新(全国甲卷)高考数学大二轮总复习与增分策略 第一篇 活用审题路线图教你审题不再难课件 文
高考数学(全国专用)大二轮总复习与增分策略配套课件：专题一第3讲
第3讲导数与函数的单调性、极值、最值问题高考定位高考对导数计算的考查贯穿于与之有关的每一道题目之中,函数的单调性，函数的极值与最值均是高考命题的重点内容，在选择题、填空题、解答题中都有涉及，试题难度不大.真题感悟•考点整合明考向扣要点真题感悟(2015-全国II 卷)设函数»=e WA+x2-mx(1)证明：金)在(一8, 0)单调递减，在(0, +s)单调递增；(2)若对于任意兀1，%2丘［—1，1］，都有沧1)—/te)We—l,求加的取值范围.⑴证明f(x) = m(e"‘x—1) + 2x.若加20,则当xW(—a, 0)时，e WA-1^0, /(x)<0；当x e(0, +s)时，120, /(x)>0.若m<0,则当xW(—g, 0)时，e WA-l>0, /(x)<0；当xW(0, +8)时，A"*—1V0, /(x)>0.所以，o)单调递减，在(o, +s)上单调递增.⑵解由⑴知，对任意的m,夬兀)在［―1, 0］上单调递减，在［0, 1］上单调递增，故金)在x=0处取得最小值.所以对于任意xi,兀2丘［一1’ 1］，叭刃)一A%2)lWe—1的充要条件是1/(1) —f (0) We—l，［e,7Z—77t^e— 1,/ (-1) -f (0) We—1,即|「+加We—1.①设函数g(f)=eJ—e+1,则g©)=e‘一 1.当f<0 时，g®<0；当f>0 时，g©)>0.故g(t)在(一I 0)上单调递减，在(0, + 8)上单调递增.又g(l)=0,g(-l)=e_1+2-e<0,故当炖［一1,1］时,g(r)W0 当m^［— 1, 1］时，g(〃7)W0, g( —M)W0,即①式成立；当加>1时，由g(f)的单调性，g(加)>0,即e〃‘一fn>e—1 ；当加V — 1 时，g(—m)>0,即e_/H+m>e—1.综上，血的取值范围是[—1, 1].考点整合1・导数与函数的单调性(1)函数单调性的判定方法：设函数在某个区间内可导，如果门x)>0, 贝叽=心)在该区间为增函数；如果/(X)VO,贝叫=沧)在该区间为减函数.(2)函数单调性问题包括：①求函数的单调区间，常常通过求导，转化为解方程或不等式，常用到分类讨论思想；②利用单调性证明不等式或比较大小，常用构造函数法.2 •极值的判别方法当函数几兀)在点勺处连续时，如果在勺附近的左狈旷⑴>0，右W(x)<0,那么几5) 是极大值；如果在兀。
新(全国甲卷)高考数学大二轮总复习与增分策略 专题七 概率与统计 第1讲 排列、组合、二项式定理课件 理
Tk 1 C5k (2x)5k (
x )k
C5k
25k
5
x
k 2
,
k∈{0,1,2,3,4,5}，
令 5－2k＝3，解得 k＝4，得 T5
C54
254
5 4
x2
10x3,
∴x3的系数是10.
解析答案
1 234
4.(2016·上海)在(3 x－2x)n 的二项式中，所有项的二项式系数之和为 256，则常
分为两步：先从 1,3,5 三个数中选一个作为个位数有 C13， 再将剩下的 4 个数字排列得到 A44，
则满足条件的五位数有 C13·A44＝72(个).选 D.
解析
1 234
2.(2016·课标全国甲)如图，小明从街道的E处出发，先到F处与小红会 合，再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公 寓可以选择的最短路径条数为( )
不同的排法种数为( )
A.480
B.720
√C.960
D.1 440
解析 把2名男生看成1个元素，和5名女生共6个元素进行全排列，
又 2 名男生的顺序可调整，故共有 A66A22种方法， 其中男生在两端的情形共 2A55A22种，
故总的方法种数为 A66A22－2A55A22＝960.故选 C.
解析
热点三 二项式定理
(a＋b)n＝C0nan＋C1nan－1b＋…＋Cknan－kbk＋…＋Cnnbn，其中各项的系数就是组合 数 Ckn(k＝0,1，…，n)叫做二项式系数；展开式中共有 n＋1 项，其中第 k＋1 项 Tk＋1＝Cknan－kbk(其中 0≤k≤n，k∈N，n∈N*)称为二项展开式的通项公式.
高考数学二轮增分策略：第1篇《活用审题路线图,教你审题不再难》ppt课件
表及里，由条件到结论，由数式到图形，洞察问题实质，
选择正确的解题方向．事实上，很多考生往往对审题掉以
轻心，或不知从何处入手进行审题，致使解题失误而丢
分．本讲结合实例，教你正确的审题方法，给你制订一条
“审题路线图”，攻克高考解答题．
3
任何一个数学问题都是由条件和结论两部分构成的．条 件是解题的主要素材，充分利用条件间的内在联系是解 题的必经之路．条件有明示的，有隐含的，审视条件更 重要的是要充分挖掘每一个条件的内涵和隐含的信息， 发挥隐含条件的解题功能．
4
例 1 (2014·重庆)已知函数 f(x)＝ 3sin(ωx＋φ)(ω>0，－π2 ≤φ<π2)的图象关于直线 x＝π3对称，且图象上相邻两个最高点 的距离为 π. (1)求ω和φ的值； (2)若 f(α2)＝ 43(6π<α<23π)，求 cos(α＋32π)的值．
5
审题路线图 (1) 条件：fx图象上相邻两个最高点距离为π ↓挖掘三角函数图象的特征 fx的周期为π ↓ T＝|2ωπ|，ω>0(已知) ω＝2
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例3 如图(1)所示，在边长为4的菱形ABCD中，∠DAB＝ 60°.点E、F分别在边CD、CB上，点E与点C、D不重合， EF⊥AC，EF∩AC＝O.沿EF将△CEF翻折到△PEF的位置， 使平面PEF⊥平面ABFED，如图(2)所示．
(1)求证：BD⊥平面POA； (2)当PB取得最小值时，求四棱锥P－BDEF的2体8 积．
20
则 h′(x)＝f′(x)－k(1＋x2)＝kx4－1－kx－2 2. 所以当 0<x< 4 k－k 2时，h′(x)<0， 因此 h(x)在区间0， 4 k－k 2上单调递减．
新(全国甲卷)高考数学大二轮总复习与增分策略 专题二
第3讲 导数及其应用
栏目索引
1 高考真题体验 2 热点分类突破 3 高考押题精练
高考真题体验
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1.(2016·四川)已知a为函数f(x)＝x3－12x的极小值点，则a等于( )
A.－4
B.－2
C.4
√D.2
解析 ∵f(x)＝x3－12x，∴f′(x)＝3x2－12，
令f′(x)＝0，则x1＝－2，x2＝2. 当x∈(－∞，－2)，(2，＋∞)时，f′(x)>0，则f(x)单调递增；
D.123
解析 ∵f(x)＝x3－2x2＋x＋6，∴f′(x)＝3x2－4x＋1，
∴f′(－1)＝8，切线方程为y－2＝8(x＋1)，
即8x－y＋10＝0，令x＝0，得y＝10， 令 y＝0，得 x＝－54， ∴所求面积 S＝12×54×10＝245.
思维升华
解析
跟踪演练 1
设曲线
2－cos y＝ sin x
x在点π2，2处的切线与直线
x＋ay＋1＝0
垂直，则 a＝____1____.
解析 由题意得，
y′＝(2－cos
x)′sin
x－(2－cos sin2x
x)(sin
x)′ 1－2cos ＝ sin2x
x ，
则曲线
2－cos y＝ sin x
x在点π2，2处的切线的斜率为
∴x11＝x2＋1 1， ln x1＋1＝ln(x2＋1)－x2x＋2 1.
解得 x1＝12，x2＝－12，
∴b＝ln x1＋1＝1－ln 2.
解析答案
(2)已知f(x)＝x3－2x2＋x＋6，则f(x)在点P(－1,2)处的切线与坐标轴围成
的三角形的面积等于( )
新(全国甲卷)高考数学大二轮总复习与增分策略 专题二 函数与导数 第1讲 函数的图象与性质练习 理
第1讲 函数的图象与性质1．(2016·课标全国乙)函数y ＝2x 2－e |x |在[－2,2]的图象大致为( )答案 D解析 f (2)＝8－e 2>8－2.82>0，排除A ；f (2)＝8－e 2<8－2.72<1，排除B ；当x >0时，f (x )＝2x 2－e x ，f ′(x )＝4x －e x ，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14时，f ′(x )<14×4－e 0＝0，因此f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14上单调递减，排除C ，故选D.2．(2016·山东)已知函数f (x )的定义域为R ，当x <0时，f (x )＝x 3－1；当－1≤x ≤1时，f (－x )＝－f (x )；当x >12时，f ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋12＝f ⎝⎛⎭⎪⎫x －12，则f (6)等于( )A ．－2B ．－1C ．0D ．2 答案 D解析 当x >12时，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12，即f (x )＝f (x ＋1)，∴T ＝1，∴f (6)＝f (1)．当x <0时，f (x )＝x 3－1，且－1≤x ≤1，f (－x )＝－f (x )，∴f (6)＝f (1)＝－f (－1)＝2，故选D.3．(2016·上海)设f (x )，g (x )，h (x )是定义域为R 的三个函数，对于命题：①若f (x )＋g (x )，f (x )＋h (x )，g (x )＋h (x )均为增函数，则f (x )，g (x )，h (x )中至少有一个为增函数；②若f (x )＋g (x )，f (x )＋h (x )，g (x )＋h (x )均是以T 为周期的函数，则f (x )，g (x )，h (x )均是以T 为周期的函数，下列判断正确的是( ) A ．①和②均为真命题 B ．①和②均为假命题 C ．①为真命题，②为假命题 D ．①为假命题，②为真命题 答案 D解析 ①不成立，可举反例，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x ≤1，－x ＋3，x >1，g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3， x ≤0，－x ＋3， 0<x <1，2x ，x ≥1，h (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ，x ≤0，2x ，x >0.②f (x )＋g (x )＝f (x ＋T )＋g (x ＋T )，f (x )＋h (x )＝f (x ＋T )＋h (x ＋T )，g (x )＋h (x )＝g (x ＋T )＋h (x ＋T )，前两式作差，可得g (x )－h (x )＝g (x ＋T )－h (x ＋T )， 结合第三式，可得g (x )＝g (x ＋T )，h (x )＝h (x ＋T )， 也有f (x )＝f (x ＋T )． ∴②正确．故选D.4．(2016·北京)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3－3x ，x ≤a ，－2x ，x ＞a .(1)若a ＝0，则f (x )的最大值为________；(2)若f (x )无最大值，则实数a 的取值范围是________． 答案 (1)2 (2)(－∞，－1)解析 (1)当a ＝0时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3－3x ，x ≤0，－2x ，x ＞0.若x ≤0，f ′(x )＝3x 2－3＝3(x 2－1)．由f ′(x )＞0得x ＜－1，由f ′(x )＜0得－1＜x ≤0. 所以f (x )在(－∞，－1)上单调递增；在(－1,0]上单调递减，所以f (x )最大值为f (－1)＝2. 若x ＞0，f (x )＝－2x 单调递减，所以f (x )＜f (0)＝0. 所以f (x )的最大值为2.(2)f (x )的两个函数在无限制条件时图象如图．由(1)知，当a ≥－1时，f (x )取得最大值2.当a ＜－1时，y ＝－2x 在x ＞a 时无最大值，且－2a ＞2.所以a ＜－1.1.高考对函数的三要素，函数的表示方法等内容的考查以基础知识为主，难度中等偏下.2.对图象的考查主要有两个方面：一是识图，二是用图，即利用函数的图象，通过数形结合的思想解决问题.3.对函数性质的考查，则主要是将单调性、奇偶性、周期性等综合在一起考查，既有具体函数也有抽象函数.常以选择题、填空题的形式出现，且常与新定义问题相结合，难度较大.热点一 函数的性质及应用1．单调性：单调性是函数在其定义域上的局部性质．利用定义证明函数的单调性时，规范步骤为取值、作差、判断符号、下结论．复合函数的单调性遵循“同增异减”的原则． 2．奇偶性(1)奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反(填“相同”或“相反”)． (2)在公共定义域内：①两个奇函数的和函数是奇函数，两个奇函数的积函数是偶函数； ②两个偶函数的和函数、积函数是偶函数； ③一个奇函数、一个偶函数的积函数是奇函数． (3)若f (x )是奇函数且在x ＝0处有定义，则f (0)＝0. (4)若f (x )是偶函数，则f (x )＝f (－x )＝f (|x |)．(5)图象的对称性质：一个函数是奇函数的充要条件是它的图象关于原点对称；一个函数是偶函数的充要条件是它的图象关于y 轴对称． 3．周期性定义：周期性是函数在定义域上的整体性质．若函数在其定义域上满足f (a ＋x )＝f (x )(a ≠0)，则其一个周期T ＝|a |.常见结论：(1)f (x ＋a )＝－f (x )⇒函数f (x )的最小正周期为2|a |.(a ≠0) (2)f (x ＋a )＝1f x⇒函数f (x )的最小正周期为2|a |.(a ≠0)(3)f (a ＋x )＝f (b －x )，则函数f (x )的图象关于x ＝a ＋b2对称．例1 (1)已知函数f (x )为奇函数，且在[0,2]上单调递增，若f (log 2m )<f (log 4(m ＋2))成立，则实数m 的取值范围是( )A.14≤m <2 B.14≤m ≤2 C ．2<m ≤4D ．2≤m ≤4(2)(2016·江苏)设f (x )是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[－1,1)上，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋a ，－1≤x ＜0，⎪⎪⎪⎪⎪⎪25－x ，0≤x ＜1，其中a ∈R .若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫92，则f (5a )的值是________．答案 (1)A (2)－25解析 (1)因为函数f (x )是奇函数，且在[0,2]上单调递增，所以函数f (x )在[－2,2]上单调递增．故由f (log 2m )<f (log 4(m ＋2))，可得⎩⎪⎨⎪⎧－2≤log 2m ≤2，－2≤log 4m ＋2≤2，log 2m <log4m ＋2，m >0，m ＋2>0，解－2≤log 2m ≤2，得14≤m ≤4；解－2≤log 4(m ＋2)≤2，得116≤m ＋2≤16， 即－3116≤m ≤14.由log 2m <log 4(m ＋2)，得log 4m 2<log 4(m ＋2)，故有⎩⎪⎨⎪⎧m 2>0，m ＋2>0，m 2<m ＋2，解得－1<m <2，且m ≠0.综上可知，m 的取值范围是14≤m <2，故选A.(2)由已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＋2＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－12＋a ， f ⎝ ⎛⎭⎪⎫92＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫92－4＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪25－12＝110.又∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫92，则－12＋a ＝110，a ＝35， ∴f (5a )＝f (3)＝f (3－4)＝f (－1)＝－1＋35＝－25.思维升华 (1)可以根据函数的奇偶性和周期性，将所求函数值转化为给出解析式的范围内的函数值．(2)利用函数的单调性解不等式的关键是化成f (x 1)<f (x 2)的形式．跟踪演练1 (1)(2016·四川)已知函数f (x )是定义在R 上的周期为2的奇函数，当0<x <1时，f (x )＝4x，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＋f (1)＝________.(2)设f (x )是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[－1,1]上，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋1，－1≤x <0，bx ＋2x ＋1，0≤x ≤1， 其中a ，b ∈R .若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，则a ＋3b 的值为________．答案 (1)－2 (2)－10解析 (1)因为f (x )是周期为2的函数， 所以f (x )＝f (x ＋2)． 而f (x )是奇函数， 所以f (x )＝－f (－x )．所以f (1)＝f (－1)，f (1)＝－f (－1)，即f (1)＝0，又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12， 121()42,2f == 故f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝－2，从而f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＋f (1)＝－2. (2)因为f (x )是定义在R 上且周期为2的函数，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，且f (－1)＝f (1)， 又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，故f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12， 从而12b ＋212＋1＝－12a ＋1，即3a ＋2b ＝－2.①由f (－1)＝f (1)，得－a ＋1＝b ＋22，即b ＝－2a .②由①②得a ＝2，b ＝－4，从而a ＋3b ＝－10. 热点二 函数图象及应用1．作函数图象有两种基本方法：一是描点法，二是图象变换法，其中图象变换有平移变换、伸缩变换、对称变换．2．利用函数图象可以判断函数的单调性、奇偶性，作图时要准确画出图象的特点． 例2 (1)函数y ＝sin 2x2x ＋2－x 的图象大致为()(2)已知函数f (x )＝ax 33＋ax －x 2＋32，g (x )＝a 2x 3－2ax 2＋x ＋a (a ∈R )．在同一直角坐标系中，函数f ′(x )与g (x )的图象不可能的是()答案 (1)A (2)B解析 (1)首先根据函数表达式可知y ＝sin 2x2x ＋2－x 为(－∞，＋∞)上的奇函数，且f (0)＝0，排除C ，D ；当x ＝1100时，111001002sin 100022->+，显然排除B ，故选A. (2)因为f (x )＝ax 33＋ax －x 2＋32，所以f ′(x )＝ax 2－x ＋a2，若a ＝0，则选项D 是正确的，故排除D.若a <0，选项B 中的二次函数的判别式Δ＝1－4a ·a 2＝1－2a 2<0，所以a 2>12，又a <0，所以a <－22.二次函数f ′(x )的图象的对称轴为x ＝12a ；三次函数g (x )＝a 2x 3－2ax 2＋x ＋a ，所以g ′(x )＝3a 2x 2－4ax ＋1＝3a 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －13a ， 令g ′(x )>0，得x <1a 或x >13a ，令g ′(x )<0，得1a <x <13a，所以函数g (x )＝a 2x 3－2ax 2＋x ＋a 的极大值点为x ＝1a ，极小值点为x ＝13a ；由B 中的图象知13a <12a .但a <－22，所以13a >12a ，所以选项B 的图象是错误的，故选B.思维升华 (1)根据函数的解析式判断函数的图象，要从定义域、值域、单调性、奇偶性等方面入手，结合给出的函数图象进行全面分析，有时也可结合特殊的函数值进行辅助推断，这是解决函数图象判断此类试题的基本方法．(2)判断复杂函数的图象，常借助导数这一工具，先对原函数进行求导，再利用导数判断函数的单调性、极值或最值，从而对选项进行筛选．要注意函数求导之后，导函数发生了变化，故导函数和原函数定义域会有所不同，我们必须在原函数的定义域内研究函数的极值和最值．跟踪演练2 (1)(2015·浙江)函数f (x )＝⎝⎛⎭⎪⎫x －1x cos x (－π≤x ≤π且x ≠0)的图象可能为( )(2)已知三次函数f (x )＝2ax 3＋6ax 2＋bx 的导函数为f ′(x )，则函数f (x )与f ′(x )的图象可能是( )答案 (1)D (2)B解析 (1)∵f (x )＝(x －1x)cos x ，∴f (－x )＝－f (x )，∴f (x )为奇函数，排除A ，B ；当x →π时，f (x )＜0，排除C.故选D.(2)因为f ′(x )＝6ax 2＋12ax ＋b ，则函数f ′(x )的图象的对称轴为x ＝－1，故可排除A 、D ；由选项C 的图形可知，当x >0时，f ′(x )>0，故函数f (x )＝2ax 3＋6ax 2＋bx 在(0，＋∞)上单调递增，但图象中函数f (x )在(0，＋∞)上不具有单调性，故排除C ，选B. 热点三 基本初等函数的图象和性质1．指数函数y ＝a x(a >0，a ≠1)与对数函数y ＝log a x (a >0，a ≠1)的图象和性质，分0<a <1，a >1两种情况，着重关注两函数图象中的两种情况的公共性质．2．幂函数y ＝x α的图象和性质，主要掌握α＝1,2,3，12，－1五种情况．例3 (1)(2015·山东)设a ＝0.60.6，b ＝0.61.5，c ＝1.50.6，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．a ＜b ＜c B ．a ＜c ＜b C ．b ＜a ＜cD ．b ＜c ＜a(2)若函数212log ,0,()log (),0,x x f x x x >⎧⎪⎨-<⎪⎩若f (a )>f (－a )，则实数a 的取值范围是( )A ．