陕西省西安市周至第六高级中学高二数学文月考试题含解析

陕西省西安市周至第六高级中学高二数学文月考试题含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 设向量，若t是非负实数，且，则的最小值为( )
A． B．1 c． D．
参考答案：
B
2. 函数在区间上有最小值，则实数的取值范围是( )
A． B． C． D．
参考答案：
D
略
3. 定义域为R的可导函数的导函数为，且满足，则下列关系正确的是（）
A. B.
C. D.
参考答案：
A
【分析】
根据函数单调性进行判断，但是的处理很关键，最好乘以，使不等式左边变成的导数.
【详解】对不等式两边同时乘以得到.所以在定义域内单调递减.得到,即，故选A. 【点睛】此题是导致单调性的应用的常见题，最好可以了解一些积分因子方面的资料，当然多做做类似的训练练习一下也可以很好的掌握.
4. 若命题￢（p∨（￢q））为真命题，则p，q的真假情况为（）
A.p真，q真
B.p真，q假
C.p假，q真
D.p假，q假
参考答案：
C
【解析】
若命题￢（p∨（￢q））为真命题，
则命题p∨（￢q）为假命题，
则命题p和￢q为假命题，
∴p假，q真，
故选：C
5. 函数f(x)的定义域为R，导函数f′(x)的图象如图所示，则函数f(x)()．
A．无极大值点，有四个极小值点B．有三个极大值点，两个极小值点
C．有两个极大值点，两个极小值点D．有四个极大值点，无极小值点
参考答案：
C
6. 抛物线上到直线的距离最近的点的坐标（）
A. B. C. D.
参考答案：
B
略
7. 若直线y=kx+2（k∈R）与椭圆x2+=1恒有交点，则实数m的取值范围为（）
A．（4，+∞）B．[4，+∞） C．（﹣∞，4）D．（﹣∞，4]
参考答案：
B
【考点】椭圆的简单性质．
【分析】判断直线系经过的定点，利用直线与椭圆的位置关系判断求解即可．
【解答】解：直线y=kx+2（k∈R）恒过（0，2）点，若直线y=kx+2（k∈R）与椭圆x2+=1恒有交点，
可知得到在椭圆内部，可得m≥4．
故选：B．
8. 若互不相等的实数成等差数列，成等比数列，且，则（）A． 4 B． 2 C． -2
D． -4
参考答案：
D
9. 已知，则的最小值等于
A. B. C. D. 2
参考答案：
D
10. 若方程－＝1表示焦点在y轴上的椭圆，则下列关系成立的是( )
A.＞
B. ＜
C.＞
D. ＜
参考答案：
A
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 抛物线y2＝－8x的准线方程为
参考答案：
x=-112. 如图，矩形ABCD中曲线的方程分别为，，在矩形内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率为____.
参考答案：
【分析】
运用定积分可以求出阴影部分的面积，再利用几何概型公式求出在矩形内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率.
【详解】解:阴影部分的面积为，
故所求概率为
【点睛】本题考查了几何概型，正确运用定积分求阴影部分面积是解题的关键.
13. 已知函数f（x）=，若y=f（x）﹣a﹣1恰有2个零点，则实数a的取值范围
是．
参考答案：
﹣1≤a≤0或a=1或a＞3
【考点】函数零点的判定定理．
【分析】分类讨论，利用函数的图象，结合y=f（x）﹣a﹣1恰有2个零点，求出实数a的取值范围．
【解答】解：x≤1时，y=f（x）的图象如图所示．
a=1时，y=f（x）﹣2恰有2个零点，满足题意；
a＜1时，a+1＜2，则0≤a+1＜2，且（1﹣a）2≤a+1，
∴﹣1≤a≤0；
a＞1时，a+1＞2且（1﹣a）2＞a+1，∴a＞3
故答案为：﹣1≤a≤0或a=1或a＞3．
14. 棱长为1的正四面体中,对棱、
之间的距离为 ．
参考答案：
15.
不等式
≤
的解集为 .
