八年级初二数学下学期平行四边形单元 期末复习测试基础卷试题

八年级初二数学下学期平行四边形单元 期末复习测试基础卷试题
一、选择题
1．如图，正方形ABCD 的边长为定值，E 是边CD 上的动点（不与点C ，D 重合），AE 交对角线BD 于点F ， FG AE ⊥交BC 于点G ，GH BD ⊥于点H ，连结AG 交BD 于点N ．现给出下列命题：① AF FG =；②DF DE =；③FH 的长度为定值；
④GE BG DE =+；⑤222BN DF NF +=．真命题有（ ）
A ．2个
B ．3个
C ．4个
D ．5个
2．如图，在四边形ABCD 中，AB ∥CD ，∠BCD=90°，AB=AD=10cm ，BC=8cm ，点P 从点A 出发，以每秒3cm 的速度沿折线A-B-C-D 方向运动，点Q 从点D 出发，以每秒2cm 的速度沿线段DC 方向向点C 运动、已知动点P ，Q 同时出发，当点Q 运动到点C 时，点P ，Q 停止运动，设运动时间为t 秒，在这个运动过程中，若△BPQ 的面积为20cm 2 ， 则满足条件的t 的值有（ ）
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
3．如图，在△ABC 中，AB=6，AC=8，BC=10，P 为边BC 上一动点(且点P 不与点B 、C 重合)，PE ⊥AB 于E ，PF ⊥AC 于F ，M 为EF 中点.设AM 的长为x ，则x 的取值范围是( )
A ．4≥x ＞2.4
B ．4≥x≥2.4
C ．4＞x ＞2.4
D ．4＞x≥2.4
4．如图，在▭ABCD 中，AB ＝4，BC ＝6，∠ABC ＝60°，点P 为▭ABCD 内一点，点Q 在BC 边上，则PA +PD +PQ 的最小值为( )
A ．3719++
B ．6+23
C ．53
D ．10
5．如图，正方形ABCD 和正方形CEFG 中,..BC E 三点在同一直线上,点D 在CG 上.1,3BC CE ==，连接,AF H 是AF 的中点，连接CH ,那么CH 的长是( )
A ．5
B ．25
C ．322
D ．42
6．如图，点E 是矩形ABCD 的边AB 的中点，点F 是边CD 上一点，连接ED ，EF ，ED 平分∠AEF ，过点D 作DG ⊥EF 于点M ，交BC 于点G ，连接GE ，GF ，若FG ∥DE ，则AB AD
的值是( )
A ．32
B ．22
C ．2
D ．3
7．如图，平行四边形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，CE 平分DCB ∠交BD 于点F ，且60ABC ∠=︒，2AB BC =，连接OE ，下列结论：①30ACD ∠=︒；
②·ABCD S AC BC =；③:1:4OE AC =．其中正确的有（ ）
A ．0个
B ．1个
C ．2个
D ．3个
8．如图，矩形纸片,,ABCD AB a BC b ==，满足12
b a b <<，将此矩形纸片按下面顺序折叠，则图4中MN 的长为（用含,a b 的代数式表示）（ ）
A ．2b a -
B ．22b a -
C ．32b a +
D ．12
b a + 9．如图，在平行四边形ABCD 中，按以下步骤作图：①以A 为圆心，AB 长为半径画弧，交边AD 于点；②再分别以B ，F 为圆心画弧，两弧交于平行四边形ABCD 内部的点G 处；③连接AG 并延长交BC 于点E ，连接BF ，若BF ＝3，AB ＝2.5，则AE 的长为（ ）
A ．2
B ．4
C ．8
D ．5
10．如图，在正方形ABCD 中，AB ＝4，E 是CD 的中点，将BCE 沿BE 翻折至BFE ，连接DF ，则DF 的长度是（ ）
A ．5
B ．25
C ．35
D ．455
二、填空题
11．在平行四边形ABCD 中，30,23,2A AD BD ∠=︒==，则平行四边形ABCD 的面积等于_____．
12．如图，两张等宽的纸条交叉叠放在一起，若重合部分构成的四边形ABCD 中，3AB =，2AC =，则BD 的长为_______________．
13．如图，动点E F 、分别在正方形ABCD 的边AD BC 、上，AE CF =，过点C 作CG EF ⊥，垂足为G ，连接BG ，若4AB =，则线段BG 长的最小值为_________．
14．如图，在平行四边形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，AB ＝OB ，点E ，F 分别是OA ，OD 的中点，连接EF ，EM ⊥BC 于点M ，EM 交BD 于点N ，若∠CEF ＝45°，FN ＝5，则线段BC 的长为_____．
15．如图，四边形ABCD 是菱形，∠DAB ＝48°，对角线AC ，BD 相交于点O ，DH ⊥AB 于H ，连接OH ，则∠DHO ＝_____度．
16．菱形OBCD 在平面直角坐标系中的位置如图所示，顶点B （23，0），∠DOB ＝60°，点P 是对角线OC 上一个动点，E （0，－1），则EP 十BP 的最小值为__________．
17．在ABC 中，AB=12，AC=10，BC=9，AD 是BC 边上的高．将ABC 按如图所示的方式折叠，使点A 与点D 重合，折痕为EF ，则DEF 的周长为______．
18．在ABCD 中，5AD =，BAD ∠的平分线交CD 于点E ，∠ABC 的平分线交CD 于点F ，若线段EF=2，则AB 的长为__________．
19．菱形ABCD 的周长为24，∠ABC=60°，以AB 为腰在菱形外作底角为45°的等腰△ABE ，连结AC ，CE ，则△ACE 的面积为___________.