(－1,0)∪(0,1)B ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)C ．(－1,0)∪(1，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(0,1)答案 (1)C (2)C解析 (1)根据指数函数y ＝0.6x在R 上单调递减可得0.61.5＜0.60.6＜0.60＝1，根据指数函数y ＝1.5x 在R 上单调递增可得1.50.6＞1.50＝1，∴b ＜a ＜c .(2)方法一 由题意作出y ＝f (x )的图象如图．显然当a >1或－1<a <0时，满足f (a )>f (－a )． 故选C.方法二 对a 分类讨论：当a >0时，212log log a a >，∴a >1.当a <0时，122log ()log ()a a >－－，∴0<－a <1，∴－1<a <0，故选C.思维升华 (1)指数函数、对数函数、幂函数是高考的必考内容之一，重点考查图象、性质及其应用，同时考查分类讨论、等价转化等数学思想方法及其运算能力．(2)比较代数式大小问题，往往利用函数图象或者函数的单调性．跟踪演练 3 (1)在同一直角坐标系中，函数f (x )＝x a(x ≥0)，g (x )＝log a x 的图象可能是( )(2)已知函数y ＝f (x )是定义在R 上的函数，其图象关于坐标原点对称，且当x ∈(－∞，0)时，不等式f (x )＋xf ′(x )<0恒成立，若a ＝20.2f (20.2)，b ＝ln 2f (ln 2)，c ＝－2f (－2)，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．a >b >c B ．c >b >a C ．c >a >b D ．a >c >b答案 (1)D (2)C解析 (1)方法一 分a >1,0<a <1两种情形讨论．当a >1时，y ＝x a与y ＝log a x 均为增函数，但y ＝x a 递增较快，排除C ；当0<a <1时，y ＝x a为增函数，y ＝log a x 为减函数，排除A.由于y ＝x a递增较慢，所以选D. 方法二 幂函数f (x )＝x a的图象不过(0,1)点，排除A ；B 项中由对数函数f (x )＝log a x 的图象知0<a <1，而此时幂函数f (x )＝x a的图象应是增长越来越慢的变化趋势，故B 错，D 正确；C 项中由对数函数f (x )＝log a x 的图象知a >1，而此时幂函数f (x )＝x a的图象应是增长越来越快的变化趋势，故C 错．(2)构造函数g (x )＝xf (x )，则g ′(x )＝f (x )＋xf ′(x )，当x ∈(－∞，0)时，g ′(x )<0，所以函数y ＝g (x )在(－∞，0)上单调递减．因为函数y ＝f (x )的图象关于坐标原点对称，所以y ＝f (x )是奇函数，由此可知函数y ＝g (x )是偶函数．根据偶函数的性质，可知函数y ＝g (x )在(0，＋∞)上单调递增．又a ＝g (20.2)，b ＝g (ln 2)，c ＝g (－2)＝g (2)，由于ln 2<20.2<2，所以c >a >b .1．已知a >0，且a ≠1，函数y ＝a x与y ＝log a (－x )的图象只能是图中的( )押题依据 指数、对数函数的图象识别问题是高考命题的热点，旨在考查其基本性质的灵活运用，题目难度一般不大，位于试卷比较靠前的位置． 答案 B解析 因为y ＝a x与y ＝log a x 互为反函数，而y ＝log a x 与y ＝log a (－x )的图象关于y 轴对称，根据图象特征可以判断；也可以根据函数图象的特征进行排除．方法一 如果注意到y ＝log a (－x )的图象和函数y ＝log a x 的图象关于y 轴对称，又y ＝log a x 与y ＝a x互为反函数，其图象关于直线y ＝x 对称，则可直接选定B.方法二 首先，曲线y ＝a x只可能在x 轴上方，y ＝log a (－x )只可能在y 轴左边，从而排除A ，C ；其次，y ＝a x与y ＝log a (－x )的增减性正好相反，排除D ，选B.2．定义在R 上的函数f (x )满足f (－x )＝－f (x )，f (x －2)＝f (x ＋2)，且x ∈(－1,0)时，f (x )＝2x＋15，则f (log 220)等于( )A ．1 B.45 C ．－1 D ．－45押题依据 利用函数的周期性、奇偶性求函数值是高考的传统题型，较好地考查学生思维的灵活性． 答案 C解析 由f (x －2)＝f (x ＋2)⇒f (x )＝f (x ＋4)，因为4<log 220<5，所以0<log 220－4<1，－1<4－log 220<0.又因为f (－x )＝－f (x )，所以f (log 220)＝f (log 220－4)＝－f (4－log 220)＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 245＝－1.故选C.3．已知函数f (x )＝1x ＋－x，则y ＝f (x )的图象大致为()押题依据 图象的识别和变换是高考的热点，此类问题既考查了基础知识，又考查了学生的灵活变换能力． 答案 B解析 方法一 由题意得，⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1>0，x ≠0，解得f (x )的定义域为{x |x >－1，且x ≠0}． 令g (x )＝ln(x ＋1)－x ，则g ′(x )＝1x ＋1－1＝－xx ＋1， 当－1<x <0时，g ′(x )>0； 当x >0时，g ′(x )<0.∴f (x )在区间(－1,0)内为减函数，在区间(0，＋∞)内为增函数，对照各选项，只有B 符合． 方法二 本题也可取特值，用排除法求解：f (2)＝1ln 3－2<0，排除A.f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝1ln 12＋12＝1ln e 2<0，排除C ，D ，选B. 4．已知函数h (x )(x ≠0)为偶函数，且当x >0时，h (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 24，0<x ≤4，4－2x ，x >4，若h (t )>h (2)，则实数t 的取值范围为________．押题依据 分段函数是高考的必考内容，利用函数的单调性求解参数的范围，是一类重要题型，是高考考查的热点．本题恰当地应用了函数的单调性，同时考查了函数的奇偶性的性质． 答案 (－2,0)∪(0,2)解析 因为x >0时，h (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 24，0<x ≤4，4－2x ，x >4.易知函数h (x )在(0，＋∞)上单调递减，因为函数h (x )(x ≠0)为偶函数，且h (t )>h (2)， 所以h (|t |)>h (2)， 所以0<|t |<2，所以⎩⎪⎨⎪⎧t ≠0，|t |<2，即⎩⎪⎨⎪⎧t ≠0，－2<t <2，解得－2<t <0或0<t <2.综上，所求实数t 的取值范围为(－2,0)∪(0,2)．A 组 专题通关1．(2015·广东)下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是( ) A ．y ＝1＋x 2B ．y ＝x ＋1xC ．y ＝2x＋12xD ．y ＝x ＋e x答案 D解析 令f (x )＝x ＋e x，则f (1)＝1＋e ，f (－1)＝－1＋e －1，即f (－1)≠f (1)，f (－1)≠－f (1)，所以y ＝x ＋e x 既不是奇函数也不是偶函数，而A 、B 、C 依次是偶函数、奇函数、偶函数，故选D.2．下列函数中，满足“f (x ＋y )＝f (x )f (y )”的单调递增函数是( ) A ．f (x )＝x 12B ．f (x )＝x 3C ．f (x )＝(12)xD ．f (x )＝3x答案 D解析 f (x )＝x 12，f (x ＋y )＝(x ＋y )12≠x 12·y 12， 不满足f (x ＋y )＝f (x )f (y )，A 不满足题意．f (x )＝x 3，f (x ＋y )＝(x ＋y )3≠x 3·y 3，不满足f (x ＋y )＝f (x )f (y )，B 不满足题意．f (x )＝(12)x ，f (x ＋y )＝(12)x ＋y ＝(12)x ·(12)y ，满足f (x ＋y )＝f (x )f (y )，但f (x )＝(12)x 不是增函数，C 不满足题意．f (x )＝3x ，f (x ＋y )＝3x ＋y ＝3x ·3y ，满足f (x ＋y )＝f (x )f (y )，且f (x )＝3x 是增函数，D 满足题意．3．函数f (x )＝x ＋cos x 的大致图象是( )答案 B解析 ∵f (x )＝x ＋cos x ，∴f (－x )＝－x ＋cos x ， ∴f (－x )≠f (x )，且f (－x )≠－f (x )， 故函数f (x )是非奇非偶函数，排除A 、C ； 当x ＝π2时，x ＋cos x ＝π2＝x ，即f (x )的图象与直线y ＝x 的交点中有一个点的横坐标为π2，排除D.故选B.4．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2a x ＋3a ，x <1，ln x ，x ≥1的值域为R ，那么a 的取值范围是( )A ．(－∞，－1] B.⎝⎛⎭⎪⎫－1，12C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－1，12D.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 答案 C解析 要使函数f (x )的值域为R ，需使⎩⎪⎨⎪⎧1－2a >0，ln 1≤1－2a ＋3a ，所以⎩⎪⎨⎪⎧a <12，a ≥－1.所以－1≤a <12，故选C.5．设f (x )是定义在实数集R 上的函数，满足条件y ＝f (x ＋1)是偶函数，且当x ≥1时，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －1，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13的大小关系是( ) A ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13B ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32C ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13D ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23 答案 A解析 函数y ＝f (x ＋1)是偶函数，所以f (－x ＋1)＝f (x ＋1)，即函数关于x ＝1对称．所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫43，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫53， 当x ≥1时，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x－1单调递减，所以由43<32<53，可得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫43>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫53. 即f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，故选A. 6．(2015·湖北)已知符号函数sgn x ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x >0，0，x ＝0，－1，x <0，f (x )是R 上的增函数，g (x )＝f (x )－f (ax )(a >1)，则( ) A ．sgn[g (x )]＝sgn x B ．sgn[g (x )]＝－sgn x C ．sgn[g (x )]＝sgn[f (x )] D ．sgn[g (x )]＝－sgn[f (x )] 答案 B解析 因为a >1，所以当x >0时，x <ax ，因为f (x )是R 上的增函数，所以f (x )<f (ax )，所以g (x )＝f (x )－f (ax )<0，sgn[g (x )]＝－1＝－sgn x ；同理可得当x <0时，g (x )＝f (x )－f (ax )>0，sgn[g (x )]＝1＝－sgn x ；当x ＝0时，g (x )＝0，sgn[g (x )]＝0＝－sgn x 也成立．故B 正确． 7．(2016·天津)已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间(－∞，0)上单调递增．若实数a 满足f (2|a －1|)>f (－2)，则a 的取值范围是________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32 解析 ∵f (x )是偶函数，且在(－∞，0)上单调递增， ∴在(0，＋∞)上单调递减，f (－2)＝f (2)， ∴f (2|a －1|)>f (2)，∴2|a －1|<2＝212，∴|a －1|<12，即－12<a －1<12，即12<a <32.8．给出下列四个函数：①y ＝2x；②y ＝log 2x ；③y ＝x 2；④y ＝x . 当0<x 1<x 2<1时，使f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22>f x 1＋f x 22恒成立的函数的序号是________．答案 ②④解析 由题意知，满足条件的函数图象形状为：故符合图象形状的函数为y ＝log 2x ，y ＝x .9．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－a x －a x ，log a xx在(－∞，＋∞)上是增函数，那么实数a 的取值范围是________．答案 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，3解析 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧3－a >0，a >1，－a －a ≤log a 1，解得32≤a <3.10．已知二次函数f (x )＝ax2＋bx ＋1(a >0)，F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f x，x >0，－f x ，x <0.若f (－1)＝0，且对任意实数x 均有f (x )≥0成立． (1)求F (x )的表达式；(2)当x ∈[－2,2]时，g (x )＝f (x )－kx 是单调函数，求k 的取值范围． 解 (1)∵f (－1)＝0，∴a －b ＋1＝0， ∴b ＝a ＋1，∴f (x )＝ax 2＋(a ＋1)x ＋1. ∵f (x )≥0恒成立，∴⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ＝a ＋2－4a ≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧a >0，a －2≤0.∴a ＝1，从而b ＝2， ∴f (x )＝x 2＋2x ＋1，∴F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x ＋1，x >0，－x 2－2x －1，x <0.(2)由(1)知，g (x )＝x 2＋2x ＋1－kx ＝x 2＋(2－k )x ＋1. ∵g (x )在[－2,2]上是单调函数， ∴k －22≤－2或k －22≥2，解得k ≤－2或k ≥6.∴k 的取值范围是(－∞，－2]∪[6，＋∞)．B 组 能力提高11．设函数f (x )＝x |x －a |，若对∀x 1，x 2∈[3，＋∞)，x 1≠x 2，不等式f x 1－f x 2x 1－x 2>0恒成立，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，－3] B ．[－3,0) C ．(－∞，3] D ．(0,3]答案 C解析 由题意分析可知条件等价于f (x )在[3，＋∞)上单调递增，又因为f (x )＝x |x －a |，所以当a ≤0时，结论显然成立，当a >0时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－ax ，x ≥a ，－x 2＋ax ，x <a ，所以f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫－∞，a 2上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫a2，a 上单调递减，在(a ，＋∞)上单调递增，所以0<a ≤3.综上，实数a 的取值范围是(－∞，3]．12.如图所示的图形是由一个半径为2的圆和两个半径为1的半圆组成的，它们的圆心分别是O ，O 1，O 2，动点P 从A 点出发沿着圆弧按A →O →B →C →A →D →B 的路线运动(其中A ，O ，O 1，O 2，B 五点共线)，记点P 运动的路程为x ，设y ＝|O 1P |2，y 与x 的函数关系为y ＝f (x )，则y＝f (x )的大致图象是( )答案 A解析 当x ∈[0，π]时，y ＝1.当x ∈(π，2π)时，O 1P →＝O 2P →－O 2O 1→，设O 2P →与O 2O 1—→的夹角为θ，|O 2P →|＝1，|O 2O 1—→|＝2，所以θ＝x －π，所以y ＝|O 1P →|2＝(O 2P →－O 2O 1—→)2＝5－4cos θ＝5＋4cos x ，x ∈(π，2π)，所以函数y ＝f (x )的图象是曲线，且单调递增，排除C ，D.当x ∈[2π，4π)时，因为O 1P →＝OP →－OO 1→，设OP →，OO 1→的夹角为α，|OP →|＝2，|OO 1→|＝1，所以α＝2π－12x ，所以y ＝|O 1P →|2＝(OP →－OO 1→)2＝5－4cos α＝5－4cos 12x ，x ∈[2π，4π)，所以函数y ＝f (x )的图象是曲线，且单调递减，排除B.故选A.13．(2016·课标全国甲)已知函数f (x )(x ∈R )满足f (－x )＝2－f (x )，若函数y ＝x ＋1x与y ＝f (x )图象的交点为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x m ，y m )，则∑i ＝1m(x i ＋y i )等于( )A ．0B ．mC ．2mD ．4m答案 B解析 方法一 特殊函数法，根据f (－x )＝2－f (x )可设函数f (x )＝x ＋1，由y ＝x ＋1x，解得两个点的坐标为⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝－1，y 1＝0，⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝1，y 2＝2，此时m ＝2，所以∑i ＝1m(x i ＋y i )＝m ，故选B.方法二 由题设得12[f (x )＋f (－x )]＝1，点(x ，f (x ))与点(－x ，f (－x ))，关于点(0,1)对称，则y ＝f (x )的图象关于点(0,1)对称．又y ＝x ＋1x ＝1＋1x，x ≠0的图象也关于点(0,1)对称．则交点(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x m ，y m )成对，且关于点(0,1)对称．则∑i ＝1m(x i ，y i )＝∑i ＝1mx i ＋∑i ＝1my i ＝0＋m2×2＝m ，故选B.14．能够把圆O ：x 2＋y 2＝16的周长和面积同时分为相等的两部分的函数称为圆O 的“和谐函数”，下列函数是圆O 的“和谐函数”的是________． ①f (x )＝e x ＋e －x； ②f (x )＝ln 5－x5＋x ；③f (x )＝tan x2；④f (x )＝4x 3＋x .答案 ②③④解析 由“和谐函数”的定义知，若函数为“和谐函数”，则该函数为过原点的奇函数，①中，f (0)＝e 0＋e －0＝2，所以f (x )＝e x ＋e －x 的图象不过原点，故f (x )＝e x ＋e －x不是“和谐函数”；②中，f (0)＝ln 5－05＋0＝ln 1＝0，且f (－x )＝ln 5＋x 5－x ＝－ln 5－x5＋x ＝－f (x )，所以f (x )为奇函数，所以f (x )＝ln 5－x 5＋x 为“和谐函数”；③中，f (0)＝tan 0＝0，且f (－x )＝tan－x2＝－tan x 2＝－f (x )，f (x )为奇函数，故f (x )＝tan x2为“和谐函数”；④中，f (0)＝0，且f (x )为奇函数，故f (x )＝4x 3＋x 为“和谐函数”，所以②③④中的函数都是“和谐函数”．。
新(全国甲卷)高考数学大二轮总复习与增分策略 专题三
(2)如图，以 Ox 为始边作角 α (0<α<π)，终边与单位
圆相交于点 P，已知点 P 的坐标为－35，45，则
sin
2α＋cos 1＋tan
α2α＋1＝__12_85_____.
解析 由三角函数定义，得 co α＋2cos2α 2cos αsin α＋cos α
解析答案
1 234
3.(2016·课标全国乙改编)已知函数 f(x)＝sin(ωx＋φ)ω>0，|φ|≤π2，x＝－π4 为 f(x)的零点，x＝π4为 y＝f(x)图象的对称轴，且 f(x)在1π8，53π6上单调，则 ω 的最大值为__9__.
解析
答案
1 234
例1 (1)角α终边经过点(－sin 20°，cos 20°)，则角α的最小正角 是__11_0_°_. 解析 由题意知，角α是第二象限角， x＝－sin 20°＝－cos 70°＝cos 110°， y＝cos 20°＝sin 70°＝sin 110°， 所以α＝110°.
解析答案
(2)已知 θ 是第三象限角，且 sin θ－2cos θ＝－25，则 sin θ＋cos θ＝_－__23_51____. 解析 由 sin θ－2cos θ＝－25及 sin2θ＋cos2θ＝1 得， (2cos θ－25)2＋cos2θ＝1⇒5cos2θ－85cos θ－2215＝0⇒cos θ＝35或 cos θ＝－275， 因为 θ 是第三象限角，所以 cos θ＝－275，从而 sin θ＝－2245， sin θ＋cos θ＝－2351.
解析答案
1 234
2度.(，20则16平·课移标后全图国象甲的改对编称)若轴将为函_x_＝数__k2y_π＝_＋_2_π6s_(ik_n∈_2_xZ_的_). 图象向左平移1π2个单位长 解析 由题意将函数 y＝2sin 2x 的图象向左平移1π2个单位长度后得到函 数的解析式为 y＝2sin2x＋π6，由 2x＋π6＝kπ＋π2，k∈Z，得函数的对称轴 为 x＝k2π＋π6(k∈Z).
