湖北省武汉外国语学校2024-2025学年高二上学期期中考试数学试题(含答案)

武汉外国语学校 2024-2025 学年度上学期期中考试高二数学试卷
考试时间:2024 年 11 月 14 日考试时长:120 分钟试卷满分:150 分
一、单选题: 本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知
是虚数单位，则复数（）
A. B.
C. D.
2. 已知直线与相交于点，则点到直线的距离为（）A.
B.
C.
D. 3. 在不超过 9 的质数中，随机选取两个不同的数，其和为偶数的概率为（）A.
B.
C.
D.
4. 已知椭圆的左､右焦点分别为上一点
满足，且
，则的离心率为（）
A.
B.
C.
D.
5. 已知三棱锥中，平面，则此三棱锥外接球表面积为（）A B. C. D.
6. 在平面直角坐标系中，已知点，
，为平面上一动点且满足，当实数
变化时，的最小值为（）A.
B.
C. D. 7.
在梯形中，满足，则（）A. 4
B. 6
C. 10
D. 12
8. 已知为锐角三角形，且满足
，则
的取值范围是（）的i 2i
1i -=
+13i 22
-
-13i 22
-13i 22
-
+13i 22
+1:30l x y +-=2:310l x y --=M M 3:210l x y -+=14
13
12
22
22:1(0)x y T a b a b +=>>12,,F F T A 22AF b =21AF AF ⊥T 1
3
12
P ABC -PA ⊥π
,,2,3
ABC CAB PA BC ∠===16π
20π
24π
32π
xOy ()0,2A (),3P t t --M 226MA MO +=t PM ABCD //262AD BC AD BC AB DC ==⋅= ，，，AC BD ⋅=
ABC V 222sin sin 2sin 3sin A C A B +=sin sin C
A
A. B. C. D. 二、多选题: 本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分.
9. 下列说法正确的是（）
A. 已知一组数据1，2，4，3，1，2，1，则这组数据中位数为 2
B. 已知五个数据5，5，10，10，20，则这组数据的分位数为10
C. 若，则事件与互对立事件
D. 若事件相互独立，
，则10. 在棱长为
的正方体中，为的中点，为平面上的一动点，则下列选
项正确的是（）
A. 二面角平面角的正切值为
B. 三棱锥
C. 以点
所截的圆面的面积为
D. 线段
11. 已知椭圆的左，右焦点分别为，，圆，点P 在椭
圆C 上，点Q 在圆M 上，则下列说法正确的有（）
A. 若椭圆C 和圆M 没有交点，则椭圆C 的离心率的取值范围是
B. 若，则的最大值为4
C. 若存在点P
使得，则D. 若存在点Q
使得，则三、填空题: 本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12. 已知椭圆，过右焦点的直线交于两点，则的最小值为_____.
为的2,13⎛⎫
⎪⎝⎭
15,33⎛⎫
⎪
⎝⎭
1,23
⎛⎫ ⎪
⎝⎭
25,33⎛⎫
⎪⎝⎭
80%()()1P A P B +=A B ,A B ()()11,54P A P B ==()1
5
P AB =
1111ABCD A B C D -F 1CB P 1ACD 1D AC D --11B ACD -D 1ACD 2π31B P PF +22
2:1(02)4x y C b b
+=<<1F 2F 22:(2)1M x y +-=⎫
⎪⎪
⎭
1b =||PQ 123PF PF =0b <≤12QF QF =
1
b =22
:143
x y C +=C A B ，AB
13. 设向量
满足，则的最大值等于_____.14. 已知球的表面积为，正四面体的顶点均在球的表面上，球心为的外心，棱
与球面交于点.若平面平面平面平面且
与之间的距离为同一定值，棱分别与交于点，则的值为
_____.
四、解答题: 本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知双曲线的实轴长为 4，离心率等于 2 .
（1）求双曲线的方程；
（2）已知定点，若双曲线左焦点为，为双曲线右支上任意一点，求的最小值.16. 已知点，直线 .（1）求过点，且与直线平行的直线的方程；
（2）光线通过点，经直线反射，其反射光线通过点，求反射光线所在直线的方程.17. 已知满足圆的方程.（1）求的取值范围；
（2）若直线与圆交于不同的两点，当为锐角时，求实数的取值范围.18. 如图，在三棱锥中，分别是
的中点.
（1）求证: 平面；
（2）若四面体的体积为，求；
（3）若，求直线
与平面所成角的正弦值的最大值.