20．已知：如图，在ABC 中，AD BC ⊥，垂足为点D ，BE AC ⊥，垂足为点E ，M 为AB 边的中点，连结ME 、MD 、ED ，设4AB =，30DAC ∠=︒则
EM =______；EDM 的面积为______，
三、解答题
21．已知，四边形ABCD 是正方形，点E 是正方形ABCD 所在平面内一动点（不与点D 重合），AB ＝AE ，过点B 作DE 的垂线交DE 所在直线于F ，连接CF ．
提出问题：当点E 运动时，线段CF 与线段DE 之间的数量关系是否发生改变？ 探究问题：
（1）首先考察点E 的一个特殊位置：当点E 与点B 重合（如图①）时，点F 与点B 也重合．用等式表示线段CF 与线段DE 之间的数量关系： ；
（2）然后考察点E 的一般位置，分两种情况：
情况1：当点E 是正方形ABCD 内部一点（如图②）时；
情况2：当点E 是正方形ABCD 外部一点（如图③）时．
在情况1或情况2下，线段CF与线段DE之间的数量关系与（1）中的结论是否相同？如果都相同，请选择一种情况证明；如果只在一种情况下相同或在两种情况下都不相同，请说明理由；
拓展问题：
（3）连接AF，用等式表示线段AF、CF、DF三者之间的数量关系：．
22．如图1所示，把一个含45°角的直角三角板ECF和一个正方形ABCD摆放在一起，使三角板的直角顶点和正方形的顶点C重合，点E，F分别在正方形的边CB，CD上，连接AE、AF．
(1)求证：AE＝AF；
(2)取AF的中点M，EF的中点N，连接MD，MN．则MD，MN的数量关系是，MD、MN的位置关系是
(3)将图2中的直角三角板ECF，绕点C旋转180°，如图3所示，其他条件不变，则(2)中的两个结论还成立吗？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由．
23．如图，在菱形ABCD中，AB＝2cm，∠ADC＝120°．动点E、F分别从点B、D同时出发，都以0.5cm/s的速度向点A、C运动，连接AF、CE，分别取AF、CE的中点G、H．设运动的时间为ts （0＜t＜4）．
（1）求证：AF∥CE；
（2）当t为何值时，△ADF 3
2；
（3）连接GE、FH．当t为何值时，四边形EHFG为菱形．
24．已知，在△ABC中，∠BAC=90°，∠ABC=45°，D为直线BC上一动点（不与点B，C 重合），以AD为边作正方形ADEF，连接CF．
（1）如图1，当点D在线段BC上时，BC与CF的位置关系是，BC、CF、CD三条线段之间的数量关系为；
（2）如图2，当点D在线段BC的延长线上时，其他条件不变，请猜想BC与CF的位置关系BC，CD，CF三条线段之间的数量关系并证明；
（3）如图3，当点D在线段BC的反向延长线上时，点A，F分别在直线BC的两侧，其他
条件不变．若正方形ADEF的对角线AE，DF相交于点O，OC=13
2
，DB=5，则△ABC的面积
为．（直接写出答案）
25．如图平行四边形ABCD，E，F分别是AD，BC上的点，且AE＝CF，EF与AC交于点O．（1）如图①．求证：OE＝OF；
（2）如图②，将平行四边形ABCD（纸片沿直线EF折叠，点A落在A1处，点B落在点B1处，设FB交CD于点G．A1B分别交CD，DE于点H，P．请在折叠后的图形中找一条线段，使它与EP相等，并加以证明；
（3）如图③，若△ABO是等边三角形，AB＝4，点F在BC边上，且BF＝4．则CF OF
＝
（直接填结果）．
26．已知在平行四边形ABCD中，AB BC
，将ABC沿直线AC翻折，点B落在点尽处，AD与CE相交于点O，联结DE．
（1）如图1，求证：//AC DE ；
（2）如图2，如果90B ∠=︒，3AB =，6=BC ，求OAC 的面积；
（3）如果30B ∠=︒，23AB =，当AED 是直角三角形时，求BC 的长．
27．如图，在四边形ABCD 中，AD BC =，AD BC ∥，连接AC ，点P 、E 分别在AB 、CD 上，连接PE ，PE 与AC 交于点F ，连接PC ，D ∠=BAC ∠，DAE AEP ∠=∠． （1）判断四边形PBCE 的形状，并说明理由； （2）求证：CP AE =； （3）当P 为AB 的中点时，四边形APCE 是什么特殊四边形？请说明理由．
28．在正方形中，连接，为射线上的一个动点（与点不重合），连接，的垂直平分线交线段
于点，连接，. 提出问题：当点运动时，的度数是否发生改变？
探究问题： （1）首先考察点的两个特殊位置：
①当点与点重合时，如图1所示，
____________ ②当
时，如图2所示，①中的结论是否发生变化？直接写出你的结论：
__________；（填“变化”或“不变化”） （2）然后考察点的一般位置：依题意补全图3，图4，通过观察、测量，发现：（1）中①的结论在一般情况下_________；（填“成立”或“不成立”）
（3）证明猜想：若（1）中①的结论在一般情况下成立，请从图3和图4中任选一个进行证明；若不成立，请说明理由.
29．如图，矩形ABCD 中，点O 是对角线BD 的中点，过点O 的直线分别交AB ，CD 于点E ，F ．
（1）求证：四边形DEBF 是平行四边形；
（2）若四边形DEBF 是菱形，则需要增加一个条件是_________________，试说明理由； （3）在（2）的条件下，若AB=8，AD=6，求EF 的长．
30．如图，在矩形ABCD 中，AB a ，BC b =，点F 在DC 的延长线上，点E 在AD 上，且有12
CBE ABF ∠=∠．
（1）如图1，当a b =时，若60CBE ∠=︒，求证：BE BF =；
（2）如图2，当32
b a =
时， ①请直接写出ABE ∠与BFC ∠的数量关系：_________； ②当点E 是AD 中点时，求证：2CF BF a +=；
③在②的条件下，请直接写出:BCF ABCD S S ∆矩形的值．
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一、选择题
1．C
解析：C
【分析】
根据题意，连接CF ，由正方形的性质，可以得到△ABF ≌△CBF ，则AF=CF ，∠BAF=∠BCF ，由∠BAF=∠FGC=∠BCF ，得到AF=CF=FG ，故①正确；连接AC ，与BD 相交于点O ，由正方形性质和等腰直角三角形性质，证明△AOF ≌△FHG ，即可得到EH=AO ，则③正确；把△ADE 顺时针旋转90°，得到△ABM ，则证明△MAG ≌△EAG ，得到MG=EG ，即可得到EG=DE+BG ，故④正确；②无法证明成立，即可得到答案.
