2022-2023学年北京师范大附中八年级数学第一学期期末调研试题含解析

2022-2023学年八上数学期末模拟试卷
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。

用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡相应位置上。

将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。

2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。

答案不能答在试题卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

4．考生必须保证答题卡的整洁。

考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题（每题4分，共48分）
1．如图，△ABC 中，AB =AC ，AD ⊥BC 于点D ，点E 是AB 的中点，点F 在AD 上，当△BEF 周长最小时，点F 的位置在（ ）
A ．AD 的中点
B ．△AB
C 的重心 C ．△ABC 三条高线的交点
D ．△ABC 三边中垂线的交点
2．平面直角坐标系中，点P （﹣2，3）关于x 轴对称的点的坐标为（ ）． A ．（﹣2，﹣3）
B ．（2，﹣3）
C ．（﹣3，﹣2）
D ．（3，﹣2） 3．化简式子1(11a a
---的结果为（ ） A 1a -B 1a -C ．1a --D ．1a --4．满足25x -<<x 是（ ）
A ．－1，0，1，2
B ．－2，－1，0，1
C ．－1，1，2，3
D ．0，1，2，3
5．下列计算正确的是（ ）
A ．（﹣1）﹣1=1
B ．（﹣1）0=0
C ．|﹣1|=﹣1
D ．﹣（﹣1）2=﹣
1
681 ）
A ．9
B ．9或－9
C ．3
D ．3或－3
7．解分式方程11322x x x -=---时，去分母变形正确的是（ ） A ．113(2)x x -+=+- B ．113(2)x x -+=---
C ．113(2)x x -=---
D ．113(2)x x -=-- 8．248﹣1能被60到70之间的某两个整数整除，则这两个数是（ ）
A ．61和63
B ．63和65
C ．65和67
D ．64和67
9．如图，过边长为1的等边△ABC 的边AB 上一点P ，作PE ⊥AC 于E ，Q 为BC 延长线上一点，当PA ＝CQ 时，连PQ 交AC 边于D ，则DE 的长为（ ）
A ．13
B ．12
C ．23
D ．不能确定
10．计算21211x x x x ++⎛⎫+÷ ⎪⎝⎭
的结果是 ( ) A ．x+1 B ．11x + C ．1x x + D ．1x x
+ 11．已知一组数据：92，94，98，91，95的中位数为a ，方差为b ，则a+b=（ ） A ．98 B ．99 C ．100 D ．102
12．小王每天记忆10个英语单词，x 天后他记忆的单词总量为y 个，则y 与x 之间的函数关系式是（ ）
A ．y ＝10+x
B ．y ＝10x
C ．y ＝100x
D ．y ＝10x+10
二、填空题（每题4分，共24分）
13．如图，平行四边形ABCD 的对角线相交于O 点，则图中有__对全等三角形．
14．函数23y x =-__________．
15．25的平方根是 ．
16．如图，在ABC 中，AB AC =，点D 在ABC 内，AD 平分BAC ∠，连结CD ，
把ADC 沿CD 折叠，AC 落在CE 处，交AB 于F ，恰有CE AB ⊥.若10BC =，7AD =，则EF =__________.
17．已知9y 2+my+1是完全平方式，则常数m 的值是_______．
18．如图，C 在直线BE 上，∠=︒,∠A m ABC 与ACE ∠的角平分线交于点1A ，则1A =_____︒；若再作11A BE A CE ∠∠、的平分线，交于点2A ；再作22A BE A CE ∠∠、的平分线，交于点3A ；依此类推，10A ∠= _________︒．
三、解答题（共78分）