的a b c ，，()
1200a b a b c a b c ==⋅=⋅+-= ，
，，c O 16πABCD ,,B C D O O BCD △P A ∈1,B α∈2,C α∈3,D α∈()41,//1,2,3i i i ααα+=i α()11,2,3i i α+=,AC AD 2α,Q R cos PQR ∠()22
22100x y a b a b
-=>>，()14A ，
1F P 1PF PA +()1,2A :30l x y -+=A l l 'A l ()2,0B -,x y 22:80C x y y +-=2x y +():20l y kx k =->C ,A B ACB ∠k P ABC -42AC BC AC BC PA PB PC M E F ==⊥==，，，，，，AB PA PB ，，PM ⊥ABC BCEF 1PM ()01CD CP λλ=<<
PBC
19. 已知椭圆
，短轴长为，且经过点.过左焦点的直线交于两点，过点与垂直的直线交于两点，其中在轴上方，分别为的中点.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）证明:直线过定点，并求定点坐标；（3）设为直线与直线
的交点，求面积的最小值.
武汉外国语学校 2024-2025
学年度上学期期中考试高二数学试卷
31,
2⎛⎫
⎪⎝⎭
F l C ,A B F l C ,D E ,B D x MN ,AB DE C MN
G AE GMN V
一、单选题: 本题共8 小题，每小题5 分，共40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.
【答案】B
2.
【答案】A
3.
【答案】C
4.
【答案】D
5.
【答案】B
6.
【答案】B
7.
【答案】C
8.
【答案】B
二、多选题: 本题共3 小题，每小题6 分，共18 分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对的得6 分，部分选对的得部分分，有选错的得0 分.
9.
【答案】AD
10.
【答案】ACD
11.
【答案】ACD
三、填空题: 本题共3 小题，每小题5 分，共15 分.
12.【答案】3
13.
14.【答案】5 7
四、解答题: 本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 【解析】
【分析】（1）利用待定系数法求双曲线方程；
（2）首先利用双曲线的定义，结合数形结合，求距离和的最小值.【小问1详解】由条件可知，
，
，得，，所以双曲线方程为：；
【小问2详解】
∵是双曲线的左焦点，
∴，，，，设双曲线的右焦点为，则，
由双曲线的定义可得，则，
所以，
当且仅当三点共线时，等号成立，
因此，的最小值为916. 【解析】
【分析】（1）根据平行设出直线方程，再根据点在线上求参即可；
（2）设点关于直线的对称点为，再根据斜率及中点在直线上求出，最
24a =2c
a
=2,4a c ==22212b c a =-=22
1412
-=x y 1F 22
1412
-=x y 2a =b =4c =1(4,0)F -2F 2(4,0)F 124PF PF -=124PF PF =+124PF PA PF PA +=++24AF ≥+4=+459=+=2、、A P F 1PF PA +A 30x y -+=(),A m n '()1,4A '-
后应用两点式写出直线方程.【小问1详解】
因为直线与直线平行，直线的方程为，故可设直线的方程为，因为点在直线上，所以，所以，
所以直线的方程为【小问2详解】
设点关于直线的对称点为．
由题意得，
解得，所以点的坐标为，
所以反射光线所在直线斜率为，
直线方程为．17. 【解析】
【分析】（1）将问题化为直线与圆有公共点，应用点线距离公式求范围；（2）设坐标分别为
，
，联立直线与圆，应用判别式、韦达定理及
求参数k 范围.
【小问1详解】
由，即，设直线，即该直线与圆有公共点，圆心到直线的距离小于等于半径
，
l 'l l 30x y -+=l '0x y C -+=()1,2A l '120C -+=1=C l '10x y -+=A 30x y -+=(),A m n '211
12302
2n m m n -⎧
=-⎪⎪-⎨++⎪-+=⎪⎩1
4
m n =-⎧⎨=⎩A '()1,4-40
412
-=-+480x y -+=2x y t +=C ,A B 12120CA CB x x y y ⋅=+>
22:80C x y y +-=22(4)16x y +-=2x y t +=C ()0,4C 4r =4
解得，则．【小问2详解】设的坐标分别为
，
，
将直线代入，整理，得，
则，，且，即，当为锐角时，，解得
，又，综上，可得的取值范围为．18. 【解析】
分析】（1）证明，可证线面垂直；
（2
）由已知四面体体积求得体积，再由体积公式可得；（3）建立如图所示的空间直角坐标系，用空间向量法求线面角．【小问
1详解】
.的中点为，则.
.
，则，
故，即.