【详解】
解：连接CF ，
在正方形ABCD 中，AB=BC ，∠ABF=∠CBF=45°，
在△ABF 和△CBF 中，
45AB BC ABF CBF BF BF =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩
，
∴△ABF ≌△CBF （SAS ），
∴AF=CF ，∠BAF=∠BCF ，
∵FG ⊥AE ，
∴在四边形ABGF 中，∠BAF+∠BGF=360°-90°-90°=180°，
又∵∠BGF+∠CGF=180°，
∴∠BAF=∠CGF ，
∴∠CGF=∠BCF
∴CF=FG ，
∴AF=FG ；①正确；
连接AC 交BD 于O ．
∵四边形ABCD 是正方形，HG ⊥BD ，
∴∠AOF=∠FHG=90°，
∵∠OAF+∠AFO=90°，∠GFH+∠AFO=90°，
∴∠OAF=∠GFH ，
∵FA=FG ，
∴△AOF ≌△FHG ，
∴FH=OA=定值，③正确；
如图，把△ADE 顺时针旋转90°，得到△ABM ，
∴AM=AE ，BM=DE ，∠BAM=∠DAE ，
∵AF=FG ，AF ⊥FG ，
∴△AFG 是等腰直角三角形，
∴∠FAG=45°，
∴∠MAG=∠BAG+∠DAE=45°，
∴∠MAG=∠FAG ，
在△AMG 和△AEG 中，
45AM AE EAG MAG AG AG =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩
，
∴△AMG ≌△AEG ，
∴MG=EG ，
∵MG=MB+BG=DE+BG ，
∴GE= DE+BG ，故④正确；
如图，△ADE 顺时针旋转90°，得到△ABM ，记F 的对应点为P ，连接BP 、PN ， 则有BP=DF ，∠ABP=∠ADB=45°，
∵∠ABD=45°，
∴∠PBN=90°，
∴BP 2+BN 2=PN 2，
由上可知△AFG 是等腰直角三角形，∠FAG=45°，
∴∠MAG=∠BAG+∠DAE=45°，
∴∠MAG=∠FAG ，
在△ANP 和△ANF 中，
45AP AF EAG MAG AN AN =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩
，
∴△ANP ≌△ANF ，
∴PN=NF ，
∴BP 2+BN 2=NF 2，
即DF 2+BN 2=NF 2，
故⑤正确；
根据题意，无法证明②正确，
∴真命题有四个，
故选C.
【点睛】
本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质等知识，解题的关键是作辅助线构造出等腰三角形和全等三角形．
2．B
解析：B
【解析】
【分析】
过A 作AH ⊥DC ，由勾股定理求出DH 的长．然后分三种情况进行讨论：即①当点P 在线段AB 上，②当点P 在线段BC 上，③当点P 在线段CD 上，根据三种情况点的位置，可以确定t 的值．
【详解】
解：过A 作AH ⊥DC ，∴AH =BC =8cm ，DH =22AD AH - =10064-=6． i ）当P 在AB 上时，即1003t ≤≤
时，如图，1110382022BPQ S BP BC t =⋅=-⨯=（），解得：53
t =；
ii ）当P 在BC 上时，即103
＜t ≤6时，BP =3t -10，CQ =16-2t ，113101622022
BPQ S BP CQ t t =
⋅=-⨯-=（）（），化简得：3t 2-34t +100=0，△=-44＜0，∴方程无实数解．
iii ）当P 在线段CD 上时，若点P 在线段CD 上，若点P 在Q 的右侧，即6≤t ≤
345，则有PQ =34-5t ，13458202BPQ S t =-⨯=（），295
t =＜6（舍去）； 若点P 在Q 的左侧时，即
3485t ≤＜，则有PQ =5t -34，15348202
BPQ S t =-⨯=（）； t =7.8． 综上所述：满足条件的t 存在，其值分别为153
t =，t 2=7.8．
故选B ．
【点睛】
本题是平行四边形中的动点问题，解决问题时，一定要变动为静，将其转化为常见的几何问题，再进行解答．
3．D
解析：D
【解析】
【分析】
根据勾股定理的逆定理求出△ABC是直角三角形，得出四边形AEPF是矩形，求出
AM=1
2
EF=
1
2
AP，求出AP≥4.8，即可得出答案．
【详解】
解：连接AP．
∵AB=6，AC=8，BC=10，
∴AB2+AC2=36+64=100，BC2=100，∴AB2+AC2=BC2，
∴∠BAC=90°，
∵PE⊥AB，PF⊥AC，
∴∠AEP=∠AFP=∠BAC=90°，
∴四边形AEPF是矩形，
∴AP=EF，
∵∠BAC=90°，M为EF中点，
∴AM=1
2
EF=
1
2
AP，
当AP⊥BC时，AP值最小，
此时S△BAC=1
2
×6×8=
1
2
×10×AP，
AP=4.8，
即AP的范围是AP≥4.8，
∴2AM≥4.8，
∴AM的范围是AM≥2.4（即x≥2.4）．
∵P为边BC上一动点，当P和C重合时，AM=4，
∵P和B、C不重合，
∴x＜4，
综上所述，x的取值范围是：2.4≤x＜4．
故选：D．
【点睛】
本题考查了垂线段最短，三角形面积，勾股定理的逆定理，矩形的判定的应用，直角三角
形的性质，关键是求出AP的范围和得出AM=1
2 AP．
4．C 解析：C
【分析】
如下图，将△APD绕点A逆时针旋转60°至△AFE处，通过边长转换，可将PA+PD+PQ转化为PF+EF+PQ的形式，再利根据两点之间线段最短，得出最小值．
【详解】
如下图，将△APD绕点A逆时针旋转60°至△AFE处，连接FP，过点E作BC的垂线，交BC于点G，AD于点H，过点A作BC的垂线，交BC于点K
∵△AFE是△APD绕点A逆时针旋转60°得到
∴∠FAP=60°，∠EAD=60°，AF=AP，EF=PD
∴△APF是等边三角形，∴AP=PF
∴PA+PD+PQ=PF+FE+PQ≥EG
∵四边形ABCD是平行四边形，BC=6
∴AE=AD=BC=6，AD∥BC
∴在Rt△AHE中，AH=3，3
∵HG⊥BC，AK⊥BC，AD∥BC
∴AK⊥AD，GH⊥AD，∴AK=HG
∵∠ABC=60°，AB=4
∴在Rt△ABK中，BK=2，3
∴3
=
∴32353
故选：C
【点睛】
本题考查最值问题，解题关键是旋转△APD，将PA+PD+PQ转化为PF+EF+PQ的形式．5．A
解析：A
【分析】
如下图，根据点H是AF的中点和HM∥FE，可得HP是△ANF的中位线，四边形MPNE是
矩形，再根据中位线的性质和矩形的性质，可推导求得HM、CM的长，在Rt△HCM中求CH 即可
【详解】
如下图，过点H作BE的垂线，交BE于点M，延长AD交FE于点N，交HM于点P
∵四边形ABCD、CEFG是正方形，∴AD⊥EF，∠E=90°
∵HM⊥BE
∴四边形PMEN是矩形
∵BC=1，CE=3
∴NE=1，∴FN=2，PM=1
∵HM⊥BE，FE⊥BE，点H是AF的中点
∴HM是△ANF的中位线
∴HP=1
2
EF=1，AP=PN=2
∴CM=1
∴在Rt△CHM中，5
故选：A
【点睛】
本题考查正方形的性质和三角形中位线定理，解题关键是将梯形ABEF分割成矩形和三角形的形式，然后才可利用三角形中位线定理.
