知识讲解_《数列》全章复习与巩固_提高

《数列》全章复习与巩固
【学习目标】
1．系统掌握数列的有关概念和公式；
2．掌握等差数列与等比数列的概念、性质、通项公式与前n 项和公式，并运用这些知识解决问题； 3．了解数列的通项公式n a 与前n 项和公式n S 的关系，能通过前n 项和公式n S 求出数列的通项公式
n a ；
4．掌握常见的几种数列求和方法. 【知识网络】
【要点梳理】 知识点一：等差数列
1. 判定一个数列为等差数列的常用方法
①定义法：1n n a a d +-=（常数）⇔{}n a 是等差数列； ②中项公式法：122(*){}n n n n a a a n N a ++=+∈⇔是等差数列； ③通项公式法：n a pn q =+（p ，q 为常数）⇔{}n a 是等差数列； ④前n 项和公式法：2n S An Bn =+（,A B 为常数）⇔{}n a 是等差数列.
要点诠释：对于探索性较强的问题，则应注意从特例入手，归纳猜想一般特性。

2. 等差数列的通项公式及前n 项和 通项公式：()1=+1n a a n d
要点诠释：
① 该公式可改写为：1= +n a d n a d ⋅
当d ＝0时，n a 是关于n 的常函数；当d ≠0时，n a 是关于n 的一次函数；点(n n a )分布在以d 为斜率的直线上，是这条直线上的一列孤立的点．
②通项公式的推广．．
：()+n m a a n m d =－ 前n 项和公式：()()111+=+=
2
2
n n n n n a a S na d
要点诠释：
① 该公式可改写为：21=+22n d d S n a n ⎛
⎫ ⎪⎝
⎭
当d ＝0时，n S 是关于n 的正比例函数；当d ≠0时，n S 是关于n 的二次函数（无常数项）．
② 在应用()1+=
2
n n n a a S 时，注意相关性质的应用。

3. 等差数列有关性质
（1）若*()m n p q m n p q +=+∈N 、、、，则m n p q a a a a +=+； 特别地，若2m n p +=，则2m n p a a a +=； （2）若a b c ，，成等差数列，则+=2a c b ；
（3）公差为d 的等差数列中，连续k 项和232,,k k k k k S S S S S --，… 组成新的等差数列； （4）等差数列{}n a ，前n 项和为n S ：
①当n 为奇数时，12
n n S n a +=⋅；12
n S S a +-=奇偶；
1
1
S n S n +=
-奇偶
； ②当n 为偶数时，122
2n n n a a S n ++⎛⎫
⎪=⋅ ⎪ ⎪⎝⎭；12S S dn -=偶奇；212
n n a S S a +=奇偶. （5）等差数列{}n a ，前n 项和为n S ，则
m n m n
S S S m n m n
+-=
-+（*m n m n ∈≠N 、，且）； （6）等差数列{}n a 中，若*m n p q m n p q m n p q +=+∈≠≠N （、、、，且，），则
p q
m n S S S S m n p q
--=--； （7）等差数列{}n a 中，公差d ，依次每k 项和：k S ，2k k S S -，32k k S S -成等差数列，新公差2'd k d =. 3. 等差数列前n 项和n S 的最值问题： 等差数列{}n a 中
① 若1a ＞0，d ＜0，n S 有最大值，可由不等式组1
0n n a a +≥⎧⎨≤⎩来确定n ；
② 若1a ＜0，d ＞0，n S 有最小值，可由不等式组1
0n n a a +≤⎧⎨≥⎩来确定n ，也可由前n 项和公式
21()22
n d d
S n a n =
+-来确定n . 要点诠释：等差数列的求和中的函数思想是解决最值问题的基本方法. 知识点二 ：等比数列
1. 判定一个数列是等比数列的常用方法 （1）定义法：
1
n n
a q a +=（q 是不为0的常数，n ∈N *）{}n a ⇔是等比数列； （2）通项公式法：n n a cq =（c 、q 均是不为0的常数n ∈N*）{}n a ⇔是等比数列；
（3）中项公式法：2
12n n n a a a ++=⋅（120n n n a a a ++⋅⋅≠，
*n N ∈）{}n a ⇔是等比数列. 2. 等比数列的通项公式及前n 项和 通项公式：111(*0)n n a a q n a q -=⋅∈⋅≠N ， 要点诠释：
① 该公式可改写为：1n
n a a q q
=
⋅ 01q q >≠且时，是关于n 的指数型函数；1q = 时，是常数函数；
② 推广：n m n m a a q -=⋅.