因为，，平面，平面，所以平面.【小问2详解】
【44-≤≤+t 2[4,4]+∈-+x y ,A B :2l y kx =-2280x y y +-=(
)2
2
112200k x
kx +-+=122
121k x x k +=
+12
2201=+x x k ()()
22Δ128010k k =-+>2
54k >ACB ∠()()
1212121266CA CB x x y y x x kx kx ⋅=+=+--
(
)
()22
12122
5616163601k k
x x k x x k
-=+-++=>+2
72k <0k >k PM MC ⊥PM AB ⊥P ABC -PM PA PB PC == AB M PM AB ⊥CA CB ⊥ AM CM ∴=PAM PCM V V ≌90PMA PMC ∠∠== PM MC ⊥PM AB ⊥AB MC M = AB ⊂ABC MC ⊂ABC PM ⊥ABC
因为，所以.而，所以，解得：.
【小问3详解】
过作轴垂直平面，以方向分别为则，，设平面法向量为由得，所以为平面的一个法向量，
设与平面所成角为，
所以所以直线与平面
4
11
14---===C BEF C PAB P ABC V V V 4P ABC V -=1
4242ABC S =
⨯⨯=V 11
4433
-=⨯⨯=⨯⨯=V P ABC ABC V S PM PM 3PM =C z ABC CA CB ，,轴轴
x y (0,0,0),(4,0,0),(0,2,0),(2,1,3)C A B P ()(2,1,3)01CD CP λλλ==<<
(2,,3)λλλ∴D (24,,3)λλλ=-
AD (2,1,3),(0,2,0)=-=
BP CB PBC (,,)
m x y z =
00CB m BP m ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩
20230y x y z =⎧⎨-+=⎩
(3,0,2)=-
m PBC AD PBC αsin AD m
AD m α⋅==
⋅ =
=
()
2min
480
1416167
7
λλλ=-+=
时，sin α≤
AD PBC
19. 【解析】
【分析】（1）根据短轴长及椭圆上点求椭圆参数，即可得方程；
（2）设直线，联立椭圆并应用韦达定理求中点坐标，利用垂直关系确定坐标，进而写出直线的方程，即得定点；（3）由
，结合（2）及弦长公式求关于m 表达式，最后应用基本不等式求面积的最值.【小问1
详解】
由题设，，可得
.【小问2详解】
由点B ，D 在x 轴上方，直线l 斜率存在且不为0，
设直线，联立椭圆，消去得，
由韦达定理得，且，则中点，由，则代替m ，得，所以，故，
化简得，则过定点．
的:1AB l x my =-AB M N MN l 1
8
GMN S AB DE =⋅V ,AB DE 2
2219
14b a
b ⎧=⎪⎨+=⎪⎩2b a ⎧=⎪⎨=⎪⎩22
143x y +=:1AB l x my =-223412x y +=x (
)
2
2
34690m y my +--=122122634
934m y y m y y m ⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=
⎪+⎩
()12122114()22234x x m y y m -⎡⎤+=+-=⎣⎦+AB 2243,3434m M m m -⎛⎫ ⎪++⎝⎭DE AB l l ⊥1m -222
43,4343m m N m m ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭
()
()2211121MN m k m m =
≠±-()2222143:3434121MN m m
l y x m m m ⎛⎫=++ ⎪++-⎝
⎭()
()22112121m y x m =
+-MN l 4,07⎛⎫- ⎪⎝⎭
当时，取，，则过定点；当时，取，，则过定点；综上，直线MN 过定点．【小问3详解】
由点M ，N 分别为AB ，DE 的中点，
由
，由（2）知
，
以代替m ，得，所以，
当且仅当，即时，．1m =43,77M ⎛⎫- ⎪⎝⎭43,77N ⎛⎫-- ⎪⎝⎭MN l 4,07⎛⎫- ⎪⎝⎭
1m =-43,77M ⎛⎫-- ⎪⎝⎭43,77N ⎛⎫- ⎪⎝⎭MN l 4,07⎛⎫- ⎪⎝⎭
4,07⎛⎫- ⎪⎝⎭
111222=--=
--GMN GBN BMN GBM GBE ABN GAB S S S S S S S △△△△△△△1111122228ABE NAB S S AB NE AB DE =-=⋅⋅⋅=⋅V V ()222121
34m AB y m +=-==+1m -()
2
212143m DE m +=+()()()()22
22222221441181172849344334342GMN m m S m m m m ++=⋅≥=++⎛⎫+++ ⎪⎝⎭V 223443m m +=+1m =±()min 7249
GMN S =V。