2020年福州市高中必修五数学上期中试题(附答案)

2020年福州市高中必修五数学上期中试题(附答案)
一、选择题
1．数列{}n a 的前n 项和为2
1n S n n =++,()()1N*n n n b a n =-∈,则数列{}n b 的前50项
和为（ ） A ．49
B ．50
C ．99
D ．100
2．已知等比数列{}n a ，11a =，41
8
a =，且12231n n a a a a a a k +++⋅⋅⋅+<，则k 的取值范围是（ ） A ．12,23
⎡⎤⎢⎥⎣⎦
B ．1
,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭
C ．12,23⎡⎫
⎪⎢⎣⎭
D ．2
,3
⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭
3．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足1
22n n S λ+=+，则λ的值是( )
A ．4
B ．2
C ．2-
D ．4-
4．下列函数中，y 的最小值为4的是（ ）
A ．4
y x x
=+
B
．2y =
C ．4x x y e e -=+
D ．4
sin (0)sin y x x x
π=+
<< 5
)63a -≤≤的最大值为（ ）
A ．9
B ．
92
C ．
3 D ．
2
6．已知,x y 满足0404x y x y x -≥⎧⎪
+-≥⎨⎪≤⎩
，则3x y -的最小值为（ ）
A ．4
B ．8
C ．12
D ．16
7．在斜ABC ∆中，设角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知
sin sin sin 4sin cos a A b B c C b B C +-=，CD 是角C 的内角平分线，且CD b =，则
cos C = （ ）
A ．18
B ．34
C ．2
3 D ．16
8．等比数列{}n a 中，11
,28
a q ==，则4a 与8a 的等比中项是（ ）
A ．±4
B ．4
C ．1
4
± D ．14
9．数列{a n }满足a 1=1，对任意n ∈N *都有a n +1=a n +n +1，则122019
111
a a a ++⋯+=（ ）
A ．
2020
2019
B ．
2019
1010
C ．
2017
1010
D ．
4037
2020
10．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，且满足21,,n n n S S S ++成等差数列，则3a 等于( )
A ．
12
B ．12
-
C ．
14 D ．14- 11．已知数列{}n a 中，3=2a ，7=1a ．若数列1
{}n
a 为等差数列，则9=a ( )
A ．
12
B ．
54
C ．
45
D ．45
-
12．设{}n a 是首项为1a ，公差为-2的等差数列，n S 为其前n 项和，若1S ，2S ，4S 成等比数列，则1a = ( ) A ．8
B ．-8
C ．1
D ．-1
二、填空题
13．若变量x ，y 满足22390x y x y x +≤⎧⎪
-≤⎨⎪≥⎩
，则z ＝2x +y 的最大值是_____．
14．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，22a =，且对于任意1n >，*n N ∈，满足
11n n S S +-+=2(1)n S +，则10S 的值为__________
15．已知数列111
1
12123123n
+++++++L L L ，，，，，，则其前n 项的和等于______． 16．等差数列{}n a 中，1351,14,a a a =+=其前n 项和100n S =，则n=＿＿
17．已知二次函数22()42(2)21f x x p x p p =----+，若在区间[1,1]-内至少存在一个实数x 使
()0f x >，则实数p 的取值范围是__________.
18．定义在R 上的函数()f x 满足()()f x f x -=，且当0x ≥21,01,
()22,1,x
x x f x x ⎧-+≤<=⎨-≥⎩
若任意的[],1x m m ∈+，不等式(1)()f x f x m -≤+恒成立，则实数m 的最大值是 ____________
19．已知等比数列{}n a 的首项为1a ，前n 项和为n S ，若数列{}12n S a -为等比数列，则
3
2
a a =____. 20．某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x 吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x 万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x 的值是__________．
三、解答题
21．若数列{}n a 的前n 项和n S 满足*231?
(N )n n S a n =-∈,等差数列{}n b 满足113233b a b S ==+，.
