江西省吉安市重点高中2021-2022高二数学5月联考试题 文(含解析).doc

江西省吉安市重点高中2021-2022高二数学5月联考试题 文（含解析）
一、选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1.设全集为R ，集合{
}
2
4A x x =<，{}13B x x =-<≤，则(
)A B =R
（ ）
A. (),1-∞-
B. (],1-∞-
C. ()2,1--
D. (]2,1--
【答案】D 【解析】 【分析】
求出集合A 和R C B ，由此能求出 A ⋂(R C B ).
【详解】集合A ＝{}2
x x 4<＝{
}22x x -<< ，集合{}
B x 1x 3=-<≤，全集为R ，所
以R C B ={
}1,3x x x ≤->或 ， 所以A ⋂(R C B )={
}21x x -<≤- 故选：D
【点睛】本题考查集合的交集、补集的求法，属于基础题，
2.已知复数z
i ，则
1i
z
+=（ ）
A. 1i +
B. 1i -
D. 1
【答案】C 【解析】 【分析】 把复数z
i 带入式子，化简，最后计算模长.
【详解】已知复数z i ，则
1111i i
i i
i z ++==-⇒-=故答案选C
【点睛】本题考查了复数的计算与模长，属于简单题.
3.命题“存在0x ∈R ，使得32
00x x >”的否定是（ ）
A. 对任意x ∈R ，都有32x x >
B. 不存在0x ∈R ，使得32
00x x ≤ C. 对任意x ∈R ，都有32x x ≤ D. 存在0x ∈R ，使得32
00x x ≤
【答案】C 【解析】 【分析】
命题的否定，对结论进行否定，并改变特称连词和全称量词.
【详解】存在0x ∈R ，使得32
00x x >
命题的否定为：对任意x ∈R ，都有32x x ≤ 答案选C
【点睛】本题考查了命题的否定，特称连词和全称量词的变换是容易错误的点.
4.在ABC △中，若2sin a b A =，则B 等于（ ） A. 30或60︒
B. 45︒或60︒
C. 60︒或120︒
D. 30或
150︒
【答案】D 【解析】 【分析】
利用正弦定理直接计算得到答案. 【详解】在ABC △中，若2sin a b A = 根据正弦定理：
sin 2sin sin A B A =
1
sin (sin 0)2
B A =
≠ 30B =︒或150︒
故答案选D
【点睛】本题考查了正弦定理，属于简单题.
5.执行如下图的程序框图，如果输入的N 的值是6，那么输出的p 的值是（ ）
A. 15
B. 105
C. 120
D. 720
【答案】B
【解析】
试题分析：第一次进行循环体后，，满足继续循环的条件，则，；当
时，满足继续循环的条件，则，；当时，满足继续循环的条件，则，；当时，不满足继续循环的条件，故输出的的值是．故答案为B.
考点：程序框图.
【方法点晴】本题考查的知识点是程序框图，属于高考中的高频考点，当循环的次数不多时，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答，当循环次数较多时，应找到其规律，按规律求解．由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．
6.用反证法证明命题：“三角形三个内角至少有一个大于或等于60 ”时，应假设（）
A. 三个内角都小于60°
B. 三个内角都大于或等于60°
C. 三个内角至多有一个小于60°
D. 三个内角至多有两个大于或等于60°
【答案】A
【解析】
分析：写出原结论的命题否定即可得出要假设的命题．
详解：原命题的否定为：三角形三个内角都小于60°，故选A.
点睛：本题考查了反证法与命题的否定，属于基础题．
7.甲、乙两人参加一次考试，他们合格的概率分别为1
3
，
1
4
，那么两人中恰有1人合格的概
率是（）
A.
712
B.
512
C.
12
D.
112
【答案】B 【解析】 【分析】
将两人中恰有1人合格分为：甲合格乙不合格，乙合格甲不合格两种情况，概率相加得到答案.
【详解】将两人中恰有1人合格分为：甲合格乙不合格，乙合格甲不合格两种情况
1
131344P =⨯= 2211346
P =⨯=
12
5
12
P P P =+= 故答案选B
【点睛】本题考查了概率的计算，意在考查学生的计算能力.
