线性定常系统的能控性和能观测性

线性定常系统的能控性和能观测性
一、实验设备
PC 计算机，MATLAB 软件，控制理论实验台。

二、实验目的
（1）学习系统状态能控性、能观测性的定义及判别方法；
（2）通过用 MATLAB 编程、上机调试，掌握系统能控性、能观测性的判别方法，掌握将一般形式的状态空间描述变换成能控标准形、能观标准形。

（3）掌握能控性和能观测性的概念。

学会用 MATLAB 判断能控性和能观测性。

（4）掌握系统的结构分解。

学会用 MATLAB 进行结构分解。

（5）掌握最小实现的概念。

学会用 MATLAB 求最小实现
三、实验原理
（1）参考教材 P117~118“4.2.4 利用 MATLAB 判定系统能控性”
P124~125“4.3.3 利用 MATLAB 判定系统能观测性”
（2）MATLAB 现代控制理论仿真实验基础
（3）控制理论实验台使用指导
四、实验内容
（1）已知系统状态空间描述如下
（1）判断系统状态的能控性和能观测性，以及系统输出的能控性。

说明状态能控性和输出能控性之间有无联系。

代码：
A=[0 2 -1;5 1 2;-2 0 0];
B=[1;0;-1];
C=[1,1,0];
D=[0];
Uc=[B,A*B,A^2*B,A^3*B];
rank(Uc)%能控性判断
Uo=[C,C*A,C*A^2,C*A^3];
rank(Uo)%判断能观性
Uco=[C*B,C*A*B,C*A^2*B,C*A^3*B];
rank(Uco)%判断输出能控性
（2）令系统的初始状态为零，系统的输入分别为单位阶跃函数和单位脉冲函数。

用 MATLAB 函数计算系统的状态响应和输出响应，并绘制相应的响应曲线。

观察和记录这些曲线。

当输入改变时, 每个状态变量的响应曲线是否随着改变？能否根据这些曲线判断系统状态的能控性？
单位阶跃输入：
代码：
A=[0,2,-1;5,1,2;-2,0,0];
B=[1;0;-1];
C=[1,1,0];
D=[0];
Uc=[B,A*B,A^2*B,A^3*B];
rank(Uc)%判断状态能控性
Uo=[C,C*A,C*A^2,C*A^3];
rank(Uo)%判断能观性
Uco=[C*B,C*A*B,C*A^2*B,C*A^3*B];
rank(Uco)%判断输出能控
G=ss(A,B,C,D);
t=[0:.04:2];
[y,t,x]=step(G,t);%单位阶跃输入
plot(t,x,'b',t,y,'m')%状态及输出响应曲线
legend('original target positions ','original target positions','X','Y')
单位脉冲输入：
代码：
A=[0,2,-1;5,1,2;-2,0,0];
B=[1;0;-1];
C=[1,1,0];
D=[0];
G=ss(A,B,C,D);
t=[0:.04:2];
[y,t,x]=impulse(G,t)%单位脉冲输入
plot(t,x,'b',t,y,'m')%状态及输出响应曲线
legend('original target positions','original target positions','X','Y')
当输入改变时, 每个状态变量的响应曲线并没有随着改变。

（3）将给定的状态空间表达式变换为对角标准型，判断系统的能控性和能观测性，与 1）的结果是否一致？为何？
代码：
A=[0,2,-1;5,1,2;-2,0,0];
B=[1;0;-1];
C=[1,1,0];
D=[0];
G=ss(A,B,C,D);
G1=canon(G,'model')
A1=[-3.89,0,0;0,3.574,0;0,0,0.8234];
B1=[0.389;-0.7421;-0.6574];
C1=[-0.2313,-1.37,-0.1116];
D1=[0];
Uc=[B,A*B,A^2*B,A^3*B];
rank(Uc)%判断状态能控性
Uo=[C,C*A,C*A^2,C*A^3];
rank(Uo)%判断能观性
系统的能控性和能观测性，与 1）的结果是一致的
（4）令 3）中系统的初始状态为零，输入分别为单位阶跃函数和单位脉冲函数。

用 MATLAB 函数计算系统的状态响应和输出响应，并绘制响应的曲线。

观察和记录这些曲线。

当输入改变时, 每个状态变量曲线是否随着改变？能否根据这些曲线判断系统以及各状态变量的能控性？不能控和能控状态变量的响应曲线有何不同？
单位阶跃输入：
代码：
A=[0,2,-1;5,1,2;-2,0,0];
B=[1;0;-1];
C=[1,1,0];
D=[0];
G1=ss(A,B,C,D);
t=[0:.04:3];
[y,t,x]=step(G1,t)%单位脉冲输入
plot(t,x,'b',t,y,'m')%状态及输出响应曲线
legend('original target positions','original target positions','X','Y')
单位脉冲输入：
A=[0,2,-1;5,1,2;-2,0,0];
B=[1;0;-1];
C=[1,1,0];
D=[0];
G=ss(A,B,C,D);
G1=canon(G,'model')
t=[0:.04:2];
[y,t,x]=impulse(G,t)%单位脉冲输入
plot(t,x,'b',t,y,'m')%状态及输出响应曲线
legend('original target positions','original target positions','X','Y')
输入改变时, 每个状态变量曲线并没有随着改变。