(1)求数列{}n a 、{}n b 的通项公式; (2)设3n
n n
b c a =
,求数列{}n c 的前n 项和为n T . 22．已知数列{}n a 是等差数列，111038,160,37n n a a a a a a +>⋅=+=. （1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）若从数列{}n a 中依次取出第2项，第4项，第8项，L ，第2n 项，按原来的顺序组成一个新数列，求12n n S b b b =+++L .
23．在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c
，已知
2
4sin 4sin sin 22
A B
A B -+=（1）求角C 的大小；
（2）已知4b =，ABC ∆的面积为6，求边长c 的值. 24．已知{}n a 为等差数列，前n 项和为(
)*
n S n N
∈，{}n
b 是首项为2的等比数列，且公
比大于0，2312b b +=，3412b a a =-，11411S b =. （1）求{}n a 和{}n b 的通项公式； （2）求数列{}221n n a b -⋅的前n 项和.
25．首届世界低碳经济大会在南昌召开，本届大会以“节能减排，绿色生态”为主题，某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，采用了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品．已知该单位每月的处理量最少为400吨，最多为600吨，月处理成本
y (元)与月处理量x (吨)之间的函数关系可近似地表示为21200800002
y x x =-+，且每处
理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元．
（1）该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？
（2）该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则需要国家至少补贴多少元才能使该单位不亏损？
26．在ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别是,,a b c
，已知
222,3
A b c a π
=
+=． （1）求a 的值；
（2）若1b =，求ABC ∆的面积．
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一、选择题 1．A 解析：A 【解析】
试题分析：当1n =时，113a S ==；当2n ≥时，
()
()()2
2111112n n n a S S n n n n n -⎡⎤=-=++--+-+=⎣⎦
,把1n =代入上式可得
123a =≠.综上可得3,1
{2,2
n n a n n ==≥.所以3,1{2,12,n n b n n n n n -==-≠为奇数且为偶数
.数列{}n b 的前50项
和为
()()
503235749224650S =--+++++++++L L ()()2434925250322492
2
++=--⋅
+⋅
=.故A 正确.
考点：1求数列的通项公式;2数列求和问题.
2．D
解析：D 【解析】
设等比数列{}n a 的公比为q ，则3
411
8a q a =
=，解得12
q =， ∴1
1
2n n a -=
， ∴1121
111222n n n n n a a +--=
⨯=， ∴数列1{}n n a a +是首项为
12
，公比为1
4的等比数列，
∴1223111(1)
21224(1)134314
n n n n a a a a a a +-++⋅⋅⋅+==-<-， ∴23k ≥．故k 的取值范围是2
[,)3+∞．选D ．
3．C
解析：C 【解析】 【分析】
利用n S 先求出n a ，然后计算出结果. 【详解】
根据题意，当1n =时，11224S a λ==+,142
a λ
+∴=
, 故当2n ≥时，1
12n n n n a S S --=-=,
Q 数列{}n a 是等比数列,
则11a =，故412
λ
+=, 解得2λ=-, 故选C . 【点睛】
本题主要考查了等比数列前n 项和n S 的表达形式，只要求出数列中的项即可得到结果，较为基础.
4．C
解析：C 【解析】 【分析】
由基本不等式求最值的规则：“一正，二定，三相等”，对选项逐一验证即可. 【详解】
选项A 错误，x Q 可能为负数，没有最小值；
选项B
错误，化简可得2y ⎫=，
=，即21x =-，
显然没有实数满足21x =-；
选项D 错误，由基本不等式可得取等号的条件为sin 2x =， 但由三角函数的值域可知sin 1x ≤； 选项C 正确，由基本不等式可得当2x e =， 即ln 2x =时，4x
x
y e e -=+取最小值4，故选C.
【点睛】
本题主要考查利用基本不等式求最值，属于难题.利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数否在定义域内，二是多次用≥或≤时等号能否同时成立）.
5．B
解析：B
【解析】 【分析】
根据369a a -++=是常数，可利用用均值不等式来求最大值. 【详解】 因为63a -≤≤， 所以30,60a a ->+> 由均值不等式可得：
369
(3)(6)22
a a a a -++-+≤
= 当且仅当36a a -=+，即3
2
a =-时，等号成立， 故选B. 【点睛】
本题主要考查了均值不等式，属于中档题.
