x－6＝6>0，故是假命题．(4)“若一个三角形的两锐角互为余角，则这个三角形是直角三角形”，真命题．二、填空题7．命题“若x＝3，y＝5，则x＋y＝8”的逆命题是__逆命题：若x＋y＝8，则x＝3，y ＝5__；否命题是__否命题：若x≠3或y≠5，则x＋y≠8__，逆否命题是__逆否命题：x＋y≠8，则x≠3或y≠5__.8．命题“若a>b，则2a>2b”的否命题是__若a≤b，则2a≤2b__，为__真__(填“真”或“假”)命题.[解析]指数函数y＝2x在R上为增函数，所以其否命题为真．三、解答题9．写出下列命题的逆命题、否命题与逆否命题．(1)如果一条直线垂直于平面内的两条相交直线，那么这条直线垂直于这个平面；(2)如果x>10，那么x>0；(3)当x＝2时，x2＋x－6＝0.[解析](1)逆命题：如果一条直线垂直于一个平面，那么这条直线垂直于这个平面内的两条相交直线；否命题：如果一条直线不垂直于平面内的两条相交直线，那么这条直线不垂直于这个平面；逆否命题：如果一条直线不垂直于一个平面，那么这条直线不垂直于这个平面内的两条相交直线．(2)逆命题：如果x>0，那么x>10；否命题：如果x≤10，那么x≤0；逆否命题：如果x≤0，那么x≤10.(3)逆命题：如果x2＋x－6＝0，那么x＝2；否命题：如果x≠2，那么x2＋x－6≠0；逆否命题：如果x2＋x－6≠0，那么x≠2.B级素养提升一、选择题1．命题“如果a、b都是奇数，则ab必为奇数”的逆否命题是(B)A．如果ab是奇数，则a、b都是奇数B．如果ab不是奇数，则a、b不都是奇数C．如果a、b都是奇数，则ab不是奇数D．如果a、b不都是奇数，则ab不是奇数[解析]命题“如果a、b都是奇数，则ab必为奇数”的逆否命题是“如果ab不是奇数，则a、b不都是奇数”．2．若命题p的否命题为r，命题r的逆命题为s、p的逆命题为t，则s是t的(C) A．逆否命题B．逆命题C．否命题D．原命题[解析]解法一：特例：在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，p：若∠A＝∠B，则a＝b，r：若∠A≠∠B，则a≠b，s：若a≠b，则∠A≠∠B，t：若a＝b，则∠A＝∠B．故s是t的否命题．解法二：如图可知，s与t互否．3．命题：“若a2＋b2＝0(a、b∈R)，则a＝0且b＝0”的逆否命题是(D)A．若a≠b≠0(a、b∈R)，则a2＋b2≠0B．若a＝b≠0(a、b∈R)，则a2＋b2≠0C．若a≠0且b≠0(a、b∈R)，则a2＋b2≠0D．若a≠0或b≠0(a、b∈R)，则a2＋b2≠0[解析]命题中的条件及结论的否定分别是a2＋b2≠0，a≠0或b≠0(a、b∈R)，所以命题的逆否命题是“若a≠0或b≠0(a、b∈R)，则a2＋b2≠0”．4．(2016·山东济南高二检测)原命题“圆内接四边形是等腰梯形”，则下列说法正确的是(C)A．原命题是真命题B．逆命题是假命题C．否命题是真命题D．逆否命题是真命题[解析]原命题可改写为：若一个四边形是圆内接四边形，则该四边形是等腰梯形，为假命题；逆命题为：若一个四边形是等腰梯形，则该四边形是圆内接四边形，是真命题；原命题的否命题是真命题，逆否命题为假命题，故选C．5．给出命题：若函数y ＝f (x )是幂函数，则函数y ＝f (x )的图象不过第四象限，在它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中，真命题的个数是( C )A ．3B ．2C ．1D ．0[解析] 由题意，知原命题为真命题，则逆否命题为真命题．逆命题为“若函数y ＝f (x )的图象不过第四象限，则函数y ＝f (x )是幂函数”．若f (x )＝3x 2，假命题．则否命题也为假命题．二、填空题6．(2016·山东枣庄高二检测)有下列三个命题： ①“全等三角形的面积相等”的否命题；②“若q ≤1，则x 2＋2x ＋q ＝0有实根”的逆命题； ③“不等边三角形的三个内角相等”的逆否命题． 其中所有真命题的序号为__②__.[解析] 命题①可考虑“全等三角形的面积相等”的逆命题：“面积相等的三角形是全等三角形”，是假命题，因此命题①是假命题；命题②是“若x 2＋2x ＋q ＝0有实根，则q ≤1”，是真命题；命题③是假命题．7．已知命题“若m －1<x <m ＋1，则1<x <2”的逆命题为真命题，则m 的取值范围为__[1,2]__.[解析] 由已知得，若1<x <2成立，则m －1<x <m ＋1也成立．∴⎩⎪⎨⎪⎧m －1≤1m ＋1≥2，∴1≤m ≤2. 8．已知p (x )：x 2＋2x －m >0，若p (1)是假命题，p (2)是真命题，则实数m 的取值范围为__[3,8)__.[解析] 因为p (1)是假命题，所以1＋2－m ≤0，解得m ≥3；又p (2)是真命题，所以4＋4－m >0，解得m <8.故实数m 的取值范围是[3,8)．C 级 能力提高1．(2016·山东菏泽高二检测)设原命题为“已知a 、b 是实数，若a ＋b 是无理数，则a 、b 都是无理数”．写出它的逆命题、否命题和逆否命题，并分别说明它们的真假.[解析] 逆命题：已知a 、b 为实数，若a 、b 都是无理数，则a ＋b 是无理数． 如a ＝2，b ＝－2，a ＋b ＝0为有理数，故为假命题．否命题：已知a 、b 是实数，若a ＋b 不是无理数，则a 、b 不都是无理数． 由逆命题为假知，否命题为假．逆否命题：已知a 、b 是实数，若a 、b 不都是无理数，则a ＋b 不是无理数． 如a ＝2，b ＝2，则a ＋b ＝2＋2是无理数，故逆否命题为假．2．(2016·山西太原高二检测)在等比数列{a n }中，前n 项和为S n ，若S m ，S m ＋2，S m ＋1成等差数列，则a m ，a m ＋2，a m ＋1成等差数列.(1)写出这个命题的逆命题、否命题、逆否命题；(2)判断这个命题的逆命题何时为假，何时为真，并给出证明．[解析] (1)这个命题的逆命题是在等比数列{a n }中，前n 项和为S n ，若a m ，a m ＋2，a m ＋1成等差数列，则S m ，S m ＋2，S m ＋1成等差数列．否命题是：在等比数列{a n }中，前n 项和为S n ，若S m ，S m ＋2，S m ＋1不成等差数列，则a m ，a m ＋2，a m ＋1不成等差数列．逆否命题是：在等比数列{a n }中，前n 项和为S n ，若a m ，a m ＋2，a m ＋1不成等差数列，则S m ，S m ＋2，S m ＋1不成等差数列．(2)设等比数列{a n }的公比为q ，则当q ＝1时，这个命题的逆命题为假，证明如下： 易知a m ＝a m ＋2＝a m ＋1＝a 1≠0，若a m ，a m ＋2，a m ＋1成等差数列，则S m ＋2－S m ＝2a 1，S m ＋1－S m ＋2＝－a 1，显然S m ＋2－S m ≠S m ＋1－S m ＋2.当q ≠1时，这个命题的逆命题为真，证明如下： 因为a m ＝a 1q m －1，a m ＋2＝a 1q m ＋1，a m ＋1＝a 1q m ，若a m ，a m ＋2，a m ＋1成等差数列，则a 1q m －1＋a 1q m ＝2a 1q m ＋1， 即1＋q ＝2q 2，也就是1－q 2＝q 2－q ，又S m ＋2－S m ＝a 1(1－q m ＋2)1－q －a 1(1－q m )1－q ＝a 1(1－q 2)q m 1－q ，S m ＋1－S m ＋2＝a 1(1－q m ＋1)1－q －a 1(1－q m ＋2)1－q＝a 1(q 2－q )q m 1－q ＝a 1(1－q 2)q m1－q ，即S m ＋2－S m ＝S m ＋1－S m ＋2.第一章 1.2 1.2.1A 级 基础巩固一、选择题1．设x ∈R ，则x >2的一个必要不充分条件是( A ) A ．x >1 B ．x <1 C ．x >3D ．x <3[解析] 首先要分清“条件p ”(此题中是选项A 或B 或C 或D)和“结论q ”(此题中是“x >2”)，p 是q 的必要不充分条件，即p 不能推出q 且q ⇒p ，显然只有A 满足．2．下列“若p ，则q ”形式的命题中，p 是q 的充分条件的是( A )A ．若1x ＝1y ，则x ＝yB ．若x 2＝1，则x ＝1C ．若x ＝y ，则x ＝yD ．若x <y ，则x 2<y 2[解析] B 项中，x 2＝1⇒x ＝1或x ＝－1；C 项中，当x ＝y <0时，x ，y 无意义；D 项中，当x <y <0⇒x 2>y 2，所以B ，C ，D 中p 不是q 的充分条件．