四川省成都市武侯区2019-2020学年八年级(上)期末数学试卷 解析版

2019-2020 学年武侯区八年级（上）期末数学试卷
A 卷
一．选择题（共 10 小题） 1．在
，0，
，﹣
，0.1010010001…（相邻两个 1 之间的 0 的个数逐渐增加 1）这
六个数中，无理数的个数共有（ A ．2 个
B ．3 个
2．在平面直角坐标系中，点 P （﹣ ，﹣2）关于原点对称的点在（
）
C ．4 个
D ．5 个
） A ．第一象限 B ．第二象限
） C ．第三象限
D ．第四象限
3．下列计算正确的是（ A ．
+
＝
B ．
＝4
C ．3 ﹣ ＝3
D ． ＝
4．在平面直角坐标系中，直线 y ＝2x ﹣3 与 y 轴的交点坐标是（ A ．（0，﹣3）
B ．（﹣3，0）
C ．（2，﹣3）
）
D ．（ ，0）
5．已知 P （x ，y ），P （x ，y ）是一次函数 y ＝﹣ x +5 图象上的两个点，且 x ＜x ，则
1
1
1
2
2
2
1
2
y 与 y 的大小关系是（
）
1
2
A ．y ＝y
B ．y ＜y
C ．y ＞y
D ．无法确定
1
2
1
2
1
2
6．下列说法正确的是（ ）
A ．
的算术平方根是 3
B ．平行于同一条直线的两条直线互相平行
C ．带根号的数都是无理数
D ．三角形的一个外角大于任意一个内角
7．如图，在平面直角坐标系中，已知点 A （﹣2，0），B （0，3），以点 A 为圆心，AB 长为 半径画弧，交 x 轴的正半轴于点 C ，则点 C 的横坐标介于（
）
A．0和1之间B．1和2之间C．2和3之间D．3和4之间
8．武侯区初中数学分享学习课堂改革正在积极推进，在一次数学测试中，某班的一个共学小组每位同学的成绩（单位：分；满分100分）分别是：92，90，94，88，记这组数据的方差为s．将上面这组数据中的每一个数都减去90，得到一组新数据2，0，4，﹣2，2
1
记这组新数据的方差为s，此时有s＝s，则s的值为（）
2222
2121
A．1B．2C．4D．5
9．我国古代数学著作《增删算法统宗》记载”绳索量竿”问题：“一条竿子一条索，索比竿子长一托．折回索子却量竿，却比竿子短一托．“其大意为：现有一根竿和一条绳索，用绳索去量竿，绳索比竿长5尺；如果将绳索对半折后再去量竿，就比竿短5尺．设绳索长x尺，竿长y尺，则符合题意的方程组是（）
A．C．B．D．
10．如图，在长方形ABCD中，AB＝6，BC＝8，∠ABC的平分线交AD于点E，连接CE，过B 点作BF⊥CE于点F，则BF的长为（）
A．B．C．D．
二．填空题
11．已知x，y满足方程组，则9x﹣y的值为．
12．如图，将直线OA向上平移3个单位长度，则平移后的直线的表达式为．13．如图，∠BCD是△ABC的外角，CE平分∠BCD，若AB＝AC，∠ECD＝52.5°，则∠A的度
数为．
14．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，AB＝4cm，动点P从点B出发沿
秒时，△ABP 射线BC方向以2cm/s的速度运动．设运动的时间为t秒，则当t＝
为直角三角形．
三．解答题
15．计算
（1）+|2﹣|﹣﹣（π﹣）0
（2）（﹣2）×+3
16．（1）解方程
（2）在（1）的基础上，求方程组的解．
17．某公司销售部有营销员15人，销售部为了制定关于某种商品的每位营销员的个人月销售定额，统计了这15人某月关于此商品的个人月销售量（单位：件）如下：
1800510250210150120个人月销售
量
营销员人数113532（1）求这15位营销员该月关于此商品的个人月销售量的平均数，并直接写出这组数据的中位数和众数；
（2）假设该销售部负责人把每位营销员关于此商品的个人月销售定额确定为320件，你认为对多数营销员是否合理？并在（1）的基础上说明理由．
18．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知△OAB的两个顶点的坐标分别是A（3，0），B（2，3）．
（1）画出△OAB关于y轴对称的△OA B，其中点A，B的对应点分别为A，B，并直接
1111写出点A，B的坐标；
11
（2）点C为y轴上一动点，连接A C，B C，求A C+B C的最小值并求出此时点C的坐标．
1111
19．如图，△ABC是等腰直角三角形，且∠ACB＝90°，点D是AB边上的一点（点D不与A，B重合），连接CD，过点C作CE⊥CD，且CE＝CD，连接DE，AE．
（1）求证：△CBD≌△CAE；
（2）若AD＝4，BD＝8，求DE的长．