8.已知等比数列{}n a 的首项10a >，公比为q ，前n 项和为n S ，则“1q >”是“3542S S S +>”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】A 【解析】 【分析】
由S 3+S 5＞2S 4，可得a 5＞a 4，且1a 0>，得()3
10q q ->，分q ＞1或0q <两种请况，即可得
答案．
【详解】由S 3+S 5＞2S 4，可得a 5＞a 4，由等比数列通项公式得43
11a q a q > ，且1a 0>，所以
()310q q ->，得q ＞1或0q <∴“q＞1”是“S 3+S 5＞2S 4”的充分不必要条件．
故选：A ．
【点睛】本题考查了等比数列通项公式及其性质、不等式的解法，属于基础题．
9.曲线()0bx
y ae
a =>作线性变换后得到的回归方程为10.6u x =-，则函数2y x bx a
=++的单调递增区间为（ ） A. ()0,∞+
B. ()1,+∞
C. 1,2⎛⎫+∞
⎪⎝⎭
D.
3,10⎛⎫
+∞ ⎪⎝⎭
【答案】D 【解析】 分析：令ln z
y ，对函数bx y ae =进行二次拟合得出a ，b 的值，代入计算即可.
详解：令ln ln ln bx
z y ae
a bx ===+
∴
ln 1
0.6
a b ==-，解得3
,5
a e
b ==-
， ∴2
2339510100y x x e x e ⎛⎫=-+=-+- ⎪
⎝⎭，开口向上， ∴235y x x e =-+的单调递增区间为3,10⎛⎫
+∞ ⎪⎝⎭
.
故选：D .
点睛：本题考查了非线性相关的二次拟合问题，选择对数变换是关键.
10.已知()f x 是定义域为R 的奇函数，当0x >时，()ln f x x x =-．若函数
()()g x f x a =+有2个不同的零点，则实数a 的取值范围是（ ）
A. []1,1-
B. ()1,1-
C. (][),11,-∞-+∞
D. ()(),11,-∞-⋃+∞
【答案】D 【解析】 【分析】
由()g x 0=转化为y =()f x ，y a =-有两个交点，对()f x 在x 0>内求导判断其单调性和求极值，且()f x 为奇函数即可得答案.
【详解】当x 0>时，()f x x lnx =-，对()f x 求导得()1110x f x x x
='-=-
= 的根为1，所以()f x 在()0,1上递减，在()1,+∞上递增，且()f 1=1 .又因为()f x 为奇函数，所以()f x 在()1,0-上递减，在(),1-∞-上递增，且()f 1-=1-，如图所示()f x 的图像，由()g x 0=转化为y =()f x ，y a =-有两个交点，所以1a ->或1a -<,即1a <-或1a > . 故选：D
【点睛】本题考查了函数的零点转化为两函数的交点问题，也考查了求导判断函数的单调性与极值，属于中档题.
11.已知椭圆22
22:1(0)x y E a b a b +=>>的右焦点为F ．短轴的一个端点为M ，直线
:340l x y -=交椭圆E 于,A B 两点．若4AF BF +=，点M 到直线l 的距离不小于
4
5
，则椭圆E 的离心率的取值范围是（ ） A. 3(0,
]2
B. 3(0,]4
C. 32
D. 3[,1)4
【答案】A 【解析】
试题分析：设1F 是椭圆的左焦点，由于直线:340l x y -=过原点，因此,A B 两点关于原点对称，从而1AF BF 是平行四边形，所以14BF BF AF BF +=+=，即24a =，2a =，设
(0,)M b ，则45b d =
，所以
44
55b ≥，1b ≥，即12b ≤<，又22224c a b b =-=-
，所以0c <≤
02
c a <
≤
．故选A ． 考点：椭圆的几何性质．
【名师点睛】本题考查椭圆的离心率的范围，因此要求得,a c 关系或范围，解题的关键是利用对称性得出AF BF +就是2a ，从而得2a =，于是只有由点到直线的距离得出b 的范围，就得出c 的取值范围，从而得出结论．在涉及到椭圆上的点到焦点的距离时，需要联想到椭圆的定义．
12.已知函数()f x 是定义域为()0,∞+，()f x '是函数()f x 的导函数，若()1f e =，且
()()()10xf x x f x -+>'，则不等式()ln ln f x x x <的解集为（ ）
A. ()0,e
B. (),e +∞
C. ()1,e
D. ()0,1
【答案】C 【解析】 令
()()x
f x
g x xe
=
，
x >，则
()()()()()
()()()
22'1'1'x x
x
x
f x xe f x x e xf x x f x
g x x e xe
⋅-⋅+-+=
=
．因为
()()()'10xf x x f x -+>，所以()'0g x >，所以函数()g x 在()0,+∞上单调递增．易得()ln g x =
()()ln ln ln ln ln x
f x f x x e
x x
=
⋅，因为函数()f x 的定义域为()0,+∞，所以ln 0x >，解得
1x >，所以不等式()ln ln f x x x <等价于
()ln 1ln f x x x
<，即()ln 1g x <．又()1e f =，所以
()()111f g e
=
=，所以()ln 1g x <等价于()()ln 1g x g <．因为函数()g x 在()0,+∞上单调
递增，所以ln 1x <，解得x e <，结合1x >可得1x e <<．故不等式()ln ln f x x x <的解集是()1,e ．故选C ．
二、填空题。

13.已知点()
1,3P -，则它的
极坐标是________．()0,02ρθπ>≤< 【答案】5(2,)3
π 【解析】 【分析】
直接利用极坐标公式得到答案.