（4）根据 2）和 4）所得曲线能否判断系统状态以及各状态变量的能观测性？
答：能观性表述的是输出y（t）反映状态变量x（t）的能力，与控制作用没有直接关系。

(1)
（1）将给定的状态空间模型转换为传递函数模型。

令初始状态为零，用 MATLAB 计算系统的单位阶跃输出响应，绘制和记录相应的曲线。

代码：
A=[-3 -4;-2 0];B=[5;1];C=[-1 -1];D=[0];
G=ss(A,B,C,D);
G1=tf(G)
t=[0:.04:5];
[y,t,x]=step(G,t)%单位阶跃输入
plot(t,x,'b',t,y,'m')%状态及输出响应曲线
legend('original target positions','original target positions','X','Y')
②
代码：
A=[-1 0 0 0;0 -3 0 0;0 0 -2 0;0 0 0 -5];
B=[2;1;0;0];
C=[1 0 1 0];
D=[0];
G=ss(A,B,C,D);
G1=tf(G)
t=[0:.04:5];
[y,t,x]=step(G,t);%单位阶跃输入
plot(t,x,'b',t,y,'m')%状态及输出响应曲线
legend('original target positions','original target positions','original target positions','X','Y')
（2）按能控性分解给定的状态空间模型并记录所得的结果，然后再将其转换为传递函数模型。

它与 1）中所得的传递函数模型是否一致？为什么？令初始状态为零，用 MATLAB 计算系统的单位阶跃输出响应，并绘制和记录相应曲线。

这一曲线与 1）中的输出曲线是否一致？为什么？
A=[-3 -4;-2 0];B=[5;1];C=[-1 -1];D=[0];
[Ac Bc Cc Tc Kc]=ctrbf(A,B,C);
G=ss(Ac,Bc,Cc,0);
G1=tf(G)
t=[0:.04:5];
[y,t,x]=step(G,t);%单位阶跃输入
plot(t,x,'b',t,y,'m')%状态及输出响应曲线
legend('original target positions','X','Y')
按能控性分解给定的状态空间模型并记录所得的结果，然后再将其转换为传递函数模型，它与 1）中所得的传递函数模型一致的。

令初始状态为零，用 MATLAB 计算系统的单位阶跃输出响应，并绘制和记录相应曲线这一曲线与 1）中的输出曲线是一致的。

②
代码：
A=[-1 0 0 0;0 -3 0 0;0 0 -2 0;0 0 0 -5];
B=[2;1;0;0];
C=[1 0 1 0];
D=[0];
[Ac Bc Cc Tc Kc]=ctrbf(A,B,C);
G=ss(Ac,Bc,Cc,0);
G1=tf(G)
t=[0:.04:5];
[y,t,x]=step(G,t);%单位阶跃输入
plot(t,x,'b',t,y,'m')%状态及输出响应曲线
legend('original target positions','original target positions','original target positions','X','Y')
按能控性分解给定的状态空间模型并记录所得的结果，然后再将其转换为传递函数模型，它与 1）中所得的传递函数模型是不一致的。

令初始状态为零，用 MATLAB 计算系统的单位阶跃输出响应，并绘制和记录相应曲线这一曲线与 1）中的输出曲线是不一致的。

（3）按能观测性分解给定的状态空间模型并记录分解所得的结果，然后再将其转换为传递函数模型。

它与 1）中的传递函数模型是否一致？为何？令初始状态为零，用 MATLAB 计算系统的单位阶跃输出响应，并绘制和记录相应曲线。

这一曲线与 1）中的输出曲线是否一致？
A=[-3 -4;-2 0];B=[5;1];C=[-1 -1];D=[0];
[Ao Bo Co To Ko]=obsvf(A,B,C);
G=ss(Ao,Bo,Co,0);
G1=tf(G)
t=[0:.04:5];
[y,t,x]=step(G,t)%单位阶跃输入
plot(t,x,'b',t,y,'m')%状态及输出响应曲线
legend('original target positions','original target positions','original target positions','X','Y')
按能观测性分解给定的状态空间模型并记录所得的结果，然后再将其转换为传递函数模型，它与 1）中所得的传递函数模型一致的。