前n 项和公式：111(1)(1)(1)
11n n n na q S a a q
a q q q q =⎧⎪
=--⎨=≠⎪--⎩
要点诠释：
①在求等比数列前n 项和时，要注意区分1q =和1q ≠
②当1q ≠时，等比数列的两个求和公式，共涉及1a 、n 、q 、n a 、n S 五个量，已知其中任意三个量，通过解方程组，便可求出其余两个量.
3. 等比数列的主要性质：
（1）若*()m n p q m n p q +=+∈N 、、、，则m n p q a a a a ⋅=⋅； 特别，若2m n p +=，则2m n p a a a ⋅=；
（2）等比数列{}n a 中，若*m n p m n p N ∈、、（、、）成等差数列，则m n p a a a 、、成等比数列；
（3）公比为q 的等比数列中，连续k 项和232,,k k k k k S S S S S --，… 组成新的等比数列； （4）等比数列{}n a ，前n 项和为n S ，当n 为偶数时，S S q =偶奇；
（5）等比数列{}n a 中，公比为q ，依次每k 项和：k S ，2k k S S -，32k k S S -…成公比为q k 的等比数列；
（6）若{}n a 为正项等比数列，则{log }a n a （a ＞0且a ≠1）为等差数列；反之，若{}n a 为等差数列，则{}n
a a （a ＞0且a ≠1）为等比数列；
（7）等比数列{}n a 前n 项积为n V ，则(1)2
1
(*)n n n n V a q n -=∈N .
知识点三：常见的数列通项公式求法
1. 已知数列的前几项：
已知数列的前几项，通过观察法，归纳分析出数列的通项公式.
2. 已知等差数列或等比数列： 通过公式法求通项公式.
3. 已知数列的递推关系式：
①形如()1=+ n n a a d d +∈R ，该数列为等差数列．．．．
，利用公式法求数列的通项公式； ②形如()1=0n n a q a q +≠，该数列为等比数列．．．．
，利用公式法求数列的通项公式. ③形如()1=+ 01n n a q a d d q q +⋅∈≠≠R 且，，构造公比为q 的等比数列+-1n d a q ⎧⎫
⎨⎬⎩
⎭
，利用公式法求解；
④形如()1=+ n n a a f n +，通过累加法．．．（迭加法）求数列的通项； ⑤形如()1=g n n a n a +⋅，通过累乘法．．．
（迭乘法）求数列的通项. ⑥形如()1,0n n n pa a =
p q pa +q +≠，两边取倒数，构造公差为q
p 的等差数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭
，利用公式法求通项. 4. 已知n S ，求n a ： 利用n a 与n S 的关系，即11,(1),(2)
n n n S n a S S n -=⎧=⎨
-≥⎩，
，可求得数列的通项公式.
5. 已知12n =)a a a f(n ，求n a ：
利用作商法，即(1),(1)(),(2).(1)
n f n a f n n f n =⎧⎪
=⎨≥⎪
-⎩求数列的通项公式.
知识点四：常见的数列求和方法
1. 公式法：
如果一个数列是等差数列或者等比数列，直接用其前n 项和公式求和。

2. 分组求和法：
将通项拆开成等差数列和等比数列相加或相减的形式，然后分别对等差数列和等比数列求和.如：=2+34n n a n .
3. 裂项法：
把数列的通项拆成两项之差，正负相消，剩下首尾若干项的方法.一般通项的分子为非零常数，分母为非常数列的等差数列的两项积的形式.
若1
()()
n a An B An C =++，分子为非零常数，分母为非常数列的等差数列的两项积的形式,
则1111()()()n a An B An C C B An B An C =
=-++-++，如a n = 1(1)n n +11
1
n n =-
+ 4. 错位相减法：
通项为非常数列的等差数列与等比数列的对应项的积的形式：n n n a b c =⋅, 其中 {}n b 是公差d ≠0等差数列，{}n c 是公比q ≠1等比数列，如()=213n n a n ⋅.