20．如图，过点A（1，3）的一次函数y＝kx+6（k≠0）的图象分别与x轴，y轴相交于B，C两点．
（1）求k的值；
（2）直线l与y轴相交于点D（0，2），与线段BC相交于点E．
（i）若直线l把△BOC分成面积比为1：2的两部分，求直线l的函数表达式；
（ⅱ）连接AD，若△ADE是以AE为腰的等腰三角形，求满足条件的点E的坐标．
B卷一.填空题
21．已知x是的整数部分，y是的小数部分，则xy的值22．若实数a，b满足，则a﹣b的平方根是．．
23．如图，把平面内一条数轴x绕点O逆时针旋转角θ（0°＜θ＜90°）得到另一条数轴y，x轴和y轴构成一个平面斜坐标系．规定：已知点P是平面斜坐标系中任意一点，过点P作y轴的平行线交x轴于点A，过点P作x轴的平行线交y轴于点B，若点A在x 轴上对应的实数为a，点B在y轴上对应的实数为b，则称有序实数对（a，b）为点P 的斜坐标．在平面斜坐标系中，若θ＝45°，点P的斜坐标为（1，2），点G的斜坐标为（7，﹣2），连接PG，则线段PG的长度是．
24．如图，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝2，AC＝，以BC为斜边作等腰Rt△BCD，连接AD，则线段AD的长为．
25．如图，在正方形网格中，△ABC的每一个顶点都在格点上，AB＝5，点D是AB边上的动
点（点D不与点A，B重合），将线段AD沿直线AC翻折后得到对应线段AD，将线段BD
1沿直线BC翻折后得到对应线段BD，连接D D，则四边形D ABD的面积的最小值
21212是．
26．某市为了鼓励居民在枯水期（当年11月至第二年5月）节约用电，规定7：00至23：
00为用电高峰期，此期间用电电费y（单位：元）与用电量x（单位：度）之间满足的
1
关系如图1所示；规定23：00至第二天早上7：00为用电低谷期，此期间用电电费y
2（单位：元）与用电量x（单位：元）之间满足如表1所示的一次函数关系．
（1）求y与x的函数关系式；并直接写出当0≤x≤180和x＞180时，y与x的函数关21
系式；
（2）若市民王先生一家在12月份共用电350度，支付电费150元，求王先生一家在高峰期和低谷期各用电多少度．
…80100140…
低谷期用电
量x度
低谷期用电…202535…
电费y元
2
27．如图，AC平分钝角∠BAE交过B点的直线于点C，BD平分∠ABC交AC于点D，且∠BAD+∠ABD＝90°．
（1）求证：AE∥BC；
（2）点F是射线BC上一动点（点F不与点B，C重合），连接AF，与射线BD相交于点P．（ⅰ）如图1，若∠ABC＝45°，AF⊥AB，试探究线段BF与CF之间满足的数量关系；
（ⅱ）如图2，若AB＝10，S＝30，∠CAF＝∠ABD，求线段BP的长．
△ABC
28．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+3分别交y轴，x轴于A、B两点，点C 在线段AB上，连接OC，且OC＝BC．（1）求线段AC的长度；
（2）如图2，点D的坐标为（﹣，0），过D作DE⊥BO交直线y＝﹣x+3于点E．动点N在x轴上从点D向终点O匀速运动，同时动点M在直线＝﹣x+3上从某一点向终点G（2，1）匀速运动，当点N运动到线段DO中点时，点M恰好与点A重合，且它们同时到达终点．
i）当点M在线段EG上时，设EM＝s、DN＝t，求s与t之间满足的一次函数关系式；
ii）在i）的基础上，连接MN，过点O作OF⊥AB于点F，当MN与△OFC的一边平行时，求所有满足条件的s的值．
参考答案与试题解析
A 卷
一．选择题（共 10 小题） 1．在
，0，
，﹣
，0.1010010001…（相邻两个 1 之间的 0 的个数逐渐增加 1）这
六个数中，无理数的个数共有（ A ．2 个
B ．3 个
【分析】根据无理数的三种形式求解． 【解答】解：在
，0，
，﹣
，0.1010010001…（相邻两个 1 之间的 0 的个数逐 ）
C ．4 个
D ．5 个
渐增加 1）这六个数中，无理数有： ，0.1010010001…（相邻两个 1 之间的 0 的个数
逐渐增加 1）共 2 个． 故选：A ．
2．在平面直角坐标系中，点 P （﹣ ，﹣2）关于原点对称的点在（
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
【分析】直接利用关于原点对称点的性质得出答案． ） D ．第四象限
【解答】解：∵P （﹣ ，﹣2）关于原点对称的点的坐标是（
，2）
∴点 P （﹣ ，﹣2）关于原点对称的点在第一象限．