【详解】已知点()
1,3P -，()0,02ρθπ>≤< 则：22+2x y ρ=
=
5tan 33
y x πθθ=
=-⇒= （(
)
1,3P -在第四象限） 故答案为：5(2,)3π 【点睛】本题考查了极坐标与直角坐标的转换，属于简单题.
14.若0a >，0b >，且函数()3
2
422f x x ax bx =--+在1x =处有极值，则
14
a b
+的最小值等于________． 【答案】
【解析】
函数的导函数：()2
'1222f x x ax b =-- ，
由函数的极值可得：()'112220f a b =--= ，解得：6a b += ，则：
()14114141435526662b a b a a b a b a b a b a b ⎛⎛⎫⎛
⎫+=⨯+⨯+=++≥+⨯= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝
⎭⎝ ，
当且仅当2,4a b == 时等号成立， 即14a b +的最小值等于32
.
15.三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，223PA AC ==，1AB =，60ABC ∠=︒，三棱锥P ABC -的外接球的表面积为____________． 【答案】16π 【解析】 试题分析：
三棱锥P ﹣ABC 的三条侧棱两两互相垂直，所以把它扩展为长方体，它也外接于球，对角线的长为球的直径，然后解答即可． 详解：如图，在△ABC 中，由正弦定理得
sin sin AC AB
B C
= ⇒sinC=12，∵C＜B ，∴C=30°，
∴A=90°，又∵PA⊥平面ABC ，AP ，AC ，AB 两两垂直，
故可将此三棱锥放入一个长、宽、高分别1，3，23为的长方体内，三棱锥的四个顶点亦为长方体的顶点，其外接球为长方体外接球． 易得外接球半径为2，故外接球表面积为4πR 2=16π． 故答案为：16π．
点睛：与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径.
16.《聊斋志异》中有这样一首诗：“挑水砍柴不堪苦，请归但求穿墙术，得诀自诩无所阻，
额上纹起终不悟。

”在这里，我们称形如以下形式的等式具有“穿墙术”：=
=
=
=
=n =_____． 【答案】9999 【解析】
分析：观察所告诉的式子，找到其中的规律，问题得以解决.
详解：=
，=
，=
，=
按照以上规律=210019999n =-=. 故答案为：9999.
点睛：常见的归纳推理类型及相应方法 常见的归纳推理分为数的归纳和形的归纳两类：
(1)数的归纳包括数字归纳和式子归纳，解决此类问题时，需要细心观察，寻求相邻项及项与序号之间的关系，同时还要联系相关的知识，如等差数列、等比数列等． (2)形的归纳主要包括图形数目归纳和图形变化规律归纳．
三、解答题（解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17.已知公差不为0的等差数列{}n a 中22a =，且2a ，4a ，8a 成等比数列． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设11n n n b a a +=
，数列{}n b 的前n 项和为n S ，求使1415
n S <的n 的最大值． 【答案】(1) n a n = (2)13 【解析】 【分析】
（1）直接利用等差数列等比数列公式计算得到答案.
（2）根据（1）将{}n b 表示出来，利用裂项求和得到n S ，最后解不等式得到答案.
【详解】解：（1）设公差为d ，248,,a a a 成等比，2222(2)(6)a d a a d ∴+=+
0d ∴=（舍）或1d =，n a n ∴=
（2）11111n n n b a a n n +==-+，11411115
n n S n n ∴=-=<++ 14n ∴<，max 13n ∴=
【点睛】本题考查了等差数列等比数列基本公式，裂项求和，解不等式，综合性较强，属于常考题目.
