3.球面上的坐标系与坐标变换
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cos c cos a cos b sin a sin b cos C
球面正弦公式
sin a sin b sin c sin A sin B sin C
球面边正弦与邻角余弦之积公式
sinacosB=cosbsinc－sinbcosccosA
球面三角形的基本公式
边的余弦公式
一、球面坐标系、坐标变换 为在球面上确定点位可是需要采用不同的坐标系。 制图实践中常使用的有地理坐标系（φ、λ），球面坐 标系（a, z）和球面直角坐标系（x,y）。目前以上三种 坐标系在测绘技术上应用最为广泛。三者之间可以进行 简单的相互换算。
二、坐标变换的一般公式
如下图，其中K为球面上一点地理 坐标为 ， ，球面极坐标 为 ，z 。 P是地理坐标系极点，Q
Cosz=sinφsinφ0+cosφcosφ0cos(λ-λ0) Sinzcosα=sinφcosφ0-cosφsinφ0cos(λ-λ0) Sinzsinα=cosφsin(λ-λ0) 特殊情况： Φ0=0
cos sin 0 tga sin cos 0 cos sin 0 cos 0
由球面极坐标到地理坐标之间的变换：
在球面三角形PKQ，由余弦公式有：
cos 90 cos 90 0 cos z
0
sin 90
cos cos 0 cos 0 cos z sin 0 sin z cos
由正弦公式有 即
sin z sin 90 sin( 0 ) sin a
由此得到：
sin z sin a cos sin( 0 )
sin sin 0 cos z cos 0 sin z cos
在球面直角三角形PBA有
cos 0 ctg 90 ctg 90 x
sin y sin 90 sin 0
于是得到由地理坐标到球面直角坐标的变换公式为
tgx tg sec 0
sin y cos sin 0
sin z cos
即
sin sin 0 cos z cos 0 sin z cos a
式中φ0 、λ0是球面坐标原点Q的地理坐标
由第一正余弦公式有
sin 90 cos 0 sin 90 0 cos z
cos 90 0 sin z cos
由极坐标表示的投影公式为：
f1 , f 2 ,
以极坐标表示的常见的地图投影，纬线一般为同轴圆圆弧， 在特殊情况下则为同心圆圆弧，故 、 q 常常仅为纬度的函数。
对 x q cos
y sin
求偏导数：
x q cos sin
cos a cos b cos c sin b sin c cos A
定理：球面三角形任意边的余弦等于其它两边余弦的乘积加上这两边的正 弦及其夹角余弦的连乘积。
正弦公式
sin a sin b sin c sin A sin B sin C
定理： 球面三角形各边的正弦和对角的正弦成正比。
是球面极坐标系新极点
0，0
。
由地理坐标系到球面极坐标系之间的变换：
在球面三角形PQA，由边的余弦公式有：
cos z cos 90 0 cos 90
0
sin 90 sin 90
cos 0
即
二、平面直角坐标系的建立 设O‘点为极点， O‘O 为极轴，P是坐标系中 的一点，则P点极坐标 与平面直角坐标之间的 关系式：
x q cos y sin
P ,
由直角坐标表示的投影公式为：
x f1 , y f 2 ,
x sin
y sin cos x cos
上式中：
d d
dq q d
F q sin
G
在球面直角三角形PBA有
cos 90 cos 90 x cos y
sin 90 x tgyctg 0
于是得到
sin sin x cos y
tg 0 tgy sec x
在一般情况下，大多数地图投影都采用地理坐标表示球面 位置建立平面直角坐标 x, y 与 , 的关系。
§3-1 球面坐标系、坐标变换的意义与一般公式 §3-2 决定新极Q的地理坐标φ0，λ0 §3-3 地理坐标φ，λ换算为球面极坐标α，Z
球面余弦公式
cos a cos b cos c sin b sin c cos A
cos b cos a cos c sin a sin c cos B