故选：A ．
3．下列计算正确的是（ ） A ．
+
＝
B ．
＝4
C ．3
﹣
＝3
D ．
＝
【分析】根据二次根式的加减法对 A 、C 进行判断；根据二次根式的乘法法则对 B 、D 进 行判断． 【解答】解：A 、
与
不能合并，所以 A 错误；
B 、 ＝ ＝2 ，所以 B 错误；
＝2 ，所以 C 错误； C 、3 D 、
﹣
＝
＝
，所以 D 正确．
故选：D ．
4．在平面直角坐标系中，直线 y ＝2x ﹣3 与 y 轴的交点坐标是（
）
A．（0，﹣3）B．（﹣3，0）C．（2，﹣3）D．（，0）
【分析】根据y轴上点的坐标特征得到直与y轴的交点的横坐标为0，然后把x＝0代入直线解析式求出对应的y的值即可．
【解答】解：把x＝0代入y＝2x﹣3得y＝﹣3，
所以直线y＝2x﹣3与y轴的交点坐标是（0，﹣3）．
故选：A．
5．已知P（x，y），P（x，y）是一次函数y＝﹣x+5图象上的两个点，且x＜x，则11122212
y与y的大小关系是（）
12
A．y＝y B．y＜y C．y＞y D．无法确定121212
【分析】先根据一次函数的解析式判断出函数的增减性，再根据x＜x，得出y与y的
1212大小关系即可．
【解答】解：∵一次函数y＝﹣x+5中，k＝﹣＜0，
∴y随x的增大而减小，
∵x＜x，
12
∴y＞y．
12
故选：C．
6．下列说法正确的是（
）
A．的算术平方根是3
B．平行于同一条直线的两条直线互相平行
C．带根号的数都是无理数
D．三角形的一个外角大于任意一个内角
【分析】根据算术平方根的定义，平行线的判定，无理数的定义，三角形的外角的性质
判断即可．
【解答】解：A、的算术平方根是，所以A选项错误；
B、平行于同一条直线的两条直线互相平行，所以B选项正确；
C、带根号的数不一定是无理数，所以C选项错误；
D、三角形的一个外角大于与之不相邻的任何一个内角，所以D选项错误．
故选：B．
7．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（﹣2，0），B（0，3），以点A为圆心，AB长为
半径画弧，交x轴的正半轴于点C，则点C的横坐标介于（）
A．0和1之间B．1和2之间C．2和3之间D．3和4之间【分析】求出OA、OB，根据勾股定理求出AB，即可得出AC，求出OC长即可．【解答】解：∵点A，B的坐标分别为（﹣2，0），（0，3），
∴OA＝2，OB＝3，
在Rt△AOB中，由勾股定理得：AB＝＝，
∴AC＝AB＝∴OC＝
，﹣2，
∴点C的坐标为（﹣2，0），
∵∴，
，
即点C的横坐标介于1和2之间，
故选：B．
8．武侯区初中数学分享学习课堂改革正在积极推进，在一次数学测试中，某班的一个共学小组每位同学的成绩（单位：分；满分100分）分别是：92，90，94，88，记这组数据的方差为s．将上面这组数据中的每一个数都减去90，得到一组新数据2，0，4，﹣2，2
1
记这组新数据的方差为s，此时有s＝s，则s的值为（）
2222
2121
A．1B．2C．4D．5
【分析】首先计算出每一个数都减去90，得到一组新数据2，0，4，﹣2的平均数，再利用方差公式计算方法即可．
【解答】解：＝（2+0+4﹣2）÷4＝1，
s＝＝＝5，
2
∵s＝s，
22
12
∴s的值为5，
2
1
故选：D．
9．我国古代数学著作《增删算法统宗》记载”绳索量竿”问题：“一条竿子一条索，索比竿子长一托．折回索子却量竿，却比竿子短一托．“其大意为：现有一根竿和一条绳索，用绳索去量竿，绳索比竿长5尺；如果将绳索对半折后再去量竿，就比竿短5尺．设绳索长x尺，竿长y尺，则符合题意的方程组是（）
A．
C．
B．
D．
【分析】设索长为x尺，竿子长为y尺，根据“索比竿子长一托，折回索子却量竿，却比竿子短一托”，即可得出关于x、y的二元一次方程组．
【解答】解：设索长为x尺，竿子长为y尺，
．
故选：A．
10．如图，在长方形ABCD中，AB＝6，BC＝8，∠ABC的平分线交AD于点E，连接CE，过B 点作BF⊥CE于点F，则BF的长为（）
A．B．C．D．
【分析】由矩形的性质可得可得AB＝CD＝6，BC＝AD＝8，BC∥AD，由角平分线的性质可得∠ABE＝∠CBE＝∠AEB，可得AE＝AB＝6，由勾股定理可求CE的长，由面积法可求BF 的长．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD＝6，BC＝AD＝8，BC∥AD，
∴∠CBE＝∠AEB，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠CBE＝∠AEB，