6．A
解析：A 【解析】 【分析】
作出可行域，变形目标函数并平移直线3y x =，结合图象，可得最值． 【详解】
作出x 、y 满足0404x y x y x -≥⎧⎪
+-≥⎨⎪≤⎩
所对应的可行域（如图ABC V ），
变形目标函数可得3y x z =-，平移直线3y x =可知， 当直线经过点(2,2)A 时，截距z -取得最大值， 此时目标函数z 取得最小值3224⨯-=. 故选：A.
【点睛】
本题考查简单线性规划，准确作图是解决问题的关键，属中档题．
7．A
解析：A 【解析】 【分析】
利用正弦定理角化边可构造方程2cos cos b
C C a
=，由cos 0C ≠可得2a b =；利用ABC ACD BCD S S S ∆∆∆=+可构造方程求得3
cos 24
C =，利用二倍角公式求得结果.
【详解】
由正弦定理得：22224cos a b c b C +-=
则22224cos 2cos cos 22a b c b C b
C C ab ab a
+-===
ABC ∆Q 为斜三角形 cos 0C ∴≠ 2a b ∴=
ABC ACD BCD S S S ∆∆∆=+Q 1112sin sin 2sin 22222
C C
b b C b b b b ∴⋅=⋅+⋅
即：2sin 4sin cos 3sin 222
C C C
C ==
()0,C π∈Q 0,22C π⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭ sin 02C ∴≠ 3cos 24
C ∴= 2
91cos 2cos 1212168
C C ∴=-=⨯-= 本题正确选项：A 【点睛】
本题考查解三角形的相关知识，涉及到正弦定理化简边角关系式、余弦定理和三角形面积公式的应用、二倍角公式求三角函数值等知识；关键是能够通过面积桥的方式构造方程解出半角的三角函数值.
8．A
解析：A 【解析】 【分析】
利用等比数列{}n a 的性质可得2
648a a a ＝ ，即可得出．
【详解】
设4a 与8a 的等比中项是x ．
由等比数列{}n a 的性质可得2
648a a a ＝，6x a ∴=± ．
∴4a 与8a 的等比中项5
61
248
x a =±=±⨯=±． 故选A ．
本题考查了等比中项的求法，属于基础题．
9．B
解析：B 【解析】 【分析】
由题意可得n ≥2时，a n -a n -1=n ，再由数列的恒等式：a n =a 1+（a 2-a 1）+（a 3-a 2）+…+（a n -a n -
1），运用等差数列的求和公式，可得a n ，求得
1n a =()21n n +=2（1n -11
n +），由数列的裂项相消求和，化简计算可得所求和． 【详解】
解：数列{a n }满足a 1=1，对任意n ∈N *都有a n +1=a n +n +1， 即有n ≥2时，a n -a n -1=n ，
可得a n =a 1+（a 2-a 1）+（a 3-a 2）+…+（a n -a n -1） =1+2+3+…+n =
1
2
n （n +1），1n =也满足上式 1n a =()21n n +=2（1n -11
n +）， 则122019111a a a ++⋯+=2（1-12+12-13
+…+12019-12020） =2（1-12020
）=2019
1010．
故选:B ． 【点睛】
本题考查数列的恒等式的运用，等差数列的求和公式，以及数列的裂项相消求和，考查化简运算能力，属于中档题．
10．C
解析：C 【解析】
试题分析：由21,,n n n S S S ++成等差数列可得，212n n n n S S S S +++-=-，即
122n n n a a a ++++=-，也就是2112n n a a ++=-，所以等比数列{}n a 的公比1
2q =-，从而
223111
1()24
a a q ==⨯-=，故选C.
考点：1.等差数列的定义；2.等比数列的通项公式及其前n 项和.