cos z sin sin 0 cos cos 0 cos 0
式中φ0 、λ0是球面坐标原点Q的地理坐标
由第一正余弦公式有 sin z cos a sin 90 0 cos 90
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
cos 90 0 sin 90 cos 0
2
q sin tg q cos
q cos H
n r
q cos P Mr
P P m n sin n cos
F tg H
G n r
cos sin tg 0 cos z cos 0 sin 0 cos sin z
由地理坐标到球面直角坐标间的变换：
如图POP1为中央经线，其经 度为 0 ，新极点 Q位于赤道 上，其经度为 0 90 球面上点A地理坐标 为 ， ，过A点作垂直圈 QAB与中央经线交于B，令BO ＝x,，BA＝y则A的球面直角 坐标为（x，y）
H mn sin P Mr
q cos sec M
新极在投影区域的中心点上
0
1 n 1 n
n
n
i 1
i
0
i 1
i
新极在投影区域中部大圆的天顶 新极在投影区域中部小圆的天顶
tg 2 cos 1 tg1 cos 2 tg0 tg 2 sin 1 tg1 sin 2 cos(1 0 ) cos(2 0 ) tg 0 tg1 tg 2
当采用横轴或斜轴投影，用地理坐标表示点位时，对 投影公式的推导和计算比较麻烦。需建立 z , 与 , 的关系。利用 , 与 x, y 的关系，最终建立平 面直角坐标 z , 与 x, y 的关系。
在建立投影方程式时通常采用平面直角坐标 系。对于某些投影，为推导公式简便起见，建 立极坐标系。 一、平面直角坐标系的建立 在平面上选一点O为直角坐标原点，过O点 做相互垂直的两轴x’ox与y’oy，而建立直角坐 标系。
sin z cos a sin cos 0 cos sin 0 cos 0
由正弦公式有 即 由此得到：
sin z sin 90 sin( 0 ) sin a
sin z sin a cos sin( 0 )
cos z sin sin 0 cos cos 0 cos 0
球面正弦公式
sin a sin b sin c sin A sin B sin C
球面边正弦与邻角余弦之积公式
sinacosB=cosbsinc－sinbcosccosA
球面三角形的基本公式
边的余弦公式
一、球面坐标系、坐标变换 为在球面上确定点位可是需要采用不同的坐标系。 制图实践中常使用的有地理坐标系（φ、λ），球面坐 标系（a, z）和球面直角坐标系（x,y）。目前以上三种 坐标系在测绘技术上应用最为广泛。三者之间可以进行 简单的相互换算。
二、坐标变换的一般公式
如下图，其中K为球面上一点地理 坐标为 ， ，球面极坐标 为 ，z 。 P是地理坐标系极点，Q
Cosz=sinφsinφ0+cosφcosφ0cos(λ-λ0) Sinzcosα=sinφcosφ0-cosφsinφ0cos(λ-λ0) Sinzsinα=cosφsin(λ-λ0) 特殊情况： Φ0=0
cos sin 0 tga sin cos 0 cos sin 0 cos 0
由球面极坐标到地理坐标之间的变换：
在球面三角形PKQ，由余弦公式有：
cos 90 cos 90 0 cos z
0
sin 90
cos cos 0 cos 0 cos z sin 0 sin z cos
由正弦公式有 即
sin z sin 90 sin( 0 ) sin a
由此得到：
sin z sin a cos sin( 0 )
sin sin 0 cos z cos 0 sin z cos
在球面直角三角形PBA有
cos 0 ctg 90 ctg 90 x
sin y sin 90 sin 0
于是得到由地理坐标到球面直角坐标的变换公式为
tgx tg sec 0
sin y cos sin 0
sin z cos
即
sin sin 0 cos z cos 0 sin z cos a
式中φ0 、λ0是球面坐标原点Q的地理坐标
由第一正余弦公式有