19．（8分）一项工程，如果由甲队单独做这项工程刚好如期完成，若乙队单独做这项工程，要比规定日期多5天完成．现由若甲、乙两队合作4天后，余下的工程由乙队单独做，也正好如期完成．已知甲、乙两队施工一天的工程费分别为16万元和14万元． （1）求规定如期完成的天数．
（2）现有两种施工方案：方案一：由甲队单独完成；方案二：先由甲、乙合作4天，再由乙队完成其余部分；通过计算说明，哪一种方案比较合算．
20．（8分）设121515,22
x x -+-==，求代数式21x x 和221122x x x x ++的值 21．（8分）某校图书室计划购进甲乙两种图书，已知购买一本甲种图书比购买一本乙种图书多20元，若用400元购买甲种图书和用160元购买乙种图书，则购买甲种图书的本数是购买乙种图书本数的一半．
（1）求购买一本甲种图书、一本乙种图书各需要多少元？
（2）经过商谈，书店决定给予优惠，即购买一本甲种图书就赠送一本乙种图书，如果
该校图书室计划购进乙种图书的本数是甲种图书本数的2倍还多8本，且购买甲乙两种图书的总费用不超过900元，那么最多可购买多少本甲种图书？
22．（10分）某地在城区美化工程招标时，有甲、乙两个工程队投标.经测算，获得以下信息：
信息1：乙队单独完成这项工程需要60天；
信息2：若先由甲、乙两队合做16天，剩下的工程再由乙队单独做20天可以完成； 信息3：甲队施工一天需付工程款3.5万元，乙队施工一天需付工程款2万元． 根据以上信息，解答下列问题：
（1）甲队单独完成这项工程需要多少天？
（2）若该工程计划在50天内完成，在不超过计划天数的前提下，是由甲队或乙队单独完成该工程省钱？还是由甲、乙两队全程合作完成该工程省钱？
23．（10分）已知点M （2a ﹣b ，5+a ），N （2b ﹣1，﹣a +b ）．若点M ，N 关于y 轴对称，求（4a +b ）2019的值．
24．（10分）如图，在ΔABC 中，AB ＝AC ，E 是AB 上一点，F 是AC 延长线上一点，连EF 交BC 于D ． 如果EB ＝CF ，求证：DE ＝DF ．
25．（12分）如图，AC 和BD 相交于点O ，并且AB DC =，AC DB =．
（1）求证：OB OC =．
证明思路现在有以下两种：
思路一：把OB和OC看成两个三角形的边，用三角形全等证明，即用
∆_____∆
≌______证明；
思路二：把OB和OC看成一个三角形的边，用等角对等边证明，即用∠____=∠____证明；
=．
（2）选择（1）题中的思路一或思路二证明：OB OC
26．请在下列三个2×2的方格中，各画出一个三角形，要求所画三角形是图中三角形经过轴对称变换后得到的图形，且所画的三角形顶点与方格中的小正方形顶点重合，并
将所画三角形涂上阴影
．．．．．．．．．．（注：所画的三个图形不能重复）
参考答案
一、选择题（每题4分，共48分）
1、B
【分析】连接EC，与AD交于点P，由题意易得BD=DC，根据等腰三角形的“三线合一”可得当△BEF周长最小时，即为BE+CE的长，最后根据中线的交点可求解．【详解】解：连接EC，与AD交于点P，如图所示：
△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于点D，
∴BD=DC，
点F在AD上，当△BEF周长最小时，即BE+BF+EF为最小，
由轴对称的性质及两点之间线段最短可得：
BE+BF+EF为最小时即为BE+CE的长；
∴点F 的位置即为点P 的位置，
根据三角形的重心是三角形三条中线的交点；
故选B ．
【点睛】
本题主要考查等腰三角形及轴对称的性质和三角形的重心，熟练掌握等腰三角形及轴对称的性质和三角形的重心是解题的关键．
2、A
【分析】根据关于x 轴对称的两点坐标关系：横坐标相等，纵坐标互为相反数，即可得出结论．
【详解】解：点P （﹣2，3）关于x 轴对称的点的坐标为（﹣2，﹣3）
故选A ．
【点睛】
此题考查的是求一个点关于x 轴对称点的坐标，掌握关于x 轴对称的两点坐标关系是解决此题的关键．
3、D
【分析】根据二次根式有意义的条件即可求出a 的取值范围，然后根据二次根式的除法公式和分母有理化化简即可． 【详解】解：101a
->- 10a ∴-<，
即1a >，
(1(1(1(
11a a a a a ∴-=--=-=-=
故选：D ．
【点睛】 此题考查的是二次根式的化简，掌握二次根式有意义的条件、二次根式的除法公式和分母有理化是解题关键．
4、A
【解析】因为，，
所以满足的整数x 是−1，0，1，2.
故选A.
