广东省揭阳市陶熏华侨中学高三数学理上学期期末试卷含解析

广东省揭阳市陶熏华侨中学高三数学理上学期期末试卷含解
析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 在图21－6的算法中，如果输入A＝138，B＝22，则输出的结果是()
图21－6
A．2 B．4 C．128 D．0
参考答案：
A
2. 设抛物线y2=8x的准线与x轴交于点Q，若过点Q的直线l与抛物线有公共点，则直线l的斜率的取值范围是( )
A．B．C．D．
参考答案：
C
【考点】抛物线的应用；直线的斜率；直线的图象特征与倾斜角、斜率的关系；抛物线的简单性质．【专题】计算题．
【分析】根据抛物线方程求得Q点坐标，设过Q点的直线l方程与抛物线方程联立消去y，根据判别式大于等于0求得k的范围．
【解答】解：∵y2=8x，
∴Q（﹣2，0）（Q为准线与x轴的交点），设过Q点的直线l方程为y=k（x+2）．
∵l与抛物线有公共点，
有解，∴方程组
即k2x2+（4k2﹣8）x+4k2=0有解．
∴△=（4k2﹣8）2﹣16k4≥0，即k2≤1．
∴﹣1≤k≤1，
故选C．
【点评】本题主要考查了抛物线的应用．涉及直线与抛物线的关系，常需要把直线方程与抛物线方程联立，利用韦达定理或判别式解决问题．
3. 若函数在上单调递增，则实数a的取值范围
( )
A．（0，1] B．（0，1）C．[1，+∞） D．（0，+∞）
参考答案：
A
【考点】函数单调性的性质．
【专题】函数的性质及应用．
【分析】根据分段函数的单调性确定a的取值范围．
【解答】解：∵当时，y=tanx，单调递增，
∴要使f（x）在（﹣）上单调递增，如图的示意图
则，即，
解得0＜a≤1．
故实数a的取值范围是（0，1]．
故选A．
【点评】本题主要考查分段函数的单调性的应用，要保证分段函数满足单调递增，同时两个函数在端点处的函数值也存在一定的大小关系，利用数形结合的思想去解决．
4. 已知复数z1=2+i，z2=3﹣i，其中i是虚数单位，则复数的实部与虚部之和为（）
A．0 B．C．1 D．2
参考答案：
C
考点：复数代数形式的混合运算．
专题：计算题．
分析：先进行复数的除法运算，分子和分母同乘以分母的共轭复数，把分母变为一个实数，分子进行
复数的乘法运算，得到复数的实部与虚部，相加得到复数的实部与虚部之和．
解答：解：∵复数z1=2+i，z2=3﹣i，
∴复数===
∴复数的实部是，虚部是，
∴复数的实部与虚部之和为1
故选C．
点评：本题是一个考查复数概念的题目，在考查概念时，题目要先进行乘除运算，复数的加减乘除运算是比较简单的问题，在高考时有时会出现，若出现则是要我们一定要得分的题目．
5. 已知函数（a，c为实数）为偶函数，且在(0,+∞)单调递减，则的解集为（）A．(0,2) B．(－2,0) C．(－∞,－2)∪(0,+∞) D．(－∞,0)∪(2,+∞)
参考答案：
D
6. 已知命题p：若x＞y，则－x＜－y，命题q：若x＞y，则x2＞y2.在命题①p∧q；②p∨q；
③p∧(q)；④(p)∨q中，真命题是()
A．①③ B．①④ C．②③ D．②④
参考答案：
C
略
7. 我国古代名著《庄子·天下篇》中有一句名言“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，其意思为：一尺的木棍，每天截取一半，永远都截不完.现将该木棍依此规律截取，如图所示的程序框图的功能就是计算截取20天后所剩木棍的长度（单位：尺），则①②③处可分别填入的是（）
A. ，，
B. ，，
C. ，，
D. ，，
参考答案：
D
【分析】
先由第一天剩余的情况确定循环体，再由结束条件确定循环条件即可.