sin 90 cos 0 sin 90 0 cos z
cos 90 0 sin z cos
由极坐标表示的投影公式为：
f1 , f 2 ,
以极坐标表示的常见的地图投影，纬线一般为同轴圆圆弧， 在特殊情况下则为同心圆圆弧，故 、 q 常常仅为纬度的函数。
对 x q cos
y sin
求偏导数：
x q cos sin
cos a cos b cos c sin b sin c cos A
定理：球面三角形任意边的余弦等于其它两边余弦的乘积加上这两边的正 弦及其夹角余弦的连乘积。
正弦公式
sin a sin b sin c sin A sin B sin C
定理： 球面三角形各边的正弦和对角的正弦成正比。
是球面极坐标系新极点
0，0
。
由地理坐标系到球面极坐标系之间的变换：
在球面三角形PQA，由边的余弦公式有：
cos z cos 90 0 cos 90
0
sin 90 sin 90
cos 0
即
二、平面直角坐标系的建立 设O‘点为极点， O‘O 为极轴，P是坐标系中 的一点，则P点极坐标 与平面直角坐标之间的 关系式：
x q cos y sin
P ,
由直角坐标表示的投影公式为：
x f1 , y f 2 ,
x sin
y sin cos x cos
上式中：
d d
dq q d
F q sin
G
在球面直角三角形PBA有
cos 90 cos 90 x cos y
sin 90 x tgyctg 0
于是得到
sin sin x cos y
tg 0 tgy sec x
在一般情况下，大多数地图投影都采用地理坐标表示球面 位置建立平面直角坐标 x, y 与 , 的关系。
§3-1 球面坐标系、坐标变换的意义与一般公式 §3-2 决定新极Q的地理坐标φ0，λ0 §3-3 地理坐标φ，λ换算为球面极坐标α，Z
球面余弦公式
cos a cos b cos c sin b sin c cos A
cos b cos a cos c sin a sin c cos B
cos z sin sin 0 cos cos 0 cos 0
式中φ0 、λ0是球面坐标原点Q的地理坐标
由第一正余弦公式有 sin z cos a sin 90 0 cos 90
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
cos 90 0 sin 90 cos 0
2
q sin tg q cos
q cos H
n r
q cos P Mr
P P m n sin n cos
F tg H
G n r
cos sin tg 0 cos z cos 0 sin 0 cos sin z
由地理坐标到球面直角坐标间的变换：
如图POP1为中央经线，其经 度为 0 ，新极点 Q位于赤道 上，其经度为 0 90 球面上点A地理坐标 为 ， ，过A点作垂直圈 QAB与中央经线交于B，令BO ＝x,，BA＝y则A的球面直角 坐标为（x，y）
H mn sin P Mr
q cos sec M
新极在投影区域的中心点上
0
1 n 1 n
n
n
i 1
i
0
i 1
i
新极在投影区域中部大圆的天顶 新极在投影区域中部小圆的天顶
tg 2 cos 1 tg1 cos 2 tg0 tg 2 sin 1 tg1 sin 2 cos(1 0 ) cos(2 0 ) tg 0 tg1 tg 2
当采用横轴或斜轴投影，用地理坐标表示点位时，对 投影公式的推导和计算比较麻烦。需建立 z , 与 , 的关系。利用 , 与 x, y 的关系，最终建立平 面直角坐标 z , 与 x, y 的关系。
在建立投影方程式时通常采用平面直角坐标 系。对于某些投影，为推导公式简便起见，建 立极坐标系。 一、平面直角坐标系的建立 在平面上选一点O为直角坐标原点，过O点 做相互垂直的两轴x’ox与y’oy，而建立直角坐 标系。
sin z cos a sin cos 0 cos sin 0 cos 0
由正弦公式有 即 由此得到：
sin z sin 90 sin( 0 ) sin a
sin z sin a cos sin( 0 )
cos z sin sin 0 cos cos 0 cos 0