一般步骤：
112211n n n n n S b c b c b c b c --=++⋯++，则 1211n n n n n qS b c b c b c -+=+⋯⋯++
所以有11231(1)()n n n n q S b c c c c d b c +-=+++⋯⋯-
要点诠释：求和中观察数列的类型，选择合适的变形手段，注意错位相减中变形的要点. 知识点五、通项n a 与前n 项和n S 的关系：
任意数列{}n a 的前n 项和12n n S a a a =+++；
1
1
(1)(2)
n n n S n a S S n -=⎧⎪=⎨
-≥⎪⎩
要点诠释：
由前n 项和n S 求数列通项时，要分三步进行： （1）求11a S =，
（2）求出当n ≥2时的n a ，
（3）如果令n ≥2时得出的n a 中的n =1时有11a S =成立，则最后的通项公式可以统一写成一个形式，否则就只能写成分段的形式。

知识点六：数列应用问题
数列应用问题是中学数学教学与研究的一个重要内容,解答数学应用问题的核心是建立数学模型,有关平均增长率、利率（复利）以及等值增减等实际问题，需利用数列知识建立数学模型.
建立数学模型的基本步骤：
① 审题——认真阅读题目，准确理解题意，达到如下要求：
明确问题属于哪类应用问题； 弄清题目中的主要已知事项； 明确所求的结论是什么.
②建模——将已知关系翻译成数学（数列）语言，将实际问题转化成数学问题，弄清楚该数列的结构和特征；
③求解——求出该问题的数学解； ④还原——将所求结果还原到实际问题中.
要点诠释：数列的建模过程是解决数列应用题的重点，要正确理解题意，恰当设出数列的基本量. 【典型例题】
类型一：等差、等比数列概念及其性质
例1. 在
1
n
和1n +之间插入n 个正数，使这2n +个数依次成等比数列，求所插入的n 个数之积. 【思路点拨】本题中，将n 看作已知量，运用基本量法或者等比数列的性质解决问题. 该题考查学生的推理论证能力与运算求解能力，综合性较强，同学们应认真分析。

【答案】21()n
n n
+
【解析】
方法一：设插入的n 个数为12,,,n x x x ，且公比为q ，则11
1n n q n ++=
∴1(1)n q n n +=+，1
k k x q n =（1,2,
,k n =）
(1)21222121111
11()n n n
n n
n n n n n T x x x q q q q q n n
n n n
n
+++++=⋅⋅
⋅=⋅⋅
⋅===
方法二：设插入的n 个数为12,,,n x x x ，011
,1n x x n n +==+，
011211
n n n n x x x x x x n
+-+⋅=⋅=⋅=
=
12n n T x x x =⋅⋅
⋅，212111()()()(
)n
n n n n n T x x x x x x n
-+=⋅⋅
⋅=， 21()n
n n T n
+∴=
【总结升华】第一种解法利用等比数列的基本量1a 、q ，先求公比，后求其它量，这是解等差数列、等比数列的常用方法，其优点是思路简单、实用，缺点是有时计算较繁；第二种解法利用等比数列的性质，与“首末项等距”的两项积相等，这在解题中常用到.
举一反三：
【高清课堂：数列综合381084 例1】
【变式1】已知两个等比数列{}n a ，{}n b ，满足1(0)a a a =>，111b a -=，
222b a -=，333b a -=.
（1）若1a =，求数列{}n
a 的通项公式； （2）若数列{}n a 唯一，求a 的值.
【答案】
（1）1(2n n a -=或1(2n n a -= （2）13
a =
【变式2】已知等差数列{}n a ，公差0d ≠，{}n a 中部分项组成的数列1
k a ，2
k a ，3
k a ，…，n
k a ，…
恰为等比数列，且知11k =,25k =,317k =.
（1）求n k ；
（2）证明: 12...31n n k k k n +++=--.
【解析】依题意:1
1k a a =，2
514k a a a d ==+，3
17116k a a a d ==+.