6．C
解析：C
【分析】
由题意得△AED≌△MED、△BEG≌△MEG、△MGF≌△CGF，设CG=x，用含x的式子表示
AD =2x，AB22x
=，即可得出AB22x
2 AD
==
【详解】
∵ED平分∠AEF
∴∠AED=∠DEM
在矩形ABCD 中，∠A=∠B=∠BCD=90°
∵DG ⊥EF
∴∠DME=∠EMG=∠GMF=90°
∴∠A=∠DME=90°
∵DE=DE
∴△AED ≌△MED
∴ME=AE
∵点E 是矩形ABCD 的边AB 的中点
∴AE=BE
∴ME=BE
∵∠EMC=∠B=90°， EG=EG
∴Rt △BEG ≌Rt △MEG
∵AD ∥BC
∴∠ADG=∠CGD
∵ED ∥GF
∴∠EDM=∠FGM
∴∠ADE=∠CGF
∴∠CGF=∠FGM
∴△MGF ≌△CGF
∴MG=CG=BG
设CG=x
∴BC=2x
∴AD=DM=2x
∴DG=3x
根据勾股定理可得
CD =
∴AB =
∴AB AD 2x
==故选：C
【点睛】
本题考查了矩形的性质和全等三角形的判定和性质、勾股定理，掌握和全等三角形的判定和性质、勾股定理是解题的关键．
7．C
解析：C
【分析】
由四边形ABCD 是平行四边形，得到∠ABC=∠ADC=60°，∠BAD=120°，根据角平分
线的定义得到∠DCE=∠BCE=60°推出△CBE 是等边三角形，证得∠ACB=90°，求出∠ACD=∠CAB=30°，故①正确；由AC ⊥BC ，得到S ▱ABCD =AC •BC ，故②正确，根据直
角三角形的性质得到AC =，根据三角形的中位线的性质得到OE=
12
BC ，于是得
到OE ：∶6；故③错误；
【详解】
解：∵四边形ABCD 是平行四边形， 60ABC ADC ∴∠=∠=︒，120BCD ∠=︒
∵CE 平分BCD ∠交AB 于点E ，
∴60DCE BCE ∠=∠=︒，
∴CBE △是等边三角形，
∴BE BC CE ==．
∵2AB BC =，
∴AE BE CE ==，
∴90ACB ∠=︒，
∴30ACD CAB ∠=∠=︒，故①正确；
∵AC BC ⊥，
∴ABCD S AC BC =⋅，故②正确；
在Rt ACB △中，90ACB ∠=︒，30CAB ∠=︒，
∴AC =．
AO OC =，AE BE =， ∴1OE BC 2
=， 1
::62
OE AC BC ∴==，故③错误． 故选：C ．
【点睛】
此题考查了平行四边形的性质、三角形中位线的性质以及等边三角形的判定与性质．注意证得△BCE 是等边三角形，OE 是△ABC 的中位线是关键．
8．B
解析：B
【分析】
如图3中，由折叠的性质可得PQ ＝BC ＝b ，A 1F ＝a ﹣12
b ，△PEQ 是等腰直角三角形，进而可得△MNE 是等腰直角三角形，然后根据等腰直角三角形的性质可得EG =12
MN ，而12EG EF A F =-，进一步即可求得答案．
【详解】
解：如图3中，由折叠的性质可得PQ ＝BC ＝b ，A 1F ＝a ﹣12b ，∠EPQ =11904522APQ ∠=⨯︒=︒，∠EQP =11904522
DQP ∠=⨯︒=︒， ∴∠PEQ =90°，
∴△PEQ 是等腰直角三角形，
如图4，∵MN ∥PQ ，
∴△MNE 是等腰直角三角形，
∵EG ⊥MN ，
∴EG=MG=NG =12
MN ， ∵12EG EF A F =-=a ﹣2（a ﹣
12b ）＝b ﹣a ， ∴MN =2EG =22b a -．
故选：B ．
【点睛】
本题考查了矩形的性质、折叠的性质以及等腰直角三角形的判定与性质，正确理解题意、熟练掌握等腰直角三角形的判定和性质是解题的关键．
9．B
解析：B
【分析】
连接EF ，先证AF =AB =BE ，得四边形ABEF 是菱形，据此知AE 与BF 互相垂直平分，继而得OB 的长，由勾股定理求得OA 的长，继而得出答案．
【详解】
由题意得：AF =AB ，AE 为∠BAD 的角平分线，则∠BAE =∠FAE ．
又∵四边形ABCD 是平行四边形，则AD ∥BC ，∠BAE =∠FAE =∠BEA ，∴AF =AB =BE ． 连接EF ，则四边形ABEF 是菱形，∴AE 与BF 互相垂直平分，设AE 与BF 相交于点O ，OB 2
BF ==1.5．在Rt △AOB 中，OA 22222515AB OB =-=-=．．2，则AE =2OA =4．
故选B．
【点睛】
本题考查了作图﹣复杂作图，解题的关键是掌握菱形的性质与判定，平行四边形的性质，角平分线的尺规作图方法等．
10．D
解析：D
【分析】
由勾股定理可求BE的长，由折叠的性质可得CE＝EF＝2，BE⊥CF，FH＝CH，由面积法可求
CH＝45
5
，由勾股定理可求EH的长，由三角形中位线定理可求DF＝2EH＝
45
5
．
【详解】
解：如图，连接CF，交BE于H，
∵在正方形ABCD中，AB＝4，E是CD的中点，∴BC＝CD＝4，CE＝DE＝2，∠BCD＝90°，
∴BE2216425
BC CE
+=+=
∵将△BCE沿BE翻折至△BFE，
∴CE＝EF＝2，BE⊥CF，FH＝CH，
∵S△BCE＝1
2
×BE×CH＝
1
2
×BC×CE，
∴CH 45
，
∴22
1625 4
5
CE CH
-=-=∵CE＝DE，FH＝CH，
∴DF＝2EH＝
5
5
，
故选：D．【点睛】
本题考查了翻折变换，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，掌握折叠的性质是本题的关键．
二、填空题
11．43或23 【分析】
分情况讨论作出图形，通过解直角三角形得到平行四边形的底和高的长度，根据平行四边形的面积公式即可得到结论．
【详解】
解：过D 作DE AB ⊥于E ，
在Rt ADE △中，