令初始状态为零，用 MATLAB 计算系统的单位阶跃输出响应，并绘制和记录相应曲线这一曲线与 1）中的输出曲线是不一致的。

②
代码：
A=[-1 0 0 0;0 -3 0 0;0 0 -2 0;0 0 0 -5];
B=[2;1;0;0];
C=[1 0 1 0];
D=[0];[Ao Bo Co To Ko]=obsvf(A,B,C);
G=ss(Ao,Bo,Co,0);
G1=tf(G)
t=[0:.04:5];
[y,t,x]=step(G,t)%单位阶跃输入
plot(t,x,'b',t,y,'m')%状态及输出响应曲线
legend('original target positions','original target positions','original target positions','X','Y')
按能观测性分解给定的状态空间模型并记录所得的结果，然后再将其转换为传递函数模型，它与 1）中所得的传递函数模型不一致的。

令初始状态为零，用 MATLAB 计算系统的单位阶跃输出响应，并绘制和记录相应曲线这一曲线与 1）中的输出曲线是不一致的。

4）按能控性能观测性分解给定的状态空间模型并记录分解所得的结果，然后再将其转换为传递函数模型。

它与 1）中的传递函数模型是否一致？为何？令初始状态为零，用 MATLAB 计算系统的单位阶跃输出响应，并绘制和记录相应的曲线。

这一曲线与 1）中的输出曲线是
否一致？为什么？
代码：
A=[-3 -4;-2 0];B=[5;1];C=[-1 -1];D=[0];
[Ak Bk Ck Tk ] = kalmdec(A,B,C);
G= ss(Ak,Bk,Ck,0);
G1=tf(G)
t=[0:.04:5];
[y,t,x]=step(G,t)%单位阶跃输入
plot(t,x,'b',t,y,'m')%状态及输出响应曲线
legend('original target positions','X','Y')
按能控性能观测性分解给定的状态空间模型并记录所得的结果，然后再将其转换为传递函数模型，它与 1）中所得的传递函数模型是一致的。

令初始状态为零，用 MATLAB 计算系统的单位阶跃输出响应，并绘制和记录相应曲线这一曲线与 1）中的输出曲线是不一致的。

②
代码：
A=[-1 0 0 0;0 -3 0 0;0 0 -2 0;0 0 0 -5];
B=[2;1;0;0];
C=[1 0 1 0];
D=[0];
[Ak Bk Ck Tk ] = kalmdec(A,B,C);
G=ss(Ak,Bk,Ck,0);
G1=tf(G)
[y,t,x]=step(G,t)%单位阶跃输入
plot(t,x,'b',t,y,'m')%状态及输出响应曲线legend('original target positions','X','Y')
按能观测性分解给定的状态空间模型并记录所得的结果，然后再将其转换为传递函数模型，它与 1）中所得的传递函数模型不一致的。

令初始状态为零，用 MATLAB 计算系统的单位阶跃输出响应，并绘制和记录相应曲线这一曲线与 1）中的输出曲线是一致的。

（3）已知系统
1）求最小实现（用函数 minreal( )。

(a)
代码：
A = [-1,0,0,0;0,-3,0,0;0,0,-2,0;0,0,0,-4];
B = [2;1;0;0];
C = [1,0,1,0];
D = 0;
G = ss(A,B,C,D);
Gm = minreal(G)
(b)
num=[1,1];
den=[1,6,11,6];
G=tf(num,den);
G1=ss(G)
Gm=minreal(G1)
2） 判断所得系统的能控性和能观测性
(a)
代码：
A = [-1,0,0,0;0,-3,0,0;0,0,-2,0;0,0,0,-4];
B = [2;1;0;0];
C = [1,0,1,0];
D = 0; G = ss(A,B,C,D);
Gm = minreal(G)
Uc = [B,A*B,A^2*B,A^3*B];
rank(Uc)%判断能控性
Uo = [C,C*A,C*A^2,C*A^3];
rank(Uo)%判断能观性
(b)
代码：
num=[1,1];
den=[1,6,11,6];
G=tf(num,den);
G1=ss(G)
Gm=minreal(G1)
A=[-6 -2.75 -1.5;4 0 0;0 1 0]; B=[0.5;0;0];
C=[0 0 0.5];
D=0;
Uc = [B,A*B,A^2*B,A^3*B];
rank(Uc)%判断能控性
Uo = [C,C*A,C*A^2,C*A^3];
rank(Uo)%判断能观性
3）求得的结果是否是最小实现？
答：求得的结果是最小实现
五、实验心得
本次试验是研究线性定常系统的能控性和能观测性。

通过本次实验学习了解到系统状态能控性、能观测性的定义及判别方法；通过用 MATLAB 编程、上机调试，掌握系统能控性、能观测性的判别方法，学习到将一般形式的状态空间描述变换成能控标准形、能观标准形，以及再能控性和能观测性的概念，如何用 MATLAB 判断能控性和能观测性。

并且了解系统的结构分解，学会用 MATLAB 进行结构分解。

并且再了解最小实现的概念后学会用MATLAB 求最小实现。