3．(2016·福建厦门高二检测)下列“若p ，则q ”形式的命题中，p 是q 的充分条件的命题个数为( B )①若f (x )是周期函数，则f (x )＝sin x ； ②若x >5，则x >2； ③若x 2－9＝0，则x ＝3. A ．0 B ．1 C ．2D ．3[解析] ①中，周期函数还有很多，如y ＝cos x ，所以①中p 不是q 的充分条件；很明显②中p 是q 的充分条件；③中，当x 2－9＝0时，x ＝3或x ＝－3，所以③中p 不是q 的充分条件．所以p 是q 的充分条件的命题个数为1，故选B ．4．(2016·广西南宁高二检测)“x (2x －1)＝0”是“x ＝0”的( B ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件[解析] 由x (2x －1)＝0，得x ＝0或x ＝12，故x (2x －1) ⇒/x ＝0一定成立，而x ＝0⇒x (2x－1)＝0成立，∴“x (2x －1)＝0”是“x ＝0”的必要不充分条件．5．“a ＝－2”是“直线l 1：(a ＋1)x ＋y －2＝0与直线l 2：ax ＋(2a ＋2)y ＋1＝0互直垂直”的( A )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件[解析] 由l 1⊥l 2，得a (a ＋1)＋2a ＋2＝0， 解得a ＝－1或a ＝－2，故选A ．6．(2016·天津文)设x >0，y ∈R ，则“x >y ”是“x >|y |”的( C ) A ．充要条件 B ．充分而不必要条件 C ．必要而不充分条件D ．既不充分也不必要条件[解析] 由x >y 推不出x >|y |，由x >|y |能推出x >y ，所以“x >y ”是“x >|y |”的必要而不充分条件．二、填空题7．已知p：x＝3，q：x2＝9，则p是q的__充分不必要__条件．(填：充分不必要、必要不充分、充要、既不充分又不必要)[解析]x＝3⇒x2＝9，x2＝9⇒/x＝3，故p是q的充分不必要条件．8．已知a、b是实数，则“a>0且b>0”是“a＋b>0且ab>0”的__充要__条件.[解析]a>0且b>0⇒a＋b>0且ab>0，a＋b>0且ab>0⇒a>0且b>0，故填充要．三、解答题9．下列各题中，p是q的什么条件？(1)p：x＝1；q：x－1＝x－1；(2)p：－1≤x≤5；q：x≥－1且x≤5；(3)p：三角形是等边三角形；q：三角形是等腰三角形．[解析](1)充分不必要条件当x＝1时，x－1＝x－1成立；当x－1＝x－1时，x＝1或x＝2.(2)充要条件∵－1≤x≤5⇔x≥－1且x≤5.(3)充分不必要条件∵等边三角形一定是等腰三角形，而等腰三角形不一定都是等边三角形．B级素养提升一、选择题1．(2015·北京理)设α、β是两个不同的平面，m是直线且mα，“m∥β”是“α∥β”的(B)A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件[解析]由面面平行的判定定理可知，由m∥β⇒/α∥β，故充分性不成立；而α∥β⇒m ∥β，必要性成立．2．(2016·重庆八中高二检测)已知命题p：x＋y＝－2；命题q：x、y都等于－1，则p 是q的(B)A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件[解析]x＋y＝－2⇒/x＝－1，y＝－1；x＝－1，y＝－1⇒x＋y＝－2，故p是q的必要不充分条件．3．(2016·山东潍坊高二期中)命题甲：“x≠2或y≠3”是命题乙：“x＋y≠5”的(C) A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件[解析]若x≠2或y≠3时，如x＝1，y＝4，则x＋y＝5，即x＋y≠5不成立，故命题甲：x≠2或y≠3⇒命题乙：x＋y≠5为假命题；若x＝2，y＝3成立，则x＋y＝5一定成立，即x＝2，y＝3⇒x＋y＝5为真命题，根据互为逆否命题真假性相同，故命题乙：x＋y≠5⇒命题甲：x≠2或y≠3也为真命题．故甲是乙的必要不充分条件．4．“a＝1”是“函数f(x)＝x2－4ax＋3在区间[2，＋∞)上为增函数”的(B)A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件[解析]由函数f(x)＝x2－4ax＋3在区间[2，＋∞)上为增函数，得2a≤2，即a≤1，故选B．5．若p：|x|＝x，q：x2＋x≥0，则p是q的(A)A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件[解析]设p：{x||x|＝x}＝{x|x≥0}＝A，q：{x|x2＋x≥0}＝{x|x≥0或x≤－1}＝B，∵A B，∴p是q的充分不必要条件．故选A．二、填空题6．下列不等式：①x<1；②0<x<1；③－1<x<0；④－1<x<1.其中，可以是x2<1的一个充分条件的所有序号为__②③④__.[解析]由于x2<1，即－1<x<1，①显然不能使－1<x<1一定成立，②、③、④满足题意．7．“k>4，b<5”是“一次函数y＝(k－4)x＋b－5的图象交y轴于负半轴，交x轴于正半轴”的__充要__条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”)[解析]当k>4，b<5时，函数y＝(k－4)x＋b－5的图象如图所示．由一次函数y ＝(k －4)x ＋b －5的图象交y 轴于负半轴，交x 轴于正半轴时，即x ＝0，y ＝b －5<0，∴b <5.当y ＝0时，x ＝5－bk －4>0，∵b <5，∴k >4.故填“充要”．8．命题p ：sin α＝sin β，命题q ：α＝β，则p 是q 的__必要不充分__条件. [解析] sin α＝sin β⇒/α＝β，α＝β⇒sin α＝sin β，故填必要不充分．C 级 能力提高1．指出下列各组命题中，p 是q 的什么条件. (用“充分条件”或“必要条件”作答) (1)向量a ＝(x 1，y 1)、b ＝(x 2，y 2)，p ：x 1x 2＝y 1y 2，q ：a ∥b ；(2)p ：|x |＝|y |，q ：x ＝－y ；(3)p ：直线l 与平面α内两条平行直线垂直，q ：直线l 与平面α垂直；(4)f (x )、g (x )是定义在R 上的函数，h (x )＝f (x )＋g (x )，p ：f (x )、g (x )均为偶函数，q ：h (x )为偶函数．[解析] (1)由向量平行公式可知：p ⇒q ，但当b ＝0时，a ∥b 不能推出x 1x 2＝y 1y 2，即q 不能推出p ，∴p 是q 的充分条件．(2)∵|x |＝|y |⇒x ＝±y ，∴p 不能推出q ，但q ⇒p ， ∴p 是q 的必要条件．(3)由线面垂直的判定定理可知：p 不能推出q ，但由线面垂直的定义可知：q ⇒p ，∴p 是q 的必要条件．(4)若f (x )、g (x )均为偶函数，则h (－x )＝f (－x )＋g (－x )＝f (x )＋g (x )＝h (x )，∴p ⇒q ，但q 不能推出p ，∴p 是q 的充分条件．2．求证：关于x 的方程x 2＋mx ＋1＝0有两个负实根的充要条件是m ≥2. [解析] (1)充分性：∵m ≥2，∴Δ＝m 2－4≥0，方程x 2＋mx ＋1＝0有实根， 设x 2＋mx ＋1＝0的两根为x 1、x 2， 由韦达定理知：x 1x 2＝1>0，∴x 1、x 2同号， 又∵x 1＋x 2＝－m ≤－2，∴x 1、x 2同为负根．(2)必要性：∵x 2＋mx ＋1＝0的两个实根x 1，x 2均为负，且x 1·x 2＝1， 需Δ＝m 2－4≥0且x 1＋x 2＝－m <0，即m ≥2. 综上可知，命题成立．第一章 1.2 1.2.2A 级 基础巩固一、选择题1．(2016·甘肃通渭县高二检测)设p ：1<x <2；q ：2x >1，则p 是q 成立的( A ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件[解析] ∵1<x <2⇒2x >1， 而 2x >1⇒/1<x <2，故选A ．2．一次函数y ＝－m n x ＋1n 的图象同时经过第一、三、四象限的必要不充分条件是( B )A ．m >1，n <－1B ．