30A ∠=︒，23AD =， 132DE AD ∴==，332
AE AD ==， 在Rt BDE △中，2BD =，
22222(3)1BE BD DE ∴=-=-=，
如图1，
4AB ∴=，
∴平行四边形ABCD 的面积4343AB DE ==⨯=，
如图2，
2AB =，
∴平行四边形ABCD 的面积2323AB DE ==⨯=，
如图3，过B 作BE AD ⊥于E ，
在Rt ABE △中，设AE x =，则23DE x =，
30A ∠=︒，3BE x =，
在Rt BDE △中，
2BD =， 222
32()(23)3x x
∴=+-， 3x ∴=，23x =（不合题意舍去），
1BE ∴=，
∴平行四边形ABCD 的面积12323AD BE ==⨯=，
如图4，
当AD BD ⊥时，平行四边形ABCD 的面积43AD BD ==，
故答案为：43或23．
【点睛】
本题考查了平行四边形的性质，平行四边形的面积公式的运用、30度角的直角三角形的性质，根据题意作出图形是解题的关键．
12．42
【分析】
首先由对边分别平行可判断四边形ABCD 为平行四边形，连接AC 和BD ，过A 点分别作DC 和BC 的垂线，垂足分别为F 和E ，通过证明△ADF ≌△ABC 来证明四边形ABCD 为菱形，从而得到AC 与BD 相互垂直平分，再利用勾股定理求得BD 长度.
【详解】
解：连接AC 和BD ，其交点为O ，过A 点分别作DC 和BC 的垂线，垂足分别为F 和E ，
∵AB ∥CD ，AD ∥BC ，
∴四边形ABCD 为平行四边形，
∴∠ADF=∠ABE ，
∵两纸条宽度相同，
∴AF=AE ，
∵90ADF ABE AFD AEB AF AE ∠=∠⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩
∴△ADF≌△ABE，
∴AD=AB，
∴四边形ABCD为菱形，
∴AC与BD相互垂直平分，
∴BD=22
242
AB AO
-=
故本题答案为：42
【点睛】
本题考察了菱形的相关性质，综合运用了三角形全等和勾股定理，注意辅助线的构造一定要从相关条件以及可运用的证明工具入手，不要盲目作辅助线.
13．102
-
【分析】
连结AC，取OC中点M，连结 MB，MG，则MB，MG为定长，利用两点之间线段最短解决问题即可．
【详解】
连接AC，交EF于O，
∵AD∥BC，
∴∠EAO＝∠FCO，∠AEO＝∠CFO，
∵AE＝CF，
∴△AEO≌△CFO（ASA），
∴OA＝OC，
∴O是正方形的中心，
∵AB＝BC＝4，
∴AC＝2OC＝2，
取OC中点M，连结 MB，MG，过点M作MH⊥BC于H，
∵MC＝1
2
OC2，
∴MH＝CH＝1，
∴BH＝4−1＝3，
由勾股定理可得MB22
31
+10
在Rt△GOC中，M是OC的中点，则MG＝1
2
OC2
∵BG≥BM−MG＝10−2，
当B，M，G三点共线时，BG最小＝10−2，
故答案为：10−2．
【点睛】
本题主要考查了正方形的性质，根据正方形的性质得出当E，F运动到AD，BC的中点时，MG最小是解决本题的关键．
14．45
【分析】
设EF＝x，根据三角形的中位线定理表示AD＝2x，AD∥EF，可得∠CAD＝∠CEF＝45°，证
明△EMC是等腰直角三角形，则∠CEM＝45°，证明△ENF≌△MNB，则EN＝MN＝1
2 x，
BN＝FN＝5，最后利用勾股定理计算x的值，可得BC的长．【详解】
解：设EF＝x，
∵点E、点F分别是OA、OD的中点，
∴EF是△OAD的中位线，
∴AD＝2x，AD∥EF，
∴∠CAD＝∠CEF＝45°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC＝2x，
∴∠ACB＝∠CAD＝45°，
∵EM⊥BC，
∴∠EMC＝90°，
∴△EMC是等腰直角三角形，
∴∠CEM＝45°，
连接BE，
∵AB＝OB，AE＝OE
∴BE⊥AO
∴∠BEM＝45°，
∴BM＝EM＝MC＝x，
∴BM＝FE，
易得△ENF≌△MNB，
∴EN ＝MN ＝12
x ，BN ＝FN ＝5， Rt △BNM 中，由勾股定理得：BN2＝BM2+MN2， 即2221
5()2x x =+
解得，x ＝
∴BC ＝2x ＝
故答案为：
【点睛】
本题考查了平行四边形的性质、等腰直角三角形的判定和性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理；解决问题的关键是设未知数，利用方程思想解决问题．
15．24
【分析】
由菱形的性质可得OD ＝OB ，∠COD ＝90°，由直角三角形的斜边中线等于斜边的一半，可
得OH ＝
12
BD ＝OB ，可得∠OHB ＝∠OBH ，由余角的性质可得∠DHO ＝∠DCO ，即可求解． 【详解】 【解答】解：∵四边形ABCD 是菱形，
∴OD ＝OB ，∠COD ＝90°，∠DAB ＝∠DCB ＝48°，
∵DH ⊥AB ，
∴OH ＝
12
BD ＝OB ， ∴∠OHB ＝∠OBH ，
又∵AB ∥CD ，
∴∠OBH ＝∠ODC ， 在Rt △COD 中，∠ODC +∠DCO ＝90°，
在Rt △DHB 中，∠DHO +∠OHB ＝90°，
∴∠DHO ＝∠DCO ＝
12
∠DCB ＝24°， 故答案为：24．
【点睛】
本题考查了菱形的性质，直角三角形斜边中线的性质，余角的性质，是几何综合题，判断出OH 是BD 的一半，和∠DHO ＝∠DCO 是解决本题的关键．
16【分析】
先根据菱形的性质可得OC 垂直平分BD ，从而可得=DP BP ，再根据两点之间线段最短可得EP BP +的最小值为DE ，然后利用等边三角形的判定与性质求出点D 的坐标，最后利用两点之间的距离公式即可得．