∵1
k a ，2
k a ，3
k a 为等比数列，
∴2111(4)(16)a d a a d +=+，解得12a d =. ∴等比数列{}n
k a 的首项1
12k a a d ==，公比5111
43a a d q a a +=
==， ∴11123n n n k k a a q d --=⋅=⋅
又n
k a 在等差数列{}n a 中是第n k 项， ∴1(1)(1)n
k n n a a k d k d =+-=+
∴1(1)23n n k n a k d d -=+=⋅（0d ≠）， 解得1231n n k -=⋅-. （2）12...n k k k +++
11211(231)(231)...(231)n ---=⋅-+⋅-++⋅- 0112(33...3)31
n n n n -=+++-=--
例2. 已知等差数列{}n a ，25n S =, 2100n S =, 则3n S =（ ） A.125 B.175 C.225 D.250
【思路点拨】本题是关于等差数列的求值问题，故用常用的基本量法或者等差数列的性质解决即可。

难点在于项数n 不确定，在解题过程中不妨采用合适的方法加以回避。

【答案】C 【解析】
方法一：利用等差数列的性质 ∵{}n a 为等差数列，
∴n S ,2n n S S -,32n n S S -成等差数列，即2322()()n n n n n S S S S S -=+- ∴32(10025)25(100)n S -=+-， 解得3225n S =, ∴选C.
方法二：特殊值法
令1n =，由题意可得1125n S S a ===,2212100n S S a a ==+=, ∴275a =，2150d a a =-=， ∴3313(31)
32252
n S S a d ⨯-==+=, ∴选C.
方法三：基本量法 1(1)252n n n S na d -=+
=,212(21)
21002
n n n S na d -=+=， 两式相减可得1(31)
752n n na d -+=， ∴313(31)
37532252
n n n S na d -=+=⨯=. ∴选C.
【总结升华】三种解法各有各的特点，注意认真体会每一种解法，灵活应用. 本题还有其他的方法解析，在这里不再一一介绍，同学们有时间可仔细研究。

举一反三：
【变式】已知等比数列{}n b ，48n S =, 260n S =, 则3n S =（ ） A.75 B.2880 C.5
4
D.63
【答案】D
例3． 如果一个等差数列的前12项和为354，前12项中偶数项的和与奇数项的和之比为32：27，求公差.
【思路点拨】这是关于等差数列的求值问题，采用基本量法解决即可. 注意奇数项的首项为1a ，公差为2d 22；偶数项首项为2a ，公差为2d .
【答案】 5
【解析】设等差数列首项为1a ，公差为d ，则 ()1111121112354265=2=5.6++2322=.
65276+22
a d a d a d d
a d ⨯⎧
+⨯=⎪⎪⎪⨯⎨⨯⎪⨯⎪⨯⎪⎩，解得，
所以该数列的公差是5. 【总结升华】
1. 恰当地选择设未知数，列方程（组）求解.方程思想在数列中很重要.
2. 等差（比）数列的首项和公差（比）是关键. 举一反三：
【变式】已知：三个数成等比数列，积为216，若第二个数加上4，则它们构成一个等差数列,求这三个数.
【答案】这三个数为2，6，18或18，6，2.
例4．等差数列{}n a 中，113a =,311S S =，则它的前__ 项和最大，最大项的值是____.
【思路点拨】等差数列的首项1a >0，公差d 必然是负数，这样前n 项和有最大值. 取得最大值时的项为数列中最后一个正数（或0），它处于正负相间的位置，满足+1
00.n n a a ≥⎧⎨
≤⎩，
【答案】7，49
【解析】设公差为d , 由题意得n a d ，得=2d , ∴{}n a 是首项为正数的递减数列，n S 有最大值. 又1
21
n S n =
-, ∴()45101178113++
++=4+==0a a a a a a S S -，
∴7800.a a ，><
所以7S 为最大值，即7S =7×13+
()76
22
⨯⨯=49. 【总结升华】等差数列的前n 项和公式是一个二次的函数，当0d <时，函数有最大值.
举一反三：
【变式】若数列{}n a 是等差数列，数列{}n b 满足*12()n n n+n+b =a a a n ⋅⋅∈N ，{}n b 的前n 项和用n S 表示，若{}n a 中满足512380a a =>，试问n 多大时，n S 取得最大值，证明你的结论.
【解析】∵512380a a =>， ∴()55387a a d =+，解得556
5
a d =>0 ∴176
05
d a d <=-
，， 故{}n a 是首项为正的递减数列.