mn <0C ．m >0，n <0D ．m <0，n <0 [解析] 先找出原条件的等价条件，因为此一次函数过第一、三、四象限，所以⎩⎨⎧－m n>01n <0⇔⎩⎪⎨⎪⎧m >0，n <0.从而A ，B ，C ，D 中只有B 满足题意． 3．“x >1”是“log 12(x ＋2)<0”的( B )A ．充要条件B ．充分而不必要条件C ．必要而不充分条件D ．既不充分也不必要条件[解析] log 12(x ＋2)<0＝log 121，∴x ＋2>1即x >－1，而x >1⇒x >－1，反之不然．故选B ．4．“a ＝2”是“直线ax ＋2y ＝0平行于直线x ＋y ＝1”的( C ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 [解析] 若a ＝2，则ax ＋2y ＝0即为x ＋y ＝0与直线x ＋y ＝1平行，反之若ax ＋2y ＝0与x ＋y ＝1平行，则－a2＝－1，a ＝2，故选C ．5．已知平面向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝2，a 与b 的夹角为60°，则“m ＝1”是“(a －m b)⊥a”的(C)A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件[解析]∵|a|＝1，|b|＝2，〈a，b〉＝60°，∴a·b＝1×2×cos60°＝1，(a－m b)⊥a⇔(a－m b)·a＝0⇔|a|2－m a·b＝0⇔m＝1，故选C．6．下列四个条件中，使a>b成立的充分而不必要的条件是(A)A．a>b＋1 B．a>b－1C．a2>b2D．a3>b3[解析]∵a>b＋1⇒a－b>1⇒a－b>0⇒a>b，∴a>b＋1是a>b的充分条件．又∵a>b⇒a－b>0⇒/a>b＋1，∴a>b＋1不是a>b的必要条件，∴a>b＋1是a>b成立的充分而不必要条件．二、填空题7．若条件p：(x＋1)2>4，条件q：x2－5x＋6<0，则q是p的__充分不必要__条件.[解析]因为(x＋1)2>4，所以x<－3或x>1.又x2－5x＋6<0，所以2<x<3，所以q⇒p，即q是p的充分不必要条件．8．已知数列{a n}，那么“对任意的n∈N＋，点P n(n，a n)，都在直线y＝2x＋1上”是“{a n}为等差数列”的__充分不必要__条件.[解析]点P n(n，a n)都在直线y＝2x＋1上，即a n＝2n＋1，∴{a n}为等差数列，但是{a n}是等差数列却不一定就是a n＝2n＋1.三、解答题9．(2016·山东济南高二检测)指出下列各题中p是q的什么条件.(1)p：x－2＝0；q：(x－2)(x－3)＝0；(2)p：两个三角形相似；q：两个三角形全等；(3)p：m<－2；q：方程x2－x－m＝0无实根；(4)p：一个四边形是矩形；q：四边形的对角线相等．[解析](1)因为x－2＝0⇒(x－2)(x－3)＝0，而(x－2)(x－3)＝0⇒/x－2＝0，所以p是q的充分不必要条件．(2)因为两个三角形相似⇒/两个三角形全等，而两个三角形全等⇒两个三角形相似，所以p是q的必要不充分条件．(3)因为m<－2⇒方程x2－x－m＝0无实根，而方程x 2－x －m ＝0无实根⇒/m <－2， 所以p 是q 的充分不必要条件． (4)因为矩形的对角线相等，所以p ⇒q .而对角线相等的四边形不一定是矩形，所以q ⇒/p . 所以p 是q 的充分不必要条件．B 级 素养提升一、选择题1．设{a n }是等比数列，则“a 1<a 2<a 3”是“数列{a n }是递增数列”的( C ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件[解析] 若a 1<a 2<a 3，则a 1<a 1q <a 1q 2，若a 1>0，则q >1，此时为递增数列，若a 1<0，则0<q <1，同样为递增数列，故充分性成立，必要性显然成立．2．若命题甲是命题乙的充分不必要条件，命题丙是命题乙的必要不充分条件，命题丁是命题丙的充要条件，则命题丁是命题甲的( B )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件[解析] 由条件知，甲⇒乙⇒丙⇔丁， ∴甲⇒丁且丁⇒/甲，故选B ．3．“φ＝π”是“曲线y ＝sin (2x ＋φ)过坐标原点”的( A ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件[解析] 本题考查充要条件及三角函数的性质．当φ＝π时，y ＝sin (2x ＋π)＝－sin 2x ，此时图象过原点；而当函数图象过原点时，可以取其他值．选A ．4．设四边形ABCD 的两条对角线为AC 、BD ，则“四边形ABCD 为菱形”是“AC ⊥BD ”的( A )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件[解析] 菱形的对角线互相垂直，对角线互相垂直的四边形不一定是菱形．故选A ．5．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x >0，－2x ＋a ，x ≤0有且只有一个零点的充分不必要条件是( A )A ．a <0B ．0<a <12C ．12<a <1D ．a ≤0或a >1[解析] 因为函数f (x )过点(1,0)，所以函数f (x )有且只有一个零点⇔函数y ＝－2x ＋a (x ≤0)没有零点⇔函数y ＝2x (x ≤0)与直线y ＝a 无交点．数形结合可得，a ≤0或a >1，即函数f (x )有且只有一个零点的充要条件是a ≤0或a >1，应排除D ；当0<a <12时，函数y ＝－2x ＋a (x ≤0)有一个零点，即函数f (x )有两个零点，应排除B ；同理，排除C ．故选A ．二、填空题6．“a ＝b ”是“直线y ＝x ＋2与圆(x －a )2＋(y －b )2＝2相切”的__充分不必要__条件. [解析] 圆心为(a ，b )，半径r ＝ 2.若a ＝b ，有圆心(a ，b )到直线y ＝x ＋2的距离d ＝r ，所以直线与圆相切．若直线与圆相切，有|a －b ＋2|2＝2，则a ＝b 或a －b ＝－4，所以“a＝b ”是“直线与圆相切”的充分不必要条件．7．已知全集S ，若p ：A B ，q ：∁S B ∁S A ，则p 是q 的__充要__条件. [解析] 利用集合的图示法，如下图，A B ⇒∁S B∁S A ，∁S B ∁S A ⇒A B ⊆S .∴p 是q 的充分条件，也是必要条件， 即p 是q 的充要条件．8．已知p ：2x ＋m >0，q ：x 2－4x >0，若p 是q 的充分条件，则实数m 的取值范围是__m ≤－8__.[解析] p ：x >－m2，q ：x <0或x >4，由条件知p ⇒q ，∴－m2≥4，∴m ≤－8.C 级 能力提高1．求证：一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一正根和一负根的充要条件是ac <0. [解析] 充分性：(由ac <0推证方程有一正根和一负根) ∵ac <0，∴一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的判别式Δ＝b 2－4ac >0， ∴方程一定有两不等实根，设为x 1、x 2，则x 1x 2＝ca <0，∴方程的两根异号．即方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一正根和一负根. 必要性：(由方程有一正根和一负根，推证ac <0)， ∵方程有一正根和一负根，设为x 1、x 2， 则由根与系数的关系得x 1x 2＝ca <0，即ac <0，综上可知：一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一正根和一负根的充要条件是ac <0. 2．(2016·浙江杭州高二检测)设p ：⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋3y －12≥03－x ≥0x ＋3y ≤12，q ：x 2＋y 2>r 2(x 、y ∈R ，r >0)，若p 是q 的充分不必要条件，求实数r 的取值范围.