【详解】
如图，连接BP 、DP 、EP 、DE 、BD ，过点D 作DA OB ⊥于点A ， (23,0)B ， 23OB ∴=，
四边形ABCD 是菱形，
OC ∴垂直平分BD ，23OB OD ==，
点P 是对角线OC 上的点，
DP BP ∴=，
EP BP EP DP ∴+=+，
由两点之间线段最短可知，EP DP +的最小值为DE ，即EP BP +的最小值为DE ， ,60OB OD DOB =∠=︒，
BOD ∴是等边三角形，
DA OB ⊥，
132
OA OB ∴==，2222(23)(3)3AD OD OA =-=-=， (3,3)D ∴，
又(0,1)E -，
22(30)(31)19DE ∴=-++=，
即EP BP +的最小值为19，
故答案为：19．
【点睛】
本题考查了菱形的性质、等边三角形的判定与性质、两点之间的距离公式等知识点，根据两点之间线段最短得出EP BP +的最小值为DE 是解题关键．
17．15.5
【分析】
先根据折叠的性质可得,AE DE EAD EDA =∠=∠，再根据垂直的定义、直角三角形的性质可得B BDE ∠=∠，又根据等腰三角形的性质可得BE DE =，从而可得
6DE AE BE ===，同理可得出5DF AF CF ===，然后根据三角形中位线定理可得
1 4.52
EF BC =
=，最后根据三角形的周长公式即可得． 【详解】
由折叠的性质得：,AE DE EAD EDA =∠=∠ AD 是BC 边上的高，即AD BC ⊥
90B EAD ∴∠+∠=︒，90BDE EDA ∠+∠=︒
B BDE ∴∠=∠
BE DE ∴=
1112622
DE AE BE AB ∴====⨯= 同理可得：1110522DF AF CF AC ===
=⨯= 又,AE BE AF CF ==
∴点E 是AB 的中点，点F 是AC 的中点
EF ∴是ABC 的中位线
119 4.522
EF BC ∴==⨯= 则DEF 的周长为65 4.515.5DE DF EF ++=++=
故答案为：15.5．
【点睛】
本题考查了折叠的性质、等腰三角形的性质、三角形中位线定理、直角三角形的性质等知识点，利用折叠的性质和等腰三角形的性质得出BE DE =是解题关键．
18．8或12
【分析】
根据平行四边形的性质得到BC=AD=5，∠BAE=∠DEA ，∠ABF=∠BFC ，根据角平分线的性质得到DE=AD=5，CF=BC=5，即可求出答案.
【详解】
在ABCD 中，AB ∥CD ，BC=AD=5，
∴∠BAE=∠DEA ，∠ABF=∠BFC ，
∵BAD ∠的平分线交CD 于点E ，
∴∠BAE=∠DAE ，
∴∠DAE=∠DEA ，
∴DE=AD=5，
同理：CF=BC=5，
∴AB=CD=DE+CF-EF=5+5-2=8或AB=DE+CF+EF=5+5+2=12，
故答案为：8或12.
【点睛】
此题考查平行四边形的性质，角平分线的性质，等腰三角形的等角对等边的判定，解题中注意分类思想的运用，避免漏解.
19．9或9(31)
．
【分析】
分两种情况画图，利用等腰直角三角形的性质和勾股定理矩形计算即可．
【详解】
解：①如图1，延长EA交DC于点F，
∵菱形ABCD的周长为24，
∴AB=BC=6，
∵∠ABC=60°，
∴三角形ABC是等边三角形，
∴∠BAC=60°，
当EA⊥BA时，△ABE是等腰直角三角形，
∴AE=AB=AC=6，∠EAC=90°+60°=150°，
∴∠FAC=30°，
∵∠ACD=60°，
∴∠AFC=90°，
∴CF=1
2
AC=3，
则△ACE的面积为：1
2
AE×CF=
1
2
×6×3=9；
②如图2，过点A作AF⊥EC于点F，
由①可知：∠EBC=∠EBA+∠ABC=90°+60°=150°，∵AB=BE=BC=6，
∴∠BEC=∠BCE=15°，
∴∠AEF=45°-15°=30°，∠ACE=60°-15°=45°，
∴AF=12AE ，AF=CF=2AC= ∵AB=BE=6，
∴AE=
∴=
∴EC=EF+FC=
则△ACE 的面积为：
12EC×AF=11)2⨯⨯=．
故答案为：9或1)．
【点睛】
本题考查了菱形的性质、等腰三角形的性质、等边三角形的判定与性质，解决本题的关键是掌握菱形的性质．
20．2
【分析】
根据EM 是Rt ABE △斜边上的中线，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求出EM 的长；根据已知条件推导出DME 是等边三角形，且边长为2，进一步计算即可得解．
【详解】
解：∵AD BC ⊥，M 为AB 边的中点，4AB =
∴在Rt ABD △中，114222
DM AM AB ===⨯= 同理，在Rt ABE △中，114222
EM AM AB ==
=⨯= ∴MDA MAD ∠=∠，MEA MAE ∠=∠
∵2BME MEA MAE MAE ∠=∠+∠=∠，2BMD MDA MAD MAD ∠=∠+∠=∠ ∴DME BME BMD ∠=∠-∠ 22MAE MAD =∠-∠
()2MAE MAD =∠-∠
2DAC =∠
60=︒
∵=DM EM
∴DME 是等边三角形，且边长为2
∴122
EDM S =⨯=
故答案是：2
【点睛】
本题考查了直角三角形斜边上的中线的性质、三角形的外角定理、角的和差以及等边三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点是进行推理论证的前提．
三、解答题
21．（1）DE CF ；（2）在情况1与情况2下都相同，详见解析；（3）AF ＋CF ＝
DF 或|AF －CF |
【分析】
（1）易证△BCD 是等腰直角三角形，得出CB ，即可得出结果；