∴AE＝AB＝6，
∴DE＝2，
∴CE＝＝＝2，
∵S＝S＝24，
△BCE矩形ABCD
∴×2×BF＝24
∴BF＝
故选：C．
二．填空题
11．已知x，y满足方程组，则9x﹣y的值为80．
【分析】原式利用平方差公式变形，把已知等式代入计算即可求出值．
【解答】解：由方程组得：3x﹣y＝10，3x+y＝8，
则原式＝（3x+y）（3x﹣y）＝80，
故答案为：80
12．如图，将直线OA向上平移3个单位长度，则平移后的直线的表达式为y＝2x+3．
【分析】利用待定系数法确定直线OA解析式，然后根据平移规律填空．
【解答】解：设直线OA的解析式为：y＝kx，
把（1，2）代入，得k＝2，
则直线OA解析式是：y＝2x．
将其上平移3个单位长度，则平移后的直线的表达式为：y＝2x+3．
故答案是：y＝2x+3．
13．如图，∠BCD是△ABC的外角，CE平分∠BCD，若AB＝AC，∠ECD＝52.5°，则∠A的度数为30°．
【分析】首先根据角平分线的性质求得∠BCD 的度数，然后求得其邻补角的度数，从而 求得∠C 的度数，然后利用三角形的内角和定理求得∠A 的度数即可．
【解答】解：∵CE 平分∠BCD ，∠ECD ＝52.5°，
∴∠BCD ＝2∠ECD ＝105°，
∴∠ACB ＝180°﹣∠BCD ＝180°﹣105°＝75°，
∵AB ＝AC ，
∴∠B ＝∠ACB ＝75°，
∴∠A ＝30°，
故答案为：30°．
14．如图，在 Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，∠B ＝30°，AB ＝4 cm ，动点 P 从点 B 出发沿 射线 BC 方向以 2cm /s 的速度运动．设运动的时间为 t 秒，则当 t ＝ 3 或 4 秒时，△ ABP 为直角三角形．
【分析】首先根据勾股定理求出 BC 的长度，再分两种情况：①当∠APB 为直角时，②当 ∠BAP 为直角时，分别求出此时的 t 值即可．
【解答】解：∵∠C ＝90°，AB ＝4
cm ，∠B ＝30°， ∴AC ＝2 cm ，BC ＝6cm ．
①当∠APB 为直角时，点 P 与点 C 重合，BP ＝BC ＝6 cm ，
∴t ＝6÷2＝3s ．
②当∠BAP 为直角时，B P ＝2tcm ，CP ＝（2t ﹣6）cm ，AC ＝2
cm ，
在 Rt △ACP 中，AP ＝（2 ） +（2t ﹣6） ， 2 2 2 在 Rt △BAP 中，AB +AP ＝BP ，
2 2 2 ∴（4 ）2+[（2 ） +（2t ﹣6） ]＝（2t ） ， 2 2 2
解得 t ＝4s ．
综上，当 t ＝3s 或 4s 时，△ABP 为直角三角形．
故答案为：3或4．
三．解答题
15．计算
（1）+|2﹣|﹣﹣（π﹣）0
（2）（﹣2）×+3
【分析】（1）首先计算乘方、开方，然后从左向右依次计算，求出算式的值是多少即可．（2）应用乘法分配律，求出算式的值是多少即可．
【解答】解：（1）+|2﹣|﹣﹣（π﹣）0
＝2
＝3
+﹣2﹣（﹣3）﹣1
（2）（＝
﹣2）×+3×﹣2×+3×+
＝6﹣2
＝6﹣
16．（1）解方程
（2）在（1）的基础上，求方程组的解．【分析】（1）方程组利用加减消元法求出解即可；
（2）仿照（1）中方程的解确定出所求方程组的解即可．
【解答】解：（1）方程组整理得：，
①+②得：6x＝12，
解得：x＝2，
把x＝2代入①得：y＝3，
则方程组的解为；
（2）由（1）得：，
解得：．
17．某公司销售部有营销员15人，销售部为了制定关于某种商品的每位营销员的个人月销售定额，统计了这15人某月关于此商品的个人月销售量（单位：件）如下：
1800510250210150120个人月销售
量
营销员人数113532（1）求这15位营销员该月关于此商品的个人月销售量的平均数，并直接写出这组数据的中位数和众数；
（2）假设该销售部负责人把每位营销员关于此商品的个人月销售定额确定为320件，你认为对多数营销员是否合理？并在（1）的基础上说明理由．
【分析】（1）找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数或两个数的平均数为中位数，众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个．平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数．
（2）根据表中数据和平均数、中位数和众数的意义回答．
