15.状态反馈控制器设计习题17页word

Chapter5 状态反馈控制器设计
控制方式有“开环控制”、“闭环控制”。

“开环控制”就是把一个确定的信号（时间的函数）加到系统输入端，使系统具有某种期望的性能。

然而，由于建模中的不确定性或误差、系统运行过程中的扰动等因素使系统产生一些意想不到的情况，这就要求对这些偏差进行及时修正，这就是“反馈控制”。

在经典控制理论中，我们依据描述控制对象输入输出行为的传递函数模型来设计控制器，因此只能用系统输出作为反馈信号，而在现代控制理论中，则主要通过更为广泛的状态反馈对系统进行综合。

通过状态反馈来改变和控制系统的极点位置可使闭环系统具有所期望的动态特性。

利用状态反馈构成的调节器，可以实现各种目的，使闭环系统满足设计要求。

参见138P 例5.3.3，通过状态反馈的极点配置，使闭环系统的超调量%5≤p σ，峰值时间（超调时间）s t p 5.0≤，阻尼振荡频率10≤d ω。

5.1 线性反馈控制系统的结构与性质
设系统),,(C B A S =为 Bu Ax x
+=& Cx y = （5-1） 图5-1 经典控制-输出反馈闭环系统
经典控制中采用输出(和输出导数)反馈（图5-1）：
v Fy u +-= F 为标量，v 为参考输入 （5-2） 可见，在经典控制中，通过适当选择F ，可以利用输出反馈改善系统的动态性能。

现代控制中采用状态反馈（图5-1）： v Kx u +-=，n m K ⨯~ （K 的行=u 的行，K 的列=x 的行）称为状态反馈增益矩阵。

状态反馈后的闭环系统),,(C B A S K K =的状态空间表达式为
Bv x A Bv x BK A x
K +=+-=)(& Cx y = （5-3） 式中： BK A A K -≡ （5-4）
图5-2 现代控制-状态反馈闭环系统
若FC K =，“状态反馈”退化成“输出反馈”，表明“输出反馈”只是“状态反馈”的一种特例，因此，在经典控制理论中的“输出反馈”（比例控制P ）和“输出导数反馈”（微分控制D ）能实现的任务，状态反馈必能实现，反之则未必。

定理5-1（124P 定理5.1.1） 若n 阶系统),,(C B A S =是状态完全能控的，则经过状态反馈后的闭环系统),,(C B A S K K =仍然是状态完全能控的。

即状态反馈不改变
系统的能控性。

但状态反馈不一定能保持原系统的能观性。

证明 对系统（5-1）的任意能控状态x ，根据能控性定义，在a t t ≤<0时间内，存在一个控制作用)(t u ，使得在该控制作用下0)()()0(=→=a t x t x x 。

对（5-1）加了状态反馈控制律v Kx u +-=后，需要证明x 仍然是闭环系统（5-3）的能控状态。

事实上，在时间段a t t ≤<0上，取 x K u v += （5-5）
则由于 )()()]()([)()(t u B t x A t x K t u B t x BK A x
+=++-=& 所以，x 也是闭环系统（5-3）的能控状态。

由于x 的任意性，定理得证。

例5-1原系统为u x x x x ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1013212121&&，⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=21)21(x x y ，状态反馈矩阵为 )13(--=K ，讨论系统经状态反馈前后的能控性和能观性。

解：n CA C n AB B ==⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=24721Rank Rank 21120Rank )(Rank ， 原系统能控且能观；经状态反馈后，⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=+=0021BK A A K n B A B
K ==⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=20120Rank )(Rank ，系统经状态反馈后能控性不变； 但n CA C K <=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛12121Rank Rank ，系统经状态反馈后不能保持原系统的能观性（状态反馈有可能改变输出端）。