5、D
【详解】解：A、（﹣1）﹣1=﹣1，故A错误；
B、（﹣1）0=1，故B错误；
C、|﹣1|=1，故C错误；
D、﹣（﹣1）2=﹣1，故D正确；
故选D．
【点睛】
本题考查1、负指数幂；2、零指数幂；3、绝对值；4、乘方，计算难度不大．
6、D
【分析】根据算术平方根的定义和平方根的定义计算即可．
3或－3
故选D．
【点睛】
此题考查的是算术平方根和平方根的计算，掌握算术平方根的定义和平方根的定义是解决此题的关键．
7、C
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，即可得到结果．
【详解】解：去分母得：1-x=-1-3（x-2），
故选：C．
【点睛】
此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
8、B
【分析】248﹣1＝（224+1）（224﹣1）＝（224+1）（212+1）（212﹣1）＝（224+1）（212+1）（26+1）（26﹣1）＝（224+1）（212+1）（26+1）（23+1）（23﹣1），即可求解．
【详解】解：248﹣1＝（224+1）（224﹣1）＝（224+1）（212+1）（212﹣1）
＝（224+1）（212+1）（26+1）（26﹣1）
＝（224+1）（212+1）（26+1）（23+1）（23﹣1）
＝（224+1）（212+1）×65×63，
故选：B．
【点睛】
此题考察多项式的因式分解，将248﹣1利用平方差公式因式分解得到（224+1）（212+1）
×65×63，即可得到答案
9、B
【分析】过P 作PF ∥BC 交AC 于F ，得出等边三角形APF ，推出AP=PF=QC ，根据等腰三角形性质求出EF=AE ，证△PFD ≌△QCD ，推出FD=CD ，推出DE=12
AC 即可． 【详解】
过P 作PF ∥BC 交AC 于F. 如图所示：
∵PF ∥BC ，△ABC 是等边三角形，
∴∠PFD =∠QCD ，△APF 是等边三角形，
∴AP =PF =AF ，
∵PE ⊥AC ，
∴AE =EF ，
∵AP =PF ，AP =CQ ，
∴PF =CQ .
∵在△PFD 和△QCD 中,
PFD QCD PDF QDC PF CQ ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
∴△PFD ≌△QCD (AAS )，
∴FD =CD ，
∵AE =EF ，
∴EF +FD =AE +CD ，
∴AE +CD =DE =
12AC ， ∵AC =1，
∴DE =12
. 故选B.
10、B
【解析】按照分式的运算、去分母、通分、化简即可.
【详解】
2
121
1
x x
x x
++
⎛⎫
+÷
⎪
⎝⎭
=
1
·
x1?
x x
x（）
+
+
=
1
1
x+
.
【点睛】
此题主要考察分式的运算.
11、C
【分析】分别根据中位数和方差的定义求出a、b，然后即可求出答案.
【详解】数据：92，94，98，91，95从小到大排列为91，92，94，95，98，处于中间位置的数是94，
则该组数据的中位数是94，即a=94，
该组数据的平均数为1
5
×（92+94+98+91+95）=94，
其方差为1
5
×[（92﹣94）2+（94﹣94）2+（98﹣94）2+（91﹣94）2+（95﹣94）2]
=6，所以b=6，
所以a+b=94+6=100，
故选C．
【点睛】
本题考查了中位数和方差，熟练掌握中位数和方差的定义以及求解方法是解题的关键.
12、B
【分析】根据总数=每份数×份数列式即可得答案．
【详解】∵每天记忆10个英语单词，
∴x天后他记忆的单词总量y=10x，
故选：B．
【点睛】
本题考查根据实际问题列正比例函数关系式，找到所求量的等量关系是解决问题的关键．
二、填空题（每题4分，共24分）
13、1
【分析】根据平行四边形的性质及全等三角形的判定方法进行分析，从而得到答案．【详解】解：∵ABCD是平行四边形
∴AD＝BC，AB＝CD，AO＝CO，BO＝DO，
在△ABO 和△CDO 中，OA OC AOB COD OB OD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴△ABO ≌△CDO （SAS ），
同理：△ADO ≌△CBO ；
在△ABD 和△CDB 中，AB CD AD CB BD DB =⎧⎪=⎨⎪=⎩
，
∴△ABD ≌△CDB （SSS ），
同理：△ACD ≌△CAB ；
∴图中的全等三角形共有1对．
故答案为：1．
【点睛】
本题主要考查了平行四边形的性质、 全等三角形的判定；熟记平行四边形的性质是解决问题的关键 ．
14、23
x ≤ 【分析】根据二次根式的意义及性质，被开方数大于或等于0，据此作答．
【详解】根据二次根式的意义，被开方数230x -≥， 解得23
x ≤．
故函数y =23
x ≤． 故答案为：23
x ≤
． 【点睛】
a≥0）叫二次根式．性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．掌握二次根式的概念和性质是关键．
15、±
1 【解析】分析：根据平方根的定义，求数a 的平方根，也就是求一个数x ，使得x 2=a ，则x 就是a 的一个平方根：
∵（±1）2=21，∴21的平方根是±1．
16、4913
【解析】如图（见解析），延长AD ，交BC 于点G ，先根据等腰三角形的三线合一性
得出AG BC ⊥，再根据折叠的性质、等腰三角形的性质（等边对等角）得出2345∠+∠=︒，从而得出CDG ∆是等腰直角三角形，然后根据勾股定理、面积公式可求出AC 、CE 、CF 的长，最后根据线段的和差即可得．
【详解】如图，延长AD ，交BC 于点G AD 平分BAC ∠，,10AB AC BC ==