【解答】解：（1）平均数是：（1800+510+25×3+210×5+150×3+120×2）＝320（件），
表中的数据是按从大到小的顺序排列的，处于中间位置的是210，因而中位数是210（件），210出现了5次最多，所以众数是210；
（2）不合理．
因为15人中有13人的销售额不到320件，320件虽是所给一组数据的平均数，它却不能很好地反映销售人员的一般水平．销售额定为210件合适些，因为210件既是中位数，又是众数，是大部分人能达到的定额．
18．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知△OAB的两个顶点的坐标分别是A（3，0），B（2，3）．
（1）画出△OAB关于y轴对称的△OA B，其中点A，B的对应点分别为A，B，并直接
1111写出点A，B的坐标；
11
（2）点C为y轴上一动点，连接A C，B C，求A C+B C的最小值并求出此时点C的坐标．
1111
【分析】（1）依据轴对称的性质，即可得到△OAB关于y轴对称的△OA B，进而得出点
11
A，B的坐标；
11
（2）连接A B，与y轴的交点即为点C的位置，依据勾股定理以及待定系数法，即可得1
出结论．
【解答】解：（1）如图所示，△OA B即为所求，点A的坐标为（﹣3，0），点B的坐标
1111
为（﹣2，3）；
（2）如图所示，A C+B C的最小值等于A B＝＝，
111
设直线A B的解析式为y＝kx+b，
1
由A（﹣3，0），B（2，3），可得
1
，
∴直线A B的解析式为y＝x+，
1
令x＝0，则y＝，
此时点C的坐标为（0，）．
19．如图，△ABC是等腰直角三角形，且∠ACB＝90°，点D是AB边上的一点（点D不与A，B重合），连接CD，过点C作CE⊥CD，且CE＝CD，连接DE，AE．
（1）求证：△CBD≌△CAE；
（2）若AD＝4，BD＝8，求DE的长．
【分析】（1）根据SAS可证明△CBD≌△CAE；
（2）由（1）可得BD＝AE，∠CBD＝∠CAE＝45°，则∠DAE＝90°，根据勾股定理可求出DE的长．
【解答】（1）证明：∵CE⊥CD，∠ACB＝90°，
∴∠DCE＝∠ACB＝90°，
∴∠BCD＝∠ACE，
∵AC＝BC，CE＝CD，
在△BCD与△ACE中，
，
∴△CBD≌△CAE（SAS）．
（2）∵△CBD≌△CAE，
∴BD＝AE，∠CBD＝∠CAE＝45°，
∴∠DAE＝90°，
∴＝＝4．
20．如图，过点A（1，3）的一次函数y＝kx+6（k≠0）的图象分别与x轴，y轴相交于B，C两点．
（1）求k的值；
（2）直线l与y轴相交于点D（0，2），与线段BC相交于点E．
（i）若直线l把△BOC分成面积比为1：2的两部分，求直线l的函数表达式；
（ⅱ）连接AD，若△ADE是以AE为腰的等腰三角形，求满足条件的点E的坐标．
【分析】（1）将点 A 的坐标代入一次函数 y ＝kx +6 即可求解；
（2）（i ）S
＝ OB ×CO ＝ 2×6＝6，直线 l 把△BOC 分成面积比为 1：2 的两 部分，则 S ＝2 或 4，而 S ＝ ×CD ×x ＝ 4×xE ＝2 或 4，即可求解； △BCO △CDE △CDE E
（ⅱ）分 AE ＝AD 、AE ＝ED 两种情况，分别求解即可．
【解答】解：（1）将点 A 的坐标代入一次函数 y ＝k x +6 并解得：
k ＝﹣3；
（2）一次函数 y ＝﹣3x +6 分别与 x 轴，y 轴相交于 B ，C 两点，
则点 B 、C 的坐标分别为：（2，0）、（0，6）；
（i ）S ＝ OB ×CO ＝ 2×6＝6，
△BCO 直线 l 把△BOC 分成面积比为 1：2 的两部分，
则 S
＝2 或 4， △CDE 而 S ＝ ×CD ×x ＝ 4×x ＝2 或 4， △CDE E E
则 x ＝1 或 2， E
故点 E （1，3）或（2，0），
将点 E 的坐标代入直线 l 表达式并解得：
直线 l 的表达式为：y ＝±x +2；
（ⅱ）设点 E （m ，﹣3m +6），而点 A 、D 的坐标分别为：（1，3）、（0，2），
则 AE ＝（m ﹣1） +（3﹣3m ） ，AD ＝2，ED ＝m +（4﹣3m ） ， 2 2 2 2 2 2 2
当 AE ＝AD 时，（m ﹣1） +（3﹣3m ） ＝2，解得：m ＝ （不合题意值已舍去）；
当AE＝ED时，同理可得：m＝；
综上，点E的坐标为：（，）或（，）．
B卷
21．已知x是的整数部分，y是的小数部分，则xy的值2﹣4．【分析】由题意可得x＝2，y＝﹣2，再将x、y代入所求即可．
【解答】解：∵x是的整数部分，
∴x＝2，