定理5-2（126P 定理5.1.2）
“输出反馈”不改变系统的能控性和能观性（证明略）。

定理5-3（126P 定理5.1.3）对能控的单输入、单输出系统，
“状态反馈”不能移动系统的零点（证明见126P ）。

证明：系统传递函数为 B A sI C s G 1)()(--=，由于系统的能控性，状态空间模型
必能通过非奇异变换得到（等价于）能控标准型)~,~,~(C B A
由关系式 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛+++=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------01111101...001...1...0000...11)~(a s a s s s a s a a s s s A sI n n n n n n M M M O M M
可得 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛+++=-----101111...1~)~(n n n n s s a s a s B A sI M 由于等价的状态空间模型具有相同的传递函数，所以
B A sI
C a s a s c s c s c s s a s a s c c c B A sI C n n n n n n n n n n 1011011110111101)(...~~...~1...)~...~~(~)~(~-----------=++++++=⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛+++=-M （1） 采用状态反馈v x K u +-=~
~后，同理可得闭环系统的传递函数 )
(...)(~~...~~)]~~~([~0011101111k a s k a s c s c s c B K B A sI C n n n n n n ++++++++=-------- （2） 其中 ]...[~110-=n k k k K 。

由（1）、（2）可知，状态反馈仅改变传递函数的分母多项式的系数（只改变系统的极点多项式），而不会改变分子多项式的系数。

此时，只要不发生零极点相消的现象，状态反馈就不能改变零点。

证毕。

5.2 稳定化状态反馈控制器的设计
稳定是一个系统正常运行的首要条件。

若一个系统不稳定，则必须运用外部控制设法让其稳定。

如何确定增益矩阵K ，使下面闭环系统是渐近稳定的？
Bv x A Bv x BK A x
F +=+-=)(& Cx y = （5-6） 根据Lyapunov 稳定性定理，系统（5-6）渐进稳定的充要条件是存在一个二次型的Lyapunov 函数Px x x V T =)(，其中P 是待定的对称正定矩阵。

可以通过使标量函数Px x x V T =)(的时间导数是负定的来确定P 和K 。

5.2.1 Riccati 矩阵方程处理方法
这种方法可用来处理非线性系统、时滞系统等各类系统的镇定问题，也可用于鲁棒控制器的设计。

对标量函数Px x x V T =)(求时间导数：
PBu x Px B u x PA P A x x P x Px x t
x V T T T T T T T +++=+=)(d )(d && （5-7） 应用P P =T 可知，后面两项“标量”相等
PBu x Px B u T T T = （5-8）
于是 PBu x x PA P A x t
x V T T T 2)(d )(d ++= （5-9） 若选取控制u 具有以下结构形式
Px kB u T -= 0>k （5-10） x P PBB kx PA P A x Px PBB kx x PA P A x t
x V T T T T T T T T )2-(2-)(d )(d +=+= （5-11） 进一步，选取矩阵P P =T 使其满足（Riccati 矩阵方程）
I P PBB kx PA P A T T T -=+2- （5-12） 则0d )(d <-=x x t
x V T ，满足渐进稳定的充要条件。

从（5-12）解出正定对称矩阵P P =T ，代入（5-10）就可得到控制规律。

这种基于Riccati 矩阵方程（5-12）的稳定化控制器设计方法称为Riccati 矩阵方程处理方法。

若对给定的00>k ，Riccati 方程有一个正定对称解矩阵P ，则对任意的0k k ≥， 因此，对任意0k k ≥，Px kB u T -=都是系统的稳定化控制律。

这表明稳定化控制律Px kB u T -=具有正无穷大的稳定增益裕度，这在实际应用中是非常有用的，操作人员可以根据实际情况，在不破坏系统稳定性的前提下，调节控制器的增益参数，使系统满足其他性能要求。

例5-2 对双积分系统u x x x x ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1001102121&&设计稳定化状态反馈控制器。

解：已经讨论，系统不是一个渐近稳定的，取1=k ，Riccati 方程为 可以求得： 23213233
321=-==p p p ，， 容易验证⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛3221p p p p 是正定的，因此，对任意的1≥k 都是所考虑系统的稳定化状态反馈控制器。