,B ACB AG BC ∴∠=∠⊥，且AG 是BC 边上的中线 1123,52B CG BC ∴∠=∠+∠+∠== 由折叠的性质得12,CE AC ∠=∠=
123223B ∠=∠+∠+∠=∠+∠∴
CE AB ⊥，即90BFC ∠=︒
390B ∴∠+∠=︒
230239+∴∠∠=∠+︒，即2345∠+∠=︒
CDG ∴∆是等腰直角三角形，且5DG CG ==
7512AG AD DG ∴=+=+=
在Rt ACG ∆中，222251213AC CG AG =+=+=
13CE AB AC ==∴=
由三角形的面积公式得1122
ABC S BC AG AB CF ∆=
⋅=⋅ 即1110121322CF ⨯⨯=⨯⋅，解得12013
CF = 12049131313
EF CE CF ∴=-=-= 故答案为：4913．
【点睛】
本题是一道较难的综合题，考查了等腰三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，通过
作辅助线，构造一个等腰直角三角形是解题关键．
17、±
6 【分析】利用完全平方公式的结构特征确定出m 的值即可．
【详解】∵9y 2+my+1是完全平方式，
∴m=±
2×3=±6， 故答案为：±
6. 【点睛】
此题考查完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
18、（2m ） （1024
m ） 【分析】根据“角平分线定义”和“三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和”求出规律，直接利用规律解题．
【详解】解：∵∠A 1=∠A 1CE-∠A 1BC=
12∠ACE-12∠ABC=12（∠ACE-∠ABC ）=12∠A=2
m °． 依此类推∠A 2=224m m ︒︒=，∠A 3=328m m ︒︒=，…，∠A 10=1021024
m m ︒︒=． 故答案为：()2m ；()1024
m ． 【点睛】
此题主要考查了三角形的内角和外角之间的关系以及角平分线的定义，三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和．
三、解答题（共78分）
19、（1）20天；（2）方案一合算
【分析】（1）设规定的工期为x 天，则甲队单独完成此项工程需x 天，乙队单独完成此项工程需(5)x +天，总工程量为a ，由此可求出甲、乙两队的施工效率，然后根据“甲、乙两队合作4天后，余下的工程由乙队单独做，也正好如期完成”列出关于x 的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
（2）利用“总费用＝单天费用×工作时间”分别求出方案一、二所需费用，比较后即可得出结论．
【详解】（1）设规定的工期为x 天，则甲队单独完成此项工程需x 天，乙队单独完成此项工程需(5)x +天，总工程量为a 因此，甲队的施工效率为a x ，乙队的施工效率为5
a x +
由题意得：4()(4)55
a a a x a x x x ⋅+
+-⋅=++ 整理得：415x x x +=+ 解得：20x
经检验，20x 是原分式方程的解，且符合题意
答：规定工期为20天；
（2）方案一所需费用为2016320⨯=（万元）
方案二所需费用为4(1614)(204)14344⨯++-⨯=（万元）
因320344<
故选择方案一合算．
【点睛】
本题考查了分式方程的实际应用，依据题意，正确列出分式方程是解题关键．
20
、2 【分析】直接将12x x 、代入
21x x ，再分母有理化即可；先求得12x x +，12x x 的值，再将221122x x x x ++变形为12x x +，12x x 的形式即可求解．
【详解】
21111x x --==
====
；
∵121
x x +=
+==-， 22
12115(1)1224
x x -+----===-， ∴()()()222211*********x x x x x x x x ++=+-=---=．
【点睛】
本题考查了二次根式的混合运算，涉及的知识点有分母有理化、完全平方公式的应用、平方差公式的应用，熟练掌握二次根式的运算法则和完全平方公式的结构特征是解题的关键．
21、（1）购买一本甲种图书25元，购买一本乙种图书需要5元；（2）该校最多可以购买28本甲种图书
【分析】（1）设购买一本甲种图书需要x 元，则购买一本乙种图书需要()20x -元，根据题意，列出分式方程，求解即可；
（2）设该校可以购买m 本甲种图书，根据题意列出一元一次不等式即可求出结论．
【详解】解：（1）设购买一本甲种图书需要x 元，则购买一本乙种图书需要()20x -元， 根据题意得:4001601202
x x =⨯- 解得：25x =
经检验：25x =是分式方程的解且符合题意，
205,x ∴-=
答:购买一本甲种图书25元，购买一本乙种图书需要5元．
（2）设该校可以购买m 本甲种图书
根据题意得：()25528900m m m ++-≤ 解得2283
m ≤ m 取整数，
m ∴最大为28
答:该校最多可以购买28本甲种图书．
【点睛】
此题考查的是分式方程的应用和一元一次不等式的应用，掌握实际问题中的等量关系和不等关系是解决此题的关键．
22、（1）甲队单独完成这项工程需要40天；（2）全程用甲、乙两队合做该工程最省钱．
【分析】(1)设乙队单独完成这项工程需xx 天，总工作量为单位1，根据题意列方程求解；
(2)分别求出甲乙单独和甲乙合作所需要的钱数，然后比较大小．
【详解】解：（1）设：甲队单独完成这项工程需要x 天. 由题意可列：11201616060
x ⎛⎫++= ⎪⎝⎭ 解得：40x =
经检验，40x =是原方程的解.