∵y是的小数部分，
∴y＝﹣2，
∴yx＝2（﹣2）＝2﹣4，
故答案为2﹣4．
22．若实数a，b满足，则a﹣b的平方根是±3．【分析】直接利用二次根式有意义的条件进而分析得出答案．
【解答】解：∵
和有意义，则a＝5，
故b＝﹣4，
则＝＝＝3，
∴a﹣b的平方根是：±3．
故答案为：±3．
23．如图，把平面内一条数轴x绕点O逆时针旋转角θ（0°＜θ＜90°）得到另一条数轴y，x轴和y轴构成一个平面斜坐标系．规定：已知点P是平面斜坐标系中任意一点，过点P作y轴的平行线交x轴于点A，过点P作x轴的平行线交y轴于点B，若点A在x 轴上对应的实数为a，点B在y轴上对应的实数为b，则称有序实数对（a，b）为点P 的斜坐标．在平面斜坐标系中，若θ＝45°，点P的斜坐标为（1，2），点G的斜坐标为（7，﹣2），连接PG，则线段PG的长度是2．
【分析】如图，作PA∥y轴交x轴于A，PH⊥x轴于H．GM∥y轴交x轴于M，连接PG交x轴于N．利用全等三角形的性质证明PN＝NG，解直角三角形求出PN即可解决问题．【解答】解：如图，作P A∥y轴交X轴于A，PH⊥x轴于H．GM∥y轴交x轴于M，连接PG交x轴于N．
∵P（1，2），G（7．﹣2），
∴OA＝1，PA＝GM＝2，OM＝7，AM＝6，
∵PA∥GM，
∴∠PAN＝∠GMN，
∵∠ANP＝∠MNG，
∴△ANP≌△MNG（AAS），
∴AN＝MN＝3，PN＝NG，
∵∠PAH＝45°，
∴PH＝AH＝2，
∴HN＝1，
∴PN＝＝＝，
∴PG＝2PN＝2．
故答案为2．
24．如图，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝2，AC＝，以BC为斜边作等腰Rt△BCD，连接AD，则线段AD的长为．
【分析】过D作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，得到四边形AEDF是矩形，求得∠EDF＝90°，根据全等三角形的性质得到DE＝DF，BE＝CF，求得∠DAE＝∠DAF＝45°，列方程即可得到结论．
【解答】解：过D作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，
则四边形AEDF是矩形，
∴∠EDF＝90°，
∵∠BDC＝90°，
∴∠BDE＝∠CDF，
∵∠BED＝∠CFD＝90°，BD＝DC，
∴△BDE≌△CDF（AAS），
∴DE＝DF，BE＝CF，
∴∠DAE＝∠DAF＝45°，
∴AE＝AF，
∴2﹣BE＝+BE，
∴BE＝∴AE＝，，
∴AD＝AE＝故答案为：
，．
25．如图，在正方形网格中，△ABC的每一个顶点都在格点上，AB＝5，点D是AB边上的动
点（点D不与点A，B重合），将线段AD沿直线AC翻折后得到对应线段AD，将线段BD
1
沿直线BC翻折后得到对应线段BD，连接D D，则四边形D ABD的面积的最小值是
21212
5.5．
【分析】先利用勾股定理的逆定理判断出∠ACB＝135°，进而判断出CD最小时，四边形
D ABD的面积最小．
12
【解答】解：如图，
延长AC使CE＝AC，
∵点A，C是格点，
∴点E必是格点，
∵CE＝1+2＝5，BE＝1+2＝5，BC＝1+3＝10，
222222222
∴CE+BE＝BC，CE＝BE，
222
∴△BCE是等腰直角三角形，
∴∠BCE＝45°，
∴∠ACB＝135°，
由折叠知，∠DCD＝2∠ACD，∠DCD＝2∠BCD，
12
∴∠DCD+∠DCD＝2（∠ACD+∠BCD）＝2∠ACB＝270°，
12
∴∠D CD＝360°﹣（∠DCD+DCD）＝90°，
1212
由折叠知，CD＝CD＝CD，
12
∴△D CD是等腰直角三角形，
12
由折叠知，△ACD≌△ACD，△BCD≌△BCD，
12
∴S＝S，S＝S，
△ACD△ACD1△BCD△BCD2
∴S＝2S，S＝2S，
四边形ADCD1△ACD四边形BDCD2△BCD
∴S+S
四边形ADCD1四边形BDCD2
＝2S+2S
△ACD△BCD
＝2（S+S）
△ACD△BCD
＝2S
△ABC
＝5，
∴S＝S+S+S，
四边形D1ABD2四边形ADCD1四边形BDCD2△D1CD2
∴要四边形D ABD的面积最小，则△D CD的面积最小，
1212
即：CD最小，此时，CD⊥AB，
此时CD＝1，
最小
∴S＝CD CD＝CD＝，
△D1CD2最小12
即：四边形D ABD的面积最小为5+＝5.5，
12
故答案为5.5．
26．某市为了鼓励居民在枯水期（当年11月至第二年5月）节约用电，规定7：00至23：
