辽宁省沈阳二中高二数学下学期期末考试试卷 文

沈阳二中2015——2016学年度下学期期末考试
高二（17届）数学(文)试题
说明：1.测试时间：120分钟 总分：150分
2.客观题涂在答题纸上，主观题答在答题纸的相应位置上
第Ⅰ卷 （60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.函数)13lg(13)(2++-=
x x
x x f 的定义域为（ ）
A ),3
1
(+∞- B )1,3
1(- C )3
1,31(- D )3
1,(--∞ 2.已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线x y 2=上，则=θ2tan （ ） A
34 B 43 C 34- D 4
3- 3.在ABC ∆中，M 为边BC 上任意一点，N 为AM 的中点，AC AB AN μλ+=,则μλ+的值为（ ） A
21 B 31 C 4
1
D 1 4.已知0>a ，函数ax x x f -=3
)(在),1[+∞是单调增函数，则a 的最大值是（ ） A 0 B 1 C 2 D 3
5若实数,a b 满足
12
a b
+=，则ab 的最小值是（ ）
B 2
C 6. 已知数列{a n }，{b n }满足a 1＝1，且a n ，a n ＋1是函数f (x )＝x 2
－b n x ＋2n
的两个零点，则b 10等于( )
A ．24
B ． 32
C ． 48
D ． 64
7. 函数ln ||
cosx
y x =
的图象大致是（ ）
A B C D
8. 某货轮在A处看灯塔S在北偏东30︒方向，它向正北方向航行24海里到达B处，看灯塔S 在北偏东75︒方向，则此时货轮看到灯塔S的距离为_________海里
A 3
12
B 3
100 D 2
100
9. .已知)
,0(π
θ∈，则
θ
θ2
2cos
9
sin
1
+
=
y的最小值为( )
A 6
B 10
C 12
D 16
10.在斜三角形ABC中，C
B
A cos
cos
2
sin-
=
且tan tan1
B C
⋅=则角A的值为（）
A
4
π
B
3
π
C
2
π
D
3
4
π
11.若函数2
()log(5)(01)
a
f x x ax a a
=-+>≠
且满足对任意的
12
,x x，当
122
a
x x
<≤时，21
()()0
f x f x
-<，则实数a的取值范围为（）
A (,
-∞
B )
+∞
C [1,
D (1,
12.设函数x
a
x
x
x
f ln
1
2
)
(2+
+
-
=有两个极值点
2
1
,x
x，且
2
1
x
x<，则)
(
2
x
f的取值范围是（）
A )
4
2
ln
2
1
,0(
+
B )
4
2
ln
2
1
,
(
-
-∞ C )
,
4
2
ln
2
1
(+∞
-
D)0,
4
2
ln
2
1
(
-
第Ⅱ卷（非选择题共90分）
二．填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13. 设变量x,y满足约束条件34
2
y x
x y
x
≥
⎧
⎪
+≤
⎨
⎪≥-
⎩
，则3
z x y
=-的最大值为________
14.若将函数)
4
2
sin(
)
(
π
+
=x
x
f的图像向右平移ϕ个单位，所得图像关于y轴对称，则ϕ的最小正值是_______
15. 已知A B C
∆的外接圆圆心为O，满足CB
n
CA
m
CO+
=且2
3
4=
+n
m
，6
3
4=
= ,则=
⋅_____________
16已知函数
⎩
⎨
⎧
>
-
≤
-
=
2
,
)2
(
2
,
2
)
(
2x
x
x
x
x
f.函数),
2(
)
(x
f
b
x
g-
-
=其中R
b∈，若函数
)()(x g x f y -=恰有4个零点，则b 的取值范围是___________
三、 解答题：（本大题共6小题，满分70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 17.（本小题10分）
设x x x x f cos sin 32cos 6)(2-=.
(Ⅰ)求)(x f 的最小正周期; (Ⅱ)求单调递增区间;
18. （本小题12分）
已知函数()x
f x a =的图象过点(1,12),且点2(1,)n a n n
- (n ∈N *)在函数()x f x a =的图象上. (1)求数列{}n a 的通项公式; (2)令11
2
n n n b a a +=-
,若数列{}n b 的前n 项和为n S ,求证:5n S <
19. （本小题12分）
已知函数()ln ()f x x a x a R =-∈
(1)当2a =时,求曲线()y f x =在点(1,(1))A f 处的切线方程; (2)求函数()f x 的极值. 20. （本小题12分）
如图：梯形ABCD 中，AB//CD ，BC=6，22tan -=∠ABC （1）若4
π
=∠ACD ，求AC 的长；（2）若BD=9，求BCD ∆的面积；
21. （本小题12分） 已知函数f (x )=x a x -2log 2
，过定点A (2
1
,21)的直线与函数f (x )的图象交于两点B 、C ，A
B
C D
且．=+ （1）求a 的值；
（2）若n S =n n
n f n f n f ),1()2()1(-+⋯++∈N *
，且n ≥2，求n S ．
（3）已知数列{}n a 满足：123a =
，n
a 1=(S n +1)(S n +1+1)，其中n ∈N *
．T n 为数列{a n }的前n 项和，若)1(1+<+n n S T λ对一切n ∈N *
都成立，试求λ的取值范围．
22. （本小题12分） 已知函数f(x)＝
x
e
x 1
ln +，(e ＝2.71828…是自然对数的底数)。

(1)求f(x)的单调区间；
(2)设g(x)＝)(x f x '，其中)(x f '为f(x)的导函数．证明：对任意x>0，g(x)<1＋e －2.