5.2.2 线性矩阵不等式处理方法
根据线性时不变系统稳定性定理，闭环系统Bv x BK A x
+-=)(&渐近稳定的充要条件是存在一个正定对称矩阵P ，使得
0)()(<-+-BK A P P BK A T （5-13） 求解上述非线性矩阵方程十分困难，为此，作适当的变量代换
两边左、右×1-P 对称矩阵 01111<--+----）（）（KP B B K P A P AP T T T
记 110--=>=KP Y P X ， （5-14） 0<--+BY B Y XA AX T T T （5-15） 不等式（5-15）是一个关于矩阵变量Y X 、的线性矩阵不等式。

如果能从（5-15）确定Y X 、（X 正定对称矩阵），则1-=KP Y 是系统（5-1）Bu Ax x +=&的一个稳定化状态反馈增益矩阵，01>=-P X 是Bv x BK A x +-=)(&相应闭环系统的一个Lyapunov 矩阵。

例5-3（130P 例5.2.2，略）
5.3 极点配置
在实际控制系统设计中，不仅要保证系统是稳定的，而且还要使系统具有某些我们所希望的动态性能。

特别地，我们希望选择合适的矩阵K ，使得加入负反馈后的闭环系统Bv x BK A x
+-=)(&矩阵BK A A F -=的特征值（系统极点）位于复平面上预先给定的位置，这样就能保证系统具有我们指定的动态响应特性，这样的方法称为“极点配置”。

定理5-4系统),,(C B A S =存在状态反馈(F )增益矩阵K ，使相应的闭环系统),,(C B A S K K =的极点可以任意配置的充要条件是系统S 是状态完全能控。

证明：必要性。

假设被控对象不是完全能控的，即有一部分能控，有一部分不能控，则一定存在某个非奇异矩阵T 使x T x =，使变换后得到等价系统。

比较得到变换后的等价系统：
⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛==--00112212111B B T B A A A AT T A ， （5-16） CT C K K KT K NC C ===，)( （5-17）
)(111B A ，是能控子系统的能控对，22A 是不能控子系统部分。

所以 )](det[BK A sI +-)](det[11--⋅+-=T K B T T A T sI
所以 不能控子系统
能控子系统)det()det()](det[22111A sI K B A sI BK A sI C -⋅--=+-（5-18）
结论（5-18）表明：①状态反馈的能控分量C K 只能通过输入矩阵的能控部分1B 来改变被控对象的能控子系统11A 的极点，而不能改变不能控子系统22A 的极点。

因此),,(C B A S =系统（完全）能控是能够任意配置（改变）极点的必要条件。

②状态反馈的不能控分量NC K 对“极点配置”没有贡献。

充分性。

如果),,(C B A S =完全能控，就能保证通过改变状态反馈增益K ，使0)](det[=+-BK A sI 的极点任意配置。

推论5-1当系统),,(C B A S =不是完全能控时，通过状态反馈v Kx u +=使其闭环系统稳定的充要条件是系统S 的不能控极点0)det(22=-A sI 都具有负实部（称为能
稳定或能镇定的Stabilizable ）。

能控 稳定
最好的，也可以通过极点配置K 改造成更稳定
不稳定 可以通过极点配置K 改造BK A A A F +=→
不能控 稳定 能镇定的，虽不能通过极点配置改造，但也无妨 不稳定 最糟糕！不稳定，还不能通过极点配置改造
5.3.1 能控标准形的极点配置
用状态反馈对系统进行极点配置只涉及系统的状态方程，与输出方程无关。

定义：设单输入系统（b 小写）),(b A 为bu Ax x
+=&，}...{1n λλ=Λ是由n 个复数组成的集合，若Λ中的复数总是共轭成对出现，则称Λ为对称复数集合。

如果对于任意对称复数集合，存在状态反馈 v kx u +-=，使得
bv x bk A x +-=)(&的极点集合为)(bk A -=Λσ，式中)...(11k k k k n n ，，，-=为n 维行向量（通常为常数阵），则称单输入系统),(b A 能用状态反馈任意配置极点。