00为用电高峰期，此期间用电电费y（单位：元）与用电量x（单位：度）之间满足的
1
关系如图1所示；规定23：00至第二天早上7：00为用电低谷期，此期间用电电费y
2（单位：元）与用电量x（单位：元）之间满足如表1所示的一次函数关系．
（1）求y与x的函数关系式；并直接写出当0≤x≤180和x＞180时，y与x的函数关21
系式；
（2）若市民王先生一家在12月份共用电350度，支付电费150元，求王先生一家在高峰期和低谷期各用电多少度．
低谷期用电
量x度
…80100140…
低谷期用电…202535…
电费y元
2
【分析】（1）利用待定系数法即可得出y与x的函数关系式；当0≤x≤180时，y是x
21正比例函数；当x＞180时，y是x一次函数；
1
（2）利用（1）的结论列方程组解答即可．
【解答】解：（1）设y与x的函数关系式为y＝k x+b，根据题意得
222
，
解得，
∴y与x的函数关系式为y＝0.25x；
2
当0≤x≤180时，y与x的函数关系式为y＝0.5x；
1
当x＞180时，设y＝k+b，根据题意得
111
，
解得，
∴y与x的函数关系式为y＝0.6x﹣18；
1
∴；
（2）设王先生一家在高峰期用电a度，低谷期用电y度，根据题意得
，
解得．
答：王先生一家在高峰期用电250度，低谷期用电100度．
27．如图，AC平分钝角∠BAE交过B点的直线于点C，BD平分∠ABC交AC于点D，且∠BAD+∠ABD＝90°．
（1）求证：AE ∥BC ；
（2）点 F 是射线 BC 上一动点（点 F 不与点 B ，C 重合），连接 AF ，与射线 BD 相交于点 P ． （ⅰ）如图 1，若∠ABC ＝45°，AF ⊥AB ，试探究线段 BF 与 CF 之间满足的数量关系； （ⅱ）如图 2，若 AB ＝10，S ＝30，∠CAF ＝∠ABD ，求线段 BP 的长． △ABC 【分析】（1）证明∠BAE +∠ABC ＝180°，即可得出 AE ∥BC ；
（2）（ⅰ）证明 AB ＝BC ，过点 A 作 AH ⊥BC 于 H ，证出△ABH 、△BAF 是等腰直角三角形， 得出 AH ＝BH ＝HF ，BC ＝AB ＝
BH ，BF ＝ AB ＝ × BH ＝2BH ，即可得出结论；
（ⅱ）当点 F 在点 C 的左侧时，证出 AF ⊥BC ，由三角形面积得出 AF ＝6，由勾股定理得 出 BF ＝ ，作 PG ⊥AB 于 G ，则 PG ＝PF ，证明 Rt △BPG ≌Rt △BPF （HL ），得出 BG ＝BF ＝8，得
出 AG ＝AB ﹣BG ＝2，证出 AD ＝CD ＝ AC ＝ ，设 AP ＝x ，则 PG ＝PF ＝6﹣x ，在 Rt △APG
中，由勾股定理得出方程，得出AP ＝ ，由勾股定理得出PD ＝
出 BP ＝BD ﹣PD ＝ ；当点 F 在点 C 的右侧时，证出 AP ＝AP '，PD ＝P 'D ＝ 出 BP ＝
+2×
＝8，求出 CF ＝B C ﹣BF ＝2，得出 AC ＝
＝2
，求出 BD ＝
3
＝
，得 ，得
＝
．
【解答】（1）证明：∵AC 平分钝角∠BAE ，BD 平分∠ABC ， ∴∠BAE ＝2∠BAD ，∠ABC ＝2∠ABD ，
∴∠BAE +∠ABC ＝2（∠BAD +∠ABD ）＝2×90°＝180°， ∴AE ∥BC ；
（2）解：（ⅰ）BF ＝（2+ ）CF ；理由如下：
∵∠BAD +∠ABD ＝90°， ∴BD ⊥AC ，
∴∠CBD +∠BCD ＝90°， ∵∠ABD ＝∠CBD ， ∴∠BAD ＝∠BCD ，
∴AB ＝BC ，
过点 A 作 AH ⊥BC 于 H ，如图 1 所示： ∵∠ABC ＝45°，AF ⊥AB ，
∴△ABH 、△BAF 是等腰直角三角形， ∴AH ＝BH ＝HF ，BC ＝AB ＝ BH ，BF ＝ AB ＝
× BH ＝2BH ，
∴CF ＝BF ﹣BC ＝2BH ﹣ BH ＝（2﹣
）BH ，
∴BH ＝ ＝（1+
）CF ，
∴BF ＝2（1+
）CF ＝（2+ ）CF ；
（ⅱ）当点 F 在点 C 的左侧时，如图 2 所示： 同（ⅰ）得：∠BAD ＝∠BCD ， ∴AB ＝BC ＝10，
∵∠CAF ＝∠ABD ，∠BAD +∠ABD ＝90°， ∴∠BCD +∠CAF ＝90°， ∴∠AFC ＝90°， ∴AF ⊥BC ， 则 S
＝ BC •AF ＝ ×10×AF ＝30，
△ABC
∴AF ＝6， ∴BF ＝
∴CF ＝BC ﹣BF ＝10﹣8＝2， ∴AC ＝ ＝2
∵S
＝ AC •BD ＝ ×2
＝8，
，
×BD ＝30，