新(全国甲卷)高考数学大二轮总复习与增分策略 专题六 解析几何 第1讲 直线与圆练习 文-人教版高三
第1讲 直线与圆1．(2016·山东改编)已知圆M ：x 2＋y 2－2ay ＝0(a ＞0)截直线x ＋y ＝0所得线段的长度是22，则圆M 与圆N ：(x －1)2＋(y －1)2＝1的位置关系是________． 答案 相交解析 ∵圆M ：x 2＋(y －a )2＝a 2， ∴圆心坐标为M (0，a )，半径r 1为a ， 圆心M 到直线x ＋y ＝0的距离d ＝|a |2，由几何知识得⎝⎛⎭⎪⎫|a |22＋(2)2＝a 2，解得a ＝2. ∴M (0,2)，r 1＝2.又圆N 的圆心坐标为N (1,1)，半径r 2＝1， ∴MN ＝1－02＋1－22＝2，r 1＋r 2＝3，r 1－r 2＝1.∴r 1－r 2＜MN ＜r 1＋r 2，∴两圆相交．2．(2016·上海)已知平行直线l 1：2x ＋y －1＝0，l 2：2x ＋y ＋1＝0，则l 1与l 2的距离是________． 答案2553．(2016·浙江)已知a ∈R ，方程a 2x 2＋(a ＋2)y 2＋4x ＋8y ＋5a ＝0表示圆，则圆心坐标是______．半径是______． 答案 (－2，－4) 5解析 由已知方程表示圆，则a 2＝a ＋2， 解得a ＝2或a ＝－1.当a ＝2时，方程不满足表示圆的条件，故舍去． 当a ＝－1时，原方程为x 2＋y 2＋4x ＋8y －5＝0， 化为标准方程为(x ＋2)2＋(y ＋4)2＝25， 表示以(－2，－4)为圆心，半径为5的圆．4．(2016·课标全国乙)设直线y ＝x ＋2a 与圆C ：x 2＋y 2－2ay －2＝0相交于A ，B 两点，若AB ＝23，则圆C 的面积为________．答案 4π解析 圆C ：x 2＋y 2－2ay －2＝0，即C ：x 2＋(y －a )2＝a 2＋2，圆心为C (0，a )，C 到直线y ＝x ＋2a 的距离为d ＝|0－a ＋2a |2＝|a |2.又由AB ＝23，得⎝ ⎛⎭⎪⎫2322＋⎝ ⎛⎭⎪⎫|a |22＝a 2＋2，解得a 2＝2，所以圆的面积为π(a 2＋2)＝4π.考查重点是直线间的平行和垂直的条件、与距离有关的问题．直线与圆的位置关系(特别是弦长问题)，此类问题难度属于中低档，一般以填空题的形式出现．热点一 直线的方程及应用 1．两条直线平行与垂直的判定若两条不重合的直线l 1，l 2的斜率k 1，k 2存在，则l 1∥l 2⇔k 1＝k 2，l 1⊥l 2⇔k 1k 2＝－1.若给出的直线方程中存在字母系数，则要考虑斜率是否存在． 2．求直线方程要注意几种直线方程的局限性．点斜式、两点式、斜截式要求直线不能与x 轴垂直．而截距式方程不能表示过原点的直线，也不能表示垂直于坐标轴的直线． 3．两个距离公式(1)两平行直线l 1：Ax ＋By ＋C 1＝0，l 2：Ax ＋By ＋C 2＝0间的距离d ＝|C 1－C 2|A 2＋B2. (2)点(x 0，y 0)到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的距离公式d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2.例1 (1)已知直线l 1：(k －3)x ＋(4－k )y ＋1＝0与l 2：2(k －3)x －2y ＋3＝0平行，则k 的值是________．(2)过点(5,2)且在y 轴上的截距是在x 轴上的截距的2倍的直线方程是______________． 答案 (1)3或5 (2)2x ＋y －12＝0或2x －5y ＝0解析 (1)两直线平行，则A 1B 2－A 2B 1＝0且A 1C 2－A 2C 1≠0，所以有－2(k －3)－2(k －3)(4－k )＝0，解得k ＝3或5，且满足条件A 1C 2－A 2C 1≠0.(2)若直线在坐标轴上的截距为0，设直线方程为y ＝kx ，由直线过点(5,2)，可得k ＝25，此时直线方程为2x －5y ＝0；若直线在坐标轴上的截距不为0，根据题意设直线方程为x a ＋y2a＝1，由直线过点(5,2)，可得a ＝6，此时直线方程为2x ＋y －12＝0.思维升华 (1)求解两条直线的平行或垂直问题时要考虑斜率不存在的情况；(2)对解题中可能出现的特殊情况，可用数形结合的方法分析研究．跟踪演练1 已知直线l 1：ax ＋2y ＋1＝0与直线l 2：(3－a )x －y ＋a ＝0，若l 1⊥l 2，则a 的值为________． 答案 1或2解析 由l 1⊥l 2，则a (3－a )－2＝0， 即a ＝1或a ＝2.热点二 圆的方程及应用 1．圆的标准方程当圆心为(a ，b )，半径为r 时，其标准方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，特别地，当圆心在原点时，方程为x 2＋y 2＝r 2. 2．圆的一般方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，其中D 2＋E 2－4F >0，表示以(－D 2，－E 2)为圆心，D 2＋E 2－4F2为半径的圆．例2 (1)若圆C 经过(1,0)，(3,0)两点，且与y 轴相切，则圆C 的方程为______________． (2)过点A (a ，a )可作圆x 2＋y 2－2ax ＋a 2＋2a －3＝0的两条切线，则实数a 的取值范围为________________．答案 (1)(x －2)2＋(y ±3)2＝4 (2)a <－3或1<a <32解析 (1)因为圆C 经过(1,0)，(3,0)两点，所以圆心在直线x ＝2上，又圆与y 轴相切，所以半径r ＝2，设圆心坐标为(2，b )，则(2－1)2＋b 2＝4，b 2＝3，b ＝± 3.(2)圆x 2＋y 2－2ax ＋a 2＋2a －3＝0的圆心为(a,0)，且a <32，并且(a ，a )在圆外，即有a 2>3－2a ，解得a <－3或1<a <32.思维升华 解决与圆有关的问题一般有两种方法：(1)几何法，通过研究圆的性质、直线和圆、圆与圆的位置关系，进而求得圆的基本量和方程；(2)代数法，即用待定系数法先设出圆的方程，再由条件求得各系数．跟踪演练2 (1)(2015·课标全国Ⅰ)一个圆经过椭圆x 216＋y 24＝1的三个顶点，且圆心在x 轴的正半轴上，则该圆的标准方程为________________．(2)两条互相垂直的直线2x ＋y ＋2＝0和ax ＋4y －2＝0的交点为P ，若圆C 过点P 和点M (－3,2)，且圆心在直线y ＝12x 上，则圆C 的标准方程为______________．答案 (1)⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋y 2＝254(2)(x ＋6)2＋(y ＋3)2＝34解析 (1)由题意知圆过(4,0)，(0,2)，(0，－2)三点， (4,0)，(0，－2)两点的垂直平分线方程为y ＋1＝－2(x －2)， 令y ＝0，解得x ＝32，圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0，半径为52. 得该圆的标准方程为(x －32)2＋y 2＝254.(2)由直线2x ＋y ＋2＝0和直线ax ＋4y －2＝0垂直得2a ＋4＝0，故a ＝－2，代入直线方程，联立解得交点坐标为P (－1,0)，易求得线段MP 的垂直平分线的方程为x －y ＋3＝0，设圆C 的标准方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r >0)，则圆心(a ，b )为直线x －y ＋3＝0与直线y ＝12x的交点，由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋3＝0，y ＝12x ，解得圆心坐标为(－6，－3)，从而得到r 2＝34，所以圆C 的标准方程为(x ＋6)2＋(y ＋3)2＝34.热点三 直线与圆、圆与圆的位置关系1．直线与圆的位置关系：相交、相切和相离，判断的方法主要有点线距离法和判别式法． (1)点线距离法：设圆心到直线的距离为d ，圆的半径为r ，则d <r ⇔直线与圆相交，d ＝r ⇔直线与圆相切，d >r ⇔直线与圆相离．(2)判别式法：设圆C ：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0，方程组⎩⎪⎨⎪⎧Ax ＋By ＋C ＝0，x －a 2＋y －b2＝r2消去y ，得关于x 的一元二次方程根的判别式Δ，则直线与圆相离⇔Δ<0，直线与圆相切⇔Δ＝0，直线与圆相交⇔Δ>0.2．圆与圆的位置关系有五种，即内含、内切、相交、外切、外离．设圆C 1：(x －a 1)2＋(y －b 1)2＝r 21，圆C 2：(x －a 2)2＋(y －b 2)2＝r 22，两圆心之间的距离为d ，则圆与圆的五种位置关系的判断方法如下： (1)d >r 1＋r 2⇔两圆外离； (2)d ＝r 1＋r 2⇔两圆外切； (3)|r 1－r 2|<d <r 1＋r 2⇔两圆相交； (4)d ＝|r 1－r 2|(r 1≠r 2)⇔两圆内切； (5)0≤d <|r 1－r 2|(r 1≠r 2)⇔两圆内含．例3 (1)已知直线y ＝kx (k >0)与圆C ：(x －2)2＋y 2＝1相交于A ，B 两点，若AB ＝255，则k ＝_________.(2)若直线y ＝x ＋b 与曲线x ＝1－y 2恰有一个公共点，则b 的取值范围是____________． 答案 (1)12(2)(－1,1]∪{－2}解析 (1)圆心C ()2，0，半径为1，圆心到直线的距离d ＝||2k k 2＋1，而AB ＝255，得(||2k k 2＋1)2＋⎝⎛⎭⎪⎫552＝1，解得k ＝12. (2)曲线x ＝1－y 2，即x 2＋y 2＝1(x ≥0)表示一个半径为1的半圆，如图所示．当直线y ＝x ＋b 经过点A (0,1)时，求得b ＝1； 当直线y ＝x ＋b 经过点B (1,0)时，求得b ＝－1；当直线和半圆相切于点D 时，由圆心O 到直线y ＝x ＋b 的距离等于半径， 可得|0－0＋b |2＝1，求得b ＝－2，或b ＝2(舍去)．故当直线y ＝x ＋b 与曲线x ＝1－y 2恰有一个公共点时，b 的取值范围是－1<b ≤1或b ＝－2.思维升华 (1)讨论直线与圆及圆与圆的位置关系时，要注意数形结合，充分利用圆的几何性质寻找解题途径，减少运算量．(2)圆上的点与圆外点的距离的最值问题，可以转化为圆心到点的距离问题；圆上的点与直线上点的距离的最值问题，可以转化为圆心到直线的距离问题；圆上的点与另一圆上点的距离的最值问题，可以转化为圆心到圆心的距离问题．跟踪演练3 (1)过点P (－4,0)的直线l 与圆C ：(x －1)2＋y 2＝5相交于A ，B 两点，若点A 恰好是线段PB 的中点，则直线l 的方程为____________．(2)已知在平面直角坐标系中，点A (22，0)，B (0,1)到直线l 的距离分别为1,2，则这样的直线l 共有________条． 答案 (1)x ±3y ＋4＝0 (2)3解析 (1)如果直线l 与x 轴平行，则A (1－5，0)，B (1＋5，0)，A 不是PB 的中点，则直线l 与x 轴不平行；设l ：x ＝my －4，圆心C 到直线l 的距离d ＝5m 2＋1，令AB 中点为Q ，则AQ ＝5－d 2，PQ ＝3AQ ＝35－d 2，在Rt△CPQ 中PQ 2＋CQ 2＝PC 2，得d 2＝52＝251＋m 2，解得m ＝±3，则直线l 的方程为x ±3y ＋4＝0.(2)由题意得直线l 为圆(x －22)2＋y 2＝1(A 为圆心)与圆x 2＋(y －1)2＝4(B 为圆心)的公切线，∵AB ＝222＋－12＝3＝1＋2，∴两圆外切，∴两圆共有3条公切线．故答案为3.1．已知圆C 关于y 轴对称，经过点(1,0)且被x 轴分成的两段弧长比为1∶2，则圆C 的方程为______________．押题依据 直线和圆的方程是高考的必考点，经常以填空题的形式出现，利用几何法求圆的方程也是数形结合思想的应用． 答案 x 2＋(y ±33)2＝43解析 由已知得圆心在y 轴上，且被x 轴所分劣弧所对圆心角为23π.设圆心坐标为(0，a )，半径为r ， 则r sin π3＝1，r cos π3＝|a |，解得r ＝23，即r 2＝43，|a |＝33，即a ＝±33， 故圆C 的方程为x 2＋(y ±33)2＝43. 2．设m ，n 为正实数，若直线(m ＋1)x ＋(n ＋1)y －4＝0与圆x 2＋y 2－4x －4y ＋4＝0相切，则mn 的最小值为________．押题依据 直线与圆的位置关系是高考命题的热点，本题与基本不等式结合考查，灵活新颖，加之直线与圆的位置关系本身承载着不等关系，因此此类题在高考中出现的可能性很大． 答案 3＋2 2解析 根据圆心到直线的距离是2得到m ，n 的关系，然后结合不等式即可求解． 由直线(m ＋1)x ＋(n ＋1)y －4＝0与圆(x －2)2＋(y －2)2＝4相切，可得2|m ＋n |m ＋12＋n ＋12＝2，整理得m ＋n ＋1＝mn ，由m ，n 为正实数，可知m ＋n ≥2mn ，令t ＝mn ，则2t ＋1≤t 2，因为t >0，所以t ≥1＋2，所以mn ≥3＋2 2.故mn 有最小值3＋22，无最大值．3．若圆x 2＋y 2＝4与圆x 2＋y 2＋ax ＋2ay －9＝0(a >0)相交，公共弦的长为22，则a ＝________. 押题依据 本题已知公共弦长，求参数的范围，情境新颖，符合高考命题的思路． 答案102解析 联立两圆方程⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝4，x 2＋y 2＋ax ＋2ay －9＝0，可得公共弦所在直线方程为ax ＋2ay －5＝0， 故圆心(0,0)到直线ax ＋2ay －5＝0的距离为|－5|a 2＋4a2＝5a (a >0)．故222－5a2＝22，解得a 2＝52，因为a >0，所以a ＝102.A 组 专题通关1．设A 、B 是x 轴上的两点，点P 的横坐标为2，且PA ＝PB ，若直线PA 的方程为x －y ＋1＝0，则直线PB 的方程是____________． 答案 x ＋y －5＝0解析 由于直线PA 的倾斜角为45°，且PA ＝PB ，故直线PB 的倾斜角为135°，又由题意知P (2,3)，∴直线PB 的方程为y －3＝－(x －2)，即x ＋y －5＝0.2．(教材改编)设直线ax －y ＋3＝0与圆(x －1)2＋(y －2)2＝4相交于A 、B 两点，且弦AB 的长为23，则a ＝________. 答案 0解析 由弦心距、半弦长、半径构成直角三角形，得(|a ＋1|a 2＋1)2＋(－3)2＝22，解得a ＝0.3．过坐标原点且与圆x 2＋y 2－4x ＋2y ＋52＝0相切的直线的方程为________________．答案 3x ＋y ＝0或x －3y ＝0解析 设直线方程为y ＝kx ，即kx －y ＝0. ∵圆方程可化为(x －2)2＋(y ＋1)2＝52，∴圆心为(2，－1)，半径为102. 依题意有|2k ＋1|k 2＋1＝102，解得k ＝－3或k ＝13，∴直线方程为3x ＋y ＝0或x －3y ＝0.4．已知圆O 1的方程为x 2＋y 2＝4，圆O 2的方程为(x －a )2＋y 2＝1，如果这两个圆有且只有一个公共点，那么a 的所有取值构成的集合是____________． 答案 {1，－1,3，－3}解析 ∵两个圆有且只有一个公共点， ∴两个圆内切或外切．内切时，|a |＝1；外切时，|a |＝3，∴实数a 的取值集合是{1，－1,3，－3}．5．已知圆C 1：(x －2)2＋(y －3)2＝1，圆C 2：(x －3)2＋(y －4)2＝9，M ，N 分别是圆C 1，C 2上的动点，P 为x 轴上的动点，则PM ＋PN 的最小值为__________． 答案 52－4解析 两圆的圆心均在第一象限，先求PC 1＋PC 2的最小值，作点C 1关于x 轴的对称点C 1′(2，－3)，则(PC 1＋PC 2)min ＝C 1′C 2＝52，所以(PM ＋PN )min ＝52－(1＋3)＝52－4.6．已知直线l 1：ax －y ＋1＝0，l 2：x ＋y ＋1＝0，l 1∥l 2，则a 的值为________，直线l 1与l 2间的距离为________．答案 －12解析 ∵l 1∥l 2，∴a ·1＝－1·1⇒a ＝－1， 此时l 1：x ＋y －1＝0，∴l 1，l 2之间的距离为|1－－1|2＝ 2.7．在平面直角坐标系xOy 中，过点P ()－2，0的直线与圆x 2＋y 2＝1相切于点T ，与圆()x －a 2＋()y －32＝3相交于点R ，S ，且PT ＝RS ，则正数a 的值为________．答案 4解析 由题意得PT ＝22－1＝3，k PT ＝33，PT ：y ＝33(x ＋2)，即x －3y ＋2＝0，又RS ＝PT ＝3，所以圆()x －a 2＋()y －32＝3的圆心到直线PT 距离为3－322＝32，从而|a －1|2＝32，因此正数a 的值为4. 8．(2016·课标全国丙)已知直线l ：mx ＋y ＋3m －3＝0与圆x 2＋y 2＝12交于A ，B 两点，过A ，B 分别作l 的垂线与x 轴交于C ，D 两点，若AB ＝23，则CD ＝______.答案 4解析 设AB 的中点为M ，由题意知，圆的半径R ＝23，AB ＝23，所以OM ＝3，解得m ＝－33， 由⎩⎨⎧x －3y ＋6＝0，x 2＋y 2＝12，解得A (－3，3)，B (0,23)，则AC 的直线方程为y －3＝－3(x＋3)，BD 的直线方程为y －23＝－3x ，令y ＝0，解得C (－2,0)，D (2,0)，所以CD ＝4. 9．已知点A (3,3)，B (5,2)到直线l 的距离相等，且直线l 经过两直线l 1：3x －y －1＝0和l 2：x ＋y －3＝0的交点，求直线l 的方程．解 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x －y －1＝0，x ＋y －3＝0，得交点P (1,2)．①若点A ，B 在直线l 的同侧，则l ∥AB . 而k AB ＝3－23－5＝－12，由点斜式得直线l 的方程为y －2＝－12(x －1)，即x ＋2y －5＝0.②若点A ，B 分别在直线l 的异侧，则直线l 经过线段AB 的中点(4，52)，由两点式得直线l 的方程为y －2x －1＝52－24－1，即x －6y ＋11＝0.综上所述，直线l 的方程为x ＋2y －5＝0或x －6y ＋11＝0.10．(2015·课标全国Ⅰ)已知过点A (0,1)且斜率为k 的直线l 与圆C ：(x －2)2＋(y －3)2＝1交于M ，N 两点． (1)求k 的取值范围；(2)若OM →·ON →＝12，其中O 为坐标原点，求MN . 解 (1)由题设可知，直线l 的方程为y ＝kx ＋1， 因为l 与C 交于两点，所以|2k －3＋1|1＋k2<1. 解得4－73<k <4＋73.所以k 的取值范围为⎝⎛⎭⎪⎫4－73，4＋73.(2)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)．将y ＝kx ＋1代入方程(x －2)2＋(y －3)2＝1，整理得(1＋k 2)x 2－4(1＋k )x ＋7＝0.所以x 1＋x 2＝41＋k 1＋k 2，x 1x 2＝71＋k 2. OM →·ON →＝x 1x 2＋y 1y 2＝(1＋k 2)x 1x 2＋k (x 1＋x 2)＋1＝4k 1＋k 1＋k2＋8. 由题设可得4k 1＋k 1＋k 2＋8＝12，解得k ＝1， 所以l 的方程为y ＝x ＋1.故圆心C 在l 上，所以MN ＝2.B 组 能力提高11．直线y ＝k (x －1)与以A (3,2)，B (2，3)为端点的线段有公共点，则k 的取值范围是________． 答案 [1,3]解析 因为直线y ＝k (x －1)恒过P (1,0)，画出图形，直线y ＝k (x －1)与以A (3,2)，B (2,3)为端点的线段有公共点，则直线落在阴影区域内，因为k PA ＝2－03－1＝1， k PB ＝3－02－1＝3，故k 的取值范围是[1,3]．12．在平面直角坐标系xOy 中，圆C 1：(x －1)2＋y 2＝2，圆C 2：(x －m )2＋(y ＋m )2＝m 2，若圆C 2上存在点P 满足：过点P 向圆C 1作两条切线PA ，PB ，切点为A ，B ，△ABP 的面积为1，则正数m 的取值范围是__________．答案 [1,3＋23]解析 设P (x ，y )，设PA ，PB 的夹角为2θ.△ABP 的面积S ＝12PA 2sin 2θ＝PA 2·2PC 1·PA PC 1＝1. 由2PA 3＝PC 21＝PA 2＋2，解得PA ＝2，所以PC 1＝2，所以点P 在圆(x －1)2＋y 2＝4上．所以|m －2|≤m －12＋－m 2≤m ＋2，解得1≤m ≤3＋2 3.13．已知圆O ：x 2＋y 2＝4，若不过原点O 的直线l 与圆O 交于P 、Q 两点，且满足直线OP 、PQ 、OQ 的斜率依次成等比数列，则直线l 的斜率为________．答案 ±1解析 设l ：y ＝kx ＋b (b ≠0)，代入圆的方程，化简得(1＋k 2)x 2＋2kbx ＋b 2－4＝0. 设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，得x 1＋x 2＝－2kb 1＋k 2，x 1x 2＝b 2－41＋k 2， k OP ·k OQ ＝y 1x 1·y 2x 2＝(k ＋bx 1)(k ＋b x 2) ＝k 2＋kb (x 1＋x 2x 1x 2)＋b 2x 1x 2 ＝k 2＋kb (－2kb b 2－4)＋b 21＋k 2b 2－4＝k 2b 2－4－2k 2b 2＋k 2b 2＋b 2b 2－4＝b 2－4k 2b 2－4， 由k OP ·k OQ ＝k 2l ，得b 2－4k 2b 2－4＝k 2， 解得k ＝±1.14．已知以点C (t ，2t)为圆心的圆与x 轴交于点O ，A ，与y 轴交于点O ，B ，其中O 为原点． (1)求证：△OAB 的面积为定值；(2)设直线y ＝－2x ＋4与圆C 交于点M ，N ，若OM ＝ON ，求圆C 的方程．(1)证明 由题意知圆C 过原点O ，且OC 2＝t 2＋4t 2. 则圆C 的方程为(x －t )2＋(y －2t )2＝t 2＋4t 2， 令x ＝0，得y 1＝0，y 2＝4t； 令y ＝0，得x 1＝0，x 2＝2t .故S △OAB ＝12OA ×OB ＝12×|2t |×|4t|＝4， 即△OAB 的面积为定值．(2)解 ∵OM ＝ON ，CM ＝CN ，∴OC 垂直平分线段MN .∵k MN ＝－2，∴k OC ＝12，∴直线OC 的方程为y ＝12x ， ∴2t ＝12t ，解得t ＝2或t ＝－2. 当t ＝2时，圆心C 的坐标为(2,1)，OC ＝5，此时圆心C 到直线y ＝－2x ＋4的距离d ＝15＜5，圆C 与直线y ＝－2x ＋4相交于两点；当t ＝－2时，圆心C 的坐标为(－2，－1)，OC ＝5，此时圆心C 到直线y ＝－2x ＋4的距离d ＝95>5，圆C 与直线y ＝－2x ＋4不相交， ∴t ＝－2不符合题意，应舍去．综上，圆C 的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝5.。
新(全国甲卷)2017版高考数学大二轮总复习与增分策略第二.