[解析] 设A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫(x ，y )⎪⎪⎪⎩⎪⎨⎪⎧ 4x ＋3y －12≥03－x ≥0x ＋3y ≤12， B ＝{(x ，y )|x 2＋y 2>r 2，x 、y ∈R ，r >0}．如图，集合A 表示的区域为图中阴影部分，集合B 表示以原点为圆心、r 为半径的圆的外部．设原点到直线4x ＋3y －12＝0的距离为d ， 则d ＝|4×0＋3×0－12|5＝125.∵p 是q 的充分不必要条件，∴A B ，∴0<r <125，∴实数r 的取值范围是(0，125)． 第一章 1.3 1.3.1 1.3.2A 级 基础巩固一、选择题1．如果命题“p 或q ”是真命题，“p 且q ”是假命题．那么( D ) A ．命题p 和命题q 都是假命题B．命题p和命题q都是真命题C．命题p为真命题，q为假命题D．命题q和命题p的真假不同[解析]“p或q”是真命题，则p，q至少有一个是真命题；“p且q”是假命题，则p，q至少有一个是假命题，所以p，q有且只有一个是真命题，故选D．2．若命题p：1不是质数，命题q：2是合数，则下列结论中正确的是(B)A．“p∨q”为假B．“p∨q”为真C．“p∧q”为真D．以上都不对[解析]命题p为真命题，命题q为假命题，故“p∨q”为真命题．3．(2016·山东青岛高二检测)下列命题是真命题的是(B)A．5>2且7>8B．3>4或3<4C．9≤7D．方程x2－3x＋4＝0有实根[解析]3>4是假命题，3<4是真命题，故3>4或3<4是真命题．4．命题“p或q为真”是命题“q且p为真”的(B)A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件[解析]若p或q为真，则p、q一真一假或p、q均为真，若q且p为真，则q、p均为真，故选B．5．设命题p：x>2是x2>4的充要条件；命题q：若ac2>bc2，则a>b，则(A)A．p∨q为真B．p∧q为真C．p真q假D．p、q均为假[解析]x>2⇒x2>4，x2>4⇒/x>2，故p为假命题；由ac2>bc2⇒a>b，故q为真命题，∴p∨q为真，p∧q为假，故选A．6．已知命题p：1∈{x|(x＋2)(x－3)<0}，命题q：∅＝{0}，则下列判断正确的是(B) A．p假q假B．“p或q”为真C．“p且q”为真D．p假q真[解析]∵{x|(x＋2)(x－3)<0}＝{x|－2<x<3}，∴1∈{x|(x＋2)(x－3)<0}，∴p真．∵∅≠{0}，∴q假．故“p或q”为真，“p且q”为假，故选B．二、填空题。
人教A版选修1-1第一章常用逻辑用语综合检测题(解析版)
人教A 版选修1-1第一章常用逻辑用语综合检测题（解析版）一、单选题 1．命题“c R ，22ac bc <”的否定是（ ）.A ．c R ∀∉，22ac bc ≥B ．c R ∃∉，22ac bc ≥C ．c R ，22ac bc ≥D ．c R ∃∈，22ac bc ≥【答案】D 【分析】根据全称命题的否定是特称命题进行判断即可. 【详解】 因为命题“c R ，22ac bc <”为全称命题，所以其否定为特称命题，即c R ∃∈，22ac bc ≥.故选：D .2．已知命题p ：∃x 0∈（1,+∞），0012x x +=；命题q ：∀x ∈R ，9x 2﹣6x +2＞0.那么下列命题不正确的是（ ） A ．p q ⌝∨ B ．p q ∨⌝C ．p q ⌝∨⌝D ．p q ∨【答案】B 【分析】由命题描述知p 为假，q 为真，判断由它们用逻辑联结词构成命题的真假，进而确定假命题的选项即可. 【详解】当且仅当x 0＝1时，0012x x +=，故命题p 为假；对于方程9x 2﹣6x +2＝0的2(6)4920∆=--⨯⨯<.故命题q 为真，∴p ⌝为真，q ⌝为假，故选项中只有p q ∨⌝为假， 故选：B.3．“0a b >>”是“222a b ab +<”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A 【分析】由题意分别考查充分性和必要性是否成立即可. 【详解】2202a b a b ab >>⇒+>，充分性成立，222a b ab a b +<⇒≠，a ，b R ∈，必要性不成立，故选A ．【点睛】本题主要考查了充分性和必要性的判断，属于基础题.4．已知命题,cos()cos p x R x x π∃∈-=:；命题2:,10q x R x ∀∈+>.则下面结论正确的是（ ） A ．p q ∧是真命题 B ．p q ∧是假命题C ．p ⌝是真命题D ．p 是假命题【答案】A 【分析】先确定命题,p q 真假性，再判断复合命题真假性. 【详解】,cos()cos 2x x x ππ∃=-=∴命题,cos()cos p x R x x π∃∈-=:为真命题；2,110x R x ∀∈+≥>∴命题2:,10q x R x ∀∈+>为真命题；因此p q ∧是真命题，p ⌝是假命题， 故选：A 【点睛】本题考查判断命题真假以及复合命题真假，考查基本分析判断能力，属基础题. 5．已知集合A ={x |x >5}，集合B ={x |x >a }，若命题“x ∈A ”是命题“x ∈B ”的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(-∞，5) B ．(-∞，5] C ．(5，+∞) D ．[5，+∞)【答案】A 【解析】 【分析】由“x ∈A ”是命题 “x ∈B ”的充分不必要条件可得A 是B 的真子集，结合数轴即可得解. 【详解】由题意可知，A ⫋B ，又A ={x |x >5}， B ={x |x >a }，如图所示， 由图可知，a <5. 故选：A. 【点睛】本题考查了充分必要条件，考查了命题语言和集合语言的转化，考查转化思想，整体计算量不大，属于简单题.6．设m R ∈，命题“若0m <，则方程20x x m ++=有实根”的逆否命题是（ ） A ．若方程20x x m ++=有实根，则0m < B ．若方程20x x m ++=有实根，则0m ≥ C ．若方程20x x m ++=没有实根，则0m < D ．若方程20x x m ++=没有实根，则0m ≥ 【答案】D 【分析】直接利用逆否命题的定义写出结果判断选项即可. 【详解】“0m <”的否定是“0m ≥”，“方程2+0x x m +=有实根”的否定是“方程2+0x x m +=没有实根”， 因此原命题的逆否命题是“若方程2+0x x m +=没有实根，则0m ≥”， 故选：D ． 【点睛】该题考查的是有关写出命题的逆否命题的问题，在解题的过程中，注意原命题与逆否命题之间的关系，原命题确定之后，其逆否命题的形式，属于基础题.7．已知命题p ：()22xxf x -=+是偶函数，命题q ：若21a ≤，则1a ≤，则下列命题为真命题的是（ ） A ．p q ∧ B ．()p q ∧⌝ C ．()p q ⌝∧ D ．()()p q ⌝∧⌝【答案】A 【分析】根据函数的奇偶性的判断可得命题p 是真命题，利用不等式的解法可得命题q 为真命题，再由复合命题的真假判断可得选项. 【详解】 因为()()22xx f x f x --=+=，所以函数()f x 是偶函数，所以p 是真命题，p ⌝是假命题，又21a ≤，解得11a -≤≤，满足1a ≤，所以q 是真命题，q ⌝是假命题，所以p q ∧是真命题，()p q ∧⌝是假命题，()p q ⌝∧是假命题，()()p q ⌝∧⌝是假命题，故选：A.8．已知1:2310l x y +-=，2:320l mx y +-=，则命题“m ∃∈R ，使1l 与2l 平行”的否定是（ ）A ．m ∃∈R ，使1l 与2l 平行B ．m ∃∈R ，使1l 与2l 不平行C ．m R ∀∈，使1l 与2l 平行D ．m R ∀∈，使1l 与2l 不平行【答案】D 【分析】根据特称命题的否定变换形式即可得出结果. 【详解】命题“m ∃∈R ，使1l 与2l 平行”， 命题的否定：m R ∀∈，使1l 与2l 不平行， 故选：D9．下列选项叙述错误的是（ ）A ．命题“若1x ≠，则2320x x -+≠”的逆否命题是“若2320x x -+=，则1x =”B ．若命题:p x AB ∈，则命题p ⌝是x A ∉或x B ∉C ．若p q ∨为真命题，则p ，q 均为真命题D ．“2x >”是“2320x x -+>”的充分不必要条件【答案】C 【分析】根据逆否命题的定义，即可判断A 的正误；根据命题的否定，可判断B 的正误；根据“或”命题的性质，可判断C 的正误；根据充分、必要条件的定义，可判断D 的正误，即可得答案. 