11．C
解析：C 【解析】
由已知条件计算出等差数列的公差，然后再求出结果 【详解】
依题意得：7
32,1a a ==，因为数列1{}n
a 为等差数列，
所以73111
11273738
--===--a a d ，所以()9711159784a a =+-⨯=，所以94
5
=a ，故选C ．
【点睛】
本题考查了求等差数列基本量，只需结合题意先求出公差，然后再求出结果，较为基础
12．D
解析：D 【解析】 【分析】
利用等差数列的通项公式，以及等比中项公式和前n 项和公式，准确运算，即可求解. 【详解】
由题意，可得等差数列{}n a 的通项公式为11(1)(2)2(1)n a a n a n =+-⨯-=--， 所以112141,22,412S a S a S a ==-=-，
因为1S ，2S ，4S 成等比数列，可得2
111(22)(412)a a a -=-，解得11a =-.
故选：D . 【点睛】
本题主要考查了等差数列通项公式，以及等比中项公式与求和公式的应用，其中解答中熟记等差数列的通项公式和等比中项公式，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.
二、填空题
13．5【解析】【分析】由约束条件作出可行域化目标函数为直线方程的斜截式数形结合得到最优解联立方程组求得最优解的坐标把最优解的坐标代入目标函数得结论【详解】作出变量满足的可行域如图由知所以动直线的纵截距取
解析：5 【解析】 【分析】
由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，把最优解的坐标代入目标函数得结论. 【详解】
作出变量,x y 满足22390x y x y x +≤⎧⎪
-≤⎨⎪≥⎩
的可行域如图，
由2z x y =+知,2y x z =-+，
所以动直线2y x z =-+的纵截距z 取得最大值时， 目标函数取得最大值， 由2
239x y x y +=⎧⎨
-=⎩
得()3,1A -，
结合可行域可知当动直线经过点()3,1A -时， 目标函数取得最大值2315z =⨯-=，故答案为5. 【点睛】
本题主要考查线性规划中，利用可行域求目标函数的最值，属于简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.
14．91【解析】【分析】由Sn+1+Sn ﹣1＝2（Sn+1）可得Sn+1﹣Sn ＝Sn ﹣Sn ﹣1+2可得an+1﹣an ＝2利用等差数列的通项公式与求和公式即可得出【详解】∵对于任意n ＞1n∈N*满足Sn+
解析：91 【解析】 【分析】
由S n+1+S n ﹣1＝2（S n +1），可得S n+1﹣S n ＝S n ﹣S n ﹣1+2，可得a n+1﹣a n ＝2．利用等差数列的通项公式与求和公式即可得出． 【详解】
∵对于任意n ＞1，n∈N *，满足S n+1+S n ﹣1＝2（S n +1）， ∴n≥2时，S n+1﹣S n ＝S n ﹣S n ﹣1+2， ∴a n+1﹣a n ＝2．
∴数列{a n }在n≥2时是等差数列，公差为2． 则10S ＝1+9×298
22
⨯+
⨯=91．
故答案为91 【点睛】
本题考查了数列递推关系、等差数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
15．【解析】【分析】由题意可知此数列为将代入根据数列特点将通项公式化简利用裂项相消的求和方法即可求出前n 项和【详解】由题意可知此数列分母为以1为首项以1为公差的等差数列的前n 项和由公式可得：所以数列通项 解析：
21
n
n + 【解析】 【分析】
由题意可知此数列为1n S ⎧⎫
⎨
⎬⎩⎭
，将n S 代入，根据数列特点，将通项公式化简，利用裂项相消的求和方法即可求出前n 项和. 【详解】
由题意可知此数列分母为以1为首项，以1为公差的等差数列的前n 项和， 由公式可得：()12n n n S +=，所以数列通项：()1211211n
S n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭，
求和得：122111
n
n n ⎛
⎫-=
⎪++⎝⎭. 【点睛】
本题考查数列通项公式与数列求和，当通项公式为分式且分母为之差为常数时，可利用裂项相消的方法求和，裂项时注意式子的恒等，有时要乘上系数.