△ABC
∴BD ＝3
，
作 PG ⊥AB 于 G ，则 PG ＝PF ， 在 Rt △BPG 和 Rt △BPF 中， ，
∴Rt △BPG ≌Rt △BPF （HL ）， ∴BG ＝BF ＝8， ∴AG ＝AB ﹣BG ＝2，
∵AB＝CB，BD⊥AC，
∴AD＝CD＝AC＝，
设AP＝x，则PG＝PF＝6﹣x，
在Rt△APG中，由勾股定理得：2+（6﹣x）＝x，
222
解得：x＝，
∴AP＝，
∴PD＝＝＝，
∴BP＝BD﹣PD＝3﹣＝；
当点F在点C的右侧时，
则∠CAF＝∠ACF'，
∵BD⊥AC，
∴∠APD＝∠AP'D，
∴AP＝AP'，PD＝P'D＝，
∴BP＝+2×＝；
综上所述，线段BP的长为或．
28．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+3分别交y轴，x轴于A、B两点，点C 在线段AB上，连接OC，且OC＝BC．（1）求线段AC的长度；
（2）如图2，点D的坐标为（﹣，0），过D作DE⊥BO交直线y＝﹣x+3于点E．动点N在x轴上从点D向终点O匀速运动，同时动点M在直线＝﹣x+3上从某一点向终点G（2，1）匀速运动，当点N运动到线段DO中点时，点M恰好与点A重合，且它们同时到达终点．
i）当点M在线段EG上时，设EM＝s、DN＝t，求s与t之间满足的一次函数关系式；
ii）在i）的基础上，连接MN，过点O作OF⊥AB于点F，当MN与△OFC的一边平行时，求所有满足条件的s的值．
【分析】（1）A、B、C的坐标分别为：（0，3）、（3，0），OC＝BC，则点C是AB的中点，则点C的坐标为：（
（2）i）当t＝DN＝
，），即可求解；
时，s＝EM＝EA＝2，即点（，2）；当t＝OD＝时，s＝EG ＝6，即点（，6）；将点即点（，2）和点（，6）代入s＝kt+b即可求解；
ii）分MN∥OC、MN∥OF两种情况，分别求解即可．
【解答】解：（1）A、B、C的坐标分别为：（0，3）、（3，0）；
OC＝BC，则点C是AB的中点，则点C的坐标为：（
故AC＝AB＝6＝3；
，）；
（2）点A、B、C的坐标分别为：（0，3）、（3，0）、（，）；
点D、E、G的坐标分别为：（﹣，0）、（﹣，4）、（2，1）；
i）设s、t的表达式为：s＝kt+b，
当t＝DN＝时，s＝EM＝EA＝2，即点（，2）；
当t＝OD＝时，s＝EG＝6，即点（，6）；
将点即点（ ，2）和点（ ，6）代入 s ＝kt +b 并解得：
t ﹣2…①；
函数的表达式为：y ＝ ii ）直线 AB 的倾斜角∠ABO ＝α＝30°，EB ＝8，BD ＝4
，DE ＝4，EM ＝s 、DN ＝t ，
①当 MN ∥OC 时，如图 1，
则∠MNB ＝∠COB ＝∠CBO ＝α＝30°，
MN ＝BM ＝BE ﹣EM ＝8﹣s ， NH ＝ BN ＝ （BD ﹣DN ）＝ （4
﹣t ），
cos ∠MNH ＝
联立①②并解得：s ＝
②当 MN ∥OF 时，如图 2，
＝
＝ …②；
；
故点 M 作 MG ⊥ED 角 ED 于点 G ，作 NH ⊥AG 于点 H ，作 AR ⊥ED 于点 R ， 则∠HNM ＝∠RAE ＝∠EBD ＝α＝30°，
HN ＝GD ＝ED ﹣EG ＝4﹣EM cos30°＝4﹣ s ， MH ＝MG ﹣GH ＝ME cos30°﹣t ＝
s ﹣t ，
tan α＝ ＝ ＝ …③；
联立①③并解得：s ＝
从图象看 MN 不可能平行于 BC ； 综上，s ＝
；
或
．
将点即点（ ，2）和点（ ，6）代入 s ＝kt +b 并解得：
t ﹣2…①；
函数的表达式为：y ＝ ii ）直线 AB 的倾斜角∠ABO ＝α＝30°，EB ＝8，BD ＝4 ，DE ＝4，EM ＝s 、DN ＝t ， ①当 MN ∥OC 时，如图 1，
则∠MNB ＝∠COB ＝∠CBO ＝α＝30°，
MN ＝BM ＝BE ﹣EM ＝8﹣s ，
NH ＝ BN ＝ （BD ﹣DN ）＝ （4 ﹣t ），
cos ∠MNH ＝ 联立①②并解得：s ＝ ②当 MN ∥OF 时，如图 2，
＝ ＝ …②；
；
故点 M 作 MG ⊥ED 角 ED 于点 G ，作 NH ⊥AG 于点 H ，作
AR ⊥ED 于点 R ，
则∠HNM ＝∠RAE ＝∠EBD ＝α＝30°，
HN ＝GD ＝ED ﹣EG ＝4﹣EM cos30°＝4﹣ s ，
MH ＝MG ﹣GH ＝ME cos30°﹣t ＝ s ﹣t ，
tan α＝ ＝ ＝ …③； 联立①③并解得：s ＝ 从图象看 MN 不可能平行于 BC ； 综上，s ＝ ； 或 ．。