参考答案：
[-3, 1]
16. 已知，则的最小值为_________
参考答案：
略
17. 为了调查某产品的销售情况，销售部门从下属的92家销售连锁店中抽取30家了解情况．若采用系统抽样法，则抽样间隔和随机剔除的个体分别为 ．
参考答案：
3，2
【考点】系统抽样方法．
【分析】从92家销售连锁店中抽取30家了解情况，用系统抽样法，因为92÷30不是整数，所以要剔除一些个体，根据92÷30=3…2，得到抽样间隔和随机剔除的个体数分别为3和2． 【解答】解：∵92÷30不是整数，
∴必须先剔除部分个体数， ∵92÷30=3…2， ∴剔除2个，间隔为3． 故答案为3，2．
三、 解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. P 为椭圆
上一点，F 1、F 2为左右焦点，若∠F 1PF 2=60°
（1）求△F 1PF 2的面积；
（2）求P 点的坐标．
参考答案：
【考点】椭圆的简单性质；椭圆的标准方程． 【专题】计算题．
【分析】（1）先根据椭圆的方程求得c ，进而求得|F 1F 2|，设出|PF 1|=t 1，|PF 2|=t 2，利用余弦定理可求得t 1t 2的值，最后利用三角形面积公式求解．
（2）先设P （x ，y ），由三角形的面积
得∴，将
代入椭圆方程解得求P 点的坐标．
【解答】解：∵a=5，b=3 ∴c=4（1）
设|PF 1|=t 1，|PF 2|=t 2，
则t 1+t 2=10①t 12+t 22﹣2t 1t 2?cos60°=82②， 由①2﹣②得t 1t 2=12，
∴
（2）设P（x，y），由得4
∴，将代入椭圆方程解得，∴或
或或
【点评】本题主要考查了椭圆的标准方程、椭圆的简单性质．解答的关键是通过解三角形，利用边和角求得问题的答案．
19. 已知函数
（1）求函数f（x）的最小正周期T；
（2）求f（x）的最大值，并指出取得最大值时x取值集合；
（3）当时，求函数f（x）的值域.
参考答案：
（1）利用二倍角和辅助角公式化简为y=Asin（ωx+φ）的形式，再利用周期公式求函数的最小正周期；
（2）根据三角函数的性质即可得f（x）的最大值，以及取得最大值时x取值集合；
（3）当x∈[，]时，求出内层函数的取值范围，结合三角函数的图象和性质，求出f（x）的最大值和最小值，即得到f（x）的值域．
解：函数f（x）=（sinx+cosx）2+2cos2x﹣2
化简可得：f（x）=1+2sinxcosx+1+cos2x﹣2=sin2x+cos2x=sin（2x+）
（1）函数f（x）的最小正周期T=．
（2）令2x+=，k∈Z，
得：x=．
∴当x=时，f（x）取得最大值为．
∴取得最大值时x取值集合为{x|x=，k∈Z}．（3）当x∈[，]时，
可得：2x+∈[，]，
∴﹣1≤sin（2x+）≤
∴≤sin（2x+）≤1．
故得当x∈[，]时，函数f（x）的值域为[，1]．
20. （12分）如图,已知三棱锥的侧棱两两垂直,且,,是的中点.
(1)求点到面的距离;
(2)求二面角的余弦值.
参考答案：
(1)以为原点,、、分别为、、轴建立空间直角坐标系.
则有、、、
设平面的法向量为
则由
由,
则点到面的距离为
(2)
设平面的法向量为则由知:
由知:取
由(1)知平面的法向量为
则<>
21. （本小题满分13分）已知椭圆上的点到左右两焦点的距离之和为
，离心率为.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）过右焦点的直线交椭圆于两点，若轴上一点满足
，求直线的斜率的值.
参考答案：
（Ⅰ），∴ -----------------------1分
，∴，-----------------------2分
∴ -----------------------3分
椭圆的标准方程为-----------------------4分
（Ⅱ）已知,设直线的方程为，----------5分
联立直线与椭圆的方程，化简得：
-----------------------6分
∴，∴的中点坐标为-----------------------8分
①当时，的中垂线方程为--------------9分
∵，∴点在的中垂线上，将点的坐标代入直线方程得：
，即
解得或-----------------------11分
②当时，的中垂线方程为，满足题意. -----------------------12分
∴斜率的取值为. -----------------------13分
22. （本小题满分13分）某工厂拟建一座平面图为矩形且面积为200 平方米的三级污水处理池(平面图如图所示),由于地形限制,长、宽都不能超过16米,如果池外周壁建造单价为每米400元,中间两道隔墙建造单价为每米248元,池底建造单价为每平方米80元,池壁的厚度忽略不计,试设计污水处理池的长和宽,使总造价最低,并求出最低造价.
参考答案：
设污水处理池的长为x米,则宽为米(0＜x≤16,0＜≤16),∴12.5≤x≤16.
于是总造价Q(x)=400(2x+2×)+248×2×+80×200.
=800(x+)+16 000≥800×2+16 000=44 800,
当且仅当x= (x＞0),即x=18时等号成立,而18［12.5,16］,∴Q(x)＞44 800.
下面研究Q(x)在［12.5,16］上的单调性.
对任意12.5≤x1＜x2≤16,则x2-x1＞0,x1x2＜162＜324.
Q(x2)-Q(x1)=800［(x2-x1)+324()］
=800×＜0,
∴Q(x2)＞Q(x1).∴Q(x)在［12.5,16］上是减函数.
∴Q(x)≥Q(16)=45 000.
答:当污水处理池的长为16米,宽为12.5米时,总造价最低,最低造价为45 000元.。