16．10【解析】【分析】【详解】故则故n=10 解析：10 【解析】 【分析】 【详解】
1351,14,a a a =+=故126d 14,2a d +=∴=，则()1n 21002
n n n S -=+
⨯=
故n=10
17．【解析】试题分析：因为二次函数在区间内至少存在一个实数使的否定是：函数在区间内任意实数使所以即整理得解得或所以二次函数在区间内至少存在一个实数使的实数的取值范围是考点：一元二次方程的根与系数的关系【
解析：
3(3,)2
- 【解析】
试题分析：因为二次函数()f x 在区间[1,1]-内至少存在一个实数x ，使()0f x >的否定是：“函数()f x 在区间[1,1]-内任意实数x ，使()0f x ≤”，所以(1)0
{
(1)0
f f ≤-≤，即
2242(2)210{42(2)210p p p p p p ----+≤+---+≤，整理得22
2390{210
p p p p +-≥--≥，解得32p ≥或3p ≤-，所以二次函数在区间[1,1]-内至少存在一个实数x ，使()0f x >的实数p 的取值范围是
3
(3,)2
-.
考点：一元二次方程的根与系数的关系.
【方法点晴】本题主要考查了一元二次方程的根的分布与系数的关系，其中解答中涉及到一元二次函数的图象与性质、不等式组的求解、命题的转化等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，其中根据二次函数的图象是开口方向朝上的抛物线，得到对于区间[1,1]-内的任意一个x 都有()0f x >时，得到不等式组是解答的关键，属于中档试题.
18．【解析】【分析】先根据解析式以及偶函数性质确定函数单调性再化简不等式分类讨论分离不等式最后根据函数最值求m 取值范围即得结果【详解】因为当时为单调递减函数又所以函数为偶函数因此不等式恒成立等价于不等式
解析：1
3
-
【解析】 【分析】
先根据解析式以及偶函数性质确定函数单调性，再化简不等式()()1f x f x m -≤+，分类讨论分离不等式，最后根据函数最值求m 取值范围，即得结果. 【详解】
因为当0x ≥时 ()21,01,
22,1,
x
x x f x x ⎧-+≤<=⎨-≥⎩为单调递减函数，又()()f x f x -=，所以函数()f x 为偶函数，因此不等式()()1f x f x m -≤+恒成立，等价于不等式
()()1f x f x m -≤+恒成立，即1x x m -≥+，平方化简得()2211m x m +≤-，
当10m +=时，x R ∈； 当10m +>时，12
m
x -≤
对[],1x m m ∈+恒成立，111
11233
m m m m -+≤
∴≤-∴-<≤-； 当10m +<时，12m x -≥
对[],1x m m ∈+恒成立，11
23
m m m -≥
∴≥（舍）；
综上113m -≤≤-，因此实数m 的最大值是13
-. 【点睛】
解函数不等式：首先根据函数的性质把不等式转化为()()()()
f g x f h x >的形式，然后根据函数的单调性去掉“f ”，转化为具体的不等式(组)，此时要注意()g x 与()h x 的取值应在外层函数的定义域内.
19．【解析】【分析】设等比数列的公比为由数列为等比数列得出求出的值即可得出的值【详解】设等比数列的公比为由于数列为等比数列整理得即化简得解得因此故答案为：【点睛】本题考查等比数列基本量的计算同时也考查了 解析：
12
【解析】 【分析】
设等比数列{}n a 的公比为q ，由数列{}12n S a -为等比数列，得出
()()()2
211131222S a S a S a -=--，求出q 的值，即可得出3
2
a
a 的值.
【详解】
设等比数列{}n a 的公比为q ，
由于数列{}12n S a -为等比数列，()()()2
211131222S a S a S a ∴-=--，
整理得()()2
211321a a a a a a -=-⋅+-，即()(
)
2
2
11q q q -=-+-，化简得
220q q -=，
0q ≠Q ，解得12
q =，因此，3212a q a ==. 故答案为：1
2
. 【点睛】
本题考查等比数列基本量的计算，同时也考查了等比中项的应用，考查运算求解能力，属于中等题.
20．【解析】【详解】总费用为当且仅当即时等号成立故答案为30点睛:在利用基本不等式求最值时要特别注意拆拼凑等技巧使其满足基本不等式中正(即条件要求中字母为正数)定(不等式的另一边必须为定值)等(等号取得 解析：30
【解析】 【详解】
总费用为600900464()42900240x x x x +
⨯=+≥⨯=，当且仅当900
x x
=，即30x =时等号成立．故答案为30.