设被控对象为能控标准形),(b A ，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=-11...100000010a a a A n n O M M ⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=100M b 。

原系统的特征多项式为 n n n n a s a s a s A sI ++++=---111)det(Λ 我们希望状态反馈后，闭环系统为特征值集合}...{1n λλ=Λ的特征多项式
⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛+-+-+-=-=--）（）（）（1111...10000010)(k a k a k a bk A A n n n n F M O M M
⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛---=-11...10000010d d d n n M O M M ，比较两边系数可得： )...()...(111111a d a d a d k k k k n n n n n n ---==--- （5-19）
例5-4设n 阶单输入线性定常系统为u x x
a a a ⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=---1001011000101
23、、&，求状态反馈，使闭环系统极点为}111{}...{21j j n --+--==Λλλλ
解1：原系统为能控标准形，3=n ，特征多项式为
10)det(23++-=-s s s A sI ，101321==-=a a a ，，，不满足稳定的必要条件。

希望状态反馈后的闭环系统为我们所希望的特征多项式，即
综合可得：1333=-=a d k ；4222=-=a d k ；4111=-=a d k
)441()(123==k k k k ，求的状态反馈为
v x v kx u +-=+-=)441(
闭环系统的状态方程为：v x bv x bk A x d d d ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛---=+-=---100342100
010)(1
23、、& 解2：对某些低阶的简单系统可以采用“直接法”配置极点。

设反馈矩阵为)(321k k k k =，我们希望闭环系统的极点
⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣
⎡⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=--)(100101100010det )](det[321k k k sI bK A sI 例5-2图 闭环系统结构图 比较可得：3)1(3=--k ,42=k ,211=+k ；)441()(32
1
==k k k k 所求状态反馈为：v x v kx u +-=+-=)441(
5.3.2 极点配置状态反馈控制器的设计算法 单输入系统的极点配置主要有两种方法：通过能控标准型（非能控标准型可以通过非奇异变换T 变成能控标准型）的设计方法称为变换法；利用系统特征多
项式和希望的特征多项式相等的充要条件，使两多项式s 同次幂的系数相等，可以直接解出增益矩阵K ，称为直接法。

例5-5（136P 例5.3.2）被控对象的传递函数为)
2)(1(10)(++=
s s s s G ，设计一个状态反馈控制器，使闭环系统的极点为j ±--12，。

解：为了便于设计的状态反馈控制器的实施，描述被控对象的状态空间模型应当尽可能地选择那些易于直接测量的信号作为状态变量。

将传递函数做一下串联分解，将串联子系统2
1111++s s s ，，的输出选为状态变量321x x x ，，，显然，这样的状态变量容易直接测量。

由此得到状态空间模型为
（1）变换法 首先确定非奇异变换T ，将串联分解实现变换为能控标准型。

由于 023)2)(1()det(23+++=++=-s s s s s s A sI
所希望的 464)1)(1)(2(23+++=++-++=s s s j s j s s f 希望
系统能控标准型为 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=100~32010
0010~B A ， 故状态变换矩阵 1221)~~~~~)(~~~~~()]~,~()[~,~(--=ΓΓ=B A B A B B A B A B B A B A T C C
要设计的状态反馈控制器增益为
即 x Kx u )134(-=-=
（2）直接法 设 x k k k Kx u )(321
-=-= 其闭环系统状态矩阵为
比较可知 462431323==++=+k k k k
即 431123===k k k x Kx u )134(-=-=
工程实践中，系统的动态特性往往以时域指标给出，比如要求超调量小于等于多少，超调时间不超过多少，阻尼振荡频率不大于多少等。

例5-6（参考138P 例5.3.3）设被控对象的传递函数为1
31)(2+-=s s s G ，试在系统的能控标准形下，求状态反馈，使闭环系统满足：超调量%5≤p σ，峰值时间（超
调时间）s t p 50．
≤，阻尼振荡频率10≤d ω。