【详解】根据题意可知，第一天，所以满足，不满足，故排除AB，
由框图可知，计算第二十天的剩余时，有，且，所以循环条件应该是.
故选D.
【点睛】本题考查了程序框图的实际应用问题，把握好循环体与循环条件是解决此题的关键，属于中档题.
8. 已知函数的一个零点是，则当取最小值时，函数f(x)的一个单调递减区间是
A. ，
B. ，
C. ，
D. ，
参考答案：
D
【分析】
根据函数零点关系，求出的取值，利用函数的单调性进行求解即可．
【详解】解：的一个零点是，
由得，得，即或，，，的最小值为，
此时，
由，，得，，
当时，的一个单调递减函数区间为，，
故选：D ．
【点睛】本题主要考查三角函数的图象和性质，根据条件求出函数的解析式以及利用单调性是解决本题的关键.属于中档题
9. 某几何体的三视图如图示，则该几何体的体积为（）A．56 B．C．D．88
参考答案：
B
由三视图可知，该几何体由正方体挖去一个四棱锥而得，
其直观图如图所示
则该几何体的体积为，故选B．
10. 已知O为内一点，且由，则和的面积之比为（）
A． B． C． D．
参考答案：
C
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 在极坐标系中，圆上的点到直线的距离的最小值是 . 参考答案：
6
略
12. 函数的图像与轴所围成的封闭图形的面积等于__________．
参考答案：
解：函数
开口向下，与轴围成的封闭图形面积为．
13. 已知数列{a n}为等差数列，a1+a2+a3=3，a5+a6+a7=9，则a4= ．
参考答案：
2
【考点】等差数列的性质．
【专题】计算题．
【分析】若数列{a n}为等差数列，正整数m、k、n满足m+n=2k，则有a m+a n=2a k，并且称a k为a m、a n的
等差中项．运用等差中项的方法可以解决本题：根据a1+a3=2a2，得到a1+a2+a3=3a2=3，从而a2=1；同样
的方法得到a6=3，最后根据a2+a6=2a4得到a4=2．
解：∵数列{a n}为等差数列，
∴a1+a2+a3=3a2=3，a5+a6+a7=3a6=9，
∴a2=1，a6=3，
∵a2+a6=2a4∴a4=（a2+a6）=2
故答案为：2
【点评】本题给出一个特殊的等差数列，在已知连续3项和的情况下，运用等差中项求未知项，着重
考查了等差数列的性质，属于基础题．
14. 已知函数f(x)＝m－|x－2|，m∈R，且f(x＋2)≥0的解集为[－1，1]．则m的值
参考答案：
m＝1
略
15. 设是周期为2的奇函数，当0≤x≤1时，=，=______.
参考答案：
略
16. 集合A＝{ x |－1≤x≤2，x∈Z }，则A＝．
参考答案：
17. 已知集合A＝{x|y＝lg(2x－x2)}，B＝{y|y＝2x，x>0}，R是实数集，则(?R B)∩A＝________.
参考答案：
略
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 已知f（x）=|2x﹣1|+ax﹣5（a是常数，a∈R）
①当a=1时求不等式f（x）≥0的解集．
②如果函数y=f（x）恰有两个不同的零点，求a的取值范围．
参考答案：
考点：函数零点的判定定理；带绝对值的函数．
专题：计算题．
分析：①当a=1时，f（x）=，把和的解集取并集，
即得所求．
②由f（x）=0得|2x﹣1|=﹣ax+5，作出y=|2x﹣1|和y=﹣ax+5 的图象，观察可以知道，当﹣2＜a＜
2时，这两个函数的图象有两个不同的交点，由此得到a的取值范围．
解答：解：①当a=1时，f（x）=|2x﹣1|+x﹣5=．
由解得x≥2；由解得x≤﹣4．
∴f（x）≥0的解为{x|x≥2或x≤﹣4}．
②由f（x）=0得|2x﹣1|=﹣ax+5．
作出y=|2x﹣1|和y=﹣ax+5 的图象，观察可以知道，当﹣2＜a＜2时，这两个函数的图象有两个不同的交点，
函数y=f（x）有两个不同的零点．
故a的取值范围是（﹣2，2）．
点评：本题考查函数零点的判定定理，带有绝对值的函数，体现了转化的数学思想，属于基础题．19. 已知函数满足，对于任意都有，且
，令.