点睛:在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误．
三、解答题
21．(1)1
3n n a -=，
;(2)()223n n
n T +=-
.
【解析】 【分析】
（Ⅰ）由数列递推式求出a 1，在数列递推式中取n=n-1得另一递推式，作差后得到数列{a n }为等比数列，则数列{a n }的通项公式可求，再由b 1=3a 1，b 3=S 2+3求出数列{b n }的首项和公差，则{b n }的通项公式可求；
（Ⅱ）把数列{a n }、{b n }的通项公式代入3n
n n
b c a =，直接由错位相减法求数列{c n }的前n 项和为T n ． 【详解】
（Ⅰ）当1n =时，111231,1S a a =-∴=
当2n ≥时，()()112223131n n n n n a S S a a --=-=---，即13n
n a a -= ∴数列{}n a 是以11a =为首项，3为公比的等比数列，13n n a -∴=.
设{}n b 的公差为1132,33,3723,2d b a b S d d ===+==+=
()31321n b n n ∴=+-⨯=+ ,
（Ⅱ）1232135721
,33333n n
n n
n n c T ++==++++L ① 则2341
1
3572133333n n n T ++=
++++L ②， 由①—②得，231211
12112333
33
n n n n T ++⎛⎫=++++- ⎪⎝⎭L 1424
33n n ++=+
∴223
n n n T +=- . 【点睛】
本题考查数列递推式，考查了等比关系的确定，训练了错位相减法求数列的前n 项和，是中档题．
22．（1）32n a n =+；（2）6226n
n T n =⨯+-
【分析】
（1）先由条件可以判断出数列是递增数列，再由等差数列的性质：
m n p q m n p q a a a a +=+⇒+=+ 可以求得110,a a ，然后根据等差数列通项公式即可求
解.
(2)由（1）可得数列n b 的通项公式，然后利用分组求和即可求解. 【详解】
（1）等差数列{}n a 中，111038,37n n a a a a a a +>+=+=，
110110
160
37a a a a ⋅=⎧⎨
+=⎩ 解得1105
32
a a =⎧⎨
=⎩
325
3101
d -∴=
=-， ()51332n a n n ∴=+-⨯=+.
（2）由（1）知，12322b a ==⨯+，24342b a ==⨯+，…2322n n
n b a ==⋅+，
()()()
12322342322n n n S b b b ∴=+++=⨯++⨯+++⋅+L L (
)
1
22324223212
n n
n n +-=⨯++++=⨯+-L
13262n n +=⨯-+
6226n n =⨯+-.
【点睛】
本题主要考查等差数列的通项公式、性质、等比数列的求和公式、利用“分组求和法”求数列前n 项和，属于中档题. 利用“分组求和法”求数列前n 项和常见类型有两种：一是通项为两个公比不相等的等比数列的和或差，可以分别用等比数列求和后再相加减；二是通项为一个等差数列和一个等比数列的和或差，可以分别用等差数列求和、等比数列求和后再相加减；解题中需要熟练掌握公式和性质，对计算能力要求较高. 23．（1）4
π
；（2
. 【解析】 【分析】
（1
）由二倍角的余弦公式把2
4sin
4sin sin 22
A B
A B -+=+的余弦公式求cos()A B +，由三角形三内角和定理可求得cos C ，从而求得角C ； （2）根据三角形的面积公式求出边a ，再由余弦定理求E 边. 【详解】
（1
）由已知得2[1cos()]4sin sin 2A B A B --+=+
化简得2cos cos 2sin sin A B A B -+=，
故cos()A B +=34A B π+=，
因为A B C π++=，所以4
C π
=.
（2）因为1sin 2S ab C ⊥=
，由6ABC S =V ，4b =，4
C π
=
，所以a =， 由余弦定理得2222cos c a b ab C =+-
，所以c =. 【点睛】
本题主要考查了两角和差公式的应用及利用余弦定理解三角形，属于基础题.
24．（1）32n a n =-，2n
n b =，*
n N ∈；（2）()14328
3
n n +-+，*n N ∈.