18.如图，在边长为2的菱形ABCD 中，60ADC ∠=︒，现将ADC 沿AC 边折到APC △的位置．
（1）求证：PB AC ⊥；
（2）求三棱锥P ABC -体积的最大值． 【答案】（1）见解析；（2）1
【解析】
【分析】
（1）取AC 的中点为O ，连接PO OB 、，由线面垂直的判定定理即可证出. （2）由体积相等转化为P ABC ΔPOB 1V AC S 3-=
⋅即可求出. 【详解】（1）如图所示，
取AC 的中点为O ，连接PO OB 、，易得AC PO AC OB ⊥⊥，，PO OB O = AC POB ∴⊥平面,又PB ⊆ 面POB AC PB ∴⊥
（2）由（1）知
AC POB 260? AC 2PO OB ABCD ADC ⊥∠=︒===
平面，且在边长为的菱形中，，所以，3，P ABC A POB C POB V V V ---=+体积转化为 ΔPOB 1AC S 3
=⋅ =11233sin 32
POB POB ⨯⨯∠=∠ ,当POB 90∠=︒时，P ABC V -的最大值为1. 【点睛】本题考查了线面垂直的判定定理和等体积转化思想，属于基础题.
19.某校高三课外兴趣小组为了解高三同学高考结束后是否打算观看2021年足球世界杯比赛的情况，从全校高三年级1500名男生、1000名女生中按分层抽样的方式抽取125名学生进行问卷调查，情况如下表:
打算观看 不打算观看 女生
20 b 男生
c
25
（1）求出表中数据b ，c ；
（2）判断是否有99%的把握认为观看2021年足球世界杯比赛与性别有关；
（3）为了计算“从10人中选出9人参加比赛”的情况有多少种，我们可以发现它与“从10人中选出1人不参加比赛”的情况有多少种是一致的．现有问题：在打算观看2021年足球世界杯比赛的同学中有5名男生、2名女生来自高三（5）班，现从中推选5人接受校园电视台采访，请根据上述方法，求被推选出的5人中恰有四名男生、一名女生的概率． ()20P K k ≥
0.10 0.05 0.025 0.01 0.005
附：()()()()()
22n ad bc K a b c d a c b d -=++++. 【答案】（1）b=30,c=50（2）有99%的把握,(3)1021P =
【解析】 试题分析：（1）由分层抽样的概念得到参数值；（2）根据公式计算得到28.66 6.635K ≈>，再下结论；（3）根据古典概型的计算公式，列出事件的所有可能性，再得到4男一女的事件数目，做商即可.
解析：
（1）根据分层抽样方法抽得女生50人，男生75人，所以b=50-20=30(人)，
c=75-25=50(人)
（2）因为()()()()()2
2125202530508.66 6.6352030502520503025K ⨯-⨯=≈>++++，所以有99%的把握
认为观看2021年足球世界杯比赛与性别有关.
（3）设5名男生分别为A 、B 、C 、D 、E ，2名女生分别为a 、b ，由题意可知从7人中选出5人接受电视台采访，相当于从7人中挑选2人不接受采访，其中一男一女，所有可能的结果有
{A,B}{A,C}{A,D}{A,E}{A,a}{A,b}{B,C}{B,D}{B,E}{B,a}{B,b}{C,D}{C,E}{C,a}{C,b}{D,E}{D,a}
{D,b}{E,a}{E,b}{a,b}，共21种， 其中恰为一男一女的包括，
{A,a}{A,b}{B,a}{B,b}{C,a}{C,b}{D,a}{D,b}{E,a}{E,b},共10种.
因此所求概率为1021P =
20.在平面直角坐标系中，直线n 过点(Q 且与直线:20m x y +=垂直，直线n 与y 轴交于点M ，点M 与点N 关于x 轴对称，动点P 满足4PM PN +=．
（1）求动点P 的轨迹C 的方程；
（2）过点()0,1D 不平行x 轴的直线l 与轨迹C 相交于A ，B 两点，设点()4,1E ，直线AE ，BE ，AB 的斜率分别为1k ，2k ，k ，问
12112k k k
+-是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 【答案】(1) 2
2
:14y C x += (2)见解析 【解析】
【分析】
（1）计算直线n 方程，得到,M N 坐标，直接利用椭圆定义得到轨迹方程.
（2）设出,A B 坐标和直线l ，联立椭圆方程，利用韦达定理得到坐标关系，代入斜率公式计算得到答案.
【详解】解：（1
）:20n x y --=
，(0,M
，N
动点P 满足4PM PN +=，轨迹为椭圆.