（1）求函数的表达式；
（2）函数在区间上有两个零点，求的取值范围.参考答案：
(1)；(2).
（2）①当时，可知函数在区间上单调递增，
又，，故函数在区间上只有一个零点，
②当时，则，而，，，
（ⅰ）若，由于，且
，
此时，函数在区间上只有一个零点；
（ⅱ）若，由于且，此时，函数在区间上有两个不同的零点，
综上所述，当时，函数在区间上有两个不同的零点.
考点：二次函数的图象和性质及分类整合思想等有关知识的综合运用．
【易错点晴】二次函数是高中数学中的基本初等函数之一,也是解答许多数学问题的重要工具,也高考和各级各类考试的重要内容和考点.解答本题时要充分利用题设中提供的有关信息,先运用题设条件求出二次函数的解析表达式.然后再借助题设函数在区间上有两个零点,运用分类整合思想求出满足题设条件的参数的取值范围,从而使得问题获解.
20. 在直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线
，.
求与交点的极坐标；
设点在上，，求动点的极坐标方程.
参考答案：
解：联立，，
，，
，
交点坐标.
设,且
，
，
由已知，得，
，点的极坐标方程为.
21. 已知以椭圆的一个焦点，短轴的一个端点和坐标原点为顶点的三角形为
等腰三角形，且点在椭圆上．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）过点T作圆的切线，切点分别为A，B，直线AB与x轴交于点E，过点E作直线l交椭圆C于MN两点，点E关于y轴的对称点为Q，求面积的最大值.
参考答案：（1）（2）
【分析】
（1）依题意可得，代入点，可得，又解得
，即可求出椭圆方程，
（2）先求出直线的方程为，再根据韦达定理，弦长公式，可得三角形的面积，根据基本不等式即可求出．
【详解】解：（1）依题意可得,
代入点，可得，
又，解得，
故椭圆方程为．
（2）
与圆相切
，
以为圆心，为半径的圆的方程为，
将圆与圆的方程相减可得，
即直线的方程为，
故，
设，
故面积为,
联立，可得，
,
,
令，
,
当即t=1时，取最大值，
故面积的最大值为．
【点睛】本题考查了椭圆方程的解法，两圆公共弦，三角形的面积，弦长公式，考查了运算能力和转化能力，属于中档题．
22. （13分）已知函数f（x）=sin（2x+）+cos（2x+）．
（Ⅰ）求f（）的值；
（Ⅱ）求函数f（x）的最小正周期和单调递增区间．
参考答案：
【考点】三角函数中的恒等变换应用．
【专题】计算题；转化思想；三角函数的求值；三角函数的图像与性质．
【分析】（I）利用和差角（辅助角）公式，将函数化为正弦型函数的形式，再由诱导公式可得f
（x）=2cos2x，将x=代入可得答案；
（Ⅱ）由（I）得：f（x）=2cos2x，结合余弦函数的图象和性质，可得函数的最小正周期和单调递增区间．【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）=sin（2x+）+cos（2x+）=2sin[（2x+）+]=2sin
（2x+）=2cos2x．
∴f（）=2cos（2×）=2cos=1；
（Ⅱ）由（I）得：f（x）=2cos2x，
∵ω=2，
∴周期T=π，
由2kπ﹣π≤2x≤2kπ，k∈Z得：kπ﹣≤x≤kπ，k∈Z
∴f（x）的单调递增区间为[kπ﹣，kπ]，k∈Z
【点评】本题考查的知识点是三角函数中的恒等变换应用，三角函数求值，余弦型函数的图象和性质，难度中档．。