【解析】 【分析】
（1）由等差数列和等比数列的基本量法求数列的通项公式； （2）用错位相减法求和． 【详解】
（1）数列{}n b 公比为q ，则2
232212b b q q +=+=，∵0q >，∴2q =，
∴2n
n b =，
{}n a 的公差为d ，首项是1a ，
则41328a a b ==-，4
11411112176S b ==⨯=，
∴111328
1110
111762a d a a d +-=⎧⎪
⎨⨯+⨯=⎪⎩
，解得113a d =⎧⎨=⎩． ∴13(1)32n a n n =+-=-．
（2）21
221(62)2n n n a b n --⋅=-⋅，数列{}221n n a b -⋅的前n 项和记为n T ，
352142102162(62)2n n T n -=⨯+⨯+⨯++-⋅L ，①
23572121242102162(68)2(62)2n n n T n n -+=⨯+⨯+⨯++-⋅+-⋅L ，②
①－②得：3521
2138626262
(62)2n n n T n -+-=+⨯+⨯++⨯--⨯L 1218(14)
86(62)214n n n -+-=+⨯--⨯-14(23)8n n +=--，
∴14(32)83
n n n T +-+=．
本题考查等差数列和等比数列的通项公式，考查等差数列的前n 项和及错位相减法求和．在求等差数列和等比数列的通项公式及前n 项和公式时，基本量法是最基本也是最重要的方法，务必掌握，数列求和时除公式法外，有些特殊方法也需掌握：错位相减法，裂项相消法，分组（并项）求和法等等．
25．（1）该单位月处理量为400吨时，才能使每吨的平均处理成本最低，最低成本为200元/吨；（2）该单位每月不获利，需要国家每月至少补贴40000元才能不亏损． 【解析】 【分析】
（1）根据已知得平均处理成本为
y
x
，得到关系式后利用基本不等式求得平均处理成本的最小值，并根据基本不等式等号成立条件求得每月处理量；（2）获利
()2
130********
10x S x y =-=-
--，根据二次函数图象可求得[]80000,40000S ∈--，可知不获利，同时求得国家至少补贴40000元.
【详解】
（1）由题意可知，二氧化碳每吨的平均处理成本为：
1800002002002002y x x x =+-≥= 当且仅当180000
2x x
=，即400x =时取等号 ∴月处理量为400吨时，才能使每吨的平均处理成本最低，最低成本为200元/吨
（2）不获利
设该单位每月获利为S 元
()222110010020080000113008000030035000
222S x y x x x x x x ⎛⎫
=-=--+ ⎪=-+-=---⎝⎭
[]400,600x ∈Q []80000,40000S ∴∈--
故该单位每月不获利，需要国家每月至少补贴40000元才能不亏损 【点睛】
本题考查构造函数模型解决实际问题，主要涉及的内容是利用基本不等式求解函数的最值、利用二次函数图象求解最值的问题.
26．（12 【解析】 【分析】
（1）由2223b c abc a +-=，利用余弦定理可得2cos 3
bc A abc =,结合3A π=可得结
果；
（2）由正弦定理1sin 2B =，π6B =, 利用三角形内角和定理可得π
2
C =，由三角形面积公式可得结果. 【详解】
（1）由题意，得222b c a +-=. ∵2222cos b c a bc A +-=.
∴2cos bc A =,
∵π
3
A =
，∴a A ==
（2）∵a =
由正弦定理
sin sin a b A B =，可得1sin 2B =. ∵a>b ，∴π
6
B =
, ∴π
π2
C A B =--=.
∴1sin 2ABC S ab C ∆==
【点睛】
本题主要考查正弦定理、余弦定理及特殊角的三角函数，属于中档题.对余弦定理一定要熟
记两种形式：（1）2
2
2
2cos a b c bc A =+-；（2）222
cos 2b c a A bc
+-=，同时还要熟练
掌握运用两种形式的条件.另外，在解与三角形、三角函数有关的问题时，还需要记住
30,45,60o o o 等特殊角的三角函数值，以便在解题中直接应用.。