则有111(1)00n n a a n d a a nd +=+-≥⎧⎨=+≤⎩,即76
(1)05
760
5
d n d d nd ⎧-+-≥⎪⎪⎨⎪-+≤⎪⎩
解得：1515≤n ≤161
5
，∴n =16，即16a >0，17a <0
即：121617180a a a a a >>⋯>>>>>⋯ 于是121417180b b b b b >>⋯>>>>>⋯⋯
而15151617··0b a a a =<， 161617
18··0b a a a => ∴1413114151516S S S S S S S >>⋯>><，， 又15a =-180d a >=
，9
5
d <0， ∴1518151615160a a b b b b <∴<+>，
，即 ∴1614S S >，故n S 中16S 最大.
例5. 设x 分别为等差数列{}n a ，{}n b 的前n 项和，满足
71
427n n S n T n +=+，求1111
a b . 【思路点拨】用好等差数列中n S 与n a 的一个关系： ()2121n n S n a +=+是解好本题的一个关键. 【答案】111143
a b = 【解析】
方法一：12111111212111111212112121
()
2721142212421273()2
a a a a a a S
b b b b T b b ++⨯+======+⨯++
方法二：设()(71),(427)0n n S k n n T k n n k =+=+≠，
∴()()111110117111107101148a S S k k k =-=⨯+-⨯+= ()()111110 T T 11411271041027111b k k k =-=⨯+-⨯+= ∴
11111484
1113
a k
b k ==. 【总结升华】等差数列的中项在前n 项和式中的应用是解决本例的关键，也应注意到前n 项和与通项公式的联系.
举一反三：
【变式1】等差数列{}n a 中，n S =50，123430a a a a +++=，32110n n n n a a a a ---+++=，求项数n . 【答案】10
【高清课堂：数列综合381084 例2】
【变式2】在数列{}n a 中，121,2a a ==，11(1)n n n a q a qa +-=+-(2,0)n q ≥≠ （1）设*1()n n n b a a n N +=-∈，证明{}n b 是等比数列. (2) 求数列{}n a 的通项公式.
(3) 若3a 是6a 与9a 的等差中项，求q 的值；并证明：对任意的*n N ∈，n a 是3n a +与6n a +的等差中项.
【解析】（1）利用定义证明1n n b qb -=
（2）1,111,11n n n
q a q q q -=⎧⎪
=-⎨+≠⎪-⎩
（3）证明1q =时，n a n =不合题意 1q ≠时，1
11,1n n q a q
--=+
- 由3a 是6a 与9a 的等差中项可求32q =- 又2521
36
1122211221111n n n n n n q q q q a a q q q q
+++-++--+-+=+++=+=+----
1
12(1)21n n q a q
--=+=-
即n a 是3n a +与6n a +的等差中项. 类型二：n a 与n S 的关系式的综合运用
例6. 在数列{}n a 中，n S 是其前n 项和，若1a ＝1，()11
13
n n a S n ≥＋＝，则n a ＝________.
【思路点拨】已知n n S a 与的混合式，一般采用降角标作差的方法，化为n a 的递推关系式，可知数列{}n a 为等比数列.
【答案】21
,114,233n n n a n -=⎧⎪
=⎨⎛⎫⋅≥⎪ ⎪⎝⎭
⎩
【解析】 由题意， ()11
13
n n a S n ≥＋＝， ①
n a ＝
1
3
()12n S n ≥－， ② ①–②得
1n n a a ＋－＝
13()2n a n ≥，即1n a ＋＝4
3
()2n a n ≥， 当2n ≥时，214
()33
n n a -=⋅，当1n ＝时，11a ＝
. ∴21
,114,233n n n a n -=⎧⎪
=⎨⎛⎫⋅≥⎪ ⎪⎝⎭
⎩
【总结升华】已知n S 求n a 要先分1n ＝和2n ≥两种情况进行计算，然后验证能否统一. 举一反三：
【变式1】已知数列{}n a 的前n 项和如下，分别求它们的通项公式.
（1）2
22n S n n =-+； （2）322n n
n n
S -=
【解析】
(1)当1n =时,111a S ==；
当2n ≥时, ()()()2
2122121223n n n a S S n n n n n -⎡⎤=-=-+----+=-⎣⎦
, 又1n =时，1213a ⨯-≠， ∴1
(1)23(2)
n n a n n =⎧=⎨
-≥⎩
（2）323==122n
n n n n S -⎛⎫
⎪⎝⎭
，则 当n =1时, 1a =1S =1
2
；
当n ≥2时, 1=n n n a S S --=-1
331122n
n ⎡⎤
⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎢⎥⎢⎥ ⎪
⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦=1
1322n ⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭
,
又n =1时,
12(32)0=1
2
=1a , 满足上式. ∴1
1322n n a -⎛⎫
=⨯ ⎪
⎝⎭
.