答：甲队单独完成这项工程需要40天；
（2）111244060⎛⎫÷+= ⎪⎝⎭
因为：
全程用甲、乙两队合做需要：(3.52)24132+⨯=万元
单独用甲队完成这项工程需要：40 3.5140⨯=万元
单独用乙队完成这项工程需要：602120⨯=万元，但6050>.
所以，全程用甲、乙两队合做该工程最省钱.
【点睛】
本题考查了分式方程的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程求解，注意检验．
23、﹣1
【分析】关于y 轴的对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变．据此可得关于a ，b 的方程组，进而得出代数式的值．
【详解】解：∵M ，N 关于y 轴对称，
∴22105a b b a a b
-+-=⎧⎨+=-+⎩， 解得：13a b =-⎧⎨=⎩
， ∴2019(4)
1a b +=-．
【点睛】
关于y 轴的对称点的坐标特点，横坐标互为相反数，纵坐标不变；关于x 轴的对称点的坐标特点，纵坐标互为相反数，横坐标不变；关于原点的对称点的坐标特点，横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数.
24、证明见解析
【分析】通过辅助线,EG ∥AC 交BC 于G ,根据平行线的性质得到∠BGE=∠ACB ,根据等腰三角性性质得到∠B=∠ACB,利用等量代换得到∠B=∠BGE,继而得到EB=EG ,再根据已知条件EB ＝CF 经过可得到EG=CF,在利用平行线性质得到角的关系,即可利用ASA 判定得到△GED ≌△CFD,即可得到答案．
【详解】证明：如图,作EG ∥AC 交BC 于G ,
∴∠BGE=∠ACB,∠GED=∠F,∠EGD=∠FCD ．
∵AB=AC,
∴∠B=∠ACB,
∴∠B=∠BGE,
∴BE=EG ．
∵CF=BE,
∴CF=GE ．
在△GED 和△CFD 中,
GED F GE CF
EGD FCD ∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠⎩
＝＝＝ , ∴△GED ≌△CFD （ASA ）,
∴DE=DF ．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定和性质,等腰三角形的性质和判定,平行线的性质,找到三角形全等的条件是关键．
25、（1）,OAB ODC ；,OBC OCB ；（2）证明详见解析．
【分析】（1）思路一：可通过证明OAB ODC ≅，利用全等三角形对应边相等可得OB OC =；思路二：可通过证明OBC OCB ∠=∠利用等角对等边可得OB OC =； （2）任选一种思路证明即可.思路二：利用SSS 证明ABC DCB ∆∆≌，可得OBC OCB ∠=∠，利用等角对等边可得OB OC =.
【详解】（1）,OAB ODC
,OBC OCB
（2）选择思路二，证明如下：
在ABC ∆和DCB ∆中
,,,AB DC AC DB BC CB =⎧⎪=⎨⎪=⎩
∴ABC DCB ∆∆≌．
∴OBC OCB ∠=∠．
∴OB OC =．
【点睛】
本题主要考查了全等三角形的判定与性质，还设计了等腰三角形等角对等边的性质，灵活利用全等三角形的性质是解题的关键.
26、
【解析】试题分析：可分别选择不同的直线当对称轴，得到相关图形即可． 试题解析：如图所示：
考点：利用轴对称设计图案。