解：由分母1321=-=⇒a a ，，所以，系统的能控标准形状态空间模型为
x y u x x a a )01(1031101
2=⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=--，&，被控对象的特征多项式为13)(2+-=s s s f ，系数不严格为正，为二阶不稳定系统，其极点406221．，．==s s 。

经反馈后，闭环二阶系统应变为我们所希望的稳定的特征多项式 要求系统性能指标满足：%5e 21/≤=--ξξπσp ，s t n d p 5012．≤-==ξωπωπ，
10≤d ω，当1070702
1===n ωξ，．时，满足上述条件。

经配置后应为二阶稳定系统，闭环系统极点为：
0770771221．．，j j s n n ±-=-±-=ξωξω 故闭环特征多项式
1001414101070702)(222212++=+⨯⨯+=++=s s s s d s d s s f F ．．
反馈增益为)141799()141431001()(12．．--=---==k k k
所求的状态反馈为 v x v kx u +--=+=)141799(．
例5-7（140P 例5.3.4）倒立摆系统的线性化状态空间模型（对应0≈θ）为 其中 T y y x )(θθ&&=是系统的状态向量，θ是摆杆的角位移，y 是小车的位移，u 是作用在小车上的力。

设计一个状态反馈控制器Kx u -=，使系统的闭环极点是j ±---121 解：开环系统的特征多项式为
)11)(11()det(2+-=-s s s A sI ，对应极点 )111100(- 因此，开环系统是不稳定的，这和直观感受到的现象是一致的。

以初始状态T x )11.001.0()0(-=的开环系统状态轨迹图进一步验证了这一事实：
但倒立摆系统是能控的，因此可以进行极点配置，以保证闭环系统是渐近稳定的。

用直接法求得 x x k k k k Kx u )64.2114.0()(4321-=-=-=
闭环系统为 x x BK A x ⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛----=-=64.1014.0100064.2014.00010)(& 再在闭环系统中考察初始状态T x )11.001.0()0(-=的响应，编制和执行以下
m-文件（参见142P ）
，可得 5.3.3 Ackermann 公式
Ackermann 公式给出了极点配置K 的解析表达式，特别适合于编程计算。

假设系统是状态完全能控的，给定的期望闭环极点为n s s s ，，
，Λ21，线性状态反馈控制器为Kx u -=，得到闭环系统状态方程为
x BK A x
)(-=& BK A A F -= （5-20） 则极点配置要求K 满足 )())(()det(21n F s s s s s s A sI ---=-Λ
)(0111s f d s d s d s n n n 希望=+++=--Λ （5-21）
根据凯莱-哈米尔顿定理，F A 应满足其自身的特征方程，即
0)(0111=+++=--I d A d A d A A f F n F n n F
F Λ （5-22） 为简化推导，以3=n 为例，可以方便地推广到任意阶的单输入系统
考虑恒等式 BK A A I I F -==
将上述等式分别13210=⨯d d d d 、、、并相加得
即 22221)()(F
F F F BKA ABKA BK A BKA d ABK d BK d A f A f ------= 应用（5-22）BK A KA K d AB KA KA d K d B A f F F
F 22221)()()(+++++= ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++=K KA K d KA KA d K d B A AB
B F F F 22212)( （5-23）
由于系统完全能控，能控性矩阵可逆，故
两边左乘“提取”向量)100(，可得 )())(100(12A f B A AB B K -= （5-24） 显然，此结果推广到n 阶单输入系统。

)())(100(11A f B A AB B K n --=ΛΛ （5-25） （5-25）称为Ackermann 公式。

5.3.4 应用Matlab 求解极点配置
Matlab 提供了两个函数acker 和place 来确定极点配置的增益矩阵K 。

函数acker 就是基于Ackermann 公式，他只能应用到单输入系统，要配置的闭环极点中可以包括多重极点。

如果系统有多个输入，则满足条件的K 不唯一，从而有更多的自由度去选择
K ，如何利用这些自由度，使得系统具有给定的极点外，还具有一些其他附加功能，就是“多目标控制”。