【变式2】已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，1
(1)(*)3
n n S a n =-∈N .
（1）求12,a a ；
（2）求证：数列{}n a 是等比数列. 【解析】
（1）由111(1)3S a =-，得111
(1)3a a =-，
∴11
2
a =-，
又221(1)3S a =-，即1221
(1)3
a a a +=-，得214a =.
（2）证明：当2n ≥时，由题意， 1n n n a S S -=-111
(1)(1)33
n n a a -=---，
得
112n n a a -=-，又211
2
a a =-， 所以{}n a 为首项为12-，公比为1
2
-的等比数列.
例7. 数列{}n a 的前n 项和为n S ，若对于,1n n n S na ∈+=N 恒成立，求n S .
【思路点拨】已知n n S a 与的混合式，一般采用降角标作差的方法，化为n a 的递推关系式. 【答案】1
n n S n =
+ 【解析】由题意
1n n S na += ① 11(1)1n n S n a --+-= ②
①–②得
1(1)0n n n a na n a -+--=，即
11
1
n n a n a n --=+， 在①中，当1n =时，11111,
2
a a a +=∴=
3124112321
112321111....23451(1)1n n
n n n a a a a a n n a a a a a a a n n n n n n -----∴=⋅
⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅==-+++
11111111
...(1)()()()12233411n S n n n ∴=-+-+-++-=-
++， 1
n n S n ∴=
+. 【总结升华】本例利用了n S 与n a 的关系，注意对1n =的验证. 举一反三：
【变式1】在数列{}n a 中，已知11a =，前n 项和n S 与通项n a 满足222(2,3....)n n n n S a S a n =-=，求这个数列的通项公式.
【解析】
因为1,n n n a S S -=-从而由已知得到：212(21)().n n n n S S S S -=--即1
11
2n n S S --=， 于是得到121n S n =
-，就可以得到：11
(2)2123
n a n n n =-≥--. 【变式2】若数列{}n a 的相邻两项n a 、1n a +是方程21
()03
n n x C x -+=的两根，又12a =，求数列{}
n C 的前n 项和n S .
【解析】由韦达定理得1n n n a a c ++=，11
()3
n n n a a +⋅=，
∴1121
()3n n n a a +++⋅=，得 213n n a a +=，
∴ 数列2{}k a 与21{}k a -均成等比数列，且公比都为1
3，
由12a =，1213a a ⋅=，得21
6
a =,
∴1122111()()363k k k a a --=⋅=⋅,1121111
()2()33
k k k a a ---=⋅=⋅
(I)当n 为偶数时，令2n k =（*k N ∈）, 1232122334212221...()()()...()()
n k
k k k k S C C C C a a a a a a a a a a -+=++++=++++++++++
135********(...)2(...)k k k a a a a a a a a -+=+++++++++
132111[1()][1()]
1332222()1131133
2111[1()][1()]133632222()22333k k k
k k k
a a ----=+⋅+⋅
+⋅----=+⋅+⋅
+⋅
2971971()()223223
n
k =-=-. (II)当n 为奇数时，令21n k =-（*k N ∈），
12321
1223342221212...()()()...()()n k k k k k S C C C C a a a a a a a a a a ----=++++=++++++++++
135********(...)2(...)k k k a a a a a a a a --=+++++++++
1132111[1()][1()]
1133222()11631133k k k a a -----=+⋅+⋅+--
1112111[1()][1()]
113363222()226333
k k k -----=+⋅+⋅+
1
291917()7()2323
n k +=-⋅=-. 类型三：特殊数列的求和
例8. 求数列1，22343456,,,......,(0)a a a a a a a a a a ++++++≠的前n 项和n S .
【思路点拨】本题求和后，不宜直接分组，应该把通项化简变形后，再决定如何分组求和. 本题含参数a ，注意讨论.