第1讲选择题的解法技巧［题型概述】选择题注重基本知识与基本技能的考查，侧重于解题的灵活性和快捷性，以“小”“巧”著称，试题层次性强，一般按照由易到难的顺序排列，能充分体现学生灵活运用知识的能力.解题策略：充分利用题设和选择支两方面所提供的信息作出判断，一般有两种思路：一是从题干出发考虑探求结果；二是从题干和选择支联合考虑或从选择支出发探求是否满足题干条件；先定性后定量，先特殊后推理，先间接后直接，先排除后求解，一定要小题巧解，避免小题大做.方法一直接法直接从题设条件出发，运用有关概念、性质、定理、法则和公式等知识，通过严密地推理和准确地运算，从而得出正确的结论，然后对照题目所给出的选项“对号入座”，作出相应的选择•涉及概念、性质的辨析或运算较简单的题目常用直接法.例1 (1)在厶ABC中，内角A, B, C的对边分别为a, b, c,若a= 3, b= 2 6, B= 2A,则cos A的值为()A. f B•竽3 3C念D込C. 6D. 8(2)某班有6位学生与班主任老师毕业前夕留影，要求班主任站在正中间且女生甲、乙不相邻，则排法的种数为()A. 96B. 432C. 480D. 528a b解析⑴在厶ABC中, =-,sin A sin B3 2 .6 2 6 2 6…sin A sin B sin 2 A 2sin A cos A\'6cos A=3⑵当甲、乙在班主任两侧时，甲、乙两人有3X 3X2种排法，共有3X 3X 2X 24种排法；当甲乙在班主任同侧时，有4X 24种排法，因此共有排法3X 3X 2X 24 + 4X 24 = 528(种).答案(1)A (2)D思维升华涉及概念、性质的辨析或运算较简单的题目常用直接法.只要推理严谨，运算正确必能得出正确的答案.平时练习中应不断提高用直接法解选择题的能力，不能一味求快导致快中出错.a n+i — 1B.跟踪演练1⑴数列｛a n｝满足归2,示E，其前n项积为T n，则T10等于（）A.6C. 6D.—6⑵（2015 •四川）执行如图所示的程序框图，输出S的值为（）A- ¥1C —2 a 10= a 2=— 3,所以数列｛a n ｝的前10项之积为 （2）每次循环的结果依次为:k = 2, k = 3, k = 4, k = 5>4, ••• S = sin ^n= 2-故选 D6 21 D 2答案（1）D(2)D解析（1）由 a n + 1 — 1 a n =0^1?a n +1 = 1 + a n口”，所以1a 2= — 3, a 3=— 2 ,1a 4= 3, a5=2, a 6=— 3,…， 由此可知数列 ｛&｝的项具有周期性，且周期为4，第一周期内的四项之积为 1,则a 9 = a 1 = 2,1x 1x 2X ( — 3) =— 6.方法二特例法 从题干(或选项)出发，通过选取特殊情况代入，将问题特殊化或构造满足题设条件的特殊函数或图形位置，进行判断•特殊化法是“小题小做”的重要策略，要注意在怎样的情况下才,x W 0,易知f ( — 1)是f (x )的最小值，排除A , B;2\ , x< 0,若a = 0，则f (x ) = i 1易知f (0)是f (x )的最小值，故排除 C.D 正确.x +x , x >0, ■L x⑵ 因为 a 5 • a 2n —5= 22n (n 》3),所以令n = 3，代入得a 5 • a 1= 26, 再令数列为常数列，得每一项为 8,2则 log 2a 1 + log 2a 3 + log 2空=9= 3 . 结合选项可知只有 C 符合要求. 答案(1)D(2)C思维升华 特例法具有简化运算和推理的功效，比较适用于题目中含有字母或具有一般性结 论的选择题，但用特例法解选择题时，要注意以下两点： 第一，取特例尽可能简单，有利于计算和推理；第二，若在不同的特殊情况下有两个或两个以上的结论相符，则应选另一特例情况再检验，可使用•特殊情况可能是：特殊值、特殊点、特殊位置、特殊函数等.A .C. 2 (1)设 f (x )=[—1,2] [1,2]1x+x + a ，x >0. B. D. 若f (0)是f (x )的最小值，则 a 的取值范围为[—1,0] [0,2]已知等比数列｛a n ｝满足a n >0. nn = 1,2,3，…，且 & • a 2n — 5= 2 (n 》3)，当 n 》l 时，log 2a 1+ log 处+…+ log 2a 2n —1 等于( A . n (2n — 1) C. n 22B. (n +1) 2D. (n — 1)x +12, x <0,解析(1)若 a =— 1,则 f (x )=1x +x — 1, x >°，或改用其他方法求解.跟踪演练2 (1)已知0是锐角△ ABC的外接圆圆心，/ A= 60°, CoS-B- AB+ 空一C. A C=sin C sin B2m- A O 则m 的值为（）C. 1⑵ 如图，在棱柱的侧棱 A i A 和BB 上各有一动点 P 、Q 满足AP = BQ 过P 、Q C 三点的截面把棱柱分成两部分，则其体积之比为（ ）A . 3 : 1 C. 4 : 1 答案(1)A(2)B解析 ⑴ 如图，当△ ABC 为正三角形时，A = B = C = 60°,取D 为BC 的中点,1 A 4 A— '2AD= ^mAD3••• m=—，故选 A.⑵ 将P 、Q 置于特殊位置：P A A , Q^ B ,此时仍满足条件 AP = BQ = 0）,方法三排除法 排除法就是充分运用选择题中单选题的特征，即有且只有一个正确选择项这一信息，从选择 项入手，根据题设条件与各选择项的关系，通过分析、推理、计算、判断，对选择项进行排 除，将其中与题设矛盾的干扰项逐一排除，从而获得正确结论的方法.A.~2B. .2D. 3 ：1D.—则有 V C — AAB = V A 1 —ABC.故选 B.B. 2 ：1一般选择支与题干或常识矛盾，选择支互相矛盾时用排除法. 例3 (1)(2015 •课标全国n )根据下面给出的 2004年至2013年我国二氧化硫排放量(单位:万吨)柱形图•以下结论不正确的是( )A .逐年比较，2008年减少二氧化硫排放量的效果最显著 B. 2007年我国治理二氧化硫排放显现成效 C. 2006年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势 D. 2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关⑵ 已知函数f (x ) = x (1 + a |x |).设关于x 的不等式f (x + a )<f (x )的解集为A ,若［—1,弓解析(1)从2006年，将每年的二氧化硫排放量与前一年作差比较， 得到2008年二氧化硫排放量与2007年排放量的差最大， A 选项正确；2007年二氧化硫排放量较 2006年降低了很多，B 选项正确；虽然2011年二氧化硫排放量较 2010年多一些，但自2006年以来，整体呈递减趋势，即 C选项正确；自2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份负相关，D 选项错误，故选D.1 1 1 1 1⑵ 当 x = 0 时，有 f (a )<f (0) = 0,由［—^, 2】？ A ,当 x = — -, a = — 时，有 f ( a ) = — - x (1 11 311 1 115—2 x | — ?|) =— 8<0,排除 B D,当 x = 2, a =2 时，有 f (a ) =-x (1 + ?x|?|)=孑0,排除C ,所以选择A. 答案(1)D(2)A思维升华 排除法适应于定性型或不易直接求解的选择题.当题目中的条件多于一个时，先 根据某些条件在选项中找出明显与之矛盾的予以否定，再根据另一些条件在缩小选项的范围 内找出矛盾，这样逐步筛选，直到得出正确的答案.? A ,则实数a 的取值范围是( A . (1—, 0)C.(1— .520) U (0 , )B. —A 0)D ( -8,^5)2CMJ4年加H ■年昨2041-?^ 甸備■年 卽年Ml I 坪 孙I 上年血LH 年[gX’XAO,跟踪演练3若f(a)>f( —a)，则实数a的取值范围是(1)设函数f(X)=] logj-x^xcOn⑵ 已知函数f (x ) = sin( 3 x + 0 )( 3 >0, I 0 |< ―)的最小正周期是n ,若将其图象向右平移n■3个单位后得到的图象关于原点对称，则函数 f (x )的图象( )A .关于直线x = 12对称 B.关于直线x = 12对称C. 关于点(12，0)对称D.关于点(冷守，0)对称答案(1)C(2)B解析(1)取a = 2验证满足题意，排除 A D,取a =— 2验证不满足题意，排除 B. •••正确选 项为C.2 n(2) v f (x )的最小正周期为 n , • ------ = n , 3 = 2,3. n n 2 n .• f (x )的图象向右平移 §个单位后得到 g (x ) = sin ［2( x — -) + 0 ］ = sin(2 x —-亍+ 0 )的图2 2象，又 g (x )的图象关于原点对称，••— 3 + 0 = k n , k € Z , 0 = 3 + k n , k € Z.又 | 0 |< "2， • I 2^- + k n |< 牙,• k =— 1, 0 =—专,• f (x ) = sin(2 x -专),当 x =右时，2x —专=—-6 , *5 n• A, C 错误，当x =〒2时，2x — — = ~2， -B 正确，D 错误. 方法四数形结合法根据命题条件中的函数关系或几何意义， 作出函数的图象或几何图形， 将数的问题(如解方程、 解不等式、判断单调性、求取值范围等)与某些图形结合起来，利用图象的直观性，化抽象为 直观，化直观为精确，从而使问题得到解决，这种方法称为数形结合法. 例4若直角坐标平面内的两点P, Q 满足条件：①P, Q 都在函数 y = f (x )的图象上；②P, Q关于原点对称，则称点对 [P, Q 是函数y = f (x )的一对“友好点对”(注：点对［P, Q 与［Q,log 2Xx/0P ］看作同一对"友好点对” ).已知函数f (x ) =2.....I — xx xWU则此函数的“友好点对”有( )A . 0对B. 1对C. 2对D. 3对A . ( — 1,0) U (0,1) C. ( — 1,0) U( 1,+s )B. ( —g,— 1) U (1 ,+s) D. ( —g,— 1) U (0,1)解析根据题意，将函数 f (x) =—x —4x(x w 0)的图象绕原点旋转180°后，得到的图象所2 _________________ . . . .对应的解析式为y = X - 4x ( x >0)，再作出函数 y = log 2X ( x >0)的图象，如图所示.由题意, 知函数y = x 2- 4x ( x >0)的图象与函数f (x ) = log 2x (x >0)的图象的交点个数即为"友好点对” 的对数.由图可知它们的图象交点有2个，所以此函数的“友好点对”有2对.'y-A -a -2 -i o/ -1 Y/~2答案 C思维升华数形结合法是依靠图形的直观性进行分析的，用这种方法解题比直接计算求解更 能抓住问题的实质，并能迅速地得到结果•使用数形结合法解题时一定要准确把握图形、图 象的性质，否则会因为错误的图形、图象得到错误的结论.跟踪演练4 ⑴ 已知非零向量a , b , c 满足a + b + c = 0,向量a , b 的夹角为120° 且| b |=2|a |，则向量a 与c 的夹角为( )A . 60° B. 90° C. 120°D. 150°—x + 2x , x w 0,⑵已知函数f (x )= <,,若|f (x )| > ax ,则a 的取值范围是( )111 X +1, x >0.A . (—s, 0] B. ( —s, 1] C. [ — 2,1] D. [ — 2,0]答案(1)B(2)DCO 的夹角为90°,即a 与c 的夹角为90°(2)函数y = | f (x )|的图象如图所示.解析 (1)如图，因为〈a , b >= 120°,| b | = 2|a | , a + b + c = 0,所以在△ OBC 中，BC 与① 当a = 0时，|f (x )| > ax 显然成立.② 当a >0时，只需在x >0时，ln( x +1) > ax 成立.比较对数函数与一次函数 y = ax 的增长速度.显然不存在 a >0使ln( x +1) > ax 在x >0上恒成立.2③ 当a <0时，只需x <0, x -2x >ax 成立，即a >x -2成立，二a >- 2. 综上所述：—2< a < 0.故选D. 方法五构造法构造法是一种创造性思维，是综合运用各种知识和方法，依据问题给出的条件和结论给出的信息，把问题作适当的加工处理，构造与问题相关的数学模式，揭示问题的本质，从而沟通 解题思路的方法.解析构造函数g (x ) = f则 g '(x )= J 因为？x € R ,均有 f (x )>f '(x )，并且 e x >0, 所以 g'( x )<0 ,f x故函数g ( x ) =在R 上单调递减，e所以 g ( — 2 018)> g (0) , g (2 018)< g (0),也就是 e 2 018 f ( — 2 018)> f (0),f (2 018)<e 2 018f (0).答案 D思维升华 构造法求解时需要分析待求问题的结构形式，特别是研究整个问题复杂时，单独 摘出其中的部分进行研究或者构造新的情景进行研究.跟踪演练5 (1)(2015 •课标全国H )设函数 f '(x )是奇函数f (x )(x € R)的导函数，f ( — 1)例 5 已知函数 f (x )是定义在R 上的可导函数，且对于？x € R,均有f (x )>f '(x )，则有()e 2 018f ( — 2 018)< f (0), e 2 018f ( — 2 018)< f (0),2 018 一 一e f ( — 2 018)> f (0), A .B . C. D. f (2 018)>e f (2 018)<ef (2 018)>ef (2 018)<e2 018f (0) 2 018f (0) 2 018 一f (0) 2 018f (0) —2 018~— 2 018e>f (0),f—<f(0),=0，当x >0时，xf ，(x ) — f (x ) V 0，则使得f (x )>0成立的x 的取值范围是( )A . ( —g,— 1) U (0,1) B. ( —1,0) U (1 ,+s) C. ( —g ，— 1) U ( — 1,0)D. (0,1) U (1 ,+g⑵若四面体ABCD 勺三组对棱分别相等，即 AB= CD AO BD AD= BC 给出下列五个命题: ① 四面体ABC ［每组对棱相互垂直； ② 四面体ABCDI 个面的面积相等；③ 从四面体ABCD 每个顶点出发的三条棱两两夹角之和大于 90°而小于180°;④ 连接四面体 ABCDI 组对棱中点的线段相互垂直平分；⑤ 从四面体 ABCDf 个顶点出发的三条棱的长可作为一个三角形的三边长. 其中正确命题的个数是( )A . 2 B. 3 C. 4 D. 5答案(1)A(2)B解析(1)因为f (x )( x € R)为奇函数，f ( — 1) = 0,所以f ⑴=—f ( — 1) = 0.当X M0时，令v 0? f (x ) > 0.综上，得使f (x ) >0成立的x 的取值范 围是(一g ，— 1) U (0,1)，选 A.(2)构造长方体，使三组对棱恰好是长方体的三组平行面中异面的对角线， 在此背景下，长方体的长、宽、高分别为 x 、y 、乙 对于①，需要满足 x = y = z ，才能成立； 因为各个面都是全等的三角形(由对棱相等易证)，则四面体的同一顶点处对应三个角之和一定恒等于180°，故②成立，③显然不成立；对于④，由长方体相对面的中心连线相互垂直平分判断④成立；从每个顶点出发的三条棱的长恰好分别等于各个面的三角形的三边长，⑤显然成立•故正确 命题有②④⑤. 方法六估算法由于选择题提供了唯一正确的选项， 解答又无需过程，因此，有些题目不必进行准确的计算， 只需对其数值特点和取值界限作出适当的估计，便能作出正确的判断，这就是估算法.估算 法往往可以减少fg (x )=-，贝y g (x )为偶函数，且 g (1) = g ( — 1) = 0.则当 X > 0 时，g '(x )=xfV 0，故g (x )(—g ，0)上为在(0，+g )上，当 0v x v 1 时，g (x ) > g (1) = 0?> 0? f (x ) >00)上，当x v — 1 时，g (x ) v g ( — 1) = 0?运算量，但是加强了思维的层次.例6 ⑴ 图中阴影部分的面积S 是h 的函数(0 < h w H )，则该函数的大致图象是( )⑵已知三棱锥S 「ABC 勺所有顶点都在球 O 的球面上，△ ABC 是边长为1的正三角形，SC 为球0的直径，且SC= 2,则此棱锥的体积是()D.解析(1)由题图知，随着h 的增大，阴影部分的面积 S 逐渐减小，且减小得越来越慢， 结合 选项可知选B.⑵ 容易得到厶ABC 勺面积为-4,而三棱锥的高一定小于球的直径2,所以X 2=#,立即排除B 、C D,答案选A. 答案⑴B (2)A思维升华 估算法一般包括范围估算， 极端值估算和推理估算. 当题目从正面解析比较麻烦， 特值法又无法确定正确的选项时 (如难度稍大的函数的最值或取值范围、 函数图象的变化等问 题)常用此种方法确定选项.跟踪演练6 (1)已知x i 是方程x + lg x = 3的根，X 2是方程x + 10x = 3的根，贝U x i + X 2等于 ( ) A . 6 B. 3 C. 2D. 1⑵(2015 •湖北)在区间［0,1］上随机取两个数 x , y ,记p 1为事件“ x + y w 1 ”的概率，p 2为1事件“ xy w 2”的概率，则（ ）1 1A . P 1中2<2 B. P 2<2<P 11 1C ・2<P 2<P 1 D. P 1$<P 2答案(1)B(2)D解析 ⑴ 因为X 1是方程x + lg x = 3的根，所以2<X 1<3 ,X 2是方程x + 10x = 3的根，所以0%<1,A. "6"B.所以2<x i + X 2<4.故B 正确.S A OECS 四边形OCD E1所以p <2<p 2.故选D.(2)在直角坐标系中，依次作出不等式0w x w 1,0w y w 1,1 1 一x + y w -, xy w ㊁的可行域如图所示:依题意,ABOS 曲边多边形S 四边形OCD ES 四边形OCDE。
新(全国甲卷)高考数学大二轮总复习与增分策略 专题七