【详解】对于A ：命题“若1x ≠，则2320x x -+≠”的逆否命题是“若2320x x -+=，则1x =”，故A 正确，所以A 不符合题意； 对于B ：若命题:p x AB ∈，即x A ∈且x B ∈，则命题p ⌝是x A ∉或x B ∉，故B正确，所以B 不符合题意；对于C ：若p q ∨为真命题，则p ，q 有一个为真命题或两个都为真命题，故C 错误，所以C 符合题意；对于D ：因为2320x x -+>，所以2x >或1x <，所以2x >”是“2320x x -+>”的充分不必要条件，故D 正确，所以D 不符合题意. 故选：C10．有下列四个命题：①“若xy ＝1，则x ，y 互为倒数”的逆命题； ②“面积相等的三角形全等”的否命题；③“若1m ，则x 2﹣2x +m ＝0有实数解”的逆否命题； ④“若AB B =，则A B ⊂”的逆否命题．其中为真命题的是（ ） A ．①② B ．②③ C ．④ D ．①②③【答案】D 【分析】根据四种的形式及命题的等价关系，逐项判定，即可求解. 【详解】①中，命题“若xy ＝1，则x ，y 互为倒数”的逆命题是 “若x ，y 互为倒数，则xy ＝1”是真命题，故①正确；②中，命题“面积相等的三角形全等”的否命题是：“面积不相等的三角形不全等”是真命题，故②正确；③中，命题若x 2﹣2x +m ＝0有实数解，则440m ∆=-≥，解得1m ，所以若1m ，可得x 2﹣2x +m ＝0有实数解”是真命题，所以“若1m ，则x 2﹣2x +m ＝0有实数解”的逆否命题是“若x 2﹣2x +m ＝0没有有实数解，则m ＞1”是真命题，故③正确；④中，若A ∩B ＝B ，则B A ⊆，故原命题错误，所以若A ∩B ＝B ，则A ⊂B ”的逆否命题是错误， 故④错误； 故选：D ．11．若命题P :1x ≠或2y ≠，命题Q :3x y +≠，则P 是Q 的（ ）条件 A ．充分不必要 B ．必要不充分C ．充要D ．既不充分又不必有 【答案】B 【分析】通过举反例，判断出P 成立推不出Q 成立，通过判断逆否命题的真假，判断出原命题的真假得到后者成立能推出前者成立，由充分条件、必要条件的定义得到结论． 【详解】当0x =，3y =时，Q 不成立，即P Q ⇒不成立，即充分性不成立； 判断必要性时，写出原命题：1x ≠或2y ≠时，则3x y +≠， 由于原命题不好判断，故转化为逆否命题进行判断，即原命题变为：若3x y +=，则有1x =且2y =，对于该命题，明显成立，所以，原命题也成立；即必要性成立；所以P 是Q 的必要而不充分条件， 故选B 【点睛】关键点睛：判断一个命题是另一个命题的什么条件，一般先判断前者成立是否能推出后者成立，再判断后者成立能否推出前者成立；本题难点在于：利用逆否命题的真假性判断原命题的真假性，属于中档题．12．在整数集Z 中，被6除所得余数为k 的所有整数组成一个“类”，记为[]k ，即[]{}6k n k n Z =+∈，1k =，2，3，4，5给出以下五个结论：①[]55-∈；②[][][][][][]012345=⋃⋃⋃⋃⋃Z ；③“整数a 、b 属于同一“类””的充要条件是“[]0a b -∈”；④“整数a 、b 满足[]1∈a ，[]2b ∈”的充要条件是“[]3+∈a b ”，则上述结论中正确的个数是（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】B 【分析】根据“类”的定义逐一进行判断可得答案. 【详解】①因为[]{}565|n n Z =+∈，令655n +=-，得10563n =-=-Z ∉，所以[]55-∉，①不正确；②[][][][][][]012345⋃⋃⋃⋃⋃{}{}{}1122336|61|62|n n Z n n Z n n Z =∈+∈+∈{}4463|n n Z +∈{}5564|n n Z +∈{}6665|n n Z +∈Z =，故②正确；③若整数a 、b 属于同一“类”，则整数,a b 被6除所得余数相同，从而-a b 被6除所得余数为0，即[]0a b -∈；若[]0a b -∈，则-a b 被6除所得余数为0，则整数,a b 被6除所得余数相同，故“整数a 、b 属于同一“类””的充要条件是“[]0a b -∈”，所以③正确；④若整数a 、b 满足[]1∈a ，[]2b ∈，则161a n =+，1n Z ∈，262b n =+，2n Z ∈， 所以126()3a b n n +=++，12n n Z +∈，所以[]3+∈a b ；若[]3+∈a b ，则可能有[][]2,1a b ∈∈，所以“整数a 、b 满足[]1∈a ，[]2b ∈”的必要不充分条件是“[]3+∈a b ”，所以④不正确. 故选：B 【点睛】关键点点睛：对新定义的理解以及对充要条件的理解是本题解题关键.二、填空题13．设r 是q 的充分条件，s 是q 的充要条件，t 是s 的必要条件，t 是r 的充分条件，那么r 是t 的_____． 【答案】充要根据题目已知的关系，分别列出推出关系即可得解. 【详解】由题意知，r q ⇒，q s ⇔，s t ⇒，t r ⇒，所以r t ⇔． 故答案为：充要 【点睛】此题考查充分条件和必要条件的判断，根据已知条件的关系，利用推出关系进行分析.14．若“0[1,2],x ∃∈20010x ax -->”为真命题，则实数a 的取值范围为________.【答案】32a < 【分析】将问题转化为“001x a x ->在[]1,2能成立”，根据函数的单调性以及最值，计算出实数a 的取值范围. 【详解】因为0[1,2],x ∃∈20010x ax -->，所以001x a x ->在[]1,2能成立，所以00max 1a x x ⎛⎫<- ⎪⎝⎭且[]01,2x ∈，又因为()1f x x x=-在[]1,2上是增函数，所以()()max 132222f x f ==-=，所以32a <. 故答案为：32a <. 【点睛】本题考查已知特称命题的真假求解参数范围，难度较易.()f x a ≥区间上恒成立的问题可转化为()min f x a ≥；()f x a ≥区间上能成立的问题可转化为()max f x a ≥. 15．已知命题:p x ∃∈R ，||10m x +≤，若p ⌝为假命题，则实数m 的取值范围是________.【答案】{|0}m m < 【分析】p ⌝为假命题，则p 为真命题，对m 进行分类讨论，即可求得答案.若p ⌝为假命题，则p 为真命题.当0m ≥时，||110m x +≥>，p 为假命题；当0m <时，取2x m=，则2||112110m x m m -++==-+<=，p 为真命题. 因此若p ⌝为假命题，则实数m 的取值范围是{|0}m m <. 故答案为：{|0}m m <. 【点睛】本题考查含有一个量词的命题的否定及其真假性判断、不等式的性质，考查函数与方程思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意参变分离法的运用. 16．下列几个命题①方程2(3)0x a x a +-+=有一个正实根，一个负实根，则0a <．②函数y =是偶函数，但不是奇函数．③函数()f x 的值域是[2,2]-，则函数(1)f x +的值域为[3,1]-．④ 设函数()y f x =定义域为R ，则函数(1)y f x =-与(1)=-y f x 的图象关于y 轴对称．⑤一条曲线2||3y x =-和直线()y a a R =∈的公共点个数是m ，则m 的值不可能是1． 其中正确的有___________________． 【答案】①⑤ 【详解】因为命题①中，利用根与系数的关系可知成立，命题②中，由于函数化简为y=0，因此是奇函数还是偶函数，故错误，命题③，值域不变，错误，命题④中，应该是关系与x=1对称，错误，命题⑤成立，故填写正确命题的序号为①⑤三、解答题17．已知0,1a a >≠，命题:p “函数()x f x a =在()0,∞+上单调递减”；命题:q “关于x 的不等式21204x ax -+≥对一切的x ∈R 恒成立”，若p q ∧为假命题，p q ∨为真命题，求实数a 的取值范围. 【答案】1,12⎛⎫⎪⎝⎭根据()f x 的单调递减，可得a 的取值范围；根据命题q 恒成立，可得a 的取值范围．由p q ∧为假命题，p q ∨为真命题可知命题p 与命题q 一真一假，通过分类讨论即可得a的取值范围． 