（2）情况1：过点C 作CG ⊥CF ，交DF 于G ，设BC 交DF 于P ，由ASA 证得
△CDG ≌△CBF ，得出DG=FB ，CG=CF ，则△GCF 是等腰直角三角形，CF ，连接BE ，设∠CDG=α，则∠CBF=α，∠DEA=∠ADE=90°-α，求出∠DAE=2α，则∠EAB=90°-2α，
∠BEA=∠ABE=12
（180°-∠EAB ）=45°+α，∠CBE=45°-α，推出∠FBE=45°，得出△BEF 是等腰
直角三角形，则EF=BF ，推出EF=DG ，DE=FG ，得出CF ；
情况2：过点C 作CG ⊥CF 交DF 延长线于G ，连接BE ，设CD 交BF 于P ，由ASA 证得
△CDG ≌△CBF ，得出DG=FB ，CG=CF ，则△GCF 是等腰直角三角形，得CF ，设∠CDG=α，则∠CBF=α，证明△BEF 是等腰直角三角形，得出EF=BF ，推出DE=FG ，得出
CF ；
（3）①当F 在BC 的右侧时，作HD ⊥DF 交FA 延长线于H ，由（2）得△BEF 是等腰直角三角形，EF=BF ，由SSS 证得△ABF ≌△AEF ，得出∠EFA=∠BFA=12
∠BFE=45°，则△HDF 是等腰
直角三角形，得DF ，DH=DF ，∵∠HDF=∠ADC=90°，由SAS 证得△HDA ≌△FDC ，得
CF=HA ，即可得出；
②当F 在AB 的下方时，作DH ⊥DE ，交FC 延长线于H ，在DF 上取点N ，使CN=CD ，连接BN ，证明△BFN 是等腰直角三角形，得BF=NF ，由SSS 证得△CNF ≌△CBF ，得
∠NFC=∠BFC=12
∠BFD=45°，则△DFH 是等腰直角三角形，得，DF=DH ，由SAS
证得△ADF ≌△CDH ，得出CH=AF ，即可得出DF ；
③当F 在DC 的上方时，连接BE ，作HD ⊥DF ，交AF 于H ，由（2）得△BEF 是等腰直角三角形，EF=BF ，由SSS 证得△ABF ≌△AEF ，得∠EFA=∠BFA=12
∠BFE=45°，则△HDF 是等腰直
角三角形，得出DF ，DH=DF ，由SAS 证得△ADC ≌△HDF ，得出AH=CF ，即可得出
；
④当F 在AD 左侧时，作HD ⊥DF 交AF 的延长线于H ，连接BE ，设AD 交BF 于P ，证明△BFE 是等腰直角三角形，得EF=BF ，由SSS 证得△ABF ≌△AEF ，得
∠EFA=∠BFA=1
2
∠BFE=45°
，则∠DFH=∠EFA=45°，△HDF是等腰直角三角形，得DH=DF，
HF=2DF，由SAS证得△HDA≌△FDC，得出AF=CF，即可得出CF-AF=2DF．
【详解】
解：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴CD=CB，∠BCD=90°，
∴△BCD是等腰直角三角形，
∴DB=2CB，
当点E、F与点B重合时，则DE=2CF，
故答案为：DE=2CF；
（2）在情况1或情况2下，线段CF与线段DE之间的数量关系与（1）中结论相同；理由如下：
情况1：∵四边形ABCD是正方形，
∴CD=CB=AD=AB=AE，∠BCD=∠DAB=∠ABC=90°，
过点C作CG⊥CF，交DF于G，如图②所示：
则∠BCD=∠GCF=90°，
∴∠DCG=∠BCF，
设BC交DF于P，
∵BF⊥DE，
∴∠BFD=∠BCD=90°，
∵∠DPC=∠FPB，
∴∠CDP=∠FBP，
在△CDG和△CBF中，
DCG BCF
CD CB
CDG CBF
∠∠
⎧
⎪
⎨
⎪∠∠
⎩
＝
＝
＝
，
∴△CDG≌△CBF（ASA），
∴DG=FB，CG=CF，
∴△GCF是等腰直角三角形，
∴2，
连接BE，
设∠CDG=α，则∠CBF=α，∠ADE=90°-α，
∵AD=AE ，
∴∠DEA=∠ADE=90°-α，
∴∠DAE=180°-2（90°-α）=2α，
∴∠EAB=90°-2α，
∵AB=AE ，
∴∠BEA=∠ABE=1
2（180°-∠EAB ）=12
（180°-90°+2α）=45°+α， ∴∠CBE=90°-（45°+α）=45°-α，
∴∠FBE=∠CBE+∠CBF=45°-α+α=45°，
∵BF ⊥DE ，
∴△BEF 是等腰直角三角形，
∴EF=BF ，
∴EF=DG ，
∴EF+EG=DG+EG ，即DE=FG ，
∴DE=2CF ；
情况2：过点C 作CG ⊥CF 交DF 延长线于G ，连接BE ，设CD 交BF 于P ，如图③所示：
∵∠GCF=∠BCD=90°，
∴∠DCG=∠BCF ，
∵∠FPD=∠BPC ，
∴∠FDP=∠PBC ，
在△CDG 和△CBF 中，
DCG BCF CD CB
CDG CBF ∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠⎩
＝＝＝， ∴△CDG ≌△CBF （ASA ），
∴DG=FB ，CG=CF ，
∴△GCF 是等腰直角三角形，
∴2，
设∠CDG=α，则∠CBF=α，
同理可知：∠DEA=∠ADE=90°-α，∠DAE=2α，
∴∠EAB=90°+2α，
∵AB=AE ，
∴∠BEA=∠ABE=45°-α，
∴∠FEB=∠DEA-∠AEB=90°-α-（45°-α）=45°，
∵BF ⊥DE ，
∴△BEF 是等腰直角三角形，
∴EF=BF ，
∴EF=DG ，
∴DE=FG ，
∴
DE=2CF ；
（3）①当F 在BC 的右侧时，作HD ⊥DF 交FA 延长线于H ，如图④所示：
由（2）得：△BEF 是等腰直角三角形，EF=BF ，
在△ABF 和△AEF 中，
AB AE AF AF BF EF ⎧⎪⎨⎪⎩
＝＝＝，