第1讲 概 率1．(2016·课标全国乙改编)为美化环境，从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中，余下的2种花种在另一个花坛中，则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是________． 答案 23解析 将4种颜色的花任选两种种在一个花坛中，余下2种种在另一个花坛，有((红黄)、(白紫))，((白紫)、(红黄))，((红白)、(黄紫))，((黄紫)、(红白))，((红紫)、(黄白))，((黄白)、(红紫))，共6种种法，其中红色和紫色不在一个花坛的种数有((红黄)、(白紫))，((白紫)、(红黄))，((红白)、(黄紫))，((黄紫)，(红白))，共4种，故所求概率为P ＝46＝23.2．(2016·课标全国乙改编)某公司的班车在7：30,8：00，8：30发车，小明在7：50至8：30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是________． 答案 12解析 如图所示，画出时间轴：小明到达的时间会随机的落在图中线段AB 中，而当他的到达时间落在线段AC 或DB 时，才能保证他等车的时间不超过10分钟，根据几何概型得所求概率P ＝10＋1040＝12.3．(2016·北京改编)袋中装有偶数个球，其中红球、黑球各占一半．甲、乙、丙是三个空盒，每次从袋中任意取出两个球，将其中一个球放入甲盒，如果这个球是红球，就将另一个球放入乙盒，否则就放入丙盒．重复上述过程，直到袋中所有球都被放入盒中，给出以下四种说法，其中正确的序号是________． ①乙盒中黑球不多于丙盒中黑球； ②乙盒中红球与丙盒中黑球一样多； ③乙盒中红球不多于丙盒中红球； ④乙盒中黑球与丙盒中红球一样多． 答案 ②解析 取两个球往盒子中放有4种情况： (1)红＋红，则乙盒中红球数加1；(2)黑＋黑，则丙盒中黑球数加1；(3)红＋黑(红球放入甲盒中)，则乙盒中黑球数加1； (4)黑＋红(黑球放入甲盒中)，则丙盒中红球数加1.因为红球和黑球个数一样，所以(1)和(2)的情况一样多．(3)和(4)的情况完全随机，(3)和(4)对②中的乙盒中的红球数与丙盒中的黑球数没有任何影响．(1)和(2)出现的次数是一样的，所以对②中的乙盒中的红球数与丙盒中的黑球数的影响次数一样．4．(2016·山东)在[－1,1]上随机地取一个数k ，则事件“直线y ＝kx 与圆(x －5)2＋y 2＝9相交”发生的概率为________． 答案 34解析 由已知得，圆心(5,0)到直线y ＝kx 的距离小于半径，∴|5k |k 2＋1<3，解得－34<k <34，由几何概型得P ＝34－⎝ ⎛⎭⎪⎫－341－－＝34.1.以填空题的形式考查古典概型、几何概型的基本应用；2.将古典概型与概率的性质相结合，考查知识的综合应用能力．热点一 古典概型1．古典概型的概率P (A )＝m n ＝A 中所含的基本事件数基本事件总数.2．古典概型的两个特点：所有可能出现的基本事件只有有限个；每个基本事件出现的可能性相等．例1 (2016·山东)某儿童乐园在“六一”儿童节推出了一项趣味活动．参加活动的儿童需转动如图所示的转盘两次，每次转动后，待转盘停止转动时，记录指针所指区域中的数．设两次记录的数分别为x ，y .奖励规则如下： ①若xy ≤3，则奖励玩具一个；②若xy ≥8，则奖励水杯一个； ③其余情况奖励饮料一瓶．假设转盘质地均匀，四个区域划分均匀，小亮准备参加此项活动． (1)求小亮获得玩具的概率；(2)请比较小亮获得水杯与获得饮料的概率的大小，并说明理由．解 用数对(x ，y )表示儿童参加活动先后记录的数，则基本事件空间Ω与点集S ＝{(x ，y )|x ∈N ，y ∈N,1≤x ≤4,1≤y ≤4}一一对应．因为S 中元素的个数是4×4＝16. 所以基本事件总数n ＝16. (1)记“xy ≤3”为事件A ，则事件A 包含的基本事件数共5个， 即(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(3,1)， 所以P (A )＝516，即小亮获得玩具的概率为516.(2)记“xy ≥8”为事件B ，“3＜xy ＜8”为事件C . 则事件B 包含的基本事件数共6个．即(2,4)，(3,3)，(3,4)，(4,2)，(4,3)，(4,4)． 所以P (B )＝616＝38.事件C 包含的基本事件数共5个， 即(1,4)，(2,2)，(2,3)，(3,2)，(4,1)． 所以P (C )＝516.因为38＞516，所以小亮获得水杯的概率大于获得饮料的概率． 思维升华 求古典概型概率的步骤：(1)反复阅读题目，收集题目中的各种信息，理解题意； (2)判断试验是否为古典概型，并用字母表示所求事件；(3)利用列举法求出总的基本事件的个数n 及事件A 中包含的基本事件的个数m ； (4)计算事件A 的概率P (A )＝m n.跟踪演练1 (1)某学校高三有A ，B 两个自习教室，甲、乙、丙三名同学随机选择其中一个教室自习，则他们在同一自习教室上自习的概率为________．(2)书架上有3本数学书，2本物理书，从中任意取出2本，则取出的两本书都是数学书的概率为________． 答案 (1)14 (2)310解析 (1)P ＝22×2×2＝28＝14.(2)取出的两本书共有5×42＝10种不同组合，其中两本书都是数学书的组合有3×22＝3种，则取出的两本书都是数学书的概率为310.热点二 几何概型 1．几何概型的概率公式：P (A )＝构成事件A 的区域长度面积或体积试验的全部结果所构成的区域长度面积或体积.2．几何概型应满足两个条件：基本事件的无限性和每个基本事件发生的等可能性． 例2 (1)在区间[]－3，5上随机取一个实数a , 则是函数f ()x ＝x 2＋2ax ＋4的零点的概率为________．(2)在区间[0,1]上随机取两个实数a 、b ，则函数f (x )＝12x 3＋ax －b 在区间[0,1]上有且只有一个零点的概率为________． 答案 (1)12 (2)78解析 (1)Δ＝4a 2－4×4≥0，a ≤－2或a ≥2，区间[－3,5]的长度为8，满足a ≤－2或a ≥2的是[－3，－2]∪[2,5]，总长度为4，因此所求概率为P ＝48＝12.(2)由已知，⎩⎪⎨⎪⎧0≤a ≤1，0≤b ≤1，则当函数f (x )＝12x 3＋ax －b 在区间[0,1]上有且只有一个零点时，需满足b (12＋a －b )≥0，分别作出平面区域，如图，可知，当点(a ，b )落于图中阴影区域内时满足题意，故所求概率为1－12×12×121×1＝78.思维升华 当试验的结果构成的区域为长度、面积、体积、弧长、夹角等时，应考虑使用几何概型求解；利用几何概型求概率时，关键是试验的全部结果构成的区域和事件发生的区域的寻找，有时需要设出变量，在坐标系中表示所需要的区域．跟踪演练2 (1)在区间[－1，1]上随机取一个数k ，使直线y ＝k (x ＋2)与圆x 2＋y 2＝1相交的概率为________．(2)在矩形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝1，O 为AB 边的中点，若在该矩形内随机取一点，则取到的点与O 点的距离大于1的概率为_________． 答案 (1)33 (2)1－π4解析 (1)直线与圆相交，则圆心到直线的距离小于半径，即d ＝||2k 1＋k2<1,3k 2<1，－33<k <33， 故所求概率为2×332＝33.(2)由题设，所求质点应在矩形ABCD 内且在以O 为圆心，1为半径的半圆外．由于矩形的面积为2，以O 为圆心，1为半径的半圆的面积为π2，所以满足条件的概率为P ＝2－π22＝1－π4.热点三 互斥事件与对立事件1．事件A ，B 互斥，那么事件A ＋B 发生(即A ，B 中有一个发生)的概率，等于事件A ，B 分别发生的概率的和，即P (A ＋B )＝P (A )＋P (B )．2．在一次试验中，对立事件A 和A 不会同时发生，但一定有一个发生，因此有P (A )＝1－P (A )．例3 某商场在元旦举行购物抽奖促销活动，规定顾客从装有编号为0,1,2,3,4的五个相同小球的抽奖箱中一次任意摸出两个小球，若取出的两个小球的编号之和等于7则中一等奖，等于6或5则中二等奖，等于4则中三等奖，其余结果为不中奖． (1)求中二等奖的概率； (2)求不中奖的概率．解 (1)记“中二等奖”为事件A .从五个小球中一次任意摸出两个小球，不同的结果有{0,1}，{0,2}，{0,3}，{0,4}，{1,2}，{1,3}，{1,4}，{2,3}，{2,4}，{3,4}，共10个基本事件．记两个小球的编号之和为x ，由题意可知，事件A 包括两个互斥事件：x ＝5，x ＝6. 事件x ＝5的取法有2种，即{1,4}，{2,3}， 故P (x ＝5)＝210＝15；事件x ＝6的取法有1种，即{2,4}，故P (x ＝6)＝110，所以P (A )＝P (x ＝5)＋P (x ＝6)＝15＋110＝310.(2)记“不中奖”为事件B ，则“中奖”为事件B ，由题意可知，事件B 包括三个互斥事件：中一等奖(x ＝7)，中二等奖(事件A )，中三等奖(x ＝4)． 事件x ＝7的取法有1种，即{3,4}， 故P (x ＝7)＝110；事件x ＝4的取法有{0,4}，{1,3}，共2种， 故P (x ＝4)＝210＝15，由(1)可知，P (A )＝310，所以P (B )＝P (x ＝7)＋P (x ＝4)＋P (A ) ＝110＋15＋310＝35. 所以不中奖的概率为P (B )＝1－P (B )＝1－35＝25.思维升华 事件的互斥和对立是既有联系又有区别的两个概念，要充分利用对立事件是必然有一个发生的互斥事件．在判断这些问题时，先要判断两个事件是不是互斥事件(即是否不可能同时发生)，然后判断这两个事件是不是对立事件(即是否必然有一个发生)．在解答与两个事件有关的问题时一定要仔细斟酌，全面考虑，防止出现错误．跟踪演练3 (1)从装有3个红球、2个白球的袋中任取3个球，若事件A ＝“所取的3个球中至少有1个白球”，则事件A 的对立事件是________________．(2) 俗话说：“三个臭皮匠顶个诸葛亮”．但由于臭皮匠太“臭”，三个往往还顶不了一个诸葛亮．已知诸葛亮单独解出某道奥数题的概率为0.8，每个臭皮匠单独解出该道奥数题的概率是0.3.则至少要________个臭皮匠能顶一个诸葛亮． 答案 (1)所取的3个球都是红球 (2)5解析 (1)事件A ＝“所取的3个球中至少有1个白球” 说明有白球，白球的个数可能是1或2，包括事件“1个白球2个红球”，“2个白球1个红球”，事件A 的对立事件为所取的3个球都是红球．(2)若有3个臭皮匠，解出该道奥数题的概率为 1－(1－0.3)3＝0.657＜0.8，若有4个臭皮匠，解出该道奥数题的概率为 1－(1－0.3)4＝0.759 9＜0.8，若有5个臭皮匠，解出该道奥数题的概率为1－(1－0.3)5＝0.831 93＞0.8， 故至少要5个臭皮匠能顶一个诸葛亮.1．将一骰子抛掷两次，所得向上的点数分别为m 和n ，则函数y ＝23mx 3－nx ＋1在[1，＋∞)上为增函数的概率是________．押题依据 古典概型是高考考查概率问题的核心，考查频率很高；古典概型和函数、方程、不等式、向量等知识的交汇是高考命题的热点． 答案 56解析 将一骰子抛掷两次，所得向上的点数(m ，n )的所有事件为(1,1)，(1,2)，…，(6,6)，共36个．由题可知，函数y ＝23mx 3－nx ＋1在[1，＋∞)上单调递增，所以y ′＝2mx 2－n ≥0在[1，＋∞)上恒成立，所以2m ≥n ，则不满足条件的(m ，n )有(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,5)，(2,6)，共6种情况，所以满足条件的共有30种情况，则函数y ＝23mx 3－nx ＋1在[1，＋∞)上单调递增的概率为3036＝56.2．已知集合M ＝{x |－1<x <4，x ∈R }，N ＝{x |x 2－3x ＋2≤0}，在集合M 中任取一个元素x ，则“x ∈(M ∩N )”的概率是________．押题依据 与长度(角度、弧度、周长等)有关的几何概型问题也是高考命题的热点，在高考中多以填空题的形式出现，题目难度不大． 答案 15解析 因为M ＝{x |－1<x <4，x ∈R }＝(－1,4)，N ＝{x |x 2－3x ＋2≤0}＝[1,2]，所以M ∩N ＝[1,2]，所以“x ∈(M ∩N )”的概率是2－14－－＝15. 3．在一种游戏规则中规定，要将一枚质地均匀的铜板扔到一个边长为8的小方块上(铜板的直径是4)，若铜板完整地扔到小方块上即可晋级．现有一人把铜板扔在小方块上，晋级的概率P 为________．押题依据 与面积有关的几何概型问题是高考考查的重点，常以圆、三角形、四边形等几何图形为载体，在高考中多以填空题的形式出现，难度中等偏下．答案 14解析 由题意分析，知铜板要完整地落在小方块上，则铜板圆心到小方块各边的最短距离不小于铜板半径，所以晋级的概率P ＝4282＝14.4．抛掷一枚均匀的正方体骰子(各面分别标有数字1,2,3,4,5,6)，事件A 表示“朝上一面的数是奇数”，事件B 表示“朝上一面的数不超过2”，则P (A ＋B )＝________.押题依据 事件之间关系的正确判断是解题的基础，将复杂事件拆分成n 个互斥事件的和可以更方便求解事件的概率，体现了化归思想． 答案 23解析 将事件A ＋B 分为：事件C ：“朝上一面的数为1,2”与事件D ：“朝上一面的数为3,5”，则C ，D 互斥， 且P (C )＝13，P (D )＝13，∴P (A ＋B )＝P (C ＋D )＝P (C )＋P (D )＝23.A 组 专题通关1．一枚硬币连掷2次，只有一次出现正面的概率为________． 答案 12解析 一枚硬币连掷2次可能出现(正，正)、(反，反)、(正，反)、(反，正)四种情况，只有一次出现正面的情况有两种，∴P ＝24＝12.2．若A 、B 是互斥事件，P ()A ＝0.2，P ()A ＋B ＝0.5，则P ()B ＝________. 答案 0.3解析 根据互斥事件的概率，由题意得P ()A ＋B ＝P (A )＋P (B )，所以P ()B ＝0.3.3．已知甲、乙两人下棋，和棋的概率为12，乙胜的概率为13，则甲胜的概率为________．答案 16解析 由题设可知甲胜的概率为“乙不胜”，即“乙和与输”，由题意甲胜的概率为P ＝1－12－13＝16，即甲胜的概率为16，所以答案应填16. 4．甲、乙两盒中各有除颜色外完全相同的2个红球和1个白球，现从两盒中随机各取一个球，则至少有一个红球的概率为________． 答案 89解析 从两盒中随机各取一个球，共有3×3＝9种基本事件，其中没有一个红球包含1×1＝1种基本事件，因此至少有一个红球的概率为1－19＝89.5．设不等式组⎩⎨⎧x ＋y ≤2，x －y ≥－2，y ≥0所表示的区域为M ，函数y ＝1－x 2的图象与x 轴所围成的区域为N ，向M 内随机投一个点，则该点落在N 内的概率为________．答案π4解析 画出区域M 及区域N ，如图所示．区域M 的面积为2，区域N 的面积为π2，由几何概型知所求概率P ＝π4.6．(2016·江苏)将一颗质地均匀的骰子(一种各个面上分别标有1,2,3,4,5,6个点的正方体玩具)先后抛掷2次，则出现向上的点数之和小于10的概率是________． 答案 56解析 基本事件共有36个．如下：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，(4,5)，(4,6)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)，(5,6)，(6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)，其中满足点数之和小于10的有30个．故所求概率为P ＝3036＝56.7．在区间[－1,1]上随机取一个数x ，cos πx 2的值介于[0，12]的概率为________．答案 13解析 由题意得0≤cosπx 2≤12，x ∈[－1,1]⇒π3≤πx 2≤π2或－π2≤πx 2≤－π3⇒23≤x ≤1或－1≤x ≤－23，因此所求概率为－231－－＝13. 8．如图，在边长为1的正方形中随机撒1 000粒豆子，有380粒落到阴影部分，据此估计阴影部分的面积为________．答案1950解析 根据几何概型的概率公式可得P ＝S 阴影S 正方形＝S 阴影1＝3801 000＝1950，所以阴影部分的面积为1950. 9．一个均匀的正四面体的四个面上分别涂有1,2,3,4四个数字，现随机投掷两次，正四面体面朝下的数字分别为b ，c .(1)z ＝(b －3)2＋(c －3)2，求z ＝4的概率；(2)若方程x 2－bx －c ＝0至少有一根x ∈{1,2,3,4}，就称该方程为“漂亮方程”，求方程为“漂亮方程”的概率．解 (1)因为是投掷两次，因此基本事件(b ，c )为(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，共16个， 当z ＝4时，(b ，c )的所有取值为(1,3)，(3,1)， 所以P (z ＝4)＝216＝18.(2)①若方程一根为x ＝1，则1－b －c ＝0， 即b ＋c ＝1，不成立．②若方程一根为x ＝2，则4－2b －c ＝0，即2b ＋c ＝4，所以⎩⎪⎨⎪⎧b ＝1，c ＝2.③若方程一根为x ＝3，则9－3b －c ＝0，即3b ＋c ＝9，所以⎩⎪⎨⎪⎧ b ＝2，c ＝3.④若方程一根为x ＝4，则16－4b －c ＝0，即4b ＋c ＝16，所以⎩⎪⎨⎪⎧ b ＝3，c ＝4.由①②③④知，(b ，c )的所有可能取值为(1,2)，(2,3)，(3,4)，所以方程为“漂亮方程”的概率为P ＝316. 10．现有8名数理化成绩优秀者，其中A 1，A 2，A 3数学成绩优秀，B 1，B 2，B 3物理成绩优秀，C 1，C 2化学成绩优秀．从中选出数学、物理、化学成绩优秀者各1名，组成一个小组代表学校参加竞赛．(1)求C 1被选中的概率；(2)求A 1和B 1不全被选中的概率．解 (1)从8人中选出数学、物理、化学成绩优秀者各1名，其一切可能的结果组成的基本事件空间为Ω＝{(A 1，B 1，C 1)，(A 1，B 1，C 2)，(A 1，B 2，C 1)，(A 1，B 2，C 2)，(A 1，B 3，C 1)，(A 1，B 3，C 2)，(A 2，B 1，C 1)，(A 2，B 1，C 2)，(A 2，B 2，C 1)，(A 2，B 2，C 2)，(A 2，B 3，C 1)，(A 2，B 3，C 2)，(A 3，B 1，C 1)，(A 3，B 1，C 2)，(A 3，B 2，C 1)，(A 3，B 2，C 2)，(A 3，B 3，C 1)，(A 3，B 3，C 2)}，共18个基本事件．由于每一个基本事件被选中的机会均等，因此这些基本事件的发生是等可能的．用M 表示“C 1恰被选中”这一事件，则M ＝{(A 1，B 1，C 1)，(A 1，B 2，C 1)，(A 1，B 3，C 1)，(A 2，B 1，C 1)，(A 2，B 2，C 1)，(A 2，B 3，C 1)，(A 3，B 1，C 1)，(A 3，B 2，C 1)，(A 3，B 3，C 1)}．事件M 由9个基本事件组成，所以P (M )＝918＝12. (2)用N 表示“A 1，B 1不全被选中”这一事件，则其对立事件N 表示“A 1，B 1全被选中”这一事件，由于N ＝{(A 1，B 1，C 1)，(A 1，B 1，C 2)}，事件N 由2个基本事件组成，所以P (N )＝218＝19. 由对立事件的概率公式得P (N )＝1－P (N )＝1－19＝89.B 组 能力提高11．欧阳修《卖油翁》中写到：(翁)乃取一葫芦置于地，以钱覆其口，徐以杓酌油沥之，自钱孔入，而钱不湿．可见，“行行出状元”，卖油翁的技艺让人叹为观止．若铜钱是直径为3 cm 的圆，中间有边长为1 cm 的正方形孔，若随机向铜钱上滴一滴油(油滴的大小忽略不计)，则油滴正好落在孔中的概率是________．答案 49π解析 由题意得，如图所示，因为正方形的面积S ＝1，圆的面积为S 1＝π×(32)2＝9π4，所以对应的概率为P ＝S S 1＝49π.12．掷一个骰子的试验，事件A 表示“小于5的偶数点出现”，事件B 表示“小于5的点出现”，则一次试验中，事件A ＋B 发生的概率为________．答案 23解析 掷一个骰子的试验有6种可能结果．依题意P (A )＝26＝13，P (B )＝46＝23，∴P (B )＝1－P (B )＝1－23＝13. ∵B 表示“出现5点或6点”的事件，∴事件A 与B 互斥，∴P (A ＋B )＝P (A )＋P (B )＝13＋13＝23. 13．在区间[－2,3]上任取一个数a ，则函数f (x )＝13x 3－ax 2＋(a ＋2)x 有极值的概率为________．答案 25解析 区间[－2,3]的长度为5， f ′(x )＝x 2－2ax ＋a ＋2.函数f (x )＝13x 3－ax 2＋(a ＋2)x 有极值等价于f ′(x )＝x 2－2ax ＋a ＋2＝0有两个不等实根， 即Δ＝4a 2－4(a ＋2)>0，解得a <－1或a >2，又∵a ∈[－2,3]，∴－2≤a <－1或2<a ≤3，区间范围的长度为2，∴所求概率P ＝25. 14.甲、乙两家商场对同一种商品开展促销活动，对购买该商品的顾客，两家商场的奖励方案如下：甲商场：顾客转动如图所示圆盘，当指针指向阴影部分(图中四个阴影部分均为扇形，且每个扇形圆心角均为15°，边界忽略不计)即为中奖．乙商场：从装有3个白球、3个红球的盒子中一次性摸出2个球(球除颜色外不加区分)，如果摸到的是2个红球，即为中奖．问：购买该商品的顾客在哪家商场中奖的可能性大？解 如果顾客去甲商场，试验的全部结果构成的区域为圆盘，面积为πR 2(R 为圆盘的半径)，阴影区域的面积为4×15πR 2360＝πR 26， 所以在甲商场中奖的概率为P 1＝πR26πR 2＝16. 如果顾客去乙商场，记盒子中3个白球为a 1，a 2，a 3,3个红球为b 1，b 2，b 3，记(x ，y )为一次摸球的结果，则一切可能的结果有：(a 1，a 2)，(a 1，a 3)，(a 1，b 1)，(a 1，b 2)，(a 1，b 3)，(a 2，a 3)，(a 2，b 1)，(a 2，b 2)，(a 2，b 3)，(a 3，b 1)，(a 3，b 2)，(a 3，b 3)，(b 1，b 2)，(b 1，b 3)，(b 2，b 3)，共15种．摸到的2个球都是红球有(b 1，b 2)，(b 1，b 3)，(b 2，b 3)，共3种，所以在乙商场中奖的概率为P 2＝315＝15. 由于P 1<P 2，所以顾客在乙商场中奖的可能性大．。
新(全国甲卷)高考数学大二轮总复习与增分策略 专题二 函数与导数 第2讲 函数的应用课件 理
(2)已知函数 f(x)＝－x2＋2ex＋m－1，g(x)＝x＋ex2 (x>0). ①若g(x)＝m有零点，求m的取值范围； 解 ∵g(x)＝x＋ex2≥2 e2＝2e(x>0)，当且仅当 x＝ex2时取等号， ∴当x＝e时，g(x)有最小值2e. ∴g(x)＝m有零点，只需m≥2e. ∴当m∈[2e，＋∞)时，g(x)＝m有零点.