一种方法就是在使得闭环系统具有给定极点的同时，闭环系统的稳定裕度最大化，称为“鲁棒”极点配置法，Matlab 函数place 就是基于“鲁棒”极点配置法设计的。

尽管函数place 适用于多输入系统，但它要求在期望闭环极点中的相同极点个数不超过输入矩阵B 的秩。

特别地，对单输入系统，函数place 要求闭环极点均不相同。

对单输入系统，函数acker 和place 给定的增益矩阵K 相同。

如果一个单输入系统接近于不能控，即其能控性矩阵的行列式接近于零，则应用acker 函数可能会出现计算上的问题，这种情况下，函数place 可能是更合适的，但必须限制所期望的闭环极点均不相同。

函数acker 和place 的一般形式为
)J B A (acker K ，，= （5-26）
)J B A (place K ，，= （5-27） )(21n s s s J Λ=是由n 个期望的闭环极点构成的向量。

得到反馈增益后，可以用命令)K *B A (eig -来检验闭环极点。

例5-8（147P 例5.3.6）线性化状态空间为u x Bu Ax x ⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=+=100651100
010& 设计一个状态反馈控制器Kx u -=，使系统的闭环极点是1042-±-j ，进而对给定的初态T x )001()0(=，画出闭环系统的状态响应曲线。

解：执行以下应用acker 函数编制的m-文件
可得
若执行以下应用place 函数编制的m-文件
则可得
对给定的初态T x )001()0(=，应用initial 函数画出闭环系统的状态响应曲线，执行以下m-文件
可得如图所示响应曲线
5.4 跟踪控制器设计
例5-9（149P 例5.4.1）被控对象为x y u x Bu Ax x ]23[104310=⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=+=，& 设计状态反馈控制器使系统的闭环极点是54--，讨论闭环系统的稳态性能。

解：被控对象为能控标准型，系统能控，可期望的闭环特征多项式为 所要设计的状态反馈增益矩阵为 ]517[]49320[=--=K
相应闭环系统状态矩阵为 ⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛--=-92010BK A 对应闭环传递函数为 20932)(201201C +++=+++=s s s a s a s b s b s G 当参考输入为单位阶跃函数)(1)(t t u =，s s R /1)(=，系统的稳态输出为 系统开环传递函数为
3
432)(201201O +++=+++=s s s a s a s b s b s G 开环系统输出稳态值为
1)0()(O O ==∞G y ，说明开环系统无
静差（参见开环系统单位阶跃响应（无静差））
而闭环系统输出稳态值为
15.020
3)0()(C C ===∞G y 结果表明，极点配置尽管改善了闭环系统的动态特性，却使闭环系统产生了静态误差，稳态性能变差了。

此外实际系统还不可避免的存在随机扰动（只知道其均值、方差等统计特性）和确定性扰动（具有确定的函数形式）。

实际中，许多系统都存在确定性扰动，如阵风对雷达天线的扰动，海浪对船体纵摇或横摇的扰动，飞行体在大气中受到气浪的扰动等，确定扰动的函数形式如冲击函数、阶跃函数、斜坡函数、正弦函数等。

此处只讨论确定性扰动。

在诸如数控机床、导弹控制等实际控制中，常常要求闭环系统的输出以给定精度跟踪参考输入信号，实现精确的跟踪控制。

以下针对外部阶跃扰动的线性时不变系统，提出一种能实现“无静差”跟踪参考输入信号的渐近跟踪调节器设计方法。

开环系统单位阶跃响应（无静差）
考虑以下状态空间模型描述的m 维输入、p 维输出
Cx y d Bu Ax x =++=，& （5-28） )(t d 是n 维扰动输入。

假定系统的参考输入是阶跃输入)(1)(0t r t r =，阶跃扰动为)(1)(0t d t d =，控制的目的是在存在阶跃扰动)(t d 的情况下，仍希望闭环系统的输出)(t y 能很好地跟踪参考输入)(t r 。