【解析】
（1）当1a ≠时，122...n n n n a a a a --=+++1121(1)1
()11n n n n a a a a a a
----==---
3251211...(1)()()()1n n n S a a a a a a a a --⎡⎤∴=
-+-+-++-⎣
⎦- 21242222121
(1...)(1...)111(1)(
)111(1)(1)(1)(1)
n n n n n n a a a a a a a a
a a a a a a a a a a --+⎡⎤=
++++-++++⎣⎦-⎡⎤--=-⎢⎥---⎣⎦--=
-+ （2）当1a =时，1
(1)2
n S n n =+；
（3）当1a =-，原数列为1，0，1，0，1，0……，
若n 为偶数，令2n k =（k N +∈），则21010...102n k n
S S k ==++++++==
； 若n 为奇数，令21n k =-（k N +∈），则21
1010 (1012)
n k n S S +==+++++++=. 【总结升华】分类讨论a 和n 的奇偶是本例化简的关键. 举一反三：
【变式1】求数列2222
1111
{(1)(1)...(1)()}23(1)n n -
⋅--⋅+的前n 项和.
【答案】2(1)
n n
S n =
+.
【变式2】求和：122221*()n n n n n n n S a a b a b a b ab b n N ----=++++++∈
【答案】a=0或b=0时，()n n n S b a = 当a=b 时，(1)n n S n a =+；
当a ≠b 时，11
n n n a b S a b
++-=-
类型四：求数列的通项公式
例9．写出数列：15-，310，517-，7
26
，……的一个通项公式.
【思路点拨】观察该数列，各项是由三部分构成：符号、分子和分母. 不妨把它看成三个数列，分
别求其通项.
【答案】通项公式为：221
(1)(1)1
n
n n a n -=-++.
【解析】从各项符号看，负正相间，可用符号(1)n -表示；
数列各项的分子：1，3，5，7，……是个奇数列，可用21n -表示；
数列各项的分母：5，10，17，26，……恰是221+,231+, 241+,251+,…可用2(1)1n ++表示； 所以该数列的通项公式可写为221(1)(1)1
n n n a n -=-++.
【总结升华】
①求数列的通项公式就是求数列中第n 项与项数n 之间的数学关系式.如果把数列的第1，2，3，…项分别记作(1)f ，(2)f ，(3)f ，…，那么求数列的通项公式就是求以正整数n (项数)为自变量的函数()f n 的表达式；
②通项公式若不要求写多种形式，一般只写出一个常见的公式即可；
③给出数列的构造为分式时，可从各项的符号、分子、分母三方面去分析归纳，还可联想常见数列的通项公式，以此参照进行比较.
举一反三：
【变式1】数列：1-，85，157-，24
9，……的一个通项公式是（ ）
A.2(1)21
n
n n n
a n +=-+ B.(3)(1)21n n n n a n +=-+
C.2(1)1
(1)21
n
n n a n +-=-- D.(2)(1)21n n n n a n +=-+
【解析】采用验证排除法，令1n =,则A 、B 、C 皆被排除，故选D. 【变式2】根据下列条件，写出数列中的前4项，并归纳猜想其通项公式：
（1）113,21n n a a a +==+； (2)111
,2n n
a a a a +==-； 【解析】
（1）12343,7,15,31a a a a ====， 猜想得121n n a +=-； (2)a 1=a,a 2=12a
-,a 3=232a a --,a 4=3243a
a --，
猜想得a n =
(1)(2)(1)n n a
n n a
-----；
例10．已知数列{}n a 中，11a =，12
13
n n a a +=+，求n a .
【解析】
法一：设12
()()3n n a A a A ++=+，解得3A =-
即原式化为12
(3)(3)3
n n a a +-=-
设3n n b a =-，则数列{}n b 为等比数列，且1132b a =-=- ∴122
3(2)()33()33n n n n n b a a -=-=-⨯⇒=-⨯
法二：∵12
13n n a a +-= ①
12
1(2)3n n a a n --=≥ ②
由①－②得：112
()3
n n n n a a a a +--=-
设1n n n b a a +=-，则数列{}n b 为等比数列 ∴11222
()()333n n n n n b a a -+=-=⨯=
∴22
1()33n n n a a +-= ∴233()3
n n a =-⨯
法三：21213a a =+，2322221()1333a a =+=++，32432222
1()()13333a a =+=+++，……，
112
2
2
1()13
3
3
n n n a a --=+=
=+++， ∴2
33()3
n n a =-⨯
【总结升华】求数列通项公式，特别是由递推公式给出数列时，除迭加、迭代、迭乘等基本方法外，还应注意根据递推关系式的特点，进行转化，变形为与是等差（等比）有关的数列.