2
2
:14y C x += （2）设11(,)A x y ，22(,)B x y ，:1l y kx ∴=+
22221(4)23044
y kx k x kx x y =+⎧⇒++-=⎨+=⎩ 222412(4)16480k k k ∆=++=+> 恒成立.
12224k x x k -+=+，122
34x x k -=+ 1212121212
44441111x x x x k k y y kx kx ----+=+=+-- 12
244()k kx kx =-+ 12124()2283x x k k kx x k k +=
-=+-
283k =
- 1211283
k k k ∴+-=- 【点睛】本题考查了轨迹方程，直线与椭圆的位置关系，计算量大，综合性强，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.
21.已知函数()()2
ln 1f x ax x =++． （1）当14
a =-时，求函数()f x 的单调区间； （2）当[)0,x ∈+∞时，不等式()f x x ≤恒成立，求实数a 的取值范围．
【答案】（1）()f x 在区间(1,1)-递增，在区间(1,)+∞递减 （2）0a ≤
【解析】
试题分析：（1）14
a =-时，(2)(1)()2(1)x x f x x -+-+'=， 1x >-，∴()0f x '>时11x -<<；()0f x '<时1x >，
函数()f x 在区间(1,1)-递增，在区间(1,)+∞递减.
（2）由已知得0x ≥时，2ln(1)ax x x ++≤恒成立， 即0x ≥时，2ln(1)0ax x x ++-≤恒成立。

设2()ln(1)g x ax x x =++-，221()1
ax a g x x x +-'=⋅+， 0a ≤时，0,()0x g x '≥∴≤，()g x 在区间[)0,+∞递减，0x ∴≥时，()(0)0g x g ≤=，故0a ≤；
0a >时，若()0g x '>，则112x a >
-，函数()g x 在区间11,2a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭递增， 若1102a -≤，即12
a ≥时，()g x 在[)0,+∞递增，则()(0)0g x g ≥=，矛盾，故舍去； 若1102a ->，即102a <<时，()g x 在10,12a ⎛⎫- ⎪⎝⎭递减，在11,2a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭
递增，且x →+∞时2ln(1)ax x x -++→+∞，，矛盾，故舍去.
综上，0a ≤.
考点：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．
点评：本题考查函数的单调性，考查导数知识的运用，考查分类讨论的数学思想，属于中档题．
22.在极坐标系中，曲线C 的方程为2
cos 29ρθ=，点23,6P π⎛⎫ ⎪⎝⎭，以极点O 为原点，极轴为x 轴的正半轴建立直角坐标系．
（1）求直线OP 的参数方程的标准式和曲线C 的直角坐标方程；
（2）若直线OP 与曲线C 交于A 、B 两点，求11PA PB
+的值． 【答案】（1）33132x t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩
（t 为参数），229x y -=；（2）
.
【解析】 试题分析：（1）利用条件，求得直线OP 的参数方程，把曲线C 的方程为2cos 29ρθ=化为直角坐标方程； （2）联立方程，借助韦达定理，表示目标，得到结果. 试题解析：（1）∵化为直角坐标可得3)P ，=6
πα， ∴直线OP 的参数方程为：33,2{13.2x y t =+
= ∵2222
cos sin 9ρθρθ-=，
∴曲线C 的直角坐标方程：229x y -=，得：2360t t +-=，
∴1243t t +=-1260t t =-<， ∴121212||11112||||||||||
t t PA PB t t t t -+=+==． 考点：极坐标和参数方程等有关知识的综合运用．
23.已知函数()f x x a =-，不等式()3f x ≤的解集为[]6,0-．
（1）求实数a 的值；
（2）若()()52f x f x m ++≥对一切实数x 恒成立，求实数m 的取值范围．
【答案】（1）3a =-；（2）52m ≤
【解析】
分析：（1）去掉绝对值，求出x 的范围，根据不等式的解集，得到对应关系，求出a 的值即可；
（2）根据绝对值的性质求出f （x ）+f （x+5）的最小值，得到关于m 的不等式，解出即可． 详解：
（1）由()3f x ≤，得3x a -≤，∴33a x a -≤≤+，
又()3f x ≤的解集为[]6,0-．解得：3a =-；
（2）()()5385f x f x x x ++=+++≥．
又()()52f x f x m ++≥对一切实数x 恒成立，525,2m m ∴≤≤
点睛：本题考查了解绝对值不等式问题，考查绝对值三角不等式的性质，是一道中档题．。