为此，定义偏差向量
)()()(t r t y t e -= （5-29） 闭环系统单位阶跃响应（有静差） 引入偏差向量的积分)(t q ττd )()(0⎰=t
e t q （5-30） )()()()(t r t Cx t e t q
-==& （5-31） 在状态方程中，将积分器的输出选择为状态向量的分量，按此，也可以将)(t q 选为状态向量的分量，于是，综合（5-28）、（5-31）可得“增广系统”方程为
⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛q x C y r d u B q x C A q x )0(000，&& （5-32） 新的状态向量是p n +维的。

对系统（5-32），若能设计一个状态反馈控制器
q K x K q x K K u 2121)(--=⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-= （5-33） 使增广闭环系统 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛r d q x C BK BK A q x 021&& （5-34） 是渐近稳定的，此时，矩阵
⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛--021C BK BK A 是非奇异的，可逆的。

对（5-34）两边取Laplace 变换，得到
由Laplace 终值定理（参考输入s r /0和外
部扰动s d /0都是阶跃信号）
这表明)(t x 、)(t q 都趋于常值向量，)(t x
&、)(t q &都必将趋于0
)(lim )(lim 0))()((lim )(lim t r t y t r t y t q t t t t ∞
→∞→∞→∞→==-=& （5-35） 从而实现精确地跟踪控制。

小结：对增广系统（5-32）设计一个稳定化状态反馈控制器，就可以保证系统输出跟踪节约参考输入，而且没有稳态误差。

进一步，可以通过对增广系统的极点配置，使其具有一定的动态性能，但要求增广系统是能控的。

定理5-5（152P 定理5.4.1）增广系统能控的充要条件为（证明略）
（1）原系统（5-28）是能控的；
将增广系统的控制器（5-33）写为 ⎰--=t
e K x K u 021d )(ττ （5-36） 它相当于一个“比例积分PI ”控制器，第一项是原系统的状态反馈，而第二项是为了改善稳态精度而加的积分控制作用。

反馈控制的结构如下图。

图5-3 增广系统的状态反馈
由上分析可知，对于一个多变量系统，尽管有一个不能测量（或未知）的阶跃扰动输入，仍可以设计一个控制器，使得闭环系统的输出无静差的跟踪阶跃参考输入。

例5-10（155P 例5.4.2）倒立摆T y y x )(θθ&&=是系统的状态向量，θ是摆杆的 角位移，y 是小车的位移，u 是作用在小车上的力。

控制目标为：将倒立摆保持在垂直位置，同时要求系统输出一个阶跃输入信号，即要求小车移动一个单位距离，停在预定位置。

要求调节时间为s 5~4，最大超调为15%。

解：利用（5-32）得到相应的“增广系统”模型 采用极点配置，基于增广系统设计控制器 q K x K u 21--=
根据性能要求，选择闭环极点为 5313154321-===--=+-=s s s j s j s 容易验证增广系统是能控的，因此可以对增广系统进行给定极点的配置，执行以下m-文件
可得增广系统的状态反馈增益矩阵
因此，要设计的控制器为
若要观察实施效果，可以针对阶跃参考输入，编写和执行以下m-文件 %闭环增广系统状态空间模型系数矩阵
从图可以看出，小车的位移很好的跟踪了单位阶跃信号。

第5章作业 158157P P - 5.1(5.2)；5.3(5.4)；5.5；5.6；5.7；5.8；5.9；5.10；5.11；
5.13；5.14；5.15；5.16
5.1 已知系统的状态空间模型为Bu Ax x +=&，Cx y =，分别画出加入状态反馈
和输出反馈后的系统结构图，并分别写出其状态空间表达式。

解：（1）状态反馈律：v Kx u +-=，状态反馈增益矩阵n m K ⨯~，（K 的行=输入u 的行，K 的列=状态x 的行）。

现代控制-状态反馈闭环系统
其状态空间表达式为：Bv x BK A x +-=)(&，Cx y =
（2）输出反馈律：v Fy u +-= F 为标量，v 为参考输入
经典控制-输出反馈闭环系统
其状态空间表达式为：Bv x BFC A Bu Ax x
+-=+=)(&，Cx y =。