举一反三：
【变式1】 数列的首项为，为等差数列且．若则，
，则
A ．0
B ．3
C ．8
D ．11
【答案】B
【变式2】在数列中，11a =，1n a + =1n
n
a na +，求n a . 【答案】2
2
2
n a n n =-+
类型五：应用题
例11．某地区现有耕地10000公顷，规划10年后粮食单产比现在增加22%，人均粮食占有量比现在提高10%，如果人口年增长率为1%，那么耕地平均每年至多只能减少多少公顷？（精确到1公顷）（粮食单产=占有量/耕地面积，人均粮食占有量=占有量/总人口数）
【思路点拨】本题名词较多，不宜理解。

为方便计，同学们可列一表格，如下： 设现在总人口为A 人，人均粮食占有量为b 吨，现在耕地共有410公顷.
【答案】4 【解析】
方法一：由题意，设现在总人口为A 人，人均粮食占有量为b 吨，现在耕地共有410公顷，于是现在的粮食单产量
410
Ab
吨/公顷，10年后总人口为10(10.01)A +，人均粮食占有量(10.1)b +吨，若设平均每年允许减少x 公顷，则10年耕地共有(41010x -)公顷，于是10年后粮食单产量为104(10.01)(10.1)
1010A b x
+⋅+-吨/
公顷.
由粮食单产10年后比现在增加22%得不等式： 1044(10.01)(10.1)(10.22)101010
A b Ab
x +⋅+≤+-
化简可得410410(10.01)(10.1) 1.22(1010)x +⋅+≤- 即441010 1.2210(10.01)(10.1)10 1.22
x ⨯-++≤⨯，
∴4x ≤(公顷)
答：按规划该地区耕地平均每年至多只能减少4公顷.
{}n a 3{}n b 1(*)n n n b a a n N +=-∈32b =-1012b =8a ={}n a
方法二：由题意，设现在总人口为A 人，粮食单产为M 吨/公顷，现在共有耕地410公顷，于是现在人均粮食占有量410M
A
吨/人，10年后总人口为10(10.01)A +，粮食单产1.22M 吨/公顷，若设平均每年
允许减少x 公顷，则10年后耕地将有(41010x -)公顷，于是10年后粮食总产量为41.22(1010)M x -，人均粮食占有量为410
(10.22)(1010)
(10.01)M x A +-+，由人均粮食占有量10年后比现在增加10%得不等式：
44
10
(10.22)(1010)10 1.1(10.01)M x M A A +-⨯≥⨯+，（余与上同）.
【总结升华】解应用题的关键是建立数学模型，只要把模型中的量具体化就可得相应的解析式. 举一反三：
【变式】某地区原有森林木材存量为a ，且每年增长率为25%，因生产建设的需要每年年底要砍伐的木材量为b ，设n a 为n 年后该地区森林木材存量.
（1）写出n a 的表达式.
（2）为保护生态环境，防止水土流失，该地区每年的森林木材存量应不少于79
a ,如果19
72b a =，那
么今后该地区会发生水土流失吗？若会，要经过几年？（取lg 20.30=）.
【解析】
（1）依题意，第一年森林木材存量为a ， 1年后该地区森林木材存量为：15
4
a a
b =-，
2年后该地区森林木材存量为：221555
()(1)444a a b a b =-=-+，
3年后该地区森林木材存量为：32325555
()[()1]4444a a b a b =-=-++，
4年后该地区森林木材存量为：4324355555
()[()()1]44444
a a
b a b =-=-+++，
… …
n 年后该地区森林木材存量为：125555
()[()()...1]4444
n n n n a a b --=-++++
（2）若1972b a =
时，依题意该地区今后会发水土流失，则森林木材存量必须小于7
9
a ， 即 55197
()4[()1]44729n n a a a --⨯<，
解得554n >（），即5lg lg54
n >，
∴lg 51lg 2
7lg 52lg 213lg 2
n ->
==--，
∴8n =.
答：经过8年该地区就开始水土流失.。