专题二 函数与导数
第2讲 函数的应用
栏目索引
1 高考真题体验 2 热点分类突破 3 高考押题精练
高考真题体验
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1.(2016·天津)已知函数 f(x)＝sin2ω2x＋12sin ωx－12 (ω>0，x∈R).若 f(x)在区
间(π，2π)内没有零点，则 ω 的取值范围是( )
A.0，18
例1 (1)已知实数a>1,0<b<1，则函数f(x)＝ax＋x－b的零点所在的区间
是( )
A.(－2，－1)
√B.(－1,0)
C.(0,1)
D.(1,2)
解析 因为a>1,0<b<1，f(x)＝ax＋x－b，
所以 f(－1)＝1a－1－b<0，f(0)＝1－b>0，
由零点存在性定理可知f(x)在区间(－1,0)上存在零点.
⊗ ⊗ 例 2 (1)对任意实数 a，b 定义运算“ ”：a b＝ba， ，aa－ －bb≥ <11. ， 设 f(x) ⊗ ＝(x2－1) (4＋x)，若函数y＝f(x)＋k的图象与x轴恰有三个不同的交点，
则k的取值范围是( )
A.(－2,1)
B.[0,1]
C.[－2,0)
√D.[－2,1)
解析
D.(3,10)
新高考适用2023版高考数学二轮总复习第1篇核心素养谋局思想方法引领第2讲新高考新题型课件
核心素养谋局•思想方法引领
第2讲 新高考 新题型
关键能力解读
随着新教材的广泛使用，“破定势，考真功”的命题理念越来越受 到重视，《中国高考评价体系》指出命制结论开放、解题方法多样、答 案不唯一的试题，增强试题的开放性和探究性，引导学生打破常规进行 独立思考和判断，提出解决问题的方案，如多选题、一题双空题、开放 型、结构不良型解答题在新高考中的呈现．
次，那么 n Sk＝_2_4_0__3_－__n_＋2_n_3_ dm2.
k＝1
【解析】依题意得，S1＝120×2＝240(dm2)； S2＝60×3＝180(dm2)； 当 n＝3 时，共可以得到 5 dm×6 dm，52 dm×12 dm， 10 dm×3 dm，20 dm×32 dm 四种规格的图形，且 5×6＝30，52×12 ＝30，10×3＝30，20×32＝30， 所以 S3＝30×4＝120(dm2)；
典例4 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知 b2－2bc cos A＝a2－2ac cos B，c＝2，
(1)证明：△ABC为等腰三角形； (2)设△ABC的面积为S，若________，求S的值． 在①7cos B＝2cos C；②C→A·C→B＝2S；③a2＋b2＝8c2 三个选项中，选 择一个填入上面空白处，并求解．
n)，c为非零常数，则
( CD )
A．两组样本数据的样本平均数相同
B．两组样本数据的样本中位数相同
C．两组样本数据的样本标准差相同
D．两组样本数据的样本极差相同
【解析】∵－y ＝1n(y1＋y2＋…＋yn) ＝1n(x1＋x2＋…＋xn)＋c， ∴－y ＝－x ＋c 且 c≠0，因此 A 错误； 显然第一组数据与第二组数据的中位数相差 c，B 错误； 因为 D(y)＝12·D(x)＝D(x)，故两组样本数据的方差相同，C 项正确； 由极差的定义知：若第一组的极差为 xmax－xmin，则第二组的极差为 ymax－ymin＝xmax－xmin，故两组样本数据的极差相同，D 项正确．
新(全国甲卷)高考数学大二轮总复习与增分策略 专题一
第1讲 集合与常用逻辑用语1．(2016·课标全国乙)设集合A ＝{x |x 2－4x ＋3<0}，B ＝{x |2x －3>0}，则A ∩B 等于( ) A.⎝⎛⎭⎪⎫－3，－32 B.⎝⎛⎭⎪⎫－3，32C.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32D.⎝ ⎛⎭⎪⎫32，3 答案 D解析 由A ＝{x |x 2－4x ＋3<0}＝{x |1<x <3}，B ＝{x |2x －3>0}＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x >32， 得A ∩B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪32<x <3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，3，故选D. 2．(2016·北京)设a ，b 是向量，则“|a |＝|b |”是“|a ＋b |＝|a －b |”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件答案 D解析 若|a |＝|b |成立，则以a ，b 为邻边构成的四边形为菱形，a ＋b ，a －b 表示该菱形的对角线，而菱形的对角线不一定相等，所以|a ＋b |＝|a －b |不一定成立；反之，若|a ＋b |＝|a －b |成立，则以a ，b 为邻边构成的四边形为矩形，而矩形的邻边不一定相等，所以|a |＝|b |不一定成立，所以“|a |＝|b |”是“|a ＋b |＝|a －b |”的既不充分也不必要条件． 3．(2016·浙江)命题“∀x ∈R ，∃n ∈N *，使得n ≥x 2”的否定形式是( ) A ．∀x ∈R ，∃n ∈N *，使得n ＜x 2B ．∀x ∈R ，∀n ∈N *，使得n ＜x 2C ．∃x ∈R ，∃n ∈N *，使得n ＜x 2D ．∃x ∈R ，∀n ∈N *，使得n ＜x 2答案 D解析 原命题是全称命题，条件为∀x ∈R ，结论为∃n ∈N *，使得n ≥x 2，其否定形式为特称命题，条件中改量词，并否定结论，只有D 选项符合．1.集合是高考必考知识点，经常以不等式解集、函数的定义域、值域为背景考查集合的运算，近几年有时也会出现一些集合的新定义问题.2.高考中考查命题的真假判断或命题的否定，考查充要条件的判断.热点一 集合的关系及运算 1．集合的运算性质及重要结论 (1)A ∪A ＝A ，A ∪∅＝A ，A ∪B ＝B ∪A . (2)A ∩A ＝A ，A ∩∅＝∅，A ∩B ＝B ∩A . (3)A ∩(∁U A )＝∅，A ∪(∁U A )＝U . (4)A ∩B ＝A ⇔A ⊆B ，A ∪B ＝A ⇔B ⊆A . 2．集合运算中的常用方法(1)若已知的集合是不等式的解集，用数轴求解； (2)若已知的集合是点集，用数形结合法求解； (3)若已知的集合是抽象集合，用Venn 图求解． 例1 (1)已知集合A ＝{x |x －1x ＋2<0}，B ＝{y |y ＝sin n π2，n ∈Z }，则A ∩B 等于( ) A ．{x |－1<x <1} B ．{－1,0,1} C ．{－1,0}D ．{0,1}(2)若X 是一个集合，τ是一个以X 的某些子集为元素的集合，且满足：①X 属于τ，空集∅属于τ；②τ中任意多个元素的并集属于τ；③τ中任意多个元素的交集属于τ.则称τ是集合X 上的一个拓扑．已知集合X ＝{a ，b ，c }，对于下面给出的四个集合τ： ①τ＝{∅，{a }，{c }，{a ，b ，c }}； ②τ＝{∅，{b }，{c }，{b ，c }，{a ，b ，c }}； ③τ＝{∅，{a }，{a ，b }，{a ，c }}；④τ＝{∅，{a ，c }，{b ，c }，{c }，{a ，b ，c }}．其中是集合X 上的一个拓扑的集合τ的所有序号是__________． 答案 (1)C (2)②④ 解析 (1)因为A ＝{x |x －1x ＋2<0}＝{x |－2<x <1}，B ＝{y |y ＝sin n π2，n ∈Z }＝{0，－1,1}，所以A ∩B ＝{－1,0}．(2)①τ＝{∅，{a }，{c }，{a ，b ，c }}，但是{a }∪{c }＝{a ，c }∉τ，所以①错；②④都满足集合X 上的一个拓扑的集合τ的三个条件．所以②④正确；③{a ，b }∪{a ，c }＝{a ，b ，c }∉τ，故③错．所以答案为②④.思维升华 (1)关于集合的关系及运算问题，要先对集合进行化简，然后再借助Venn 图或数轴求解．(2)对集合的新定义问题，要紧扣新定义集合的性质探究集合中元素的特征，将问题转化为熟悉的知识进行求解，也可利用特殊值法进行验证．跟踪演练1 (1)已知集合A ＝{y |y ＝sin x ，x ∈R }，集合B ＝{x |y ＝lg x }，则(∁R A )∩B 为( ) A ．(－∞，－1)∪(1，＋∞) B ．[－1,1] C ．(1，＋∞)D ．[1，＋∞)(2)设集合M ＝{x |m ≤x ≤m ＋34}，N ＝{x |n －13≤x ≤n }，且M ，N 都是集合{x |0≤x ≤1}的子集，如果把b －a 叫做集合{x |a ≤x ≤b }的“长度”，那么集合M ∩N 的“长度”的最小值是( ) A.13 B.23 C.112D.512答案 (1)C (2)C解析 (1)因为A ＝{y |y ＝sin x ，x ∈R }＝[－1,1]，B ＝{x |y ＝lg x }＝(0，＋∞)．所以(∁R A )∩B ＝(1，＋∞)． 故答案为C.(2)由已知，可得⎩⎪⎨⎪⎧m ≥0，m ＋34≤1，即0≤m ≤14，⎩⎪⎨⎪⎧n －13≥0，n ≤1，即13≤n ≤1，取m 的最小值0，n 的最大值1，可得M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，34，N ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤23，1. 所以M ∩N ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，34∩⎣⎢⎡⎦⎥⎤23，1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤23，34. 此时集合M ∩N 的“长度”的最小值为34－23＝112.故选C.热点二 四种命题与充要条件1．四种命题中原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假．2．若p ⇒q ，则p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件；若p ⇔q ，则p ，q 互为充要条件． 例2 (1)下列命题：①已知m ，n 表示两条不同的直线，α，β表示两个不同的平面，并且m ⊥α，n ⊂β，则“α⊥β”是“m ∥n ”的必要不充分条件；②不存在x ∈(0,1)，使不等式log 2x <log 3x 成立；③“若am 2<bm 2，则a <b ”的逆命题为真命题． 其中正确的命题序号是________．(2)已知ξ服从正态分布N (1，σ2)，a ∈R ，则“P (ξ>a )＝0.5”是“关于x 的二项式⎝ ⎛⎭⎪⎫ax ＋1x23的展开式的常数项为3”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．既不充分又不必要条件D ．充要条件 答案 (1)① (2)A解析 (1)①当α⊥β时，n ⊂β可以是平面内任意一直线，所以得不到m ∥n ，当m ∥n 时，m ⊥α，所以n ⊥α，从而α⊥β，故“α⊥β”是“m ∥n ”的必要不充分条件．所以①正确．②log 2x ＝lg x lg 2，log 3x ＝lg x lg 3，因为lg 2<lg 3，所以1lg 2>1lg 3，当x ∈(0,1)时，lg x lg 2<lg x lg 3，即log 2x <log 3x 恒成立，所以②错误．③中原命题的逆命题为：若a <b ，则am 2<bm 2，显然当m 2＝0时不正确，所以③错误．所以答案应填①. (2)由P (ξ>a )＝0.5，知a ＝1.∵二项式⎝ ⎛⎭⎪⎫ax ＋1x 23展开式的通项公式为T k ＋1＝C k 3(ax )3－k ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x2k ＝a 3－k C k 3x 3－3k，令3－3k ＝0，得k＝1，∴其常数项为a 2C 13＝3a 2＝3，解得a ＝±1，∴“P (ξ>a )＝0.5”是“关于x 的二项式⎝ ⎛⎭⎪⎫ax ＋1x 23的展开式的常数项为3”的充分不必要条件，故选A.思维升华 充分条件与必要条件的三种判定方法(1)定义法：正、反方向推理，若p ⇒q ，则p 是q 的充分条件(或q 是p 的必要条件)；若p ⇒q ，且q ⇏p ，则p 是q 的充分不必要条件(或q 是p 的必要不充分条件)．(2)集合法：利用集合间的包含关系．例如，若A ⊆B ，则A 是B 的充分条件(B 是A 的必要条件)；若A ＝B ，则A 是B 的充要条件．(3)等价法：将命题等价转化为另一个便于判断真假的命题．跟踪演练2 (1)下列四个结论中正确的个数是( ) ①“x 2＋x －2>0”是“x >1”的充分不必要条件；②命题：“∀x ∈R ，sin x ≤1”的否定是“∃x 0∈R ，sin x 0>1”； ③“若x ＝π4，则tan x ＝1”的逆命题为真命题；④若f (x )是R 上的奇函数，则f (log 32)＋f (log 23)＝0. A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 (2)已知“x >k ”是“3x ＋1<1”的充分不必要条件，则k 的取值范围是( ) A ．[2，＋∞) B ．[1，＋∞) C ．(2，＋∞) D ．(－∞，－1]答案 (1)A (2)A解析 (1)对于①，x 2＋x －2>0⇔x >1或x <－2，故“x 2＋x －2>0”是“x >1”的必要不充分条件，所以①错误；对于③，“若x ＝π4，则tan x ＝1”的逆命题为“若tan x ＝1，则x ＝π4”，∵tan x ＝1推出的是x ＝π4＋k π，k ∈Z .所以③错误．对于④，log 32≠－log 23，所以④错误．②正确．故选A. (2)由3x ＋1<1，可得3x ＋1－1＝－x ＋2x ＋1<0， 所以x <－1或x >2，因为“x >k ”是“3x ＋1<1”的充分不必要条件，所以k ≥2. 热点三 逻辑联结词、量词1．命题p ∨q ，只要p ，q 有一真，即为真；命题p ∧q ，只有p ，q 均为真，才为真；綈p 和p 为真假对立的命题．2．命题p ∨q 的否定是(綈p )∧(綈q )；命题p ∧q 的否定是(綈p )∨(綈q )．3．“∀x ∈M ，p (x )”的否定为“∃x 0∈M ，綈p (x 0)”；“∃x 0∈M ，p (x 0)”的否定为“∀x ∈M ，綈p (x )”．例3 (1)已知命题p ：在△ABC 中，“C >B ”是“sin C >sin B ”的充分不必要条件；命题q ：“a >b ”是“ac 2>bc 2”的充分不必要条件，则下列选项中正确的是( ) A ．p 真q 假 B ．p 假q 真 C ．“p ∧q ”为假D ．“p ∧q ”为真(2)已知命题p ：“∀x ∈[1,2]，x 2－a ≥0”，命题q ：“∃x 0∈R ，x 20＋2ax 0＋2－a ＝0”．若命题“(綈p )∧q ”是真命题，则实数a 的取值范围是( ) A ．a ≤－2或a ＝1 B ．a ≤－2或1≤a ≤2 C ．a >1D ．－2≤a ≤1答案 (1)C (2)C解析 (1)△ABC 中，C >B ⇔c >b ⇔2R sin C >2R sin B (R 为△ABC 外接圆半径)，所以C >B ⇔sinC >sin B .故“C >B ”是“sin C >sin B ”的充要条件，命题p 是假命题．若c ＝0，当a >b 时，则ac 2＝0＝bc 2，故a >b ⇏ac 2>bc 2，若ac 2>bc 2，则必有c ≠0，则c 2>0，则有a >b ，所以ac 2>bc 2⇒a >b ，故“a >b ”是“ac 2>bc 2”的必要不充分条件，故命题q 也是假命题，故选C.(2)命题p 为真时a ≤1；“∃x 0∈R ，x 20＋2ax 0＋2－a ＝0”为真，即方程x 2＋2ax ＋2－a ＝0有实根，故Δ＝4a 2－4(2－a )≥0，解得a ≥1或a ≤－2.(綈p )∧q 为真命题，即(綈p )真且q 真，即a >1.思维升华 (1)命题的否定和否命题是两个不同的概念：命题的否定只否定命题的结论，真假与原命题相对立；(2)判断命题的真假要先明确命题的构成．由命题的真假求某个参数的取值范围，还可以考虑从集合的角度来思考，将问题转化为集合间的运算． 跟踪演练3 (1)已知命题p ：∃x 0∈R ，使sin x 0＝52；命题q ：∀x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，x >sin x ，则下列判断正确的是( ) A ．p 为真 B ．綈q 为假 C ．p ∧q 为真D ．p ∨q 为假(2)若“∀x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4，m ≤tan x ＋1”为真命题，则实数m 的最大值为________．答案 (1)B (2)0解析 (1)由于三角函数y ＝sin x 的有界性：－1≤sin x 0≤1，所以p 假；对于q ，构造函数y ＝x －sin x ，求导得y ′＝1－cos x ，又x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，所以y ′>0，y 为单调递增函数，有y >0恒成立，即∀x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，x >sin x ，所以q 真．判断可知，B 正确．(2)令f (x )＝tan x ＋1，则函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4上为增函数，故f (x )的最小值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＝0，∵∀x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4，m ≤tan x ＋1，故m ≤(tan x ＋1)min ，∴m ≤0，故实数m 的最大值为0.1．已知函数f (x )＝11－x2的定义域为M ，g (x )＝ln(1＋x )的定义域为N ，则M ∪(∁R N )等于( )A ．{x |－1≤x <1}B ．{x |x >－1}C ．{x |x <1}D ．{x |x ≥1}押题依据 集合的运算在历年高考中的地位都很重要，已成为送分必考试题．集合的运算常与不等式(特别是一元一次不等式、一元二次不等式)的求解、函数的定义域、函数的值域等知识相交汇． 答案 C解析 M ＝{x |1－x 2>0}＝{x |－1<x <1}，N ＝{x |1＋x >0}＝{x |x >－1}，∴∁R N ＝{x |x ≤－1}，∴M ∪(∁R N )＝{x |－1<x <1}∪{x |x ≤－1}＝{x |x <1}，故选C.2．已知集合M ＝{(x ，y )|y ＝f (x )}，若对于任意(x 1，y 1)∈M ，存在(x 2，y 2)∈M ，使得x 1x 2＋y 1y 2＝0成立，则称集合M 是“Ω集合”．给出下列4个集合：①M ＝{(x ，y )|y ＝1x}；②M ＝{(x ，y )|y ＝e x－2}； ③M ＝{(x ，y )|y ＝cos x }； ④M ＝{(x ，y )|y ＝ln x }．其中是“Ω集合”的所有序号为( ) A ．②③ B ．③④ C ．①②④D ．①③④押题依据 以新定义为背景，考查元素与集合的关系，是近几年高考的热点，解题时可从集合的性质(元素的性质、运算性质)作为突破口． 答案 A解析 对于①，若x 1x 2＋y 1y 2＝0，则x 1x 2＋1x 1·1x 2＝0，即(x 1x 2)2＝－1，可知①错误；对于④，取(1,0)∈M ，且存在(x 2，y 2)∈M ，则x 1x 2＋y 1y 2＝1×x 2＋0×y 2＝x 2>0，可知④错误．同理，可证得②和③都是正确的．故选A.3．设φ∈R ，则“φ＝0”是“f (x )＝cos(x ＋φ)(x ∈R )为偶函数”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件押题依据 充分、必要条件的判定一直是高考考查的重点，该类问题必须以其他知识为载体，综合考查数学概念． 答案 A解析 当φ＝0时，f (x )＝cos(x ＋φ)＝cos x 为偶函数成立；但当f (x )＝cos(x ＋φ)为偶函数时，φ＝k π，k ∈Z ，所以φ＝0时，必要条件不成立．故选A. 4．