5.3 状态反馈和输出反馈对系统的能控性和能观性各有什么影响？通过检验能控性矩阵是否满秩的方法证明125P 定理5.1.1。

答：状态反馈不改变系统的能控性124P 定理5.1.1，但不能保持原系统的能观性。

输出反馈不改变系统的能控性和能观性126P 定理5.1.2。

5.5 状态反馈和输出反馈各有什么优缺点？
答：输出反馈结构简单，信息获取也没有任何困难，但是输出反馈所能达到的系统性能是有限的，有时甚至不能保证闭环系统的稳定性；状态反馈比输出反馈更为复杂，但状态反馈能获得更好的系统性能，随着观测器理论的发展，状态反馈物理实现中的一些困难逐步得到解决，状态反馈具有更广阔的应用前景。

5.6 应用能控性检验矩阵的方法证明状态反馈不改变系统的能控性，然而，对
系统u x x ⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=103210&、x y )13(=，可以通过选择适当的状态反馈来改变闭环系统的能观性。

5.7 证明126P 定理5.1.2
5.8 采用状态反馈实现闭环极点任意配置的条件是什么？其状态反馈增益矩阵K 的行数和列数如何确定，计算方法有几种？
答：系统),,(C B A S =存在状态反馈增益矩阵K ，反馈律v Kx u +-=，
BK A A K -=，
使相应的闭环系统),,(C B A S K K =的极点可以任意配置的充要条件是系统S 是状态完全能控。

由反馈律可知，K 的行数=输入u 的行数m ，K 的列数=状态x 的行数n ，即n m K ⨯~。

5.10 为什么要进行极点配置？解决系统极点配置的思路和步骤是什么？
答：在实际控制设计中，不但要保持系统的稳定性（稳态特性），还需要闭环系统具有一定的过渡性能（动态特性），这就需要系统A 的特征值0)det(=-A sI 满足一定的要求，对于开环系统，0)det(=-A sI 不一定能满足要求，因此，采用状态反馈v Kx u +-=对极点进行配置，通过寻找适当的状态反馈增益阵K ，使配置后的闭环系统特征值0)](det[=--BK A sI 满足所期望的要求。

5.11 已知系统状态方程u x x ⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=111011&，计算状态反馈增益矩阵，使得闭环极点为2-和3-，并画出反馈系统的结构图。

解：⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+--+=⎪⎭
⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=--111det )(111011det )](det[212121k s k k k s k k sI BK A sI 令上述二者相等，比较同次幂系数 5221=-+k k ，612=+-k
解得 )512(-=K 。

可以验证，此时
5.13 已知系统的传递函数为2331)(s
s s s G ++=，根据其能控标准型实现设计一个状态反馈控制器，将闭环极点配置在)122(---处，并说明所得的闭环系统状态空间模型是否能观？
解：传递函数2331)(s s s s G ++=
的一个能控标准型实现为 设)(321k k k K =，状态反馈律为v Kx u +-=
原系统的能观性矩阵和闭环系统的能观性矩阵分别为 ⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=2001100112CA CA C M ，满秩，能观。

⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛---=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=4841100112K K K CA CA C M ，满秩，说明在本题中，极点配置保持了原系统的
能观性。

5.14 已知系统的传递函数)3)(2)(1()2)(1()(+-++-=s s s s s s G ，问能否用状态反馈将闭环系统的传递函数变为)
3)(2(1)(++-=s s s s G c ，若有可能，给出相应的状态反馈控制器，并画出控制系统结构图。

5.15 已知系统的状态空间模型u x x
⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛--+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=102102310101500&，x y )100(= （1）验证开环系统是不稳定的，系统是能控能观的；
（2）验证该系统可以采用输出反馈y h h u ⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=21使得闭环系统渐进稳定；
（3）验证该系统不能采用输出反馈y h h u ⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=21任意配置闭环系统极点。

解：
5.16。