【详解】p 为真：01a <<q 为真：2410a ∆=-≤，得1122a -≤≤又0,1a a >≠，102∴<≤a 因为p q ∧为假命题，p q ∨为真命题，所以,p q 命题一真一假（1）当p 真q 假0111122a a a <<⎧⎪⇒<<⎨>⎪⎩ （2）当p 假q 真1102a a >⎧⎪⎨<≤⎪⎩，无解综上，a 的取值范围是1,12⎛⎫⎪⎝⎭【点睛】本题考查了复合命题真假的关系，不等式分类讨论的应用，属于基础题． 18．设p ：实数x 满足x 2－4ax ＋3a 2＜0（其中a≠0），q ：实数x 满足302x x -≤- (1)若a ＝1，且p ∧q 为真，求实数x 的取值范围； (2)若p 是q 的必要不充分条件，求实数a 的取值范围． 【答案】(1) (2,3) (2) (1,2] 【详解】试题分析：(1)当a ＝1时，解得1＜x ＜3，即p 为真时实数x 的取值范围是1＜x ＜3. 2分由2260280x x x x ⎧--≤⎨+->⎩，得2＜x≤3，即q 为真时实数x 的取值范围是2＜x≤3. 4分 若p ∧q 为真，则p 真且q 真，5分 所以实数x 的取值范围是(2,3)．7分(2)p 是q 的必要不充分条件，即q ⇒p ，且p/⇒q ，8分设A ＝{x|p(x)}，B ＝{x|q(x)}，则A ⊂B ，又B ＝(2,3]，由x 2－4ax ＋3a 2＜0得(x －3a)(x －a)＜0，9分当a ＞0时，A ＝(a,3a)，有233a a ≤⎧⎨<⎩，解得1＜a≤2；11分 当a ＜0时，A ＝(3a ，a)，显然A∩B ＝∅，不合题意．13分所以实数a 的取值范围是(1,2]．15分考点：解不等式及复合命题，集合包含关系点评：复合命题p ∧q 的真假由命题p ，q 共同决定，当两命题中有一个是真命题时复合后为假命题，由若p 是q 的必要不充分条件可得集合p 是集合q 的真子集19．已知命题p ：函数()log 1a y x =+在定义域上单调递增；命题q ：不等式()()222210a x a x -+-+>对任意实数x 恒成立．（1）若q 为真命题，求实数a 的取值范围；（2）若“()p q ∧￢”为真命题，求实数a 的取值范围．【答案】（1）23a ≤<（2）()1,2[3⋃，).+∞【分析】（1）分类讨论2a =恒成立和20a ->时，0<，结果求并集；2p （）为真时，1a >；q ￢为真，即q 为假时，2a <或3a ≥，结果再相交．【详解】解（1）因为命题q ：不等式()()222210a x a x -+-+>对任意实数x 恒成立为真命题，所以2a =或()2024(2)421023a a a a ->⎧=---⨯<⇒<<⎨⎩综上所述：23a ≤<（2）因为“()p q ∧￢为真命题，故p 真q 假．因为命题p ：函数()log 1a y x =+在定义域上单调递增，所以 1.a >q 假，由()1可知2a <或3a ≥所以()[)2311,23,a a a a <≥⎧>⇒∈⋃+∞⎨⎩或 所以实数a 的取值范围为()1,2[3⋃，).+∞【点睛】本题考查了复合命题及其真假，属基础题．20．已知命题p ：实数x 满足3a x a -<<（其中0a >），命题q ：实数x 满足14x << （1）若1a =，且p 与q 都为真命题，求实数x 的取值范围；（2）若p 是q 的必要不充分条件，求实数a 的取值范围.【答案】（1）()1,3；（2）4,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.【分析】记命题p ：x A ∈，命题q ：x B ∈（1）当1a =时，求出A ，B ，根据p 与q 均为真命题，即可求出x 的范围； （2）求出A ，B ，通过p 是q 的必要不充分条件，得出B A ⊆，建立不等式组，求解即可.【详解】记命题p ：x A ∈，命题q ：x B ∈（1）当1a =时，{}13A x x =-<<，{}14B x x =<<， p 与q 均为真命题，则x A B ∈，∴x 的取值范围是()1,3.（2）{}3A x a x a =-<<，{}14B x x =<<， p 是q 的必要不充分条件，∴集合B A ⊆，∴134a a -≤⎧⎨≥⎩，解得43a ≥， 综上所述，a 的取值范围是4,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭. 【点睛】1.命题真假的判断（1）真命题的判断方法：真命题的判定过程实际就是利用命题的条件，结合正确的逻辑推理方法进行正确地逻辑推理的一个过程，判断命题为真的关键是弄清命题的条件，选择正确的逻辑推理方法．（2）假命题的判断方法：通过构造一个反例否定命题的正确性，这是判断一个命题为假命题的常用方法．（3）一些命题的真假也可以依据客观事实作出判断．2.从逻辑关系上看，若p q ⇒，但q p ⇒/，则p 是q 的充分不必要条件；若p q ⇒/，但q p ⇒，则p 是q 的必要不充分条件；若p q ⇒，且q p ⇒，则p 是q 的充要条件；若p q ⇒/，且q p ⇒/，则p 是q 的既不充分也不必要条件. 21．已知幂函数f （x ）＝（3m 2﹣2m ）x 12m -在（0，+∞）上单调递增，g （x ）＝x 2﹣4x +t . （1）求实数m 的值；（2）当x ∈[1，9]时，记f （x ），g （x ）的值域分别为集合A ，B ，设命题p ：x ∈A ，命题q ：x ∈B ，若命题q 是命题p 的必要不充分条件，求实数t 的取值范围.【答案】（1）m ＝1（2）﹣42≤t ≤5【分析】(1)利用幂函数的性质即可求解;(2)先求出()f x ,()g x 的值域A ,B ,再利用命题q 是命题p 的必要不充分条件可以推出“A ⫋B ,”,由此即可求解.【详解】(1)∵f (x )=(3m 2﹣2m )x 12m -为幂函数,且在(0,+∞)上单调递增; ∴2321102m m m ⎧-=⎪⎨-⎪⎩＞⇒m =1; (2)由(1)可得12()f x x =,当x ∈[1,9]时,f (x )值域为:[1,3],g (x )=x 2﹣4x +t 的值域为:[t ﹣4,t +45],∴A =[1,3],B =[t ﹣4,t +45];∵命题p :x ∈A ,命题q :x ∈B ,且命题q 是命题p 的必要不充分条件,∴A ⫋B ,∴41453t t -≤⎧⎨+≥⎩425t ⇒-≤≤, 故实数t 的取值范围为[42,5]-.【点睛】本题考查了幂函数的性质以及条件的充分性与必要性,考查学生分析与推理能力,属于中档题.22．设a R ∈，命题2:[1,2],0p x x a ∃∈->，命题2:,10q x R x ax ∀∈++>.（1）若命题p 是真命题，求a 的范围；（2）若命题()p q ⌝∨为假，求a 的取值范围.【答案】（1）4a <（2）2a ≤-或24a ≤<.【分析】（1）根据存在性问题的求解方法，得到a 与2x 之间的关系，即可求解出a 的范围； （2）根据()p q ⌝∨为假，判断出,p q 的真假，列出对应的不等式即可求解出a 的取值范围.【详解】（1）当p 为真命题时，则()2max a x <在[1,2]x ∈成立，解得4a <，∴p 为真时4a <；（2）当q 为真命题时，则240a -<，解得22a -<<，由（1）知p 为真时4a <，由()p q ⌝∨为假可得p 为真q 为假，则42a a <⎧⎨≤-⎩或42a a <⎧⎨≥⎩，则2a ≤-或24a ≤<. 【点睛】本题考查根据命题、含逻辑联结词的复合命题的真假求解参数范围，难度较易.其中对于存在性的分析，是求解问题的关键：若()a f x <存在解，则()max a f x <；若()a f x >存在解，则()min a f x >.。
高中数学(人教版选修1-1)配套课件：第1章 常用逻辑用语1.3
答案
知识点四 含有逻辑联结词的命题的真假判断
p
q
p∨q
p∧q
綈p
真
真
_真__
_真__
_假__
真
假
_真__
_假__
_假__
假
真
_真__
_假__
_真__
假
假
_假__
_假__
_真__
答案
思考 (1)逻辑联结词“或”与生活用语中的“或”的含义是否相同？ 答案 生活用语中的“或”表示不兼有，而在数学中所研究的“或” 则表示可兼有但不一定必须兼有. (2)命题的否定与否命题有什么区别？ 答案 命题的否定只否定命题的结论，而否命题既否定命题的条件， 又否定命题的结论.