给出下列四个命题，其中正确的命题有( )①函数y ＝sin 2x ＋cos 2x 在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π8；②a 1，a 2，b 1，b 2均为非零实数，集合A ＝{x |a 1x ＋b 1>0}，B ＝{x |a 2x ＋b 2>0}，则“a 1a 2＝b 1b 2”是“A ＝B ”的必要不充分条件；③若p ∨q 为真命题，则p ∧q 也为真命题；④命题∃x 0∈R ，x 20＋x 0＋1<0的否定为∀x ∈R ，x 2＋x ＋1<0. A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个押题依据 常用逻辑用语中命题真假的判断、充要条件、全称量词、存在量词及逻辑联结词是数学学习的重要工具，也是高考考查的热点问题． 答案 C解析 ①y ＝sin 2x ＋cos 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4，由2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2(k ∈Z )，得k π－3π8≤x ≤k π＋π8(k ∈Z )，又x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，因此递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π8；②充分性不成立，如a 1＝1，b 1＝1，a 2＝－1＝b 2，满足a 1a 2＝b 1b 2，但A ＝{x |x ＋1>0}＝(－1，＋∞)，B ＝{x |－x －1>0}＝(－∞，－1)，A ≠B ； 必要性成立：A ＝B ⇒a 1a 2>0⇒－b 1a 1＝－b 2a 2⇒a 1a 2＝b 1b 2；③p ∨q 为真命题时，p ，q 不一定全真，因此p ∧q 不一定为真命题； ④命题∃x 0∈R ，x 20＋x 0＋1<0的否定应为∀x ∈R ，x 2＋x ＋1≥0. 所以①②为真，选C.A 组 专题通关1．已知集合A ＝{x |x ＋1>0}，B ＝{－2，－1,0,1}，则(∁R A )∩B 等于( ) A ．{－2，－1} B ．{－2} C ．{－1,0,1}D ．{0,1}答案 A解析 A ＝{x |x >－1}，所以∁R A ＝{x |x ≤－1}， 所以有(∁R A )∩B ＝{－2，－1}，故选A.2．已知集合M ＝{x |log 2x <3}，N ＝{x |x ＝2n ＋1，n ∈N }，则M ∩N 等于( ) A ．(0,8) B ．{3,5,7} C ．{0,1,3,5,7} D ．{1,3,5,7}答案 D解析 由M 中不等式变形得：log 2x <3＝log 28， 即0<x <8，∴M ＝{x |0<x <8}， ∵N ＝{x |x ＝2n ＋1，n ∈N }， ∴M ∩N ＝{1,3,5,7}，故选D.3．已知集合A ＝{1,2,3,4,5}，B ＝{5,6,7}，C ＝{(x ，y )|x ∈A ，y ∈A ，x ＋y ∈B }，则C 中所含元素的个数为( ) A ．5 B ．6 C ．12 D ．13 答案 D解析 若x ＝5∈A ，y ＝1∈A ，则x ＋y ＝5＋1＝6∈B ，即点(5,1)∈C ；同理，(5,2)∈C ，(4,1)∈C ，(4,2)∈C ，(4,3)∈C ，(3,2)∈C ，(3,3)∈C ，(3,4)∈C ，(2,3)∈C ，(2,4)∈C ，(2,5)∈C ，(1,4)∈C ，(1,5)∈C .所以C 中所含元素的个数为13，应选D.4．已知集合M ＝{x |y ＝lg 1－x x}，N ＝{y |y ＝x 2＋2x ＋3}，则(∁R M )∩N 等于( )A ．{x |0<x <1}B ．{x |x >1}C ．{x |x ≥2}D ．{x |1<x <2}答案 C解析 由1－x x>0得0<x <1，故M ＝{x |0<x <1}，∁R M ＝{x |x ≤0或x ≥1}，y ＝(x ＋1)2＋2≥2， 故N ＝{y |y ≥2}，则(∁R M )∩N ＝{x |x ≥2}．5．设命题甲：ax 2＋2ax ＋1>0的解集是实数集R ；命题乙：0<a <1，则命题甲是命题乙成立的( )A ．充分不必要条件B ．充要条件C ．必要不充分条件D ．既非充分又非必要条件答案 C解析 由命题甲ax 2＋2ax ＋1>0的解集是实数集R ，可知a ＝0时，原式＝1>0恒成立，当a ≠0时，⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ＝a2－4a <0，解得0<a <1，所以0≤a <1，所以由甲不能推出乙，而由乙可推出甲，因此命题甲是命题乙成立的必要不充分条件，故选C.6．设命题p ：函数y ＝sin 2x 的最小正周期为π2；命题q ：函数y ＝cos x 的图象关于直线x＝π2对称．则下列判断正确的是( ) A ．p 为真 B ．綈q 为假 C ．p ∧q 为假 D ．p ∨q 为真答案 C解析 p 是假命题，q 是假命题，因此只有C 正确． 7．已知命题p ：2xx －1<1，命题q ：(x ＋a )(x －3)>0，若p 是q 的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－3，－1] B ．[－3，－1] C ．(－∞，－1] D ．(－∞，－3]答案 C 解析 由p ：2x x －1<1，得x ＋1x －1<0，－1<x <1，而p 是q 的充分不必要条件，即p ⇒q ，q ⇏p ，所以－a ≥1，a ≤－1.故选C.8．①命题“若x 2－3x ＋2＝0，则x ＝1”的逆否命题为：“若x ≠1，则x 2－3x ＋2≠0”； ②“x ＝1”是“x 2－4x ＋3＝0”的充要条件； ③若p ∧q 为假命题，则p 、q 均为假命题；④对于命题p ：∃x 0∈R ，x 20＋2x 0＋2≤0，则綈p ：∀x ∈R ，x 2＋2x ＋2>0. 上面四个命题中正确的是( ) A ．①② B ．②③ C ．①④ D ．③④答案 C解析 对于命题：若p ，则q ，其逆否命题是若綈q ，则綈p ，故①对；答案从A ，C 中选；②x ＝1时x 2－4x ＋3＝0成立，所以“x ＝1”是“x 2－4x ＋3＝0”的充分条件，当x 2－4x ＋3＝0时x ＝1或x ＝3，所以“x ＝1”不是“x 2－4x ＋3＝0”的必要条件；所以“x ＝1”是“x 2－4x ＋3＝0”的充分不必要条件．故②错，故选C.9．已知集合M ＝{x |x 2<4}，N ＝{x |x 2－2x －3<0}，则集合M ∩N ＝________.答案 (－1,2)解析 由不等式的解法，可得M ＝{x |x 2<4}＝{x |－2<x <2}，N ＝{x |x 2－2x －3<0}＝{x |－1<x <3}，由交集的计算方法可得，M ∩N ＝{x |－1<x <2}．10．已知集合A ＝{x |－1<x ≤5}，B ＝{x |m －5<x ≤2m ＋3}，且A ⊆B ，则实数m 的取值范围是________．答案 [1,4]解析 ⎩⎪⎨⎪⎧ m －5≤－1，2m ＋3≥5，解得1≤m ≤4.故应填[1,4]．11．“a >1”是“函数f (x )＝a ·x ＋cos x 在R 上单调递增”的______________．(空格处请填写“充分不必要条件”、“必要不充分条件”、“充要条件”或“既不充分也不必要条件”)答案 充分不必要条件解析 f (x )＝a ·x ＋cos x 在R 上单调递增⇒f ′(x )＝a －sin x ≥0在R 上恒成立⇒a ≥(sin x )max ＝1，所以“a >1”是“函数f (x )＝a ·x ＋cos x 在R 上单调递增”的充分不必要条件．12．给出下列四个命题：①命题“若α＝β，则cos α＝cos β”的逆否命题；②“∃x 0∈R ，使得x 20－x 0>0”的否定是：“∀x ∈R ，均有x 2－x <0”；③命题“x 2＝4”是“x ＝－2”的充分不必要条件；④p ：a ∈{a ，b ，c }，q ：{a }⊆{a ，b ，c }，p 且q 为真命题．其中真命题的序号是________．答案 ①④解析 对①，因命题“若α＝β，则cos α＝cos β”为真命题，所以其逆否命题亦为真命题，①正确；对②，命题“∃x 0∈R ，使得x 20－x 0>0”的否定应是：“∀x ∈R ，均有x 2－x ≤0”，故②错；对③，因为由“x 2＝4”得x ＝±2，所以“x 2＝4”是“x ＝－2”的必要不充分条件，故③错；对④，p ，q 均为真命题，由真值表判定p 且q 为真命题，故④正确．B 组 能力提高13．下列说法中，不正确的是( )A ．已知a ，b ，m ∈R ，命题“若am 2<bm 2，则a <b ”为真命题B ．命题“∃x 0∈R ，x 20＋x 0－2>0”的否定是：“∀x ∈R ，x 2＋x －2≤0”C ．命题“p 或q ”为真命题，则命题p 和命题q 均为真命题D ．“x >3”是“x >2”的充分不必要条件答案 C解析 A 正确，因为此时m 2>0；B 正确，特称命题的否定就是全称命题；C 不正确，因为命题“p 或q ”为真命题，那么p ，q 有一个真，p 或q 就是真命题；D 项，小集合是大集合的充分不必要条件．故选C.14．已知p ：∃x 0∈R ，mx 20＋2≤0，q ：∀x ∈R ，x 2－2mx ＋1>0，若p ∨q 为假命题，则实数m 的取值范围是( )A ．[1，＋∞)B ．(－∞，－1]C ．(－∞，－2]D ．[－1,1] 答案 A解析 ∵p ∨q 为假命题，∴p 和q 都是假命题．由p ：∃x 0∈R ，mx 20＋2≤0为假命题，得綈p ：∀x ∈R ，mx 2＋2>0为真命题，∴m ≥0.①由q ：∀x ∈R ，x 2－2mx ＋1>0为假命题，得綈q ：∃x 0∈R ，x 20－2mx 0＋1≤0为真命题，∴Δ＝(－2m )2－4≥0⇒m 2≥1⇒m ≤－1或m ≥1.②由①和②得m ≥1.故选A.15．下列选项错误的是( )A ．命题“若x ≠1，则x 2－3x ＋2≠0”的逆否命题是“若x 2－3x ＋2＝0，则x ＝1”B ．“x >2”是“x 2－3x ＋2>0”的充分不必要条件C ．若“命题p ：∀x ∈R ，x 2＋x ＋1≠0”，则“綈p ：∃x 0∈R ，x 20＋x 0＋1＝0”D ．若“p ∨q ”为真命题，则p ，q 均为真命题答案 D解析 对于若“p ∨q ”为真命题，则p 、q 中至少有一个为真命题，∴D 选项错误．故选D.16．已知集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |ax －5x 2－a <0，若3∈M,5∉M ，则实数a 的取值范围是____________． 答案 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫1，53∪(9,25] 解析 ∵集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |ax －5x 2－a <0， 得(ax －5)(x 2－a )<0，当a ＝0时，显然不成立， 当a >0时，原不等式可化为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －5a ()x －a (x ＋a )<0，若a <5a ，只需满足⎩⎪⎨⎪⎧ a <3<5a ，a ≥1，解得1≤a <53； 若a >5a ，只需满足⎩⎪⎨⎪⎧ 5a <3<a ，a ≤5，解得9<a ≤25，当a <0时，不符合条件， 综上，答案为⎣⎢⎡⎭⎪⎫1，53∪(9,25]． 17．已知集合M 为点集，记性质P 为“对∀(x ，y )∈M ，k ∈(0,1)，均有(kx ，ky )∈M ”．给出下列集合：①{(x ，y )|x 2≥y }，②{(x ，y )|2x 2＋y 2<1}，③{(x ，y )|x 2＋y 2＋x ＋2y ＝0}，④{(x ，y )|x 3＋y 3－x 2y ＝0}，其中具有性质P 的点集序号是________．答案 ②④解析 对于①：取k ＝12，点(1,1)∈{(x ，y )|x 2≥y }，但(12，12)∉{(x ，y )|x 2≥y }，故①是不具有性质P 的点集．对于②：∀(x ，y )∈{(x ，y )|2x 2＋y 2<1}，则点(x ，y )在椭圆2x 2＋y 2＝1内部，所以对0<k <1，点(kx ，ky )也在椭圆2x 2＋y 2＝1的内部，即(kx ，ky )∈{(x ，y )|2x 2＋y 2<1}，故②是具有性质P 的点集．对于③：(x ＋12)2＋(y ＋1)2＝54，点(12，－12)在此圆上，但点(14，－14)不在此圆上，故③是不具有性质P 的点集．对于④：∀(x ，y )∈{(x ，y )|x 3＋y 3－x 2y ＝0}，对于k ∈(0,1)，因为(kx )3＋(ky )3－(kx )2·(ky )＝0⇒x 3＋y 3－x 2y ＝0，所以(kx ，ky )∈{(x ，y )|x 3＋y 3－x 2y ＝0}，故④是具有性质P 的点集．综上，具有性质P 的点集是②④.。
新(全国甲卷)高考数学大二轮总复习与增分策略 专题五
第1讲空间几何体1．(2016·山东)一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A.13＋23π B.13＋23πC.13＋26π D．1＋26π答案 C解析由三视图知，半球的半径R＝22，四棱锥是底面边长为1，高为1的正四棱锥，∴V＝13×1×1×1＋12×43π×⎝⎛⎭⎪⎫223＝13＋26π，故选C.2．(2016·课标全国丙)在封闭的直三棱柱ABC —A 1B 1C 1内有一个体积为V 的球，若AB ⊥BC ，AB ＝6，BC ＝8，AA 1＝3，则V 的最大值是( )A ．4π B.9π2 C ．6π D.32π3答案 B解析 由题意知，底面三角形的内切圆直径为4.三棱柱的高为3，所以球的最大直径为3，V 的最大值为9π2.3．(2015·山东)在梯形ABCD 中，∠ABC ＝π2，AD ∥BC ，BC ＝2AD ＝2AB ＝2.将梯形ABCD 绕AD所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为( ) A.2π3 B.4π3 C.5π3D ．2π 答案 C解析 过点C 作CE 垂直AD 所在直线于点E ，梯形ABCD 绕AD 所在直线旋转一周而形成的旋转体是由以线段AB 的长为底面圆半径，线段BC 为母线的圆柱挖去以线段CE 的长为底面圆半径，ED 为高的圆锥，如图所示，该几何体的体积为V ＝V 圆柱－V圆锥＝π·AB 2·BC －13·π·CE 2·DE ＝π×12×2－13π×12×1＝5π3，故选C.4．(2016·浙江)如图，已知平面四边形ABCD ，AB ＝BC ＝3，CD ＝1，AD ＝5，∠ADC ＝90°，沿直线AC 将△ACD 翻折成△ACD ′，直线AC 与BD ′所成角的余弦的最大值是________．答案66解析 设直线AC 与BD ′所成角为θ，平面ACD 翻折的角度为α，设点O 是AC 的中点，由已知得AC ＝6，如图，以OB 为x 轴，OA 为y 轴，过点O 与平面ABC 垂直的直线为z 轴，建立空间直角坐标系， 由A ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，62，0，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫302，0，0，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－62，0，作DH ⊥AC 于点H ，翻折过程中，D ′H 始终与AC 垂直，CH ＝CD 2CA ＝16＝66，则OH ＝63，DH ＝1×56＝306，因此可设D ′⎝ ⎛⎭⎪⎫－306cos α，－63，306sin α， 则BD ′——→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－306cos α－302，－63，306sin α，与CA →平行的单位向量为n ＝(0,1,0)，所以cos θ＝|cos 〈BD ′——→，n 〉|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪BD ′——→·n |BD ′——→|·|n |＝639＋5cos α， 所以cos α＝－1时，cos θ取最大值66.1.以三视图为载体，考查空间几何体面积、体积的计算.2.考查空间几何体的侧面展开图及简单的组合体问题.热点一 三视图与直观图 1．一个物体的三视图的排列规则俯视图放在正(主)视图的下面，长度与正(主)视图的长度一样，侧(左)视图放在正(主)视图的右面，高度与正(主)视图的高度一样，宽度与俯视图的宽度一样．即“长对正、高平齐、宽相等”．2．由三视图还原几何体的步骤一般先从俯视图确定底面再利用正视图与侧视图确定几何体．例1 (1)(2016·课标全国甲)如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为( )A．20π B．24π C．28π D．32π(2)将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如图所示，则该几何体的侧视图为( )答案 (1)C (2)D解析 (1)由三视图可知，组合体的底面圆的面积和周长均为4π，圆锥的母线长l ＝232＋22＝4，所以圆锥的侧面积为S 锥侧＝12×4π×4＝8π，圆柱的侧面积S 柱侧＝4π×4＝16π，所以组合体的表面积S ＝8π＋16π＋4π＝28π，故选C.(2)所得几何体的轮廓线中，除长方体原有的棱外，有两条是原长方体的面对角线，它们在侧视图中落在矩形的两条边上，另一条是原长方体的体对角线，在侧视图中体现为矩形的自左下至右上的一条对角线，因不可见，故用虚线表示，由以上分析可知，应选D.思维升华 空间几何体的三视图是从空间几何体的正面、左面、上面用平行投影的方法得到的三个平面投影图，因此在分析空间几何体的三视图问题时，先根据俯视图确定几何体的底面，然后根据正视图或侧视图确定几何体的侧棱与侧面的特征，调整实线和虚线所对应的棱、面的位置，再确定几何体的形状，即可得到结果．跟踪演练1 (1)一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的直观图可以是( )(2)一几何体的直观图如图，下列给出的四个俯视图中正确的是( )答案(1)D (2)B解析(1)由俯视图，易知答案为D.(2)由直观图可知，该几何体由一个长方体和一个截角三棱柱组合．从上往下看，外层轮廓线是一个矩形，矩形内部有一条线段连接的两个三角形．热点二几何体的表面积与体积空间几何体的表面积和体积计算是高考中常见的一个考点，解决这类问题，首先要熟练掌握各类空间几何体的表面积和体积计算公式，其次要掌握一定的技巧，如把不规则几何体分割成几个规则几何体的技巧，把一个空间几何体纳入一个更大的几何体中的补形技巧．例2 (1)(2016·北京)某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为( )A.16B.13C.12D．1(2)如图，在棱长为6的正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E，F分别在C1D1与C1B1上，且C1E＝4，C1F＝3，连接EF，FB，DE，BD，则几何体EFC1－DBC的体积为( )A．66 B．68C．70 D．72答案(1)A (2)A解析(1)由三视图知，三棱锥如图所示：由侧视图得高h ＝1， 又底面积S ＝12×1×1＝12.所以体积V ＝13Sh ＝16.(2)如图，连接DF ，DC 1，那么几何体EFC 1－DBC 被分割成三棱锥D －EFC 1及四棱锥D －CBFC 1，那么几何体EFC 1－DBC 的体积为V ＝13×12×3×4×6＋13×12×(3＋6)×6×6＝12＋54＝66.故所求几何体EFC 1－DBC 的体积为66.思维升华 (1)求多面体的表面积的基本方法就是逐个计算各个面的面积，然后求和．(2)求体积时可以把空间几何体进行分解，把复杂的空间几何体的体积分解为一些简单几何体体积的和或差．求解时注意不要多算也不要少算．跟踪演练2 某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为________．答案452解析 由三视图可知，该几何体为如图所示的多面体ABCDEF (置于长方体ABCD —MNFG 中去观察)，且点E 为DG 的中点，可得AB ＝BC ＝GE ＝DE ＝3，连接AG ，所以多面体ABCDEF 的体积为V 多面体ABCDEF ＝V 三棱柱ADG —BCF －V 三棱锥A —GEF ＝12×(3＋3)×3×3－13×(12×3×3)×3＝452.热点三 多面体与球与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图．