沈阳二中2015——2016学年度下学期期末考试
高二（17届）数学(文)试题答案
一． 选择题：
1. B 2 C 3 A 4 D 5 C 6 D 7 C 8 B 9 D 10.A 11 D 1
2.D 二．填空题： 1
3. 8 1
4. 83π 15 36 16. 24
7
<<b 三．解答题：
17. 解:(Ⅰ)(1cos 2)()6
2)326
x f x x x π
+==++,
故f (x )的最小正周期π=T ,
由 522226
k x k π
ππππ+≤+≤+
得f (x )的单调递增区间为 511
[,]()1212
k k k Z ππππ++∈
18. (1)∵函数f (x )=a x
的图象过点(1,12
),
∴a =12,f (x )=(12
)x
.
又点(n -1,a n n 2)(n ∈N *)在函数f (x )=a x
的图象上,从而a n n 2=12n －1,即a n =n 22
n －1.
(2)证明:由b n =
n ＋
2
2
n
-n 22n =2n ＋1
2
n 得,
(3)S n =32+522++2n ＋12n ,
则12S n =322+523++2n －12n +2n ＋12
n ＋1, 两式相减得:12S n =32+2(122+123++12n )-2n ＋1
2
n ＋1,
112122
11]
)21(1[4122321+-+---+=n n n n s
∴S n =5-2n ＋5
2
n ,
025
2>+n
n
∴S n <5 19. 函数()f x 的定义域为(0,)+∞,()1'=-
a f x x
. (Ⅰ)当2=a 时,()2ln =-f x x x ,2
()1(0)'=-
>f x x x
, (1)1,(1)1'∴==-f f ,
()∴=y f x 在点(1,(1))A f 处的切线方程为1(1)-=--y x ,
即20+-=x y .
(Ⅱ)由()1,0-'=-
=>a x a f x x x x
可知: ①当0≤a 时,()0'>f x ,函数()f x 为(0,)+∞上的增函数,函数()f x 无极值; ②当0>a 时,由()0'=f x ,解得=x a ;
(0,)∈x a 时,()0'<f x ,(,)∈+∞x a 时,()0'>f x
()∴f x 在=x a 处取得极小值,且极小值为()ln =-f a a a a ,无极大值.
综上:当0≤a 时,函数()f x 无极值
当0>a 时,函数()f x 在=x a 处取得极小值ln -a a a ,无极大值
20.（1）
Q tan ABC ABC ∠=-∴∠
为钝角，且1
sin 33
ABC ABC ∠=
∠=-
//,4
AB CD BAC ACD π
∴∠=∠=
Q ,在ABC ∆中，
,8sin sin BC AC
AC BAC ABC ==∠∠;
(2)
//,AB CD ABC BCD π
∴∠+∠=Q ,
1cos cos 3
BCD ABC ∠=-∠=
,
sin sin BCD ABC ∴∠=∠=,在BCD ∆中，213681
cos 326CD BCD CD
+-∠==⨯⨯,
24450,9CD CD CD ∴--=∴=,1
69sin 2
BCD S BCD ∆=⨯⨯⨯∠=
21. 1）证明：∵0
=+AC AB ∴A 是BC 的中点．设A (x ,y )，B (x 1,y 1)，C (x 2,y 2),
由21(x 1+x 2)=2
1，得x 1+x 2=1，则x 1x 2或x 2x 1． （2
分） 而
21=21(y 1+y 2)=21[f (x 1)+f (x 2)]=21( log 22
22
112log 2x a x x a x -+-)
=
2
1(1+log 222211log x a x x a x -+-)，∴log 2=22
11x a x x a x -⋅-0，
因此λ＞21，即λ的取值范围是（,2
1
+∞）．
22. (1)得f ′(x )＝
1
x e x
(1－x －x ln x )，x ∈(0，＋∞)， 令h (x )＝1－x －x ln x ，x ∈(0，＋∞)，
当x ∈(0,1)时，h (x )>0；当x ∈(1，＋∞)时，h (x )<0. 又e x
>0，
所以x ∈(0,1)时，f ′(x )>0；
x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )<0.
因此f (x )的单调递增区间为(0,1)，单调递减区间为(1，＋∞)． (2)证明：因为g (x )＝xf ′(x )．
所以g (x )＝1
e x (1－x －x ln x )，x ∈(0，＋∞)．
由(2)h (x )＝1－x －x ln x ，
求导得h′(x)＝－ln x－2＝－(ln x－lne－2)，
所以当x∈(0，e－2)时，h′(x)>0，函数h(x)单调递增；当x∈(e－2，＋∞)时，h′(x)<0，函数h(x)单调递减．所以当x∈(0，＋∞)时，h(x)≤h(e－2)＝1＋e－2.
又当x∈(0，＋∞)时，0<1
e x
<1，
所以当x∈(0，＋∞)时，1
e x
h(x)<1＋e－2，即g(x)<1＋e－2. 综上所述结论成立．。