∴△ABF ≌△AEF （SSS ）， ∴∠EFA=∠BFA=12
∠BFE=45°， ∴△HDF 是等腰直角三角形，
∴2，DH=DF ，
∵∠HDF=∠ADC=90°，
∴∠HDA=∠FDC ，
在△HDA 和△FDC 中，
DH DF HDA FDC DA DC ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩
＝＝＝，
∴△HDA ≌△FDC （SAS ），
∴CF=HA ，
∴
2DF=HF=HA+AF=CF+AF ，即AF+CF=2DF ；
②当F 在AB 的下方时，作DH ⊥DE ，交FC 延长线于H ，在DF 上取点N ，使CN=CD ，连接BN ，如图⑤所示：
设∠DAE=α，则∠CDN=∠CND=90°-α，
∴∠DCN=2α，
∴∠NCB=90°-2α，
∵CN=CD=CB ，
∴∠CNB=∠CBN=12（180°-∠NCB ）=12
（180°-90°+2α）=45°+α， ∵∠CNE=180°-∠CND=180°-（90°-α）=90°+α，
∴∠FNB=90°+α-（45°+α）=45°，
∴△BFN 是等腰直角三角形，
∴BF=NF ， 在△CNF 和△CBF 中，
CN CB CF CF NF BF ⎧⎪⎨⎪⎩
＝＝＝，
∴△CNF ≌△CBF （SSS ），
∴∠NFC=∠BFC=12
∠BFD=45°， ∴△DFH 是等腰直角三角形，
∴2，DF=DH ，
∵∠ADC=∠HDE=90°，
∴∠ADF=∠CDH ，
在△ADF 和△CDH 中，
AD CD ADF CDH DF DH ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩
＝＝＝，
∴△ADF ≌△CDH （SAS ），
∴CH=AF ，
∴FH=CH+CF=AF+CF ，
∴
AF+CF=2DF ；
③当F 在DC 的上方时，连接BE ，作HD ⊥DF ，交AF 于H ，如图⑥所示：
由（2）得：△BEF 是等腰直角三角形，EF=BF ，
在△ABF 和△AEF 中，
AB AE AF AF BF EF ⎧⎪⎨⎪⎩
＝＝＝，
∴△ABF ≌△AEF （SSS ）， ∴∠EFA=∠BFA=12
∠BFE=45°， ∴△HDF 是等腰直角三角形，
∴2，DH=DF ，
∵∠ADC=∠HDF=90°，
∴∠ADH=∠CDF ，
在△ADC 和△HDF 中，
AD CD ADH CDF DH DF ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩
＝＝＝，
∴△ADC ≌△HDF （SAS ），
∴AH=CF ，
∴HF=AF-AH=AF-CF ，
∴2DF ；
④当F 在AD 左侧时，作HD ⊥DF 交AF 的延长线于H ，连接BE ，设AD 交BF 于P ，如图⑦所示：
∵AB=AE=AD ，
∴∠AED=∠ADE ，
∵∠PFD=∠PAB=90°，∠FPD=∠BPA ，
∴∠ABP=∠FDP ，
∴∠FEA=∠FBA ，
∵AB=AE ，
∴∠AEB=∠ABE ，
∴∠FEB=∠FBE ，
∴△BFE 是等腰直角三角形，
∴EF=BF ，
在△ABF 和△AEF 中，
AB AE AF AF BF EF ⎧⎪⎨⎪⎩
＝＝＝，
∴△ABF ≌△AEF （SSS ），
∴∠EFA=∠BFA=12
∠BFE=45°， ∴∠DFH=∠EFA=45°，
∴△HDF 是等腰直角三角形，
∴DH=DF ，2DF ，
∵∠HDF=∠CDA=90°，
∴∠HDA=∠FDC ，
在△HDA 和△FDC 中，
DH DF HDA FDC AD CD ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩
＝＝＝，
∴△HDA ≌△FDC （SAS ），
∴AF=CF ，
∴AH-AF=CF-AF=HF ，
∴CF-AF=2DF，
综上所述，线段AF、CF、DF三者之间的数量关系：AF+CF=2DF或|AF-CF|=2DF，
故答案为：AF+CF=2DF或|AF-CF|=2DF．
【点睛】
本题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质、等腰直角三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理、等腰三角形的性质等知识；熟练掌握全等三角形的判定与性质和等腰直角三角形的判定与性质是解题的关键．
22．(1)见解析；(2)相等，垂直；(3)成立，理由见解析
【分析】
(1)由等腰直角△ECF得到CE=CF，再由正方形ABCD进一步得到BE=DF，最后证明
△ABE≌△ADF即可求解；
(2)MN是△AEF的中位线，得到AE=2MN，又M是直角三角形ADF斜边上的中点，得到AF=2MD，再由(1)中的AE=AF即可得到MN=MD；由∠DMF＝∠DAF+∠ADM，∠FMN＝
∠FAE，∠DAF＝∠BAE，∠ADM＝∠DAF＝∠BAE，由此得到∠DMN＝∠BAD＝90°；
(3)连接AE，同(1)中方法证明△ABE≌△ADF，进而得到AE=AF，此时MN是△AEF中位线，MD是直角△ADF斜边上的中线，证明方法等同(2)中即可求解．
【详解】
解：(1)证明：如图1中，
∵四边形ABCD是正方形
∴AB＝AD＝BC＝CD，∠B＝∠ADF＝90°，
∵△CEF是等腰直角三角形，∠C＝90°，
∴CE＝CF，
∴BC﹣CE＝CD﹣CF，
即BE＝DF，
∴△ABE≌△ADF（SAS），
∴AE＝AF．
(2)如图2中，MD，MN的数量关系是相等，MD、MN的位置关系是垂直，理由如下：
∵在Rt△ADF中DM是斜边AF的中线，
∴AF＝2DM，。