如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径．球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径．球与旋转体的组合，通常作它们的轴截面解题，球与多面体的组合，通过多面体的一条侧棱和球心(或“切点”“接点”)作出截面图．例3 (1)已知三棱锥S－ABC的所有顶点都在球O的球面上，SA⊥平面ABC，SA＝23，AB ＝1，AC＝2，∠BAC＝60°，则球O的表面积为( )A．4π B．12πC．16π D．64π(2)如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8 cm，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6 cm，如果不计容器的厚度，则球的体积为( )A.500π3cm3 B.866π3cm3C.1 372π3cm3 D.2 048π3cm3答案(1)C (2)A解析(1)在△ABC中，BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC cos 60°＝3，∴AC2＝AB2＋BC2，即AB⊥BC，又SA⊥平面ABC，∴三棱锥S－ABC可补成分别以AB＝1，BC＝3，SA＝23为长、宽、高的长方体，∴球O的直径＝12＋32＋232＝4，故球O的表面积为4π×22＝16π.(2)过球心与正方体中点的截面如图，设球心为点O，球半径为R cm，正方体上底面中心为点A，上底面一边的中点为点B，在Rt△OAB中，OA＝(R－2)cm，AB＝4 cm，OB＝R cm，由R 2＝(R －2)2＋42，得R ＝5， ∴V 球＝43πR 3＝5003π(cm 3)．故选A.思维升华 三棱锥P －ABC 可通过补形为长方体求解外接球问题的两种情形： (1)点P 可作为长方体上底面的一个顶点，点A 、B 、C 可作为下底面的三个顶点； (2)P －ABC 为正四面体，则正四面体的棱都可作为一个正方体的面对角线．跟踪演练3 在三棱锥A －BCD 中，侧棱AB ，AC ，AD 两两垂直，△ABC ，△ACD ，△ABD 的面积分别为22，32，62，则三棱锥A －BCD 的外接球体积为________． 答案6π解析 如图，以AB ，AC ，AD 为棱把该三棱锥扩充成长方体，则该长方体的外接球恰为三棱锥的外接球，∴三棱锥的外接球的直径是长方体的体对角线长．据题意⎩⎨⎧AB ·AC ＝2，AC ·AD ＝3，AB ·AD ＝6，解得⎩⎨⎧AB ＝2，AC ＝1，AD ＝3，∴长方体的体对角线长为AB 2＋AC 2＋AD 2＝6， ∴三棱锥外接球的半径为62. ∴三棱锥外接球的体积为V ＝43π·(62)3＝6π.1．一个几何体的三视图及其尺寸如图所示，则该几何体的表面积为( )A．16 B．82＋8C．22＋26＋8 D．42＋46＋8押题依据求空间几何体的表面积或体积是立体几何的重要内容之一，也是高考命题的热点．此类题常以三视图为载体，给出几何体的特征，求几何体的表面积或体积．答案 D解析由三视图知，该几何体是底面边长为22＋22＝22的正方形，高PD ＝2的四棱锥P －ABCD ，因为PD ⊥平面ABCD ，且四边形ABCD 是正方形，易得BC ⊥PC ，BA ⊥PA ， 又PC ＝PD 2＋CD 2＝22＋222＝23，所以S △PCD ＝S △PAD ＝12×2×22＝22，S △PAB ＝S △PBC ＝12×22×23＝2 6.所以几何体的表面积为46＋42＋8.2．在正三棱锥S －ABC 中，点M 是SC 的中点，且AM ⊥SB ，底面边长AB ＝22，则正三棱锥S －ABC 的外接球的表面积为( )A ．6πB ．12πC ．32πD ．36π押题依据 多面体的外接球一般借助补形为长方体的外接球解决，解法灵活，是高考的热点． 答案 B解析 因为三棱锥S －ABC 为正三棱锥，所以SB ⊥AC ，又AM ⊥SB ，AC ∩AM ＝A ，所以SB ⊥平面SAC ，所以SB ⊥SA ，SB ⊥SC ，同理，SA ⊥SC ，即SA ，SB ，SC 三线两两垂直，且AB ＝22，所以SA ＝SB ＝SC ＝2，所以(2R )2＝3×22＝12，所以球的表面积S ＝4πR 2＝12π，故选B.3．已知半径为1的球O 中内接一个圆柱，当圆柱的侧面积最大时，球的体积与圆柱的体积的比值为________．押题依据 求空间几何体的体积是立体几何的重要内容之一，也是高考的热点问题之一，主要是求柱体、锥体、球体或简单组合体的体积．本题通过球的内接圆柱，来考查球与圆柱的体积计算，设问角度新颖，值得关注． 答案423解析 如图所示，设圆柱的底面半径为r ，则圆柱的侧面积为S ＝2πr ×21－r 2＝4πr1－r2≤4π×r 2＋1－r 22＝2π(当且仅当r 2＝1－r 2，即r ＝22时取等号)． 所以当r ＝22时，V 球V 圆柱＝4π3×13π222×2＝423.A 组 专题通关1．如图所示，将图(1)中的正方体截去两个三棱锥，得到图(2)中的几何体，则该几何体的侧视图为( )答案 B解析 由所截几何体可知，FC 1被平面AD 1E 遮挡，可得B 图．2．下图是棱长为2的正方体的表面展开图，则多面体ABCDE 的体积为( )A ．2 B.23 C.43 D.83答案 D解析 多面体ABCDE 为四棱锥(如图)，利用割补法可得其体积V ＝4－43＝83，选D.3．某几何体的三视图如图所示，该几何体的体积为( )A ．8－2πB ．8－πC ．8－π2D ．8－π4答案 B解析 由三视图可知，该几何体是由一个棱长为2的正方体切去两个四分之一圆柱而成，所以该几何体的体积为V ＝(22－2×14×π×12)×2＝8－π.4．(2015·课标全国Ⅰ)圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r )组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示．若该几何体的表面积为16＋20π，则r 等于( )A ．1B ．2C ．4D ．8 答案 B 解析 如图，该几何体是一个半球与一个半圆柱的组合体，球的半径为r ，圆柱的底面半径为r ，高为2r ，则表面积S ＝12×4πr 2＋πr 2＋4r 2＋πr ·2r ＝(5π＋4)r 2.又S ＝16＋20π，∴(5π＋4)r 2＝16＋20π，∴r 2＝4，r ＝2，故选B.5．如图所示，平面四边形ABCD 中，AB ＝AD ＝CD ＝1，BD ＝2，BD ⊥CD ，将其沿对角线BD 折成四面体A ′BCD ，使平面A ′BD ⊥平面BCD ，若四面体A ′BCD 的顶点在同一个球面上，则该球的体积为( )A.32π B．3πC.23π D．2π答案 A解析如图所示，取BD的中点E，BC的中点O，连接A′E，EO，A′O，OD.因为平面A′BD⊥平面BCD，A′E⊥BD，平面A′BD∩平面BCD＝BD，A′E⊂平面A′BD，所以A′E⊥平面BCD.因为A′B＝A′D＝CD＝1，BD＝2，所以A′E＝22，EO＝12，所以OA′＝32.在Rt△BCD 中，OB ＝OC ＝OD ＝12BC ＝32，所以四面体A ′BCD 的外接球的球心为O ，球的半径为32，所以V 球＝43π(32)3＝32π.故选A.6．有一块多边形的菜地，它的水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形(如图所示)，∠ABC ＝45°，AB ＝AD ＝1，DC ⊥BC ，则这块菜地的面积为________．答案 2＋22解析 如图，在直观图中，过点A 作AE ⊥BC ，垂足为点E ，则在Rt△ABE 中，AB ＝1，∠ABE ＝45°，∴BE ＝22. 而四边形AECD 为矩形，AD ＝1，∴EC ＝AD ＝1，∴BC ＝BE ＋EC ＝22＋1. 由此可还原原图形如图．在原图形中，A ′D ′＝1，A ′B ′＝2，B ′C ′＝22＋1， 且A ′D ′∥B ′C ′，A ′B ′⊥B ′C ′， ∴这块菜地的面积为S ＝12(A ′D ′＋B ′C ′)·A ′B ′＝12×(1＋1＋22)×2＝2＋22. 7．(2016·浙江)某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的表面积是______cm 2，体积是________cm 3.答案 72 32解析 由三视图可知，该几何体为两个相同长方体的组合，长方体的长、宽、高分别为4 cm 、2 cm 、2 cm ，其直观图如下：其体积V ＝2×2×2×4＝32(cm 3)，由于两个长方体重叠部分为一个边长为2的正方形，所以表面积为S ＝2(2×2×2＋2×4×4)－2×2×2＝2×(8＋32)－8＝72(cm 2)．8.如图所示，从棱长为6 cm 的正方体铁皮箱ABCD —A 1B 1C 1D 1中分离出来由三个正方形面板组成的几何图形．如果用图示中这样一个装置来盛水，那么最多能盛的水的体积为________ cm 3.答案 36解析 最多能盛多少水，实际上是求三棱锥C 1—CD 1B 1的体积． 又111111——C CD B C B C D V V 三棱锥三棱锥＝＝13×(12×6×6)×6＝36(cm 3)， 所以用图示中这样一个装置来盛水，最多能盛36 cm 3体积的水．9．一块石材表示的几何体的三视图如图所示．将该石材切削、打磨，加工成球，则能得到的最大球的半径等于____________．答案 2解析 由三视图可知该几何体是一个直三棱柱，如图所示．由题意知，当打磨成的球的大圆恰好与三棱柱底面直角三角形的内切圆相同时，该球的半径最大，故其半径r ＝12×(6＋8－10)＝2.10．已知某几何体的俯视图是如图所示的矩形，正视图是一个底边长为8、高为4的等腰三角形，侧视图是一个底边长为6、高为4的等腰三角形．(1)求该几何体的体积V ； (2)求该几何体的侧面积S .解 由已知可得，该几何体是一个底面为矩形，高为4，顶点在底面的投影是矩形中心的四棱锥E －ABCD .(1)V ＝13×(8×6)×4＝64.(2)四棱锥E －ABCD 的两个侧面EAD ，EBC 是全等的等腰三角形，且BC 边上的高h 1＝42＋822＝42；另两个侧面EAB ，ECD 也是全等的等腰三角形，AB 边上的高h 2＝ 42＋622＝5.因此S ＝2×(12×6×42＋12×8×5)＝40＋24 2.B 组 能力提高11．(2015·湖南)某工件的三视图如图所示，现将该工件通过切削，加工成一个体积尽可能大的长方体新工件，并使新工件的一个面落在原工件的一个面内，则原工件材料的利用率为(材料利用率＝新工件的体积原工件的体积)( )A.89πB.169πC.42－13πD.122－13π答案 A解析 设三视图对应的几何体为底面半径为1，高为2的圆锥．如图，设长方体的长、宽、高分别为a 、b 、c ，上、下底面中心分别为O 1，O 2，上方截得的小圆锥的高为h ，底面半径为r ，则a 2＋b 2＝4r 2.由三角形相似，得SO 1SO 2＝O 1A O 2B， 即h 2＝r 1，则h ＝2r .长方体的体积为V ＝abc ＝ab (2－2r )≤a 2＋b 22×(2－2r )＝2r 2(2－2r )＝4r2－4r 3(当且仅当a ＝b 时取等号，且0<r <1)．设y ＝4r 2－4r 3(0<r <1)，则y ′＝8r －12r 2.由y ′＝0，得r ＝0或r ＝23.由y ′>0，得0<r <23；由y ′<0，得23<r <1.故当r ＝23时，y max ＝4×⎝ ⎛⎭⎪⎫232－4×⎝ ⎛⎭⎪⎫233＝1627，即V max ＝1627.∴原工件材料的利用率为162713π×12×2＝89π，故选A.12．已知在三棱锥P —ABC 中，PA ⊥平面ABC ，AB ＝AC ＝PA ＝2，且在△ABC 中，∠BAC ＝120°，则三棱锥P —ABC 的外接球的体积为________． 答案205π3解析 由余弦定理得：BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC ·cos∠BAC ， ∴BC 2＝22＋22－2×2×2×(－12)＝12，∴BC ＝2 3.设平面ABC 截球所得截面圆半径为r ，则2r ＝23sin 120°＝4，所以r ＝2.由PA＝2且PA ⊥平面ABC 知球心到平面ABC 的距离为1，所以球的半径为R ＝12＋22＝5，所以V 球＝43πR 3＝205π3. 13．如图，侧棱长为23的正三棱锥V －ABC 中，∠AVB ＝∠BVC ＝∠CVA ＝40°，过点A 作截面△AEF ，则截面△AEF 的周长的最小值为____________．答案 6解析沿着侧棱VA把正三棱锥V－ABC展开在一个平面内，如图，则AA′即为截面△AEF周长的最小值，且∠AVA′＝3×40°＝120°.在△VAA′中，由余弦定理可得AA′＝6，故答案为6.14．如图，在Rt△ABC中，AB＝BC＝4，点E在线段AB上．过点E作EF∥BC交AC于点F，将△AEF沿EF折起到△PEF的位置(点A与点P重合)，使得∠PEB＝30°.(1)求证：EF ⊥PB ；(2)试问：当点E 在何处时，四棱锥P —EFCB 的侧面PEB 的面积最大？并求此时四棱锥P —EFCB 的体积．(1)证明 ∵EF ∥BC 且BC ⊥AB ，∴EF ⊥AB ，即EF ⊥BE ，EF ⊥PE .又BE ∩PE ＝E ，∴EF ⊥平面PBE ，又PB ⊂平面PBE ，∴EF ⊥PB .(2)解 设BE ＝x ，PE ＝y ，则x ＋y ＝4.∴S △PEB ＝12BE ·PE ·sin∠PEB ＝14xy ≤14⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 22＝1. 当且仅当x ＝y ＝2时，S △PEB 的面积最大．此时，BE ＝PE ＝2.由(1)知EF ⊥平面PBE ，∴平面PBE ⊥平面EFCB ，在平面PBE 中，作PO ⊥BE 于点O ，又平面PBE ∩平面EFCB ＝BE ，∴PO ⊥平面EFCB .即PO 为四棱锥P —EFCB 的高．又PO ＝PE ·sin 30°＝2×12＝1， S EFCB ＝12×(2＋4)×2＝6，1 3×6×1＝2.∴V P—BCFE＝。
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审题路线图
解析答案
跟踪演练3 如图，在四棱锥P—ABCD中，PA⊥平面ABCD，∠ABC＝ ∠ACD＝90°，∠BAC＝∠CAD＝60°，E为PD的中点，F在AD上，且 ∠FCD＝30°. (1)求证：CE∥平面PAB；
解析答案
(2)若PA＝2AB＝2，求四面体P—ACE的体积．
解 因为EF∥AP，所以EF∥平面APC， 又∠ABC＝∠ACD＝90°，∠BAC＝60°，PA＝2AB＝2， 所以 AC＝2AB＝2，CD＝tanAC30°＝2 3， 所以VP—ACE＝VE—PAC＝VF—PAC
知 bcos C＋ccos B＝2b，则ab＝____2____.
解析
答案
(2)已知 F1，F2 是双曲线 C：ax22－by22＝1 (a>0，b>0)的两个焦点，P 是 C 上 一点，若 PF1＋PF2＝6a，且△PF1F2 最小的内角为 30°，则双曲线 C 的渐 近线方程是___2_x_±_y_＝__0___．
例 1 已知函数 f(x)＝4sin(ωx－π4)·cos ωx 在 x＝π4处取得最值，其中 ω∈(0,2)． (1)求函数 f(x)的最小正周期；
审题路线图
解析答案
(2)将函数 f(x)的图象向左平移3π6个单位，再将所得图象上各点的横坐标伸 长为原来的 3 倍，纵坐标不变，得到函数 y＝g(x)的图象，若 α 为锐角， g(α)＝43－ 2，求 cos α.
栏目索引
一审条件挖隐含 二审结论会转换 三审图形抓特点
四审结构定方案 五审图表找规律 六审细节更完善
一审条件挖隐含
题目的条件是解题的主要素材，充分利用条件和结论间的内在联系是 解题的必经之路．条件有明示的，也有隐含的，审视条件更重要的是 充分挖掘每一个条件的内涵和隐含信息，发挥隐含条件的解题功能．
解析答案
(2)当a＝0时，求整数t的所有值，使方程f(x)＝x＋2在[t，t＋1]上有
解．
解析答案
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三审图形抓特点
在一些数学高考试题中，问题的条件往往是以图形的形式给出，或将 条件隐含在图形之中，因此在审题时，要善于观察图形，洞悉图形所 隐含的特殊关系、数值的特点、变化的趋势．抓住图形的特征，运用 数形结合的数学思想方法，是破解考题的关键．
审题路线图
解析答案
跟踪演练2 函数f(x)＝(ax2＋x)ex，其中e是自然对数的底数，a∈R. (1)当a>0时，解不等式f(x)≤0； 解 因为ex>0，所以不等式f(x)≤0即为ax2＋x≤0， 又因为 a>0，所以不等式可化为 x(x＋1a)≤0， 所以不等式 f(x)≤0 的解集为[－1a，0]．
例3 如图(1)所示，在边长为4的菱形ABCD中，∠DAB＝60°.点E、F 分别在边CD、CB上，点E与点C、D不重合，EF⊥AC，EF∩AC＝O.沿 EF将△CEF翻折到△PEF的位置，使平面PEF⊥平面ABFED，如图(2) 所示． (1)求证：BD⊥平面POA；审题路线图Fra bibliotek解析答案
(2)当PB取得最小值时，求四棱锥P－BDEF的体积．
第一篇 活用审题路线图，教你 审题不再难
审题即弄清题意，明确题目的条件与结论，审题是解题的基础，深入 细致的审题是正确迅速解题的前提． 审题不仅存在于解题的开端，还要贯穿于解题思路的全过程和解答后 的反思回顾．正确的审题要多角度地观察，由表及里，由条件到结论， 由数式到图形，洞察问题实质，选择正确的解题方向．事实上，很多 考生往往对审题掉以轻心，或不知从何处入手进行审题，致使解题失 误而丢分．本篇结合实例，教你正确的审题方法，给你制订一条“审 题路线图”，攻克高考解答题．
审题路线图
解析答案
跟踪演练 1 在△ABC 中，a，b，c 分别为角 A、B、C 的对边，若 m＝(sin2B＋2 C， 1)，n＝(－2，cos 2A＋1)，且 m⊥n. (1)求角 A 的度数；
解析答案
(2)当 a＝2
3，且△ABC
的面积
a2＋b2－c2 S＝ 4 3 时，求边
c
的值和
△ABC 的面积．
＝VP—ACF＝13·12S△ACD·PA＝13·12·12·2·2 3·2＝233.
即四面体
P—ACE
的体积为2
3
3 .
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四审结构定方案
数学问题中的条件和结论，很多都是以数式的结构形式进行搭配和呈 现的．在这些问题的数式结构中，往往都隐含着某种特殊关系，认真 审视数式的结构特征，对数式结构进行深入分析，加工转化和我们熟 悉的数学结构联想比对，就可以寻找到突破问题的方案．
例4 已知数列{an}是公差不为零的等差数列，a1＝2，且a2，a4，a8成 等比数列． (1)求数列{an}的通项；
审题路线图
解析答案
(2)设{bn－(－1)nan}是等比数列，且b2＝7，b5＝71.求数列{bn}的前n项 和Tn.
审题路线图
解析答案
跟踪演练 4 (1)在△ABC 中，角 A，B，C 所对应的边分别为 a，b，c，已
解
由
a2＋b2－c2 S＝ 4 3 及余弦定理得：tan
C＝
33，
又因为A∈(0°，180°)，所以C＝30°. 又由正弦定理sina A＝sinc C得 c＝2, 所以△ABC 的面积 S＝12acsin B＝ 3.
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二审结论会转换
解题的最终目标就是求出结论或说明已给结论正确或错误．因而解题 的思维过程大多都是围绕着结论这个目标进行定向思考的．审视结论， 就是在结论的启发下，探索已知条件和结论之间的内在联系和转化规 律．善于从结论中捕捉解题信息，善于对结论进行转化，使之逐步靠 近条件，从而发现和确定解题方向．
8x－1 例 2 已知函数 f(x)＝aln x－ x＋1 . (1)当 a＝2 时，求函数的单调区间与函数在[1,3]上的最值；
审题路线图
解析答案
(2) 设 h(x) ＝ x2 － 2bx ＋ 4 ， a ＝ － 2 ， 若 对 于 任 意 的 x1∈[1,2] ， 存 在 x2∈[2,3]，使得f(x1)≥h(x2)成立，试确定b的取值范围．
解析
答案
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五审图表找规律
题目中的图表、数据包含着问题的基本信息，往往也暗示着解决问题 的目标和方向．在审题时，要认真观察分析图表、数据的特征和规律， 常常可以找到解决问题的思路和方法．