解析答案
(3)p： 3是无理数，q： 3是实数； 解 p∧q： 3是无理数且是实数； ∵p真，q真，∴p∧q为真. p∨q： 3是无理数或是实数； ∵p真，q真，∴p∨q为真.
解析答案
(4)p：方程x2＋2x＋1＝0有两个相等的实数根，q：方程x2＋2x＋1＝0两根 的绝对值相等. 解 p∧q：方程x2＋2x＋1＝0有两个相等的实数根且两根的绝对值相等； ∵p真，q真，∴p∧q为真. p∨q：方程x2＋2x＋1＝0有两个相等的实数根或两根的绝对值相等； ∵p真，q真，∴p∨q为真.
第一章 常用逻辑用语
§1.3 简单的逻辑联结词
学习 目标
1.了解联结词“且”“或”“非”的含义. 2.会用联结词“且”“或”“非”联结或改写某些数学命题， 并判断新命题的真假. 3.通过学习，明白对条件的判定应该归结为判断命题的真假.
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人教A版高中数学选修1-1《一章 常用逻辑用语 1.1 命题及其关系 1.1.2 四种命题》赛课课件_1
写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题： （1）若 x2 +y 2 =0，则 x，y都为0； （2）当 c 0 时，若 a b，则 ac bc .
学有所成
本节课你学到什么？
1.四种命题及其形式：
结论作为条件 条件作为结论
原命题: 若p,则q
条件的否定作为条件 结论的否定作为结论
结论的否定作为条件
2.写出命题“若 a b ，则 a+c b c ”的逆命题、
否命题和逆否命题，并判断它们的真假.
课本第6页练习题.
四种命题的形式：
原命题：“ 若p，则q ”, 逆命题：“ 若q，则p ”,
否命题：“ 若￢p，则￢q ”, 逆否命题：“ 若￢q，则￢p ”.
写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题:
（1）若 x 10 , 则 x 0 . 解：逆命题：若x 0 ，则 x 10；
否命题：若x 10, 则 x 0； 逆否命题：若x 0，则 x 10.
1.互逆命题：一般地，对于两个命题，如果一个命题的 条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么我们 把这样的两个命题叫做互逆命题，其中一个命题叫做原 命题，另一个命题叫做原命题的逆命题.
即若原命题为： “若p，则q”， 则它的逆命题为：“若q，则p”.
２.互否命题：如果一个命题的条件和结论恰好是另一个
（1） 面积相等的三角形全等
解：原命题：若两个三角形的面积相等，则这两个三角形全等; 逆命题：若两个三角形全等，则这两个三角形的面积相等; 否命题：若两个三角形的面积不相等，则这两个三角形不全等; 逆否命题：若两个三角形不全等，则这两个三角形的面积不相等.
（2）互为相反数的两数之和为0.
新版高中数学人教A版选修1-1课件模块复习课第1课时常用逻辑用语
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第1课时 常用逻辑用语 专题归纳 高考体验
课前预习案 基础梳理
课堂探究案 专题整合
跟踪训练1写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题,并判断 它们的真假:
(1)相等的两个角的正弦值相等; (2)若x2-2x-3=0,则x=3. 解:(1)逆命题:若两个角的正弦值相等,则这两个角相等.假命题. 否命题:若两个角不相等,则这两个角的正弦值也不相等.假命题. 逆否命题:若两个角的正弦值不相等,则这两个角不相等.真命题. (2)逆命题:若x=3,则x2-2x-3=0.真命题. 否命题:若x2-2x-3≠0,则x≠3.真命题. 逆否命题:若x≠3,则x2-2x-3≠0.假命题.
为真命题,命题“p 且 q”为假命题,求实数 a 的取值范围.
思路点拨:由于“p或q”为真,“p且q”为假,可以得到p与q一真一假, 再转化为集合间的关系求解即可.
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第1课时 常用逻辑用语
课前预习案 基础梳理
课堂探究案 专题整合
专题归纳 高考体验
自主解答:由 ax2-x+116a>0 恒成立,
课前预习案 基础梳理
课堂探究案 专题整合
5.全称量词与全称命题 (1)全称量词:短语“对所有的”“对任意一个”在陈述中表示所述事 物的全体,逻辑中通常叫做全称量词,并用符号“∀”表示. (2)全称命题:含有全称量词的命题. (3)全称命题的符号表示: 形如“对M中的任意一个x,有p(x)成立”的命题,可用符号简记为 “∀x∈M,p(x)”,读作“对任意x属于M,有p(x)成立”.
第1课时 常用逻辑用语
课前预习案 基础梳理
课堂探究案 专题整合
专题归纳 高考体验
专题三 全称命题与特称命题 【例3】 判断下列命题是全称命题还是特称命题,用符号写出其 否定并判断命题的否定的真假性. (1)有一个实数α,sin2α+cos2α≠1; (2)任何一条直线都存在斜率; (3)存在实数x,使得 ������2-1������+1=2. 思路点拨:首先找准量词判断是全称命题还是特称命题,写它们 的否定时要注意量词的变化,真假判断可从原命题和原命题的否定 两个角度择易处理. 自主解答:(1)特称命题,否定:∀α∈R,sin2α+cos2α=1,真命题. (2)全称命题,否定:∃直线l,l没有斜率,真命题. (3)特称命题,否定:∀x∈R, ������2-1������+1≠2, 真命题.
人教A版高中数学选修1-1《一章 常用逻辑用语 “且”“或”“非”与“交”“并”“补”》赛课课件_0
（2）﹁p：3 2 ；
∵p是假命题， ∴ ﹁p是真命题.
（3）﹁p：空集不是集合A的子集.
∵ p是真命题， ∴ ﹁p是假命题.
思考：否命题与命题的否定的区别？
（1）否命题：否定条件，也否定结论. （2）命题的否定：只否定结论，不否定条件. （3）原命题: 若 p , 则 q .
则∆=16(m-2)2-16<0,
即1<m<3 :1 m 3
设p:方程x2+mx+1=0有两个不等的负根,q: 方 程 4x2+4(m-2)x+1=0 无 实 根 . 若 p 或 q 为 真,p且q为假,求m的取值范围.
p或q为真,则p,q至少一个为真,又p且q为假, 则p,q至少一个为假
真
真 真 假
一般地，我们规定:
当p，q两个命题中有一个命题是真命 题时，p∨q是真命题；当p，q两个命题都 是假命题时，p∨q是假命题。
p
p
q p∨q
q
真真真
真假真 假真真
假假假
有真或必真.
例3：判断下列命题的真假： （1）2≤2； （2）集合A是A∩B的子集或是A∪B的子集； （3）周长相等的两个三角形全等或面积相等的
解： （1）p∧q：平行四边形的对角线 互相平分且相等
由于p是真命题，q是假命题， 所以p∧q是假命题。
（2）p：菱形的对角线互相垂直， q：菱形的对角线互相平分
解： （2）p∧q：菱形的对角线互相垂 直且平分
由于p是真命题，q是真命题， 所以p∧q是真命题。
（3）p：35是15的倍数， q： 35是7的倍数
人教A版高中数学选修1-1《一章 常用逻辑用语 1.1 命题及其关系 1.1.1 命题》优质课教案_8
项目
内容
课题
1.1.1命题（1课时）
修改与创新
教学
目标
１、知识与技能：理解命题的概念和命题的构成，能判断给定陈述句是否为命题，能判断命题的真假；能把命题改写成“若p，则q”的形式；
２、过程与方法：多让学生举命题的例子，培养他们的辨析能力；以及培养他们的分析问题和解决问题的能力；
３、情感、态度与价值观：通过学生的参与，激发学生学习数学的兴趣。
9．怎样判断一个数学命题的真假？
(１)数学中判定一个命题是真命题，要经过证明．
(２)要判断一个命题是假命题，只需举一个反例即可．
10．练习、深化
例３：把下列命题写成“若P，则q”的形式，并判断是真命题还是假命题：
（1）面积相等的两个三角形全等。
（2）负数的立方是负数。
（3）对顶角相等。
分析：要把一个命题写成“若P，则q”的形式，关键是要分清命题的条件和结论，然后写成“若条件，则结论”即“若P，则q”的形式．解略。
（2）2+4=7．
（3）垂直于同一条直线的两个平面平行．
（４）若x2=1,则x=1．
（５）两个全等三角形的面积相等．
（６）３能被２整除．
3．讨论、判断
学生通过讨论，总结：所有句子的表述都是陈述句的形式，每句话都判断什么事情。其中（1）（3）（5）的判断为真，（2）（4）（6）的判断为假。
教师的引导分析：所谓判断，就是肯定一个事物是什么或不是什么，不能含混不清。
6.命题的构成――条件和结论
定义：从构成来看，所有的命题都具由条件和结论两部分构成．在数学中，命题常写成“若p，则q”或者“如果p，那么q”这种形式，通常，我们把这种形式的命题中的p叫做命题的条件,q叫做命题结论．
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专题一 四种命题的关系及真假判断
把命题“若 p，则 q”作为原命题，对它的条件 p 和结论 q 作“换位” 和“否定”描述，分别得到逆命题，否命题与逆否命题，统称为四 种命题：
(1)p、q“换位”：交换原命题的条件和结论，所得的命题是 逆命题：“若 q，则 p”；
(2)p、q“否定”：同时否定命题的条件和结论，所得的命题 是否命题：“若¬p，则¬q”；
专题三 简单的逻辑联结词“且”“或”“非”
复合命题的真假，要根据真值表准确判断。p∧q 只有在 p、q 均 为真命题时才是真命题，而 p∨q 在 p，q 均为假命题时才是假命题．解 此类题目，要先判断 p，q 的真假．
例 4 如果命题 p∨q 为真命题，p∧q 为假命题，那么( ) A．命题 p、q 都是真命题 B．命题 p、q 都是假命题 C．命题 p、q 只有一个是真命题 D．命题 p、q 至少有一个是真命题 解析：选 C.p∨q 为真命题，则 p，q 至少有一个为真命题；p∧q 为假命题，则 p，q 至少有一个为假命题，同时满足，则 p，q 中一真 一假，∴p、q 只有一个是真命题，故选 C.
巩固训练
命题 p：将函数 y＝sin 2x 的图象向右平移π3个单位得到函数 y＝sin 2x－π3
的图象；命题 q：函数 y＝cos2x＋π6的最小正周期为 π.则含有逻辑联结词
的命题“p∨q”“p∧q”“¬p”为真命题的个数是( )
A．0 个 B．1 个
C．2 个
D．3 个
数列，即原命题和逆命题均为真命题，又原命题与逆否命题同真同假，
逆命题与否命题同真同假，则逆命题、否命题和逆否命题均为真命题，
选 A.
巩固训练
对于原命题“周期函数不是单调函数”，下列陈述正确的是( ) A.逆命题为“单调函数不是周期函数” B.否命题为“周期函数是单调函数” C.逆否命题为“单调函数是周期函数” D.以上三者都不对 解析 原命题是“若一个函数是周期函数，则这个函数不是单调函 数”，∴其逆命题是“不是单调函数的函数是周期函数”；否命题 是“若一个函数不是周期函数，则这个函数是单调函数”；逆否命 题是“若一个函数是单调函数，则这个函数不是周期函数”，所以 A， B，C 都错误，故选 D.
例 5 指出下列命题中哪些是全称命题，哪些是特称命题，并判断真假： (1)若 a>0，且 a≠1，则对任意实数 x，ax>0. (2)对任意实数 x1，x2，若 x1<x2，则 tan x1<tanx2. (3)∃T0∈R，使|sin(x＋T0)|＝|sin x|. (4)∃x0∈R，使 x20＋1<0.
解析 原命题条件和结论换位得到逆命题，可知选 D.
例 2 原命题为“若an＋2an＋1＜an，n∈N*，则{an}为递减数列”，关于其
逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是( )
A.真，真，真
B.假，假，真
C.真，真，假
D.假，假，假
解析 从原命题的真假入手，由于an＋2an＋1＜an⇔an＋1＜an⇔{an}为递减
解析 原命题为“若 p，则 q”，则其逆否命题为“若¬q，则¬p”. ∴所求命题为“若方程 x2＋x－m＝0 没有实根，则 m≤0”.故选 D。
巩固训练
命题“若 x≥a2＋b2，则 x≥2ab”的逆命题是( ) A.若 x＜a2＋b2，则 x＜2ab B.若 x≥a2＋b2，则 x＜2ab C.若 x＜2ab，则 x＜a2＋b2 D.若 x≥2ab，则 x≥a2＋b2
巩固训练
若向量 a＝(x，3)(x∈R)，则“|a|＝5”是“x＝4”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.a|＝ x2＋32＝5 得 x＝4 或 x＝－4. 反之当 x＝4 时，|a|＝ 42＋32＝5， 故“|a|＝5”是“x＝4”的必要不充分条件．故选 B.
例 1 若 m∈R, 命题“若 m>0，则方程 x2＋x－m＝0 有实根”的逆否 命题是( ) A.若方程 x2＋x－m＝0 有实根，则 m＞0 B.若方程 x2＋x－m＝0 有实根，则 m≤0 C.若方程 x2＋x－m＝0 没有实根，则 m＞0 D.若方程 x2＋x－m＝0 没有实根，则 m≤0
例 3 函数 f(x)在 x＝x0 处导数存在.若 p：f’(x0)＝0，q：x＝x0 是 f(x)
的极值点，则( ) A.p 是 q 的充分必要条件 B.p 是 q 的充分条件，但不是 q 的必要条件 C.p 是 q 的必要条件，但不是 q 的充分条件 D.p 既不是 q 的充分条件，也不是 q 的必要条件 解析 函数在 x＝x0 处有导数且导数为 0，x＝x0 未必是函数的极值 点，还要看函数在这一点左右两边的导数的符号，若符号一致，则 不是极值点；反之，若 x＝x0 为函数的极值点，则函数在 x＝x0 处的 导数一定为 0，所以 p 是 q 的必要不充分条件.故选 C
专题四 全称命题与特称命题
判断一个命题是全称命题还是特称命题，主要看命题中是否含有 全称量词或存在量词，对于有的题目隐含了全称量词或存在量词，要 注意对其进行改写来找到．
要判定全称命题是真命题，需对集合 M 中每个元素 x，证明 p(x) 成立；如果在集合 M 中找到一个元素 x0，使得 p(x0)不成立，那么这 个全称命题就是假命题；要判定一个特称命题是真命题，只要在限定 集合 M 中，至少能找到一个 x0，使 p(x0)成立即可；否则，这一特称 命题就是假命题．
专题二 充分条件与必要条件
关于充分条件、必要条件与充要条件的判定，实际上是对命题真 假的判定：
若 p⇒q，且 q⇒/ p，则 p 是 q 的充分不必要条件，同时 q 是 p 的必要不充分条件；
若 p⇔q，则 p 是 q 的充要条件，同时 q 是 p 的充要条件； 若 p⇔/ q，则 p 是 q 的既不充分也不必要条件，同时 q 是 p 的既不充分也不必要条件．
解析：y＝sin 2x 向右平移π3个单位为 y＝sin 2x－π3＝sin 2x－π3，
则 p 为假命题．在命题 q 中，y＝cos2x＋π6＝cos 2x2＋3π＋1.
周期 T＝22π＝π，则 q 为真命题．则“p∨q”为真命题，“p∧q”为
假命题，“¬p